limiti notevoli

FUNZIONI A PIU’ VARIABILI
Curve di livello: = { ( x,
y)
∈ I : f ( x,
y)
= k}
L k
f
Norma di P: P = ( x ,..., x )
Limiti:
Limiti iterati:
Coord. Polari:
Limiti ( ρ, ϑ)
:
f : D
lim
1
⊂ ℜ
( x , y )
2
f
n
→ ℜ
( x,
y)
P
=
= l ⇔
n
i=
1
x
2
i
∀ε
> 0,
∃δ
> 0 :
∀
( x,
y)
∈ D − { x , y }
2
2
( x − x ) + ( y − y ) < δ ⇔ f ( x,
y)
− l <
( x,
y)
→ 0 0
0
0
ε
lim lim f
x→x
y→y
0
lim
( x,
y)
→
( x , y )
0
Allora l
x = x
y = y
lim
0
0
0
0
( x,
y)
f
= l
( x,
y)
1
= l
+ ρ cos
+ ρ sen
f
2
( x,
y)
= l
( ϑ)
( ϑ)
= l ⇔
e se
∃
lim
ρ →0
lim lim f
x→x
y→y
0
lim lim f
y→y
x→x
f
0
0
0
( x,
y)
( x,
y)
= l
1
= l
( x + ρ cos(
ϑ ) , y + ρ sen(
ϑ ) )
0
→( 0,
0)
lim sup f x 0 + ρ cos ϑ , y0
+ ρ sen − l 0
ρ →0
ϑ
2
0
( ( ) ( ) ) =
( x,
y)
ϑ
lim
( x,
y)
f
( x,
y)
= +∞ ⇔
lim
ρ →0
f
( x + ρ cos(
ϑ)
, y + ρ sen(
ϑ)
)
0
0
= l
( ( ( ) ( ) ) ) = +∞
→( 0,
0)
lim inf f x 0 + ρ cos ϑ , y0
+ ρ sen ϑ
ρ →0
ϑ
0
( ρ cos ( ϑ ) , ρ sen ( ϑ ) )
0
= +∞
lim f
= l
ρ → +∞
f ( x , y ) = l ⇔
→ ∞
lim sup f
0
lim
( x , y )
ϑ
ρ → +∞ ϑ
lim
f
( x,
y)
= +∞ ⇔
lim
ρ →0
f
( ρ cos ( ϑ ) , ρ sen ( ) ) − l =
( x + ρ cos(
ϑ)
, y + ρ sen(
ϑ)
)
= +∞
( f ( x + ρ cos(
ϑ)
, y + ρ sen(
) ) ) = +∞
( x,
y)
→∞ lim inf 0
0 ϑ
ρ →0
ϑ
Condizione necessaria affinché una funzione f ( x,
y)
abbia limite l per ( ) ( 0 0 ) y , x y ,
che per ogni curva regolare di equazioni parametriche x x(
t)
, y = y(
t)
( ) , x tali che x = x(
t ) , y = y(
t ) , risulti: f ( x(
t)
, y(
t)
) = l
0 0 y
0
0
0
0
lim
t→t
0
0
0
x → è
= passanti per
1

La convergenza al limite l deve essere indipendente dalla curva scelta.
, x di equazioni parametriche:
Spesso si usa il fascio di rette passanti per ( )
0 0 y
( t)
= x lt ( ) lt x t x 0 + =
x 0 +
Continuità: f continua in P se lim f ( P)
= f ( P )
Derivate parziali:
Differenziabilità:
Gradiente:
f
lim
h→0
f
lim
h→0
0
P→P0
Una funzione f definita in un intorno di
tale punto se esistono finiti i limiti :
Se f
( x + h,
y ) − f ( x , y )
0
( x , y + h)
− f ( x , y )
xy
f
0
yx
0
0
h
h
Teorema di Schwarz :
. Se f
0
0
sono continue
. Se f è derivabilein
f è differenziabile
in
P
P .
. Se f è differenziabile
in P
P
0
f
lim
P→P0
lim
( x,
y)
→(
x , y )
P
0
L :
0
0
0
f
0
∂f
=
∂x
∂f
=
∂y
xy
=
( x , y )
0
( x , y )
f
yx
non è detto che sia
0
( x , y )
ammette derivate parziali continue in un intorno P
punto interno a
( P)
− f ( P ) − H(
P − P )
0
dove h
0
f
0
P − P
punto interno a
ℜ
n
I
0
f
0
0
allora f è continua
, f è differenziabile
in
0
= 0
0
0
0
0
ammette drivate parziali in
continua in P .
in P .
( x,
y)
− f ( x 0 , y 0 ) − h(
x − x 0 ) − k(
y − y 0 )
( x − x
2 ) + ( y − y
2 )
f
tale che : lim
L è detta differenziale
di f
Se il
→ ℜ
i
I
f
0
, f è differenziabile
in
h→0
0
P
( P + h)
− f ( P ) − L(
h)
in P
: L
sono le componenti del vettore
0
0
h
( h)
= f ( P )
h
0
n
i=
1
P
0
0
xi
0
0
0
= 0
allora
se ∃ un vettore H =
= 0
h
( h, k)
se ∃ una
funzione lineare
( x, y)
derivabile in un punto P ∇f
( P ) = f ( P ) , f ( P )
0 allora
0
i
( )
Sia f
0
0 x 0 y 0
vettore ∇f
≠
indica la direzione di massima pendenza.
:
2

Sia λ =
( λ , λ )
1
un vettore di modulo unitario : λ + λ
( ) ( x , y )
La derivata direzionale
di f x, y in un punto
Derivate direzionali: f ( x 0 + λ1t,
y 0 + λ2t
) − f ( x 0 , y 0 )
lim
t→0
t
se esiste finito.
2
Equazione del piano tangente al grafico della funzione in ( , f ( P ) )
0
2
1
0
0
0
P :
2
2
= 1
nella direzione di λ è :
( P ) + ∇f
( P )( P − P ) = f ( x , y ) + f ( x , y )( x − x ) + f ( x , y )( y y )
z = f
−
0
Equazione della retta tangente alla curva di livello passante per P 0 :
∇f
r′
=
( P )( P − P )
0
sul piano z
z = f
z = f
0
La retta r è la
Studio dei massimi e minimi:
Sia : f : I
I : aperto
H
H
H
H
2) Se
= 0.
0
= 0
( P0
)
( P ) + ∇f
( P )( P − P )
0
0
0
proiezione della retta
f ( P0
) = 0
f xx ( P0
)
( P0
) =
f yx ( P0
)
f xy ( P0
)
f yy ( P0
)
( P0
) > 0 ∪ f xx ( P0
) > 0
( P0
) > 0 ∪ f xx ( P0
) < 0
( P ) < 0 P punto di
I : chiuso, si
3) Sulla frontiera
∂I,
f ∈ C
relativo della restrizione
di f
0
0
( I)
P
P
sella
si parametrizza
0
r′
per f
procede come nel punto1.
su ∂I.
x
0
0
( intersezione
tra il piano e la fnz. )
1)
Per determinare
i punti critici si deve procedere nel seguente modo :
∇
0
⊂ ℜ
Parametrizzazione della frontiera:
f
2
→ ℜ
0
2
0
0
punto di minimo relativo per f
punto di massimo relativo per f
0
∂I,
cercando i punti massimo e minimo
x = rcos(
ϑ)
∂I
è una circonferenza
si pone :
y = rsen(
ϑ)
( x,
y)
→ f ( rcos(
ϑ)
, rsen(
ϑ)
) = ϕ(
ϑ)
′ ( ϑ)
= 0 → ottengoϑ
k punti critici.
ϕ′
′ ( ϑ ) , cerco i massimi e i minimi e li confronto con quelli trovati in I
Se
ϕ
Calcolo
k
y
0
0
0
3

Studio dei massimi e minimi in caso di H( P0
) = 0
Se il determinante
0
1) Guardo dove f
2) Disegno il grafico nel piano
3) Guardo l'intorno
dei punti
se in questo intorno
se in questo intorno
se in questo intorno
Applicazione del teorema di Dini:
Sia : f
P
H
Allora :
=
f
f : A
f ∈ C
0
( x, y, z)
( P )
1) Se H
2) Se H
( A)
f
f
f
( P )
( P )
Hessiano H(
P ) =
( x, y)
= 0 dove f ( x, y)
> 0 e dove f ( x, y)
∃
∃
∃
punti : f
xy.
critici :
solo punti : f
solo punti : f
0 si deve procedere con uno studio locale :
( x, y)
> 0 e punti : f ( x, y)
( x, y)
> 0
( x, y)
< 0
( P0
)
( P0
)
( P )
f xy ( P0
)
f yy ( P0
)
f ( P )
∇f
( P0
)
f xz ( P0
)
f yz ( P0
)
f ( P )
puntoint
erno ad A e tale che
3
⊂ ℜ
0
2
=
3
3
3
0
0
→ ℜ
xx
yx
zx
>
<
0
0,
0,
f
f
f
f
xx
yx
xx
yx
zy
( P0
)
( P0
)
f xy ( P0
)
f yy ( P0
)
( P0
)
( P )
f xy ( P0
)
f ( P )
0
0
zz
yy
0
0
>
>
0,
0,
= 0
f
f
xx
xx
< 0
< 0
ho dei minimi relativi
ho dei massimi relativi
( P )
0
> 0
P
non ho estremi relativi
punto di min. rel.
( P ) < 0 P punto di max. rel.
0
0
0
4

EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Equazioni differenziali lineari del primo ordine:
( x)
y f ( x)
y ′ + a =
Siano a, f funzioni contnue nell'intervallo
I,
Sia A
( x)
una primitiva di a(
x)
Allora l'int
egrale generale risulta
Teorema di Cauchy
Siano a
Sia x
Allora ∀y
y
y
0
( x)
, f ( x)
∈ I
∈ℜ
′ + a(
x)
y = f ( x)
( x ) = y
0
0
0
funzioni
esiste
:
y
( x)
= e
,
:
una ed una sola soluzione
y
[ ( dx)
+ C]
A(
x ) −A(
x ) ( x)
= e e f ( x)
continue nell'intervallo
chiuso e limitato I,
x
a
x0
( t ) dt
− a(
s)
y
0
+
x
x
0
e
t
x0
y
ds
( x)
f
, derivabilein
I soluzione del :
Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine:
y ′
+ ay′
+ by = 0
Teorema :
Siano y
siano c
1
1
e y
, c
2
2
allora l'integrale
generale risulta :
1)
3)
y
( t)
due soluzioni particolari
dell'equazione
linearmente
indipendenti,
∈ ℜ
2
Equazione caratteristica
: λ + aλ
+ b = 0
∆ > 0 →
2)
∆ = 0 →
∆ < 0 →
y
y
dt
( x)
= c y ( x)
+ c y ( x)
λ1x
λ2
x
( x)
= c1e
+ c2e
λx
λx
( x)
= c1e
+ c2xe
αx
αx
( x)
= c e cos(
βx)
+ c e sen(
βx)
y
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n:
( n ) ( n −1)
a y + ... + a y′
+ a y = f ( x)
y + 1
n −1
n
Teorema
:
Siano y ,..., y
cioè tali che W
e y~ soluzione
( x)
1
n
1
2
( x)
≠ 0 ∀x
∈[
a, b]
intervallo di definizione
di a e f ( x)
particolare
della completa,
allora l'integrale
generale risulta
:
y
1
1
soluzioni particolari
dell'eq.
omogenea linearmente
indipendenti,
2
( x)
= c y ( x)
+ ... + c y ( x)
+ ( x)
1
1
2
n
n
i
y~
,
5

Teorema di
Sia W
W
Se
( x)
Louville :
y
y′
( x)
y2
( x)
... yn
( x)
( x)
y′
( x)
... y′
( x)
...
( n −1)
y1
( x)
( n −1)
y2
( x)
...
( n −1)
yn
( x)
( x)
= 0 ⇔ ∃x0
∈ I : W(
x0
) = 0
W(
x ) ≠ 0 W(
x)
≠ 0 ∀x
0
=
( βx)
( βx)
1
1
Soluzione dell'equazione
omogenea
- Determinazione
dell'eq.
caratteristica
e
=
e
=
+ e
2
− e
2
2
...
...
n
...
n ( n−1)
( λ)
= λ + a λ
1) se le n radici (reali o complesse) risultano λ ≠ λ ≠ ... ≠ λ
2) se una radice (reale o complesse) è multipla di ordine r
coniugata λ = α − iβ
da cui si ottengono :
e
e
cos
sen
:
: P
e
e
= e
= e
+ ... + a
, xe
n−1
λ + a
,..., x
Se l'eq.
caratteristica
ha una radice complessa λ = α + iβ
, essa avrà ancha la radice
1)
2)
3)
4)
αx
αx
Sia p
λx
λx
λx
λx
Determinazione
della soluzione particolare
1
λx
λx
( x)
λx
( x)
= e p m ( x)
( λ)
≠ 0
λx
: e q m ( x)
λx
( x)
= e p m ( x)
( λ)
= 0 λ con molteplicità
h
h λx
: x e q m ( x)
λx
( x)
= e [ p m ( x)
cos(
µ x)
+ rk
( x)
sen(
µ x)
]
( λ ± iµ
) ≠ 0
λx
e [ q m ( x)
cos(
x)
+ s m ( x)
sen(
x)
]
:
m = max{
m, k}
λx
( x)
= e [ p m ( x)
cos(
µ x)
+ rk
( x)
sen(
µ x)
]
( λ ± iµ
) = 0 λ ± iµ
con molteplicità
h
h λx
x e [ q m ( x)
cos(
x)
+ s m ( x)
sen(
x)
]
:
m = max{
m, k}
f
P
f
P
f
P
f
P
m
un
soluzione
soluzione
soluzione
soluzione
polinomio di grado m, e
r
k
y~
2
αx
1
αx
un polinomio di grado k
n
e
λx
e
λ1x
λx
,..., e
( cos(
βx)
+ isen(
βx)
)
( cos(
βx)
− isen(
βx)
)
:
n
λnx
= 0
( r−1)
e
λx
6

Esempi :
f
f
f
f
( x)
= sen(
x)
( x)
( x)
( x)
= e
= e
x
ax
= Ax
→
→
2
→
y~
y~
y~
( x)
= Asen(
x)
+ Bcos(
x)
y~ ′ ( x)
= A cos(
x)
− Bsen(
x)
y~ ′
( x)
= −A
sen(
x)
− Bcos(
x)
x ( x)
= Axe
x x
′ ( x)
= A[
e + xe ]
x x
′
( x)
= A[
2e
+ xe ]
y~
y~
y~
y~
( x)
′ ( x)
′
( x)
= Ae
= aAe
= a
+ Bx + C →
2
ax
Ae
y~
y~
y~
ax
ax
( x)
′ ( x)
′
( x)
= px
=
=
sostituisco
nell'eq.
2
2px
2p
sostituisco
nell'eq.
+ qx + r
+ q
sostituisco
nell'eq.
sostituisco
nell'eq.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti continui di ordine n in forma normale:
( ) ( ) ( ) n
n−1
+ a x y + ... + a ( x)
y′
+ a ( x)
y = f ( x)
y n−
1
1
0
Teorema :
Sia y~ la soluzione particolare
dell'eq.
completa,
( x)
Siano y ,..., y
1
n integrali particolari
linearmente
indipendenti
dell'omogenea
Allora l'integrale
generale dell'equazione
differenziale
è :
y
y~
( x)
= c y ( x)
+ ... + c y ( x)
+ ( x)
1
1
n
n
n
Equazioni differenziali lineari a coefficienti continui di secondo ordine in forma normale:
( x)
y′
+ b(
x)
y f ( x)
y ′
+ a
=
Teorema :
Sia y~ soluzione particolare
dell'eq.
completa,
Siano
( x)
la
y ( x)
, y ( x)
1
Allora l'integrale
generale dell'equazione
differenziale
è :
y
y~
( x)
= c y ( x)
+ c y ( x)
+ ( x)
Siano
Siano
γ ′
1
γ ′
1
1
1
2
2
integrali particolari
linearmente
indipendenti
dell'omogenea
:
2
serve a determinare
y~ ( x)
y1(
x)
, y 2 ( x)
integrali particolari
linearmente
indipendenti
dell'omogenea,
γ 1(
x)
, γ 2 ( x)
funzioni tali che le loro derivate prime soddisfino il sistema :
( x)
y1(
x)
+ γ ′ 2 ( x)
y 2 ( x)
= 0
( x)
y′
1(
x)
+ γ ′ ( x)
y′
2 2 ( x)
= f ( x)
y~ ( x)
= γ ( x)
y ( x)
+ γ ( x)
y ( x)
è un integrale particolare
dell'eq.
Metodo
di variazione delle costanti di Lagrange :
Allora la funzione :
1
1
2
2
:
7

Svolgimento
con il metodo di Lagrange :
Siano y
Siano
( x)
, y ( x)
Allora l'integrale
generale dell'omogenea
è : y
γ ′
1
γ ′
1
γ 1(
x)
, γ 2 ( x)
funzioni
( x)
y1
( x)
+ γ ′ 2 ( x)
y 2 ( x)
= 0
( x)
y′
( x)
+ γ ′ ( x)
y′
( x)
= f ( x)
Ho un sistema nelle incognite γ ′ , γ ′
γ ′
1
γ ′
2
( x)
( x)
1
1
=
=
Allora la funzione :
f
( x)
( x)
= c y ( x)
+ c y ( x)
0 y 2 ( x)
( x)
y′
2 ( x)
W(
x)
γ 1(
x)
= −
y 2 ( t)
f ( t)
dt
W(
t)
1(
x)
0
′ 1(
x)
f ( x)
W(
x)
γ 2 ( x)
=
y1
( t)
f ( t)
dt
W(
t)
y~ ( x)
= γ ( x)
y ( x)
+ γ ( x)
y ( x)
è un integrale particolare
dell'eq.
y
y
2
2
integrali particolari
linearmente
indipendenti
dell'omogenea,
2
tali che le loro derivate
1
1
1
2
W
2
y1
=
y′
2
1
1
prime
y
1
2
y′
2
soddisfino il sistema :
Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti continui di secondo ordine in forma
normale:
( x)
y′
+ b(
x)
y 0
y ′
+ a
=
Siano a
I intervallo :
in modo che u
Allora l'
0
( x)
, b(
x)
∈ C ( I)
Se si conosce una soluzione : u
allora si cerca un'altra
u′
u′
′
u′
′
1
integrale
Svolgimento
:
Sia
( x)
, u ( x)
2
soluzione
( x)
: u
siano soluzioni
generale risulta :
1
≠ 0 ∀x
∈ I,
2
y
( x)
= z(
x)
u ( x)
≠ 0
linearmente
indipendenti
dell'equazione.
( x)
= c u ( x)
+ c u ( x)
u1
( x)
una soluzione dell'equazione
omogenea data,
un'altra
soluzione del tipo u 2 ( x)
= z(
x)
u1
( x)
( x)
= z′
( x)
u1
( x)
+ z(
x)
u′
1(
x)
( x)
= z′
′ ( x)
u ( x)
+ z′
( x)
u′
( x)
+ z′
( x)
u′
( x)
+ z(
x)
u′
′ ( x)
Cerchiamo
2
2
Si sostituiscono
2
( x)
+ a(
x)
u′
2 ( x)
+ b(
x)
u 2 ( x)
u ( x)
,
Determino
Allora l'
2
1
integrale
i risultati
= 0
generale risulta
1
nell'equazione
data ottenendo
: y
1
1
1
( x)
= c u ( x)
+ c u ( x)
1
1
1
1
2
2
2
2
e
2
2
la deriviamo due volte :
l'equazione
:
8

Equazioni differenziali lineari di Eulero:
a
0
x
y
a ,..., a
0
- In
- In
se x
se x
n
( n ) ( n−1)
( n−1)
a x y + ... + a xy′
+ a y = f ( x)
n
( 0, +∞)
del tipo
( − ∞,
0)
del tipo
0
0
:
:
+ 1
n−1
costanti reali
Soluzione dell'equazione
t
pongo x = e , z
a
t
pongo x = −e
, z
a
( t)
= y(
x)
t
( z′
′ - z′
) + bz′
+ cz = f ( e )
( t)
= y(
x)
t
( z′
′ - z′
) + bz′
+ cz = f ( − e )
( 0, +∞)
t
x = e
( − ∞,
0)
t
x = −e
2
: ax y′
′ + bxy′
+ cy = f
z
z
z
t ( t)
= y(
e ) = y
t t ′ ( t)
= y′
( e ) e = y′
x
t 2t
t
′
( t)
= y′
′ ( e ) e + y′
( e )
z
z
z
n
__________ __________ __________ __________ __________ ___________________
( x)
Sostituendo
nell'equazione
data si ottiene un'equazione
lineare a coefficienti
t ( t)
= y(
− e ) = y
t t
′ ( t)
= y′
( − e )( − e ) = y′
x
t 2t
t t
′
( t)
= y′
′ ( − e ) e − e y′
( − e )
Sostituendo
nell'equazione
data si ottiene un'equazione
lineare a coefficienti
__________ __________ __________ __________ __________ __________________
La scelta dell'intervallo
dipende dall'eventuale
condizione iniziale
∈
∈
Sistemi differenziali lineari:
( x)
= A(
x)
Y(
x)
+ ( x)
A(
x)
, B(
x)
continui in I = [ a, b]
Y′
B
Con gli elementi di
Teorema
del Wronskiano
Sia
e Y
− Se
− Se
Y′
( x)
= A(
x)
Y(
x)
il
( x)
,..., Yn
( x)
n
y11(
x)
y12(
x)
... y1n
( x)
y21(
x)
y22(
x)
... y2n
( x)
( x)
=
1
W
y
...
n1
soluzioni dello stesso :
...
sistema omogeneo associato,
( x)
y ( x)
... y ( x)
2n
le soluzioni sono linearmente
indipendenti
in
le soluzioni sono linearmente
dipendenti
:
...
...
nn
e
I
in I
t
= y′
′ x
W
W
2
+ y′
x
= y′
′ x
2
+ y′
x
y
( x )
( x)
≠ 0 ∀x
∈ I
( x)
= 0 ∀x
∈ I
0
= y
0
cost.
cost.
:
9

Soluzione del sistema omogeneo associato :
Sia
e Y
Se A
C =
det
Y′
( x)
= A(
x)
Y(
x)
( x)
,..., Y ( x)
n
1
è a
Allora l'integrale
generale del sistema omogeneo è :
Sia
e Y
Sia
c
...
c
1
n
coefficienti
costanti, le soluzioni
c ,..., c
[ φ(
x)
] = W(
x)
1
n
n
il sistema omogeneo associato,
soluzioni linearmente
indipendenti.
costanti ∈ ℜ
Y′
( x)
= A(
x)
Y(
x)
+ B(
x)
( x)
,..., Y ( x)
n
1
Y ~
un sistema
n
x
−1
( x)
= φ(
x)
φ ( t)
B(
t)
x
di soluzioni
0
,
φ
( x)
Integrale generale del sistema completo :
particolari
con x
Allora l'integrale
generale del sistema è :
A
A
A
( −1)
( −1)
( −1)
( 1+
1)
( 1+
2)
.......... .......... .......... .......... ..
( 3+
3)
a
a
a
a
a
a
dt
=
y
y
( A - λI)
Y(
x)
= φ(
x)
C
( x)
... y ( x)
sono date da : det
Y
11
...
n1
il sistema assegnato,
...
1n
...
( x)
... y ( x)
soluzioni linearmente
indipendenti
del sistema
Criterio
di invertibilità
di una matrice :
Sia A =
a
a
a
a
a
a
Calcolo il determinante
di A : det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
vogliamo trovare A
A
( A)
0
≠ 0
T ( A′
)
( A)
=
det
∈ I arbitrario
Considero la matrice dei complementi
algebrici :
11
12
33
=
=
=
11
21
31
12
22
32
22
32
21
31
11
21
13
23
33
23
33
23
33
12
22
−1
nn
( x)
= φ(
x)
C + ( x)
-1
:
T ( A′
)
( A)
det
Y ~
=
A
A
A
A
A
11
12
13
A
= 0
omogeneo,
A
A
A
A
A
22
A
21
23
A
A
A
32
A
A
33
A
31
10

Equazioni differenziali a variabili separabili:
y′
= a
a : I
x0
( x)
⋅ b(
y)
__________ __________ __________ __________ __________
→ ℜ continua, b : I
→ ℜ continua, b
Allora ∃!
la soluzione del problema di Cauchy :
Soluzione :
b
x
x
y′
( x)
( y(
x)
)
y′
( t)
b(
y(
t)
)
= a
( x)
⇔ b(
y)
dt =
x
0 0
a
y0
≠ 0
Equazione differenziale di Bernoulli:
y′
= a
a,
b
∈
( x)
y + b(
x)
0
C ( I)
, α ∈
α = 0,
α = 1 →
Soluzione :
Si cerca
Pongo :
z
Ottengo :
( x )
du
( t)
dt ⎯⎯(
⎯)
⎯→
u = y t
′ ( ) b(
u)
x du = y t dt y0
x 0
y
α
ℜ
Si divide l'equazione
per
eq. lineare a coeff. continui
( x)
( 1−α
) ( x)
= y ( x)
−α
′ ( x)
= ( 1−
α ) ⋅ y ( x)
⋅ y′
( x)
z
y′
=
−α
( 1-
α ) y
( * ) si
( 1−
α ) a(
x)
z + ( 1−
α ) b(
x)
Sostituendo
in
z′
=
una soluzione y
z′
Equazioni differenziali della forma:
y ′ =
f
y
x
Soluzione
:
Pongo : t
( x)
Sostituendo
f continua in
( x)
y
α
≠ 0
y
=
y′
≠ 0 → = a α
y
x
( y 0 ) ≠ 0
y′
= a(
x)
⋅ b(
y)
y(
x ) = y
a
( t)dt
0
( ) ( ) 1−α
x y + b(
x)
( * )
ottiene un'equazione
differenziale
lineare del primo ordine:
y
= y
x
nell'equazione
ottengo : t
I
( x)
= x ⋅ t(
x)
y′
( x)
= t(
x)
+ x ⋅ t′
( x)
Da cui si ottiene l'equazione
a variabili separabili :
( x)
+ x ⋅ t′
( x)
= f ( t(
x)
)
t′
( x)
1
=
f ( t(
x)
) − t(
x)
x
0
11

Equazione differenziale di Riccardi:
y′
= a
a,
b,
c
Se c
Sia
z
u
2 ( x)
y + b(
x)
y + c(
x)
0
∈ C ( I)
, I : intervallo
Soluzione :
( x)
= 0 eq. di Bernoulli
u(
x)
una soluzione dell'equazione
data, e u′
( x)
Sostituisco
u , u
determino le costanti.
Pongo :
z
( x)
= y(
x)
− u(
x)
( x)
= z(
x)
+ u(
x)
′ ( x)
= z′
( x)
+ u′
( x)
Sostituendo
nell'equazione
data si ottiene :
2
′ ( x)
+ u′
( x)
= a(
x)
( z(
x)
+ u(
x)
) + b(
x)
( z(
x)
+ u(
x)
) + c(
x)
( x)
è soluzione per ipotesi si possono semplificare
i termini :
2
′ ( x)
= a(
x)
u ( x)
+ b(
x)
u(
x)
+ c(
x)
2
z′
( x)
= a(
x)
z ( x)
+ ( 2a(
x)
u(
x)
+ b(
x)
) z(
x)
cioè un eq. di Bernoulli
Poichè u
Ottenendo :
Equazione differenziale del tipo:
( y,
y )
y ′
= f ′
Soluzione
:
Sia :
f ∈ C
se y
p′
p
1
allora
( y)
( y )
0
1
′
nell'equazione
data, e con il principio di identità dei polinomi
~
b
( x )
y
y
~
a
( x )
la sua
derivata prima :
2
( D)
, D aperto ⊂ ℜ , ∀x
0 ∈ ℜ , ∀(
y 0 , y1
) ∈ D
y′
′ = f ( y,
y′
)
y(
x 0 ) = y 0
y′
( x 0 ) = y1
∃!
la soluzione y = y(
x)
in
0 y′
( x)
≠ 0 localmente y′
( x)
> 0 oppure y′
( x)
< 0
y = y(
x)
è invertibile
localmente
p(
y)
= y′
( x)
= y′
( ϕ(
y)
)
∃ la funzione inversa x = ϕ(
y)
il problema di Cauchy :
≠
Pongo :
p′
Si ottiene :
f
=
= y
( y)
= y′
′ ( ϕ(
y)
) ⋅ϕ
′ ( y)
ϕ′
( y)
( ϕ ( y)
)
y′
′
( ϕ(
y)
)
p′
( y)
⋅ p(
y)
= y′
′ ( ϕ(
x)
) = f ( y,
p(
y)
)
( y,
p(
y)
)
p(
y)
∃!
la soluzione p = p(
y)
1
=
1
=
y′
1
y′
( ϕ(
y)
)
y
y
′ ( x)
= p(
y(
x)
)
( x ) = y
0
0
un intorno di
localmente,
x
0
derivabile.
12

Equazione differenziale non normali del tipo: x = g(
y′
( x)
)
Soluzione :
Sia g : I → ℜ,
I intervallo aperto, g derivabile con drivata continua
Se g è invertibile
si ha
Si sceglie come parametro
dy dy
Inoltre risulta : =
dt dx
Integrando per parti :
y
⋅
-1
( x)
= g ( x)
In generale si cerca la soluzione in forma parametrica
= y′
( t)
( x)
⋅ g′
( t)
= tg′
( t)
( t)
= t ⋅ g′
( t)
dt = g(
t)
⋅ t − g(
t)
dt = g(
t)
⋅ t − G(
t)
( t)
è una primitiva di g(
t)
e c ∈ ℜ
se G
: y′
t = y′
da cui x = g
Equazione differenziale non normale del tipo: y ( x)
= g(
y′
( x)
)
Soluzione :
Sia g : I
Se y′
Se G
per y′
=
dx
dt
+ c
:
x = x
y = y
( t)
( t)
′ ( t)
≠ 0 ∀t
∈ I :
( x)
≠ 0 ∀x
∈ J, J intervallo ∃ la funzione inversa x = x(
y)
x = x(
t)
:
y = y(
t)
t = y′
da cui y(
t)
= g(
t)
dy dy dx g′
( t)
g′
( t)
: = ⋅ = =
dt dx dt y′
( x)
t
g′
( )
( t)
t è una primitiva di x(
t)
= G(
t)
+ c e y(
t)
= g(
t)
g derivabile con drivata continua, g
In generalesi
cerca la soluzione in forma parametrica
Si sceglie come parametro
Inoltre risulta
Avendo
posto
In tal caso
Quindi se
→ ℜ,
g
( x)
0 in un intervallo.
( x)
= c è soluzione dell'equazione
y = g(
y′
) ⇔ c = g(
0)
.
( t)
è definita per t = 0,
aggiunta y(
x)
= g(
0)
y
I intervallo,
y′
≠ 0
allora alle precedenti soluzioni va
Equazione differenziale del tipo: y ′
( x)
= f ( x,
y′
( x)
)
Soluzione
:
Ricavo z
t
potremmo aver perso le soluzioni
y′
( x)
= z(
x)
y′
′ ( x)
= z′
( x)
z′
( x)
f ( x,
z(
x)
)
( x)
, integro e ottengo y(
x)
Pongo :
=
:
13

Equazione differenziale del tipo: y ′
( x)
= f ( x)
Soluzione del problema di Cauchy
y′
y
y
y
y
y
′
= f ( x)
( x 0 ) = y
′ ( x ) =
0
y
f continua in I intervallo
la soluzione :
( x)
− y = f ( t)
dt
( x)
− y = y + f ( t)
0
1
x
( x)
= y + y + f ( t)
0
0
1
x
x
x0
s
1
x0
x0
s
1
x 0 x 0
dt
dt
∀x
ds
ds
∈ I,
∀y
senza le condizioni inziali avremmo avuto infinite soluzioni.
Equazione differenziale del tipo: y ′
( x)
= f ( y(
x)
)
Soluzione
del problema di Cauchy
f
y
y
y
′
= f ( y(
x)
) = f ( s)
( x 0 ) = y 0
′ ( x 0 ) = y1
f ( s)
continua
=
y
y
y
∀x
∈ ℜ,
∀y
d
cioè la derivata :
dx
Integriamo :
> 0 → y′
< 0 → y′
∈ D,
∀y
Risolviamo supponendo
Otteniamo : 2y′
⋅ y′
′ = 2y′
⋅ f
y
∈ ℜ
∃!
la soluzione del problema di Cauchy
1
1
1
0
0
0
:
0
∈ ℜ
in D intervallo,
con derivata f
il
problema di Cauchy ammette unica
( x)
≠ 0 per ∀x,
e moltiplichiamo
l'equazione
per 2y′
( x)
( y)
2 ( y′
( x)
) = 2y′
( x)
⋅ y′
′ ( x)
= 2y′
( x)
⋅ f ( y(
x)
)
2 2
( y′
( x)
) − y = 2y′
( t)
⋅ f ( y(
t)
)
2 ( x)
= y + 2y′
( t)
⋅ f ( y(
t)
) dt integrando ottengo y(
x)
1
x
2 ( x)
= − y + 2y′
( t)
⋅ f ( y(
t)
) dt integrando ottengo y(
x)
1
1
1
1
x
x0
x
x0
x0
= 0 → bisogna verificare
se la soluzione costante è accettabile.
:
dt
s
continua in
D
14

Equazione differenziale del tipo: y ′ ( x)
= g(
ax + by)
Soluzione :
Sia g continua, a, b
0, a, b
∈ ℜ
L'equazione
può essere ricondotta ad una a variabili separabili
( x)
= ax + b(
y(
x)
)
z
operando la sostituzione
:
z′
= a + by′
Equazioni differenziali riconducibili ad omogenee:
Soluzione
:
1→
a
2 →
a
a
3 →
a
( c = c = 0 )
b
b
b
b
≠ 0
= 0
≠
Siano : f continua, a, b, c, a
1
1
1
1
1
y′
= f
Pongo t
Pongo
Pongo :
1
( x)
Sostituisco
, b , c
1
x = u + u
y = v + v
Quindi posso scrivere la
z
z
1
y
=
= f
y ′ = f
Sostituendo
nell'eq.
data : t
dove u,
v sono le soluzioni di
Sono linearmente
dipendenti
z′
= a + b
y
x
costanti assegnate in
( g(
z)
)
ax + by + c
, y′
= f
a x + b y + c
( x)
y(
x)
= t(
x)
⋅ x
x y′
( x)
= t′
( x)
⋅ x + t(
x)
f
( )
( t(
x)
) − t(
x)
′ x =
y′
= v′
e ottengo : v′
= f
( x)
= ax + by(
x)
′ ( x)
= a + by′
( x)
z + c
Ottengo : z′
= a + b
µ z + c
1
ax + by
a x + b y
1
y
a + b
x
y
a1
+ b1
x
y′
= f
1
ax + by + c = 0
a x + b y + c = 0
1
1
y′
∃µ
:
ax + by + c
µ ax + µ by + c
( x)
ℜ :
a
b
x
z
=
µ z
= f
( x)
( x)
z′
z + c
a + b
µ z + c
1
eq, omogenea
1
1
au + bv
a u + b v
1
1
= µ a
= µ b
a
+ c
+ c
1
1
= 1
1
v
a + b
u
v
a1
+ b1
u
1
1
1
variabili separabili
y = ... = v
x = ... = u
a var. sep.
caso1
15

Equazione differenziale non normale di Clairaut: y = xy′
+ g(
y′
)
Soluzione :
Sia g continua in un intervabile
e ivi derivabile :
Cerco una soluzione parametrica
Pongo t = y′
y
2 → x
( x)
= xc + g(
c)
+ g′
( y′
) = 0
Posto t = y′
y = xt + g
c ∈ ℜ
y
x
( t)
d
Deriviamo l'eq.
data : y
dx
1 → y′
′ = 0 in un intervallo
questa
x = x
y = y
d
dx
y′
= cost.
( t)
( t)
( x)
= [ xy′
( x)
+ g(
y′
( x)
) ] y′
′ [ x + g′
( y′
) ]
geometricamente
: famiglia di rette al variare di C
( t)
= −tg′
( t)
+ g(
t)
( t)
= −g′
( t)
int egrale singolare o inviluppo di tutte le rette.
Integrazione grafica per equazioni del tipo: y ′ = f ( x,
y)
Soluzione :
1)
Intervallidi
monotonia
2)
Intervallidi
convessità : y′
′
Equazioni del tipo: g ( x,
y , y ) = 0
Soluzione :
Pongo :
z
z
′
′
( x)
= y′
( x)
′ ( x)
= y′
′ ( x)
:
g
y
y
y
y
:
tuttavia non definisce la y in funzione della sola
= 0
sostituendo
nell'eq.
data si ottengono :
′ ( x)
> 0
2
nei punti ( x, y)
∈ ℜ : f ( x,
y)
> 0
′ ( x)
< 0
2
nei punti ( x, y)
∈ ℜ : f ( x,
y)
< 0
= f ( ) + ( ) ′
x x,
y f y x,
y y = f x ( x,
y)
+ f y ( x,
y)
⋅ f ( x,
y)
′
( x)
> 0
2
nei punti ( x, y)
∈ ℜ : f x + f yf
> 0
′
( x)
< 0
2
nei punti ( x, y)
∈ ℜ : f + f f < 0
Poichè g non dipende esplicitamente
da y si può abbassare l'ordine
:
Equazioni del tipo: g ( y,
y , y ) = 0
Soluzione
:
Pongo :
z
′
( y)
y′
′ =
′
Poichè g non dipende esplicitamente
da
= y′
dz dy
dy dx
( x,
z,
z′
) = 0 eq. differenziale
del1°
ordine
= z′
y′
= z′
z
g
x :
( y,
z,
z′
z)
= 0 eq. differenziale
del1°
ordine
x
y
t,
16

FUNZIONI IMPLICITE:
La funzione implicita è del tipo: ( x,
y(
x)
) = 0 oppure F(
x, y, g(
x, y)
)
Detta y = y
f
( x,
y)
I :
1
f ∈ C ( I)
( x , y )
y′
0
y′
′
aperto
( x)
( x)
o
∈ I
f
= −
f
( x)
: I ⊂ ℜ
= −
x
y
la
Derivata prima
( x,
y(
x)
)
( x,
y(
x)
)
f = 0
Teorema di Dini per le funzioni implicite :
funzione implicita
( x , y )
( x , y )
( f + y′
f ) f + f ( f + y′
f )
xx
2
→ ℜ
Derivata seconda :
x
x
0
0
:
xy
f
2
y
Se
y
f
∂f
∂y
in ℜ
x
0
3
( x,
y(
x)
)
yx
0
o
: F
= 0
o
=
≠ 0
Studio dei massimi e minimi relativi :
è un punto di massimo relativo per y se:
è un punto di minimo relativo per y se
FUNZIONI VETTORIALI.
Matrice Jacobiana, e determinante Jacobiano:
Matrice
Jacobiana
A ⊂ ℜ
F =
Se le
f
J
i
F
: A
( f ,..., f )
( x )
Se m
0
1
n
= 0
aperto
m
funzioni
→ ℜ sono
∂
=
∂
( f1,...,
f m )
( x ,..., x )
1
J
F
( x ) = ∇F(
x )
0
n
:
: A → ℜ
m
1
2
m
0
[ x, y, g(
x, y)
]
yy
derivabili parzialmente
in x
=
∂f
∂x
∂f
:
∃ un intorno Udi x
e un intorno V di
in cui y può essere
in funzione di
y
y
y
y
x : f
∂g
F
= −
∂x
F
x
z
y
0
0
espressa
( x )
′ ( x 0 ) = 0
′
( x 0 ) < 0
f x ( x 0 , y 0 )
′ ( x 0 ) = 0
′
( x ) > 0
f x ( x 0 , y 0 )
( x ) ∂f
( x ) ∂f
( x )
1
∂x
...
∂f
( x ) ∂f
( x ) ∂f
( x )
1
( x ) ∂f
( x ) ∂f
( x )
∂x
1
0
0
0
1
∂x
2
m
∂x
2
∂x
...
2
2
0
0
0
0
...
...
...
...
0
∈ A
1
∂x
2
m
∂x
n
∂x
...
n
n
0
0
0
;
0
= y
0
∂g
F
= −
∂y
F
= 0
= 0
rispetto a tutte le variabili :
y
z
17

18
( )
( )
[ ]
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
0
n
2
0
n
1
0
n
n
0
2
2
0
2
1
0
2
n
0
1
2
0
1
1
0
1
n
1
n
1
0
F
0
i
n
n
1
n
x
x
f
...
x
x
f
x
x
f
...
...
...
...
x
x
f
...
x
x
f
x
x
f
x
x
f
...
x
x
f
x
x
f
x
,...,
x
f
,...,
f
x
J
det
:
variabili
le
tutte
a
rispetto
A
in x
te
parzialmen
derivabili
sono
A
:
f
funzioni
le
Se
A
:
f
,...,
f
F
aperto
A
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
∈
ℜ
→
ℜ
→
=
ℜ
⊂
:
Jacobiano
te
Determinan
Campi conservativi:
( )
( ) ( )
f
g
;
f
g
cioè
y
x,
F
y
x,
g
:
che
tale
F
di
potenziale
detta
A
:
g
scalare
funzione
una
se
:
se
dice
si
A
:
F
,
f
,
f
F
2
y
1
x
2
2
2
1
=
=
=
∇
ℜ
→
∃
ℜ
→
ℜ
⊂
=
vo
conservati
F
( )
( ) ( ) [ ]
{ }
( )
( ) ( ) 0
dt
t
t
f
F
:
se
vo
conservati
è
F
che
ha
si
connesso,
nte
sempliceme
è
non
chiusa
,
b
.
a
:
y
,
x
:
y
x,
I
ma
chiuso,
è
F
Se
chiusa
I
0
F
:
allora
vo
conservati
è
F
Se
vo
conservati
è
F
x
f
y
f
:
chiuso
F
connesso
nte
sempliceme
I
I
C
F
b
a
n
1
i
1
1
i
1
n
1
2
2
1
2
1
1
=
′
=
=
ℜ
→
∉
ℜ
∈
=
∈
∀
=
∂
∂
=
∂
∂
ℜ
⊂
∈
ℜ
=
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
:
in
vi
conservati
Campi
2
( )
( )
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
y
f
x
f
;
x
f
z
f
;
z
f
y
f
se
0
F
rot
k
y
f
x
f
j
x
f
z
f
i
z
f
y
f
f
f
f
z
y
x
k
j
i
F
rot
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
2
1
:
F
di
Rotore

19
( )
( )
vo
conservati
è
F
0
F
rot
:
ale
irrotazion
F
connesso
nte
sempliceme
I
I
C
F
3
1
3
=
ℜ
⊂
∈
ℜ :
in
vi
conservati
Campi
{ }
{ }
−
ℜ
−
ℜ
−
ℜ
−
ℜ
−
ℜ
→
ℜ
−
ℜ
−
ℜ
−
ℜ
−
ℜ
→
ℜ
connesso
nte
sempliceme
è
toro
connesso
nte
sempliceme
è
non
retta
connesso
nte
sempliceme
è
semispazio
connesso
nte
sempliceme
è
sfera
connesso
nte
sempliceme
è
0
,
0
,
0
connesso
nte
sempliceme
è
semiretta
connesso
nte
sempliceme
è
retta
connesso
nte
sempliceme
è
non
crf.
connesso
nte
sempliceme
è
non
P
2
2
2
3
3
3
2
2
2
0
2
2
:
connessi
te
semlicemen
Insiemi
Forma differenziale di un campo vettoriale:
( )
2
y
1
x
2
1
2
1
f
g
,
f
g
:
g
se
esatta
è
w
dy
f
dx
f
w
:
le
differnzia
eq.
un'
associare
può
si
esso
ad
e,
vettorial
campo
un
f
,
f
F
Sia
=
=
∃
+
=
=
Potenziale di un campo conservativo in
2
ℜ :
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
2
0
0
1
x
x
1
y
y
0
2
2
1
2
1
2
1
P
g
P
g
Fdx
vo
conservati
è
F
Se
.
potenziale
un
esprimere
deve
si
insieme
ogni
per
che
visto
insieme,
ogni
per
uno
sceglierne
dobbiamo
e
arbitrario
è
x
punto
Il
x
t
x
,
y
y
t
x
y
t
y
,
t
y
x
x
dt
y
,
t
f
dt
t
,
x
f
dy
f
dx
f
dy
f
dx
f
y
,
x
g
f
y
g
:
imponendo
detrmina
si
y
y
dx
f
y
,
x
g
0
0
2
1
−
=
≤
≤
=
=
=
≤
≤
=
=
=
+
=
+
+
+
=
°
=
∂
∂
+
=
°
γ
α
α
α
α
ϕ
ϕ
:
Modo
2
:
Modo
1

Potenziale di un campo conservativo in
CURVE
1°
Modo :
g
ϕ
P
g
3
ℜ :
( x,
y,
z)
= f1dx
+ ϕ(
y,
z)
= f2dy
+ ϕ ( x,
z)
= f dz ˆ 3 + ϕ(
x,
y)
( y)
si detrmina imponendo :
∂g
= f
∂y
0
=
2
2°
Modo :
F
∂g
e = f3
∂z
se
g
( x, y, z)
= f dx + ϕ(
y,
z)
( x , y , z ) ⎯⎯→
P = ( x , y , z)
⎯⎯→
P = ( x , y,
z)
⎯⎯→
P = ( x,
y,
z)
0
0
z
( x,
y,
z)
= f ( x , y , t)
dt + f ( x , t,
z)
dt + f ( t,
y,
z)
Teorema :
F ∈ C
si ha
1
( I)
chiuso
che
z
0
0
3
0
z
0
Se ∃ una curva γ generalmente
regolare t.c.
C
1
0
y
y
0
2
0
0
F = 0,
∀ curva chiusa generalmente
regolare C ∈ I
1) In forma cartesana : y
2)
In forma implicita :
3)
In forma parametrica
f
= f ( x)
( x, y)
:
ℜ
ℜ
2
3
= 0
→
→
1
y
x = ϕ
y = Ψ
x = ϕ
y = Ψ
z = χ
2
γ
( t)
( t)
( t)
( t)
( t)
x
x
0
1
0
F = 0
dt
x
20

INTEGRALI:
Metodo di integrazione per parti: f ( x)
⋅ g(
x)
dx = f ( x)
⋅ g(
x)
− f ( x)
⋅ g′
( x)
Metodo della sostituzione: ( x)
Integrali impropri:
1
2
)
)
f :
→
→
→ +
x a
f :
f :
b
a
f :
b
a
( a,
b]
lim f
f
( a,
b]
→ ℜ continua in ( a, b]
( x)
dx = lim f ( t)
f
Teorema :
( x)
Teorema :
[ a,
+∞)
lim f
x→
+∞
( x)
+
x→a
x
[ a,
b)
→ ℜ continua in [ a, b)
( x)
dx = lim f ( t)
= 0
b
x
−
x→
b
a
→ ℜ continua
= +∞ con ordineα
→ ℜ continua
con ordineα
dt =
dt =
± ∞
± ∞
b
f
a
′ dx
dx
→ DIVERGE
→ DIVERGE
= g(
t )
= g′
( t )
( α ) = a
( β ) = b
x
dx
g
g
l∈
ℜ → CONVERGE
l ∈ℜ
→ CONVERGE
α < 1 → ∃l'integrale
in senso improprio
α ≥ 1 → l'integrale
diverge
α > 1 → ∃l'integrale
in senso improprio
α ≤ 1 → l'intgrale
diverge
Integrali con parametro: g ( x)
= f ( x,
y)
f ∈ C
p , q
A =
Se
f
NB :
0(
A)
0
∈ C ( A)
[ a,
b]
× I
x
∈ C
h
0
⊂ ℜ
[ a, b]
q
p
( x )
( x )
( x)
( A)
, ∃ p′
( x)
, q′
( x)
in [ a, b]
∃ g′
( x)
= f ( x, y)
α ( x )
( x)
= u(
t)
a
2
dt
g è continua
h′
in
( x)
( x)
= u(
α(
x)
) α′
( x)
, k(
x)
= u(
t)
q
p
x
b
β ( x)
=
dt
dt
β
α
dy
f
[ g(
t)
] ⋅ g′
( t)dt
dy + f
k′
( x, q(
x)
) ⋅q′
( x)
− f ( x, p(
x)
) ⋅p′
( x)
( x)
= −u(
β ( x)
) β′
( x)
1

Integrali impropri con parametro: g(
x)
= f ( x,
y)
dy ; f ( x,
y)
dy ; f ( x,
y)
Teorema della continuità :
f ∈C
Se :
Se :
f
f
0
2
( A)
; A ⊂ ℜ ; A = [ a, b]
× [ c,
+∞)
+ ∞
+∞
c
+∞
−∞ −∞
( x, y)
≤ ϕ(
y)
, ∀x
∈[
a, b]
, ∀y∈
[ c,
+∞)
: ϕ(
y)
dy CONVERGE g è continua in [ a, b]
Teorema di derivazione
sotto il segno di
x
∈C
0
( A)
, ∃φ
tale che f ( x, y)
≤ φ(
y)
in A e φ(
y)
dy CONVERGE ∃g′
( x)
= f ( x,
y)
x
c
integrale :
Trasformata di Laplace: ( f ( x)
)( s)
Teorema :
f
( 0, +∞)
e
kx ( x)
≤ Me f è trasformabile
secondo Laplace.
Se f è continua a tratti in
INTEGRALI DOPPI:
c
dy
+ ∞
+ ∞
c c
=
+∞
0
e
−sx
dx
d ordine esponenziale
cioè esistono due costanti M , K tali che
Dominio normale:
b q(
x )
f ( x,
y)
dx dy = dx f ( x,
y)
dy
D
a p(
x )
Dominio normale rispetto a x :
Siano a, b
D ≡
D ≡
0
∈ℜ
, a < b, p(
x)
, q(
x)
∈C
( [ a,
b]
) , p(
x)
≤ q(
x)
2 ( x,
y)
∈ℜ
: a ≤ x ≤ b , p(
x)
≤ y ≤ q(
x)
{ }
Dominio normale rispetto a y :
Siano c, d
0
∈ℜ
, c < d, h(
y)
, k(
y)
∈C
( [ c,
d]
) , h(
y)
≤ k(
y)
2 ( x,
y)
∈ℜ
: c ≤ y ≤ d , h(
y)
≤ x ≤ k(
y)
{ }
Formule di riduzione:
Formula
di riduzione rispetto a x :
D
D
f
( x )
( x,
y)
dx dy = dx f ( x,
y)
( x )
Formula di riduzione rispetto a y :
f
( y)
( x,
y)
dx dy = dy f ( x,
y)
b
a
d
c
q
p
k
h
( y)
dy
dx
x
2
dy

Proprietà uno:
Se D = D ∩ D
f
1
( x,
y)
dx dy = f ( x,
y)
dx dy + f ( x,
y)
D D1
2
Cambiamento di variabili in generale:
x = φ
y = ψ
f
( u , v)
( u , y)
D2
dx dy
( x,
y)
dx dy = f [ φ(
u , v)
, ψ ( u, v)
] ⋅ ∂u
∂v
du dv
D D
∂φ
∂ψ
∂u
Cambiamento di variabili in coordinate polari:
x = ρ cos
y = ρ sen
f
( ϑ)
( ϑ)
∂φ
∂ψ
∂v
2 2
( x,
y)
dx dy = f ( ρ cos(
ϑ)
, ρ sen(
ϑ)
) ⋅ ρ dρ
dϑ
= dϑ
ρ ⋅f
( ρ , ϑ)
dρ
D D
Area di un dominio normale piano:
Sia D un dominio normale:
Area
( D)
=
D
dx dy
Coordinate del baricentro di un dominio normale piano:
x
y
G
G
=
=
D
D
D
D
x dx dy
dx dy
y dx
dy
dx dy
=
=
D
x dx dy
Area
D
y dx
Area
( D)
dy
( D)
Momenti di inerzia rispetto agli assi x, y e alla generica retta r:
I
I
x
r
=
=
D
D
y
2
dx dy
2
[ dist(
( x,
y)
, r)
] dx dy
I
y
=
D
x
2
dx dy
ϑ
ϑ
1
ρ
ρ
1
3

INTEGRALI CURVILINEI
Forma parametrica di una curva:
Γ :
Γ
Γ
Γ
[ a,
b]
( t)
( t)
( t)
=
x
x
x
1
2
n
n
1
( t)
( t)
2
n
( t)
è REGOLARE se:
Γ′
→ ℜ
2 2
2
( t)
= ϕ′
( t)
+ ϕ′
( t)
+ ... + ϕ′
( t)
> 0 ∀t
∈[
a, b]
∃ una
= ϕ
= ϕ
= ϕ
1
è REGOLARE A TRATTI
se :
suddivisione
di
Lunghezza di una curva:
L
b
2
2
2
( Γ)
= ds = ϕ′
( t)
+ ϕ′
( t)
+ ... + ϕ′
( t)
dt
Γ
Integrale curvilineo:
Γ
( t)
: [ a,
b]
f : I
Γ
Γ
( t)
⊂ ℜ
2
f ds = Area
a
→ ℜ
→ ℜ
con traccia
continua in
n
1
2
n
[ a, b]
: a = a < a < ... < a = b tale che Γ è regolare in ogni intervallo[
a , a ]
2
I
della superficie cilindrica compresa
Γ
0
n
f ds =
Coordinate del baricentro di una curva:
x
y
G
G
1
=
L
( Γ)
1
=
L
Γ
( Γ)
Γ
x ds
y ds
b
a
f
1
k
2
2
2
( ϕ ( t)
,..., ϕ ( t)
) ⋅ ϕ′
( t)
+ ϕ′
( t)
+ ... + ϕ′
( t)
1
tra Γ
n
( t)
e in grafico di f.
Momento di inerzia di una curva rispetto a una retta o ad un punto o a un piano:
I =
Γ
d
2
ds
d = distanza del punto p∈
Γ dal punto o dalla retta o dal piano da cui calcolarlo
FORMULE DI GAUSS-GREEN
Sia T un dominio regoare di
∂T
ammette un versore
2
ℜ
con frontiera ∂T
tangenteτ
e un versore normaleν
. Con ν⊥τ
e ν orientata
1
costituita da una curva generalmente
regolare :
2
n
dt
i-1
verso l'esterno
di T.
4
i

Vettori τ , ν :
∂T
=
τ =
ν =
x = x
y = y
( t)
( t)
x′
[ a, b]
2 2
2
( x′
) + ( y′
) ( x′
) + ( y′
)
y′
t ∈
,
,
y′
− x′
2 2
2
( x′
) + ( y′
) ( x′
) + ( y′
)
Formule di Gauss-Green:
1
2
)
)
g
dx dy =
x
T + ∂T
f
dx dy = −
y
T + ∂T
Area di T:
1
) Area(
T)
2
) Area(
T)
=
=
g dy
f dx
dx dy =
T + ∂T
dx dy =
T + ∂T
x dy
−
2
y dx
2
∀t
∈
[ a, b]
( g + f ) dx dy = − f dx +
x y
T + ∂T
Area
1
2
( T)
= − y dx + x dy
+ ∂T
g dy
FORMULE DI INTEGRAZIONE PER PARTI PER GLI INTEGRALI DOPPI
∂g
f dx dy =
∂x
T + ∂T
∂g
f dx dy = −
∂y
T + ∂T
f ⋅ g dy −
T
f ⋅ g dx −
INTEGRALI DI SUPERFICIE:
Area di una superficie:
Γ : D ⊂ ℜ
Γ =
Area
( S)
∂
A =
∂
x = x
y = y
z = z
=
2
( y,
z)
( u,
v)
→ ℜ
( u , v)
( u , v)
( u , v)
D
A
2
3
( u, v)
+ B
2
∂
, B =
∂
+ C
( z,
x)
( u,
v)
∂f
⋅ g dx dy
∂x
T
∈ D
2
∂f
⋅ g dx dy
∂y
Sia
Γ la rappresentazione
parametrica
di una superficie S :
,
S è il codominio di
dx dy
∂
, C =
∂
Γ
D è la proiezione di S sul piano
( x,
y)
( u,
v)
con
J
S
=
x
x
u
v
y
y
u
v
xy.
z
z
u
v
5

Integrali di superficie:
Sia Γ la
Γ : D ⊂ ℜ
Γ =
x = x
y = y
z = z
f dσ
=
S D
rappresentazione
parametrica
di una superficie S:
2
→ ℜ
( u , v)
( u , v)
( u , v)
f
3
,
S è il codominio di
( u, v)
∈D
D è la proiezione di S sul piano
2 2 2
( x(
u , v)
, y(
u , v)
, z(
u , v)
) ⋅ A + B + C du dv
COORDINATE CILINDRICHE E SFERICHE:
Cilindriche
:
x = ρ cos
y = ρ sen
z = z
ρ = R
Sferiche :
x = ρ sen
y = ρ sen
z = ρ cos
ρ = R
( ϑ)
( ϑ)
( φ ) cos(
ϑ)
( φ ) sen(
ϑ)
( φ )
∂
∂
( x,
y,
z)
( ρ,
ϑ,
z)
cilindro circolare di rotazione intorno all'asse
z.
∂
∂
( x,
y,
z)
( ρ,
φ,
ϑ)
sfera di centro O e raggio R.
= ρ
Γ
2
= ρ sen
FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE:
Sia F
=
Sia S una
Φ
S =
∂
A =
∂
Φ
S
S
=
=
x
y
z
S
N
n =
N
( f , f , f )
F • n dσ
=
= x(
u , v)
= y(
u , v)
= z(
u , v)
( y,
z)
,
( u,
v)
S
1
2
A
( A,
B,
C)
2
2
superficie contenuta in
Allora il flusso Φ di F attraversoS
nella direzione e nel verso della normale ad S è :
+ B
∂
B =
∂
F • n dσ
=
2
+ C
( u, v)
D
∈ D
( z,
x)
( u,
v)
[ f A + f B + f C]
1
2
∂
, C =
∂
2
A.
3
( x,
y)
( u,
v)
du dv
( φ )
xy.
3
un campo vettoriale
definito in un insieme aperto A ⊂ ℜ .
6

TEOREMA DI STOKES (circuitazione di F lungo una curva chiusa ∂ S ):
Sia F =
S
( F)
Γ : D ⊂ ℜ
( Γ)
+ ∂D
=
+ ∂S
=
( f , f , f )
Il flusso del rotore di
rot
+ ∂S=
Ω
=
F =
b
a
F = −
x = x
y = y
z = z
u =
v =
x = x
y = y
z = z
n
1
i
∂
=
∂x
f
2
i=
1
−Ω + Ω
F
1
f
i
2
2
j
∂
∂y
f
2
→ ℜ
3
un
,
k
∂
∂z
f
( u , v)
( u , v)
( u , v)
u(
t)
v(
t)
( u(
t)
, v(
t)
)
( u(
t)
, v(
t)
)
( u(
t)
, v(
t)
)
( Ω(
t)
) Ω′ ( t)
campo vettoriale.
F
3
attraversoS
è :
S è il codominio di
dt
( u, v)
t ∈
t ∈
∈ D
[ a, b]
[ a, b]
+ ∂S
F =
Integrale curvilineo di un campo vettoriale :
INTEGRALI TRIPLI:
Γ
S
rot
( F)
• n dσ
β ( x,
y)
Formula di riduzione: f ( x,
y,
z)
dx dy dz = dx dy f ( x,
y,
z)
D ≡
A ≡
se
f
D A
α ( x, y)
{ ( x, y, z)
: ( x,
y)
∈ A , α(
x, y)
≤ z ≤ β ( x,
y)
} α(
x, y)
, β ( x, y)
{ ( x, y)
: a ≤ x ≤ b , p(
x)
≤ y ≤ q(
x)
}
( x, y, z)
è continua in D allora :
p(
x)
, q(
x)
continue in [ a, b]
f
β ( x,
y)
( x,
y,
z)
dx dy dz = dx dy f ( x,
y,
z)
D A
α ( x, y)
dz =
Formula generale di cambiamento di variabili:
x
= x
f
( u,
v,
w)
y = y(
u, v, w)
z = z(
u, v, w)
b
a
dx
q
p
( x )
( x )
dy
β ( x,
y)
f
α ( x, y)
( x,
y,
z)
dx dy dz = f ( x(
u,
v,
w)
, y(
u, v, w)
, z(
u, v, w)
)
D D
( x,
y,
z)
∂
⋅
∂
dz =
dz
b
continue in A
( x,
y,
z)
( u,
v,
w)
a
dx
q
p
( x )
( x )
du dv dw
dy
β ( x,
y)
f
α ( x, y)
( x,
y,
z)
dz
7

Formula di cambiamento di variabili in coordinate sferiche:
x = ρ
D
f
sen(
φ ) cos(
ϑ)
y = ρ sen(
φ ) cos(
ϑ)
z = ρ cos(
φ )
( x,
y,
z)
dx dy dz =
2
f ( ϑ,
ρ,
φ ) ⋅ ρ sen(
φ ) dϑ
dρ
dϕ
Integrali tripli per sezioni:
Sia D il volume considerato
e D
D
f dx dy dz
=
b
dz
a D
z
D
f dx dy =
z
b
a
un'opportuna
sezione di D :
dz
q
p
( z)
( z)
dy
β ( y,
z)
α ( y,
z)
Volume: ( D)
= dx dy dz =
f dx
Vol ρ dρ
dϑ
dz
V V
Coordinate del baricentro di un solido:
x
G
=
V
x dx dy dz
Volume
DIVERGENZA:
Sia F =
div
( F)
( f , f , f )
1
2
,
y
=
V
y dx dy dz
z dx dy dz
G
G
( V)
Volume(
V)
Volume(
V)
2
un
∂f1
∂f
2 ∂f
3
= + +
∂x
∂y
∂z
campo vettoriale.
Teorema della divergenza o di Gauss:
Sia F
V
div
un campo vettoriale
:
( f , f , f )
( F)
dx dy dz = F • n dσ
Teoremi di Guldino:
2
)
)
∂V
F =
esterna
1
2
3
,
, ∂V
=
per la circonferenza
descritta dal baricentro di
z
=
V
superficie chiusa :
1 Il volume di un solido di rotazione V è uguale al prodotto dell'area
di una sezione meridiana S
per la lunghezza della circonferenza
descritta dal baricentro di S :
Γ :
Volume
Area
( V)
= Area(
S)
⋅ 2πy
G(
S)
L'area
di una superficie di rotazione S è uguale al prodotto della lunghezza della curva meridiana Γ
Relazioni importanti:
Sia f una funzione scalare,
rot
F una funzione vettoriale
:
( ∇f
) = 0 , div(
∇f
) = ∆f
= f + f + f , div(
rot(
F)
) = 0
xx
yy
zz
( S)
= l(
Γ)
⋅ 2πy
G(
Γ)
8

LIMITI NOTEVOLI
1.
2.
3.
+ ∞ → a > 1
lim a =
→+∞ 0 → 0 < a < 1
x
x
0 → a > 1
lim a =
→−∞ + ∞ → 0 < a < 1
x
x
+ ∞ → b > 0
lim x =
→+∞ 0 → b < 0
b
x
4. lim log(
x)
= +∞
x→+∞
5. lim log(
x)
= −∞
6.
+
x→0
log
x
lim
x→+∞
b
( x)
= 0
( b > 0)
7. lim x log(
x)
= 0 ( b > 0)
b
8.
+
x→0
lim
x→+∞
lim
x→−∞
x
a
a
x
b
x
x
b
= 0
= 0
x
9. lim x ⋅ e = 0
x→−∞
1
10. lim 1+
= e
x→±∞
x
11.
lim
sen
x→0
x
x
( x)
= 1
( a > 1,
b > 0)
x x0
12. lim a = a ( a > 0)
x→x
0
b
13. lim x = x ( x > 0)
b
x→x
0
0
14. log(
x)
= log(
x ) ( x > 0)
lim
x→x0
15. sen(
x)
= sen(
x )
lim
x→x0
16. cos(
x)
= cos(
x )
17.
18.
lim
x→x0
log
a
lim
x→+∞
x
x→±∞
( x)
= 0
b
lim 1+
= e
x
x
b
0
0
0
0
( a > 1)
0
19.
log
x
lim
x→0
b
( x)
x
a −1
x
= 0
20. lim = log(
a)
x→0
21. lim tg(
x)
π
x→−
2
22. lim tg(
x)
x→ 2
π
−
+
= −∞
= +∞
23. lim arctg(
x)
x→−∞
24. lim arctg(
x)
x→+∞
=
=
π
−
2
π
2
25. lim ctg(
x)
= +∞
+
x→
0
26. lim ctg(
x)
= −∞
−
x→
π
27. lim arcctg(
x)
= π
x→−∞
28. lim arcctg(
x)
= 0
x→+∞
n 29. lim n = 1
n→+∞
n
30. lim = e
n→+∞
n n!
31.
32.
33.
lim
→ 0
+
x
lim
x
−log
log
( x)
= 0
( 1+
x)
( )
+
x→0
log x
lim
+
x→0
xlog
x = 0
= 0
34. lim x − log(
1 + t)
x→0
35. lim
( x,
y ) →(
0,
0)
36. lim y
( x,
y ) →(
0,
0)
37.
lim
x→x0
f
g
( x)
( x)
x log
x
( y)
( b > 0)
= 0
= non ∃
= non ∃
⎯⎯
⎯ →0
ord. =
⎯ ⎯⎯ →0
ord. β
α o
l →α
= β
→α
> β
∞ →α
> β

LIMITI NOTEVOLI
1.
2.
3.
+ ∞ → a > 1
lim a =
→+∞ 0 → 0 < a < 1
x
x
0 → a > 1
lim a =
→−∞ + ∞ → 0 < a < 1
x
x
+ ∞ → b > 0
lim x =
→+∞ 0 → b < 0
b
x
4. lim log(
x)
= +∞
x→+∞
5. lim log(
x)
= −∞
6.
x→−∞
log
x
lim
x→+∞
b
( x)
= 0
( b > 0)
7. lim x log(
x)
= 0 ( b > 0)
b
8.
+
x→0
lim
x→+∞
lim
x→−∞
x
a
a
x
b
x
x
b
= 0
= 0
x
9. lim x ⋅ e = 0
x→−∞
1
10. lim 1+
= e
x→±∞
x
11.
lim
sen
x→0
x
x
( x)
= 1
( a > 1,
b > 0)
x x0
12. lim a = a ( a > 0)
x→x
0
b
13. lim x = x ( x > 0)
b
x→x
0
0
14. log(
x)
= log(
x ) ( x > 0)
lim
x→x0
15. sen(
x)
= sen(
x )
lim
x→x0
16. cos(
x)
= cos(
x )
17.
18.
lim
x→x0
log
a
lim
x→+∞
x
( x)
= 0
0
0
0
0
( a > 1)
0

1
SERIE NUMERICHE:
Definizione di serie:
{ } { }
{ }
∞
+
=
=
∈
∈
=
+
+
+
=
=
0
n
n
n
0
k
k
n
1
0
N
n
n
n
1
0
N
n
n
n
n
a
:
risulta
data
serie
la
Allora
a
a
...
a
a
s
a
,...,
a
,
a
a
:
che
tali
i
succession
due
s
a
Siano
Definizione di successione delle ridotte o somma parziale:
( )
±∞
=
+∞
=
=
ℜ
∈
=
=
=
∞
+
=
∞
+
=
=
+∞
=
0
k
k
n
n
0
k
k
n
n
n
n
n
0
k
k
n
0
n
n
n
n
a
:
data
serie
la
s
lim
S
a
:
serie
della
somma
la
S
sia
è
data
serie
la
l
s
lim
è
data
serie
la
esiste
non
s
lim
:
a
s
con
s
lim
mo
consideria
a
serie
la
Data
nte
negativame
o
nte
positivame
o
diverge
e
convergent
ata
indetermin
Definizione di resto della serie:
+∞
+
=
=
1
n
k
k
n
data
serie
della
nto
comportame
stesso
lo
ha
a
r
Teorema del CONFRONTO:
nto
comportame
stesso
lo
hanno
serie
due
le
allora
n
n
,
b
a
:
N
n
che
Supponiamo
b
,
a
:
serie
le
date
Siano
n
n
0
n 0
n
n
n
≥
∀
=
∈
∃
+∞
=
+∞
=
Teorema di CAUCHY:
{ }
( )
e
sufficient
non
ma
necessaria
condizione
0
a
lim
allora
converge
serie
la
Se
.
Oss
a
a
-
a
s
s
n
m
Se
.
Oss
s
-
s
risulta
n
n
m,
se
t.c.
N
n
0
:
cioè
s
ridotte
delle
e
succession
la
per
Cauchy
di
condizione
la
vale
converge
Cauchy
di
serie
La
n
n
m
1
n
k
k
m
0
k
n
0
k
n
k
n
m
m
n
N
n
n
=
<
=
=
−
>
<
>
∈
∃
>
∀
⇔
+∞
→
+
=
= =
∈
ε
ε
ε

2
Serie GEOMETRICA: ragione
x
,
x
,
x
0
n
n
=
ℜ
∈
+∞
=
( )
( ) 1
n
n
1
n
2
n
n
1
n
2
n
n
0
k
n
k
n
x
1
s
x
-
1
:
Ottengo
x
...
x
x
x
...
x
1
s
x
-
1
:
ottengo
eq.
2
la
meno
eq.
1
la
membro
a
membro
Sottraendo
x
...
x
x
xs
:
x"
"
per
membri
i
ambo
Moltiplico
eq.
2
x
...
x
1
x
s
:
ridotte
delle
e
succession
la
Considero
eq.
1
+
+
+
=
−
=
−
−
−
−
+
+
+
=
°
°
+
+
+
=
→
°
+
+
+
=
=
→
°
( ) ( )
( )
∞
+
=
+
−
=
≤
∃
>
∞
+
<
−
=
<
<
−
−
=
→
≠
+∞
=
+
=
+
=
+
+
+
+
=
→
=
p
n
p
n
n
n
1
n
n
n
n
n
n
x
1
x
x
.
Oss
ATA
INDETERMIN
Serie
-1
x
se
non
NTE
POSITIVAME
DIVERGE
1
x
se
CONVERGE
1
x
se
x
1
1
s
lim
frazione.
una
è
1
x
1
-
limite
il
studio
e
x
1
x
1
s
ottengo
e
x
-
1
per
divido
1
n
lim
s
lim
n
1
1
...
1
1
1
s
1
x
1
x
Serie TELESCOPICA:
( )
+∞
=
+
1
n
1
n
n
1
( )
CONVERGE
1
1
n
1
1
1
n
1
n
1
...
3
1
2
1
2
1
1
1
k
1
k
1
s
1
n
1
n
1
1
n
n
1
a
n
n
1
k
n
n
⎯
⎯ →
⎯
+
−
=
+
−
+
+
−
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
=
+∞
→
=
Serie ARMONICA:
+∞
=1
n
n
1
NTE
POSITIVAME
DIVERGE
data
serie
la
quindi
2
n
1
lim
poichè
limitata
nte
superiorme
è
non
ridotte
delle
e
succession
La
2
n
1
s
n
2 n
+∞
=
+
+
>
+∞
→
Serie ARMONICA GENERALIZZATA:
+∞
=
>
⇔
1
n
1
CONVERGE
n
1
α
α

3
Osservazione:
( )
one
maggiorazi
s
-
S
r
Se
r
s
-
S
:
Quindi
N
n
,
r
s
S
:
ha
si
n,
fermo
lasciando
e
m
per
Allora
a
r
a
m
Se
a
s
a
a
a
s
:
ha
si
esima
-
m
ridotta
la
n
m
Preso
somma.
la
S
sia
,
a
E
CONVERGENT
serie
una
Data
n
n
n
n
n
n
0
k
k
n
m
1
n
k
k
m
0
k
n
0
k
m
1
n
k
m
1
n
k
k
n
k
k
k
m
0
n
n
α
α <
<
=
∈
∀
+
=
+∞
→
=
=
+∞
=
+
=
+
=
=
>
∞
+
=
+
=
= = +
= +
=
+∞
=
serie
della
Somma
CRITERI DI CONVERGENZA:
( )
"
n
n
:
N
n
"
di
ipotesi
l'
con
sostituita
essere
può
N"
n
di"
ipotesi
L' >
∀
∈
∃
∈
∀
Criterio del CONFRONTO: (per serie non negative)
∈
∀
≤
∈
∀
≥
≥
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
∞
+
=
+∞
=
+∞
=
0
n 0
n
n
n
0
n 0
n
n
n
n
n
0
n 0
n
n
n
n
n
NTE
POSITIVAME
DIVERGE
b
NTE
POSITIVAME
DIVERGE
a
serie
la
:
se
CONVERGE
a
CONVERGE
b
serie
la
:
se
:
Allora
N.
n
b
a
Supponiamo
N
n
0
b
,
0
a
che
tali
b
,
a
:
serie
le
date
Siano
Criterio del RAPPORTO:
=
>
<
∈
∀
>
+
+∞
=
niente.
conclude
si
non
1
l
NTE.
POSITIVAME
DIVERGE
serie
la
1
l
CONVERGE.
serie
la
1
l
:
ha
si
l
vale
e
esiste
Se
a
a
lim
:
limite
il
consideri
Si
N
n
,
0
a
che
tale
a
:
serie
la
data
Sia
n
1
n
n
0
n
n
n
Criterio della RADICE:
( )
>
<
∞
+
≥
∈
∀
≥
+∞
=
NTE
POSITIVAME
DIVERGE
serie
la
1
l
CONVERVE
serie
la
1
l
:
ha
si
oppure
0
l
l
vale
e
esiste
Se
a
lim
:
limite
il
consideri
Si
N
n
,
0
a
che
tale
a
:
serie
la
data
Sia
n
n
n
0
n
n
n

Criterio INTEGRALE:
Sia f
Oss.
g :
( x)
una funzione continua, positiva e decrescente
nell'intervallo
[ 1, +∞)
.
Si consideri la serie :
[ a, b)
g continua
→ ℜ
b
a
g
+ ∞
f
( n)
essa CONVERGE ⇔ f ( x)
n= 0
0
( x)
dx = lim f ( t)
x
−
x→b
a
Corollario del criterio del CONFRONTO:
Siano date le serie :
Considero il limite :
+∞
+∞
n
n= 0 n=
0
a
lim
n b
Se il limite esiste e vale l :
a
e
n
n
b
n
l ∈ ℜ , l > 0
l = 0 e
l = +∞ e
b
dt
a termini positivi.
n
b
+ ∞
CONVERGE
DIVERGE
Criterio DELL’ORDINE DEGLI INFINITESIMI:
Sia data la serie :
Considero il limite
+∞
n=
0
n→+∞
Se il limite esiste e vale l :
:
a
n
lim
tale che
a n
1
n
α
l ∈
l = 0
a
( 0, +∞)
l = +∞
n
≥
0,
allora :
dx
a
CONVERGE
le due serie hanno lo stesso comportamento
n
∀n
∈ N
α > 1
α ≤ 1
la serie data
la serie data
a
la serie data
la serie data
n
n
CONVERGE
DIVERGE
CONVERGE
DIVERGE
CONVERGE ⇔ α > 1
DIVERGE ⇔ α ≤ 1
Teorema dell’ASSOLUTA CONVERGENZA: (per serie di segno qualunque)
Se
+∞
a
CONVERGE
n
n= 0
n=
0
Sia data la serie :
Allora il teorema
+∞
n=
0
a
dell'
n
a
n
+∞
a
n
CONVERGE ASSOLUTAMENTE,
di segno qualunque :
non vale il viceversa.
assoluta convergenza
vale anche per il criterio del rapporto e della radice.
4

n
Serie di segno alterno: ( −1
) a oppure ( -1)
Criterio di LEIBNITZ:
Supponiamo che :
+ ∞
n=
0
a
n
( -1)
lim a
n+
1
S - s
≤ a
n
n
n
a
= 0
n
n
≤ a
∀n
∈ ℜ
n+
1
a
n
=
k=
0
+∞
≥ 0 ∀n
∈ N
dove
s
n
n
+∞
n
n= 0
n=
0
( −1)
SERIE DI FUNZIONI:
Una serie di funzione è
Somma : s
n
n
( x)
= f ( x)
k=
0
k
+∞
n=
0
f
n
k
a
k
n+
1
Allora la serie CONVERGE
( x)
, x ∈ I dove
f
n
a
n
,
a
n
≥
0,
∀n
∈ N
: I → ℜ , I ⊂ ℜ ∀n
∈ ℜ.
Definizione: Insieme di convergenza: E' l'insieme
delle x per cui la serie converge
n
Serie GEOMETRICA: x , I ∈ ℜ
La serie
+∞
n=
0
x
L'insieme
di
n
convergenza
è
+∞
n=
0
CONVERGE PUNTUALMENTE
+∞
n+
1 n
Serie TELESCOPICA: ( x − x )
s
n
n
k+
1 k
( x)
= ( x − x )
lim s
n
N.B.
n
k=
0
( x)
= lim x
n
n+
1
=
non
⇔ x < 1
( -1,
1)
la serie converge in ∀x
∈ ( -1,
1)
n=
1
= 1+
x −1
+ x
0 → se x < 1
1 → se x = 1
+ ∞
→ se x > 1
∃ → se x ≤ -1
+ 1
− x + ... + x
− x
= x
Tutti i termini della serie sono funzioni continue, tuttavia la somma s
2
n+
1
n
n+
1
n
( x)
, n → +∞ non è continua.
5

Definizione di CONVERGENZA UNIFORME:
f
n
: I
→ ℜ,
si dice che
{ f }
n∈N
• ∀ε
> 0 ∃n
∈ N , n
• ∀ε
> 0 ∃nˆ
∈ N , tale che se n
lim sup
n
I indipendente
da
n
x.
CONVERGE UNIFORMEMENTE
in I a f se si verifica o la prima o la seconda
{ f ( x)
− f ( x)
: x ∈ I}=
n
indipendente
da x, tale che se
≥ nˆ
Teorema sulla CONTINUITA’ di f in I:
f
f
f
n
n
Oss.
n
lim f
n
: I
: I
[ a,
b]
converge uniformemente
a
0
risulta : sup
x ∈ I e n ≥ n
{ f ( x)
− f ( x)
: x ∈ I}
n
risulta :
( studio locale)
0
→ ℜ,
f n ∈ C ( x 0 ) , x 0 ∈ I
Allora f è continua in x 0
( x)
= f ( x)
, ∀x
∈ I uniformemente
in I
n
=
→ ℜ,
continua
f in I
Allora f è continua in
I.
f
n
< ε cioè :
( x)
− f ( x)
Teorema di PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE su intervalli
limitati per le successioni:
f
n
lim
n
:
[ a,
b]
→ ℜ , continua in [ a, b]
f ( x)
= f ( x)
,
n
= I
uniformemente
in
I
lim
n
b
a
f
n
( x)
dx = f ( x)
Teorema di INTEGRAZIONE SU INTERVALLI LIMITATI per le serie:
f
n
+ ∞
n=
0
:
[ a,
b]
ℜ , continua in [ a, b]
f
n
→ = I b
, uniformemente
in I
S
( x)
= S(
x)
CRITERI DI CONVERGENZA:
a
+ ∞
( x)
dx = f ( x)
Criterio di CAUCHY per la CONVERGENZA UNIFORME - per succesioni di funzioni:
f . I → ℜ , I ⊂ ℜ
n
E'
verificata
la condizione di Cauchy, cioè :
risulta :
f
n
b
n=
0 a
( x)
− f ( x)
< ε , ∀x
∈ I ⇔ f CONVERGE UNIFORMEMENTE
in I
m
n
∀ε
>
0 ,
b
a
∃n
∈ N
n
dx
dx
indipendente
da x tale che, se
Criterio di CAUCHY per la CONVERGENZA TOTALE - per serie di funzioni:
f
. I → ℜ , I ⊂ ℜ
n
+ ∞
n=
0
f
n
( x)
⎯ ⎯⎯ →S(
x)
⇔ ∀ε
> 0 , ∃nˆ
∈ N tale che se m, n ≥ nˆ ( m > n)
si ha : S ( x)
− S ( x)
= f ( x)
< ε
UNIF
m
n
< ε
m, n
≥
m
n,
:
k
k=
n+
1
6

Criterio di WEIERSTRASS per la CONVERGENZA TOTALE - per serie di funzioni:
+∞
n=
1
Se :
e
f
n
c
( x)
n
f
n
,
f
n
converge totalmente
in I cioè
converge
: I → ℜ , I ⊂ ℜ
f
n
∃
{ c } successione
numerica tale che : f ( x)
≤ c ∀x
∈ I , ∀n
∈
n∈N
converge anche uniformenìmente
in
Teorema di CONVERGENZA UNIFORME - per serie a segni alterni:
n=
0
f
+∞
n+
1
lim
n
n ( −1)
f ( x)
con f ( x)
( x)
≤ f n ( x)
f ( x)
= 0
n
n
n
≥ 0
uniformemente
in
in I
I
n
la serie data converge uniformemente
in
Teorema di PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE su intervalli non
limitati per le successioni:
f
n
lim f
n
: I
n
n
=
lim
0
[ a,
+∞)
→ ℜ , f ∈ C ( I)
= f
+ ∞
a
f
n
uniformemente
in
+ ∞
( x)
dx = f ( x)
a
n
dx
I ∃g
∈ C
0
I
( I)
tale che f ( x)
≤ g(
x)
∀x
∈ I , ∀n
∈ N e se g(
x)
Teorema di INTEGRAZIONE su intervalli non limitati per le serie:
f
n
: I
f
n
=
∀x
∈ I,
[ a,
+∞)
⎯ ⎯⎯ →f
in ogni intervallo limitato contenuto in I, ∃ g : I → ℜ tale che
UNIF
allora :
→ ℜ ,
+ ∞
+ ∞
a
f
continua
+ ∞
( x)
dx = f ( x)
n= 0 a
Teorema di DERIVAZIONE per le successioni:
f
n
∃x
∈ I
∃
f ′ ⎯ ⎯⎯ →ϕ
in I
n
: I → ℜ ,
0
UNIF
tale che
I intervallo,
lim f
n
n
f
n
( x )
0
∈ C
1
n
( I)
= l ∈ ℜ
dx
f
n
∃f
n
( x)
converge
( x)
= lim f ( x)
Inoltre f
è
n
n
∀x
∈ I
∀x
∈ I
derivabilein
I e risulta
+ ∞
a
: f ′
I
g
n
+ ∞
a
n
dx
converge
7
N
( t)
dt convege S ( x)
≤ g(
x)
( x)
= ϕ(
x)
∀x
∈
I
n

Teorema di DERIVAZIONE per le serie:
f
n
∃x
: I → ℜ ,
0
∈ I
tale che
I intervallo,
∃
+ ∞
n=
1
f ′ ⎯ ⎯⎯ →ϕ
in I
n
UNIF
f
n
f
n
( x )
0
∈ C
1
( I)
converge
Casi particolari di SERIE DI FUNZIONI:
Serie di potenze
:
+∞
n=
0
Serie trigomometrica
a
:
n
( x − x )
a
0
2
+ ∞
0
n=
1
n
La serie data converge in tutti i punti di I
Detta S
( a cos(
nx)
+ b sen(
nx)
)
n
n
( x)
la somma della serie si ha : S′
( x)
= ϕ(
x)
∀x
∈
Lemma fondamentale per le serie di potenze (con punto iniziale x 0 = 0 )
+∞
n=
0
a
n
x
n
Se la serie converge in un certo x
Raggio di convergenza:
Data la serie di potenze :
)
)
1 r = 0
la serie
+∞
n=
0
a
x
≠
converge solo per x = 0
n
n
0 allora la serie converge anche assolutamente
nei punti
, ∃ un numero r
2 r > 0 la serie converge assolutamente
se x < r,
la serie non converge se x > r
3)
r = +∞ la serie converge assolutamente
∀x
∈ ℜ
Teorema della convergenza totale:
+∞
n=
0
a
n
x
Siano a , b <
n
con raggio di convergenza
r in modo che
Teoremi importanti:
+∞
n=
0
+ ∞
n=
1
Se
a
n
na
x
n
n
x
ha raggio di convergenza
n−1
+ ∞
r > 0
[ a,
b]
⊂ ( − r,
r)
ha raggio di convergenza
≥
0, eventualmente
+ ∞ tale che :
( eventualmente
+ ∞)
Allora la serie conv. totalmente
in [ a, b]
n−1
[ a, b]
⊂ ( − r,
r)
; na x converge totalmente,
allora la serie converge uniformemente
in [ a, b]
n=
1
n
r
r′
r = r′
x
<
x
8
I

SVILUPPI IN SERIE NOTEVOLI:
2
n
x x x
1. e = 1 + x + + ... + + ...
2! n!
3
x
3!
2. sen ( x)
= x − + ... + ( −1)
2
x
2!
4
x
4!
3. cos ( x)
= 1 − + − ... + ( −1)
4. ( b + x)
a
= b
a
+ ab
x
5. a = 1+
xlog
( a)
6. arcsen ( x)
+
a−1
n
x
a
x + ... +
2n+
1
( 2n + 1)
n
x
+ ...
!
2n
( 2n)
+ ...
!
( a −1)
... ( a − n + 1)
n!
2 ( xlog
( a)
) ( xlog
( a)
)
2!
+ ... +
n!
n
b
a-n
+ ...
x
n
+ .. .
3
5
7
1⋅
x 1⋅
3⋅
x 1⋅
3⋅
5x
1⋅
3⋅
5 ⋅ ... ⋅
= x + + + + ... +
2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ...
3
x
3
5
x
5
7
x
7
7. arctg ( x)
= x − + − + ... + ( −1)
8. senh ( x)
9. cosh ( x)
3
x
= x + + ... +
3!
x
2n+
1
( 2n + 1)
2 4
x x
= 1 + + + ... +
2! 4!
3
x
2 ⋅ 3
x
+ ...
!
2n
( 2n)
5
1⋅
3⋅
x
2 ⋅ 4 ⋅ 5
+ ...
!
n
x
7
1⋅
3⋅
5x
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7
2n+
1
( 2n + 1)
+ ...
10. sett senh(
x)
= x − + − + ... + ( −1)
11. sett
tgh(
x)
3 5 7
x x x
= x + + + + ... +
3 5 7
x
2n+
1
( 2n + 1)
+ ...
n
2n+
1 ( 2n
−1)
x
⋅ 2n(
2n
+ 1)
1⋅
3⋅
5 ⋅ ... ⋅
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ...
+ ...
2n+
1 ( 2n
−1)
x
⋅ 2n(
2n
+ 1)
+ ...
( x < b )
( x < 1)
( x ≤ 1)
( x ≤ 1)
( x < 1)

2
x
2
3
x
3
n
x
n
n+
1
12. log(
1 + x)
= x − + − ... + ( −1)
+ ...
( -1
< x ≤ 1)
1 + x
1 − x
x
3
x
5
x
2n
+ 1
3 5
2n+
1
13. log = 2 x + + + ... + + ...
( x < 1)
x −1
x + 1
1
3
x −1
x + 1
3
1
2n
+ 1
x −1
x + 1
14. log(
x)
= 2 + + ... +
+ ...
( x > 0)
5 9
x x
+ ...
5!
9!
15. senh ( x)
sen(
x)
= 2 x + + +
4 8
x x
+ ...
4!
8!
16. cosh ( x)
cos(
x)
= 2 1+
+ +
1
1 − x
2n+
1
2 3 4 5
17. = 1+
x + x + x + x + x + ...
( -1
< x < 1)
π
2
1
6
3
40
5
112
−
3 5
7
18. cos ( x)
= − x − x − x − x − ...
( -1
< x < 1)
1
cosh 1
1
x
2
1
3
160
5
896
−
2
3
19. ( + ) = x − x + x + x +
cot x
1
x
1
3
1
45
3
5
7
20. ( ) = − x − x − x − x − ...
1
3
1
2
2
945
1
4725
− −1
−3
−5
−7
−9
21. ( ) = x − x + x − x + x + ...
cot 1
x
1
3
1
45
22. ( ) = x + x − x + x − x + ...
− 7
5
4
1
coth x
1
2
1
5
1
7
2
945
1
9
1
4725
1
16
− 2
23. ( + ) = ln ( ) − ln(
x)
+ x − x + ...
coth 1
sin 1
x
1
x
1
6
2
3
40
− 3
5
7
9
24. ( ) = x + x + x + x + x + ...
1
6
1
2
3
40
5
112
1
4
5
112
35
1152
35
1152
− 3
5
7
9
25. ( ) = x − x + x − x + x − ...
sinh 1
tan
x
x
1
3
2
15
17
315
62
2835
3 5
7
9
26. ( ) = x + x + x + x + x + ...
...

1 7
1
5
1
7
−
3 5
27. tan ( x)
= x − x + x − x + ...
( −1
< x < 1)
1
3
π
4
1
2
1
12
1
40
− 2 3
5
28. tan ( 1 + x)
= + x − x + x + x + ...
1
1
3
2
15
3 5
7
9
29. tanh ( x)
= x − x + x − x + x + ...
−1 30. tanh ( x)
SERIE
1
1
∞
n
= x
− x n=
0
cos
x
e
ln
( x)
1
4
17
315
1 3 1 5 1 7
= x + x + x + x + ...
3 5 7
∞
=
n=
0
∞
=
n=
0
( 1 + x)
1 + x
ln
1 − x
sen
( x)
−
tan 1
−
tan 1
1 n
x
n!
=
∞
( −1)
( 2n)
∞
n=
1
=
=
n=
1
( x)
( x)
∞
n=
1
n
!
x
( −1)
n
2n
n+
1
2
x
n
( 2n
−1)
n+
1 ( −1)
( 2n
−1)
∞
=
n=
1
∞
=
n=
1
x
!
n+
1 ( −1)
( 2n
−1)
1
( 2n
−1)
x
2n
−1
x
x
2n
−1
2n−1
2n−1
62
2835