limiti notevoli

Definizione di CONVERGENZA UNIFORME:
f
n
: I
→ ℜ,
si dice che
{ f }
n∈N
• ∀ε
> 0 ∃n
∈ N , n
• ∀ε
> 0 ∃nˆ
∈ N , tale che se n
lim sup
n
I indipendente
da
n
x.
CONVERGE UNIFORMEMENTE
in I a f se si verifica o la prima o la seconda
{ f ( x)
− f ( x)
: x ∈ I}=
n
indipendente
da x, tale che se
≥ nˆ
Teorema sulla CONTINUITA’ di f in I:
f
f
f
n
n
Oss.
n
lim f
n
: I
: I
[ a,
b]
converge uniformemente
a
0
risulta : sup
x ∈ I e n ≥ n
{ f ( x)
− f ( x)
: x ∈ I}
n
risulta :
( studio locale)
0
→ ℜ,
f n ∈ C ( x 0 ) , x 0 ∈ I
Allora f è continua in x 0
( x)
= f ( x)
, ∀x
∈ I uniformemente
in I
n
=
→ ℜ,
continua
f in I
Allora f è continua in
I.
f
n
< ε cioè :
( x)
− f ( x)
Teorema di PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE su intervalli
limitati per le successioni:
f
n
lim
n
:
[ a,
b]
→ ℜ , continua in [ a, b]
f ( x)
= f ( x)
,
n
= I
uniformemente
in
I
lim
n
b
a
f
n
( x)
dx = f ( x)
Teorema di INTEGRAZIONE SU INTERVALLI LIMITATI per le serie:
f
n
+ ∞
n=
0
:
[ a,
b]
ℜ , continua in [ a, b]
f
n
→ = I b
, uniformemente
in I
S
( x)
= S(
x)
CRITERI DI CONVERGENZA:
a
+ ∞
( x)
dx = f ( x)
Criterio di CAUCHY per la CONVERGENZA UNIFORME - per succesioni di funzioni:
f . I → ℜ , I ⊂ ℜ
n
E'
verificata
la condizione di Cauchy, cioè :
risulta :
f
n
b
n=
0 a
( x)
− f ( x)
< ε , ∀x
∈ I ⇔ f CONVERGE UNIFORMEMENTE
in I
m
n
∀ε
>
0 ,
b
a
∃n
∈ N
n
dx
dx
indipendente
da x tale che, se
Criterio di CAUCHY per la CONVERGENZA TOTALE - per serie di funzioni:
f
. I → ℜ , I ⊂ ℜ
n
+ ∞
n=
0
f
n
( x)
⎯ ⎯⎯ →S(
x)
⇔ ∀ε
> 0 , ∃nˆ
∈ N tale che se m, n ≥ nˆ ( m > n)
si ha : S ( x)
− S ( x)
= f ( x)
< ε
UNIF
m
n
< ε
m, n
≥
m
n,
:
k
k=
n+
1
6