limiti notevoli

Integrali impropri con parametro: g(
x)
= f ( x,
y)
dy ; f ( x,
y)
dy ; f ( x,
y)
Teorema della continuità :
f ∈C
Se :
Se :
f
f
0
2
( A)
; A ⊂ ℜ ; A = [ a, b]
× [ c,
+∞)
+ ∞
+∞
c
+∞
−∞ −∞
( x, y)
≤ ϕ(
y)
, ∀x
∈[
a, b]
, ∀y∈
[ c,
+∞)
: ϕ(
y)
dy CONVERGE g è continua in [ a, b]
Teorema di derivazione
sotto il segno di
x
∈C
0
( A)
, ∃φ
tale che f ( x, y)
≤ φ(
y)
in A e φ(
y)
dy CONVERGE ∃g′
( x)
= f ( x,
y)
x
c
integrale :
Trasformata di Laplace: ( f ( x)
)( s)
Teorema :
f
( 0, +∞)
e
kx ( x)
≤ Me f è trasformabile
secondo Laplace.
Se f è continua a tratti in
INTEGRALI DOPPI:
c
dy
+ ∞
+ ∞
c c
=
+∞
0
e
−sx
dx
d ordine esponenziale
cioè esistono due costanti M , K tali che
Dominio normale:
b q(
x )
f ( x,
y)
dx dy = dx f ( x,
y)
dy
D
a p(
x )
Dominio normale rispetto a x :
Siano a, b
D ≡
D ≡
0
∈ℜ
, a < b, p(
x)
, q(
x)
∈C
( [ a,
b]
) , p(
x)
≤ q(
x)
2 ( x,
y)
∈ℜ
: a ≤ x ≤ b , p(
x)
≤ y ≤ q(
x)
{ }
Dominio normale rispetto a y :
Siano c, d
0
∈ℜ
, c < d, h(
y)
, k(
y)
∈C
( [ c,
d]
) , h(
y)
≤ k(
y)
2 ( x,
y)
∈ℜ
: c ≤ y ≤ d , h(
y)
≤ x ≤ k(
y)
{ }
Formule di riduzione:
Formula
di riduzione rispetto a x :
D
D
f
( x )
( x,
y)
dx dy = dx f ( x,
y)
( x )
Formula di riduzione rispetto a y :
f
( y)
( x,
y)
dx dy = dy f ( x,
y)
b
a
d
c
q
p
k
h
( y)
dy
dx
x
2
dy