หน้า 38-74 - Pioneer.chula.ac.th

2301113 บทที่ 3 50หมายเหตุบทนิยามนี้จะชวยใหเราสามารถนําอินทิกรัลไปประยุกตใชกับปริมาณที่ขึ้นอยูกับทิศทางไดดวย เราอาจใหความหมายของการอินทิเกรตในทิศทางกลับกันไดโดยการพิจารณาวา ในนิยามของอินทิกรัลจาก b ถึง a นั้น การแบงชวงเปนดังนี้ใหสังเกตวา ในที่นี้ x0b = x > x > x > … > x > x = a0 1 2 n−1= b และ xnผลตาง x1 −x0, x2 −x1, x3 −x2, , xn −xn− 1b ถึง a มีคาเปนลบของอินทิกรัลจาก a ไปยัง bn= a คา x ตางๆ เรียงจากมากไปนอย ดังนั้น… ลวนมีคาเปนลบ เปนผลใหอินทิกรัลจากทฤษฎีบท 3.11) ถาฟงกชัน f อินทิเกรตไดทั้งบนชวง [ ab ,] และ [, bc ] f ยอมอินทิเกรตไดบนac และไดดวยวา ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( )[,]c b cfxdx fxdx fxdxa a b2) ถาฟงกชัน f อินทิเกรตไดทั้งบนชวง [ ac ,] และ b อยูระหวาง a กับ c แลว fยอมอินทิเกรตไดทั้งบน [ ab ,] และ [, bc ] และ สูตรขางบนก็เปนจริงดวยเชนกันหมายเหตุทฤษฎีบทที่ 3.1 กลาวถึงเฉพาะกรณีของการอินทิเกรตในทิศทางที่เปนบวก (คือจากซายไปขวา) แตเมื่อเราใชบทนิยาม 3.3 มาประกอบดวย เราจะไดวาสูตรในทฤษฎีบทนี้ก็คงเปนจริงสําหรับ a,b,c ใดๆ และเพื่อใหสูตรนี้ใชการไดดี เราจะกําหนดเปนนิยามเพิ่มเติมของการอินทิเกรตจาก a ถึง a วา ∫ fxdx= ( ) 0aaทฤษฎีบท 3.2ถา fg , เปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบนชวง [ ab ,] และ c เปนจํานวนจริงใดๆ ยอมไดวาcf กับ f+ g ก็เปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดบนชวง [,]b b bab และไดวา∫ ∫ ∫f ( x) + g( x) dx = f( x) dx + g( x)dxa a abb∫a∫cf ( x) dx = c f ( x)dxa