limiti notevoli

Teorema di DERIVAZIONE per le serie:
f
n
∃x
: I → ℜ ,
0
∈ I
tale che
I intervallo,
∃
+ ∞
n=
1
f ′ ⎯ ⎯⎯ →ϕ
in I
n
UNIF
f
n
f
n
( x )
0
∈ C
1
( I)
converge
Casi particolari di SERIE DI FUNZIONI:
Serie di potenze
:
+∞
n=
0
Serie trigomometrica
a
:
n
( x − x )
a
0
2
+ ∞
0
n=
1
n
La serie data converge in tutti i punti di I
Detta S
( a cos(
nx)
+ b sen(
nx)
)
n
n
( x)
la somma della serie si ha : S′
( x)
= ϕ(
x)
∀x
∈
Lemma fondamentale per le serie di potenze (con punto iniziale x 0 = 0 )
+∞
n=
0
a
n
x
n
Se la serie converge in un certo x
Raggio di convergenza:
Data la serie di potenze :
)
)
1 r = 0
la serie
+∞
n=
0
a
x
≠
converge solo per x = 0
n
n
0 allora la serie converge anche assolutamente
nei punti
, ∃ un numero r
2 r > 0 la serie converge assolutamente
se x < r,
la serie non converge se x > r
3)
r = +∞ la serie converge assolutamente
∀x
∈ ℜ
Teorema della convergenza totale:
+∞
n=
0
a
n
x
Siano a , b <
n
con raggio di convergenza
r in modo che
Teoremi importanti:
+∞
n=
0
+ ∞
n=
1
Se
a
n
na
x
n
n
x
ha raggio di convergenza
n−1
+ ∞
r > 0
[ a,
b]
⊂ ( − r,
r)
ha raggio di convergenza
≥
0, eventualmente
+ ∞ tale che :
( eventualmente
+ ∞)
Allora la serie conv. totalmente
in [ a, b]
n−1
[ a, b]
⊂ ( − r,
r)
; na x converge totalmente,
allora la serie converge uniformemente
in [ a, b]
n=
1
n
r
r′
r = r′
x
<
x
8
I