limiti notevoli

Equazione differenziale del tipo: y ′ ( x)
= g(
ax + by)
Soluzione :
Sia g continua, a, b
0, a, b
∈ ℜ
L'equazione
può essere ricondotta ad una a variabili separabili
( x)
= ax + b(
y(
x)
)
z
operando la sostituzione
:
z′
= a + by′
Equazioni differenziali riconducibili ad omogenee:
Soluzione
:
1→
a
2 →
a
a
3 →
a
( c = c = 0 )
b
b
b
b
≠ 0
= 0
≠
Siano : f continua, a, b, c, a
1
1
1
1
1
y′
= f
Pongo t
Pongo
Pongo :
1
( x)
Sostituisco
, b , c
1
x = u + u
y = v + v
Quindi posso scrivere la
z
z
1
y
=
= f
y ′ = f
Sostituendo
nell'eq.
data : t
dove u,
v sono le soluzioni di
Sono linearmente
dipendenti
z′
= a + b
y
x
costanti assegnate in
( g(
z)
)
ax + by + c
, y′
= f
a x + b y + c
( x)
y(
x)
= t(
x)
⋅ x
x y′
( x)
= t′
( x)
⋅ x + t(
x)
f
( )
( t(
x)
) − t(
x)
′ x =
y′
= v′
e ottengo : v′
= f
( x)
= ax + by(
x)
′ ( x)
= a + by′
( x)
z + c
Ottengo : z′
= a + b
µ z + c
1
ax + by
a x + b y
1
y
a + b
x
y
a1
+ b1
x
y′
= f
1
ax + by + c = 0
a x + b y + c = 0
1
1
y′
∃µ
:
ax + by + c
µ ax + µ by + c
( x)
ℜ :
a
b
x
z
=
µ z
= f
( x)
( x)
z′
z + c
a + b
µ z + c
1
eq, omogenea
1
1
au + bv
a u + b v
1
1
= µ a
= µ b
a
+ c
+ c
1
1
= 1
1
v
a + b
u
v
a1
+ b1
u
1
1
1
variabili separabili
y = ... = v
x = ... = u
a var. sep.
caso1
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