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§ 第 三 章 一 维 问 题求 解 Schr o&dinger 方 程 是 量 子 力 学 的 中 心 任 务 。 本 章 研 究 其 中 较 为 简单 的 情 况 —— 一 维 问 题 。§3.1 一 维 定 态 的 一 些 特 例1, 一 维 方 势 阱 问 题 ,Landau 与 Pauli 的 矛 盾《 无 限 深 方 势 阱 》这 是 本 章 第 一 个 例 题 , 也 是 最 简 单 的 对 一 类 物 理 问 题 的 数 学 近 似模 型 。 但 有 关 它 的 动 量 波 函 数 及 其 衍 生 问 题 却 引 起 过 争 论 , 甚 至 导 致严 重 误 解 :“ 量 子 力 学 的 数 学 是 错 的 ”。研 究 一 维 Schr o&dinger 方 程 , 其 中 位 势 为V( x)⎪⎧0,= ⎨⎪⎩ + ∞,x < ax ≥ a(3.1a)于 是 定 义 在 整 个 x 轴 上 的 Schr o&dinger 方 程 现 在 分 为 三 个 区 域 : 第 I 区x ≤ −a , 第 II 区 x < a , 第 III 区 x ≥ a 。 由 于 I 区 和 III 区 中 V ( x) = +∞( 无穷 位 势 问 题 见 讨 论 i,), 为 使 Schr o&dinger 方 程 成 立 , 这 两 个 区 域 中 的 波函 数 ψ ( x)必 须 为 零 —— 即 有 边 界 条 件 ( x) = 0ψ ( x ≥ a)。 说 明 微 观 粒 子 即便 具 有 波 动 性 , 也 难 以 渗 透 进 非 常 高 的 势 垒 区 里 。 于 是 坐 标 波 函 数 求解 只 须 对 第 II 区 进 行 ,⎧2 2h d⎪−ψ2⎨ 2mdx⎪⎩ψ( x)= 0,( x) = Eψ( x),x < ax ≥ a(3.1b)有 时 , 这 里 的 边 界 条 件 被 简 单 地 写 作 ψ ( x ) = 0( x = a)况 未 作 规 定 , 这 种 提 法 是 含 混 的 。 参 见 下 面 有 关 讨 论 。1 。 但 由 于 对 阱 外 情1这 种 用 法 见 泡 利 《 物 理 学 讲 义 》 第 五 卷 , 详 见 下 面 讨 论 v 的 脚 注 。42

显 然 , 在 第 II 区x < a内 方 程 通 解 为( x) = Asin( kx + α )⎧ψ⎪⎨ ⎛ 2mE⎞⎪k= ⎜ ⎟2⎩ ⎝ h ⎠这 里 出 现 两 个 待 定 系 数 A 、α 和 一 个 待 定 参 数 k ( 它 的 数 值 将 决 定 阱中 粒 子 的 能 量 )。 为 了 确 定 它 们 , 利 用 两 个 边 界 条 件 ψ ( ± a) = 0( 加 上 总几 率 归 一 条 件 , 一 共 也 是 三 个 ), 即由 此 得nα = ka = π , n = 1,2,3, L2⎧ sin⎨⎩sin12( ka + α )( − ka + α )= 0= 0。 最 后 , 阱 中 粒 子 的 能 级 和 波 函 数 分 别 为E n222n π h= , n28ma( = 1,2,3, L)(3.2a)⎧⎪ sin ( )

况 , 势 函 数 将 难 以 被 模 型 化 为 无 限 深 方 阱 。 另 外 , 更 不 应 当 由 这 种 人为 的 近 似 模 型 导 出 哈 密 顿 量 不 厄 密 等 等 损 及 量 子 力 学 理 论 体 系 的 结论 。当n 2mii, 当 n = 2 m + 1奇 数 时 , 波 函 数 为 对 称 的ψ2m+1( x)=1cosa= 为 偶 数 时 , 波 函 数 为 反 对 称 的ψ( x)2 m =( 2m+ 1)2a1 mπxsina aπx( 这 里 已 略 去 无 关 紧 要 的 波 函 数 整 体 相 因 子 ( − 1) m)。 各 个 能 级 上 波 函数 的 节 点 ( 零 点 , 不 计 两 个 端 点 ± a ) 个 数 为 : 基 态 ( n = 1) 无 节 点 ,第 一 激 发 态 ( n = 2) 有 一 个 节 点 等 等 。 而 且 可 以 看 出 , 阱 中 各 能 级 的波 函 数 按 n −1的 奇 偶 性 区 分 为 奇 函 数 和 偶 函 数 , 也 就 是 说 有n( − x) = ( −1) −1 ( x)(3.3)ψ n ψiii, 求 解 结 果 表 明 , 若 用 势 阱 ( 或 势 垒 ) 从 空 间 上 限 制 微 观粒 子 的 活 动 , 也 即 将 它 们 内 禀 波 动 性 ——de Broglie 波 局 域 化 , 则 由于 波 自 身 干 涉 结 果 必 定 导 致 波 频 率 的 分 立 化 ( 注 意 , 经 典 物 理 学 中 所有 波 也 均 如 此 ), 但 由 de Broglie 波 的 特 性 , 频 率 分 立 化 就 意 味 着 能量 量 子 化 。 即 使 对 基 态 n = 1, 粒 子 的 动 能 也 不 为 零 , 说 明 阱 中 粒 子 从不 静 止 。 这 里 x = p = 0 , 故 x ~ a给 出hp ≥2a相 应 的 动 能 便 有Δ , Δ p ~ pn, 代 入 不 确 定 性 关 系hΔx ⋅ Δp≥ ,2。 由 此 可 知 , 若 将 一 个 粒 子 禁 闭 在 2 a 宽 度 的 局 部 区 域 中 ,22p h≥2m8ma2参 考 基 态 能 级 表 达 式 , 再 次 可 知 §1.3 的 排 除 粒 子 静 止 概 念 是 正 确 的 。44

另 外 注 意 , 由 于 边 界 条 件 的 存 在 , 总 能 量 (3.2a) 虽 然 也 是 阱 中 粒 子的 动 能 值 , 但 却 不 是 动 能 算 符 的 任 何 本 征 值 。(3.2b) 式 也 不 是 动 能 算符 的 本 征 函 数 。 其 实 , 阱 内 任 何 定 态 都 是 各 种 动 量 ( 及 动 能 ) 本 征 态的 叠 加 态 ( 见 v, ), 它 们 由 势 阱 约 束 着 不 色 散 而 成 为 定 态 ( 否 则 将 呈自 由 波 包 色 散 , 见 §3.3)。可 得iE n thiv, 将 波 函 数 ψ ( x)用 复 指 数 来 表 示 , 并 近 似 地 配 上 因 子ne − ,ψn( x)⎧⎪= ⎨2i⎪⎪⎩⎡⎢ea ⎢⎣π ( x+a) h ⎞ i ⎛ nπ( x+a)−Ent⎟ − ⎜2a⎠ h ⎝ a− ei ⎛ n1⎜h ⎝20,h ⎞+ Ent⎟⎠⎤⎥,⎥⎦xx< a≥ a因 此 若 仅 就 阱 内 而 言 , 可 以 形 象 但 却 近 似 地 说 : 阱 中 粒 子 波 函 数 是 两个 反 向 传 播 的 de Broglie 行 波 叠 加 而 成 的 驻 波 , 是 阱 中 de Broglie 波在x ± a= 边 界 处 多 次 反 射 相 干 叠 加 的 结 果 , 类 似 于 两 端 固 定 的 一 段 弦振 动 。 这 里 强 调 指 出 , 这 两 个 行 波 并 不 严 格 单 色 , 因 为 它 们 仅 仅 存 在于 有 限 区 间 [ − a, a]内 。 如 同 光 学 中 有 限 长 度 的 光 波 波 列 不 会 是 严 格 单色 波 一 样 , 也 见 下 。v, 基 态 动 量 波 函 数 问 题 。 上 面 说 过 , 此 问 题 边 界 条 件 有 两 种不 同 提 法 。 它 们 对 求 解 阱 内 的 坐 标 波 函 数 没 甚 么 影 响 , 因 为 阱 内 坐 标波 函 数 是 定 域 解 ; 但 对 求 解 阱 内 的 动 量 波 函 数 却 有 影 响 。 因 为 动 量 波函 数 是 非 定 域 的 , 就 是 说 , 阱 内 的 动 量 波 函 数 分 布 不 仅 取 决 于 阱 内 坐标 波 函 数 的 形 状 , 而 且 还 取 决 于 阱 外 坐 标 波 函 数 的 形 状 , 也 即 取 决 于对 阱 外 坐 标 波 函 数 的 处 理 。 由 此 分 歧 ,Landau 和 Pauli 给 出 了 不 同结 果 , 引 发 了 一 些 混 乱 , 甚 至 导 致 有 人 对 量 子 力 学 的 严 重 否 定 。45

一 方 面 ,Landau 做 法 是 1 , 将 上 面 定 义 在 全 实 轴 上 的 基 态 波 函 数ψ 1( x)作 富 里 叶 积 分 变 换 , 便 得 到 无 限 深 方 阱 中 粒 子 的 动 量 波 函 数1( p)ϕ :ϕ11+∞∫−∞px−ih( p) = dxe ψ ( x)2πh代 入 ψ ( x)表 达 式 , 注 意 阱 外 ψ ( x)为 零 , 即 得 阱 中 粒 子 动 量 几 率 分 布111ϕ12 ⎛ ap ⎞πacos ⎜ ⎟ 2 2−2⎝ h ⎠ ⎡⎛ap ⎞ ⎛π⎞ ⎤⎢⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎥2h⎢⎣⎝ h ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦2( p ) =− , ( − ∞ < p < +∞)(3.4a)注 意 ,(3.4a) 式 为 连 续 分 布 。另 一 方 面 ,Pauli 求 解 ϕ ( p)时 , 直 接 采 用 第 iii 条 两 个 “ 单 色 波 ”1中 所 含 的 n = 1基 态 的 两 个 “ 动 量 ”。 由 此 ,Pauli 认 为 2 ,12πh 1 πh⎟ ⎜2a⎠ 2 ⎝ 2a2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ ( p) = δ p − + δ p + ⎟ (3.4b)⎠1⎜⎝(3.4b) 式 表 明 阱 中 的 动 量 谱 是 两 个 在 全 实 轴 上 反 向 运 动 的 单 色 deBroglie 波 叠 加 而 成 的 驻 波 。显 然 , 两 种 结 果 很 不 相 同 。 究 竟 谁 正 确 ? 或 是 两 者 都 对 ? 两 者 都错 ? 实 际 的 文 献 讨 论 中 , 几 种 观 点 全 有 表 述 。 事 实 上 , 波 函 数 、 动 量算 符 及 Schr o&dinger 方 程 都 应 当 定 义 在 整 个 x 轴 上 , 而 不 只 是 定 义 在 势阱 内 , 正 确 边 界 条 件 应 当 是 ψ ( x) = 0( x ≥ a), 而 不 是 ( x ) = 0( x = a)1ψ 。这 里 问 题 的 关 键 在 于 : 不 象 坐 标 波 函 数 是 定 域 的 , 动 量 波 函 数 是非 定 域 的 , 阱 内 动 量 波 函 数 的 正 确 答 案 依 赖 于 正 确 处 理 阱 外 的 坐 标 波函 数 , 也 即 依 赖 于 坐 标 波 函 数 边 界 条 件 的 正 确 拟 定 。 反 过 来 也 可 以 说 ,112朗 道 和 栗 弗 席 茨 , 量 子 力 学 ( 非 相 对 论 理 论 ), 上 册 ,§22, 高 等 教 育 出 版 社 ,1980 年 。泡 利 物 理 学 讲 义 , 第 5 卷 : 波 动 力 学 , 第 二 章 ,§7。 洪 铭 熙 等 译 , 人 民 教 育 出 版 社 , 1982 年46

B ,C 和 α , 共 五 个 。 另 一 方 面 , 在ax ±2= 处 波 函 数 及 其 一 阶 导 数 连 续 ,计 有 四 个 方 程 , 再 加 上 一 个 全 x 轴 波 函 数 归 一 条 件 , 一 共 也 是 五 个 方程 , 可 供 决 定 这 五 个 未 知 数 。由 于 ( ln ψ ( x))′ ψ=ψ′( x), 在 边 界 上 函 数 和 其 一 阶 导 数 连 续 , 必 定 也 有 函( x)数 对 数 的 导 数 连 续 。 如 果 只 对 问 题 的 本 征 值 感 兴 趣 , 不 想 求 出 波 函 数 ,就 可 以 使 用 在 边 界 上 波 函 数 对 数 的 导 数 连 续 , 即⎧ ′ ′⎪( lnψI ( x)) = ( lnψII ( x))⎪⎨⎪ ′ ′( lnψII ( x)) = ( lnψIII ( x))⎪⎩aax=− x=−2 2aax= x=2 2(3.6a)这 样 做 的 好 处 是 在 边 界 条 件 等 式 中 预 先 消 去 了 待 定 系 数 A 、 B 、 C ,从 而 绕 过 对 它 们 的 计 算 而 直 接 去 决 定 本 征 值 E 。 于 是 在组 边 界 条 件 就 成 为ax ±2= 处 的 两也 即⎧ k′⎛ ka ⎞⎪ = ctg⎜−+ α ⎟k ⎝ 2 ⎠⎨⎪k′⎛ ka ⎞− = ctg⎜+ α ⎟⎪⎩k ⎝ 2 ⎠⎛ ka ⎞ ⎛ ka ⎞tg ⎜ + α ⎟ = tg⎜− α ⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠(3.6b)由 此 得 知 : 若 要 等 式 成 立 , 必 须 α = 0令π2π或 α = 。2先 讨 论 α = 情 况 , 这 时 ψ ( x) = Bcoskx。 边 界 条 件 为ka k′a= ξ , = η2 2, 上 面 条 件 成 为另 一 方 面 , 由 k 和 k′ 的 表 达 式 可 知IIk′⎛ ka ⎞= tg⎜⎟k ⎝ 2 ⎠η = ξ tgξ(3.7)49

22 2 ma V0ξ +η =(3.8)2联 立 方 程 (3.7) 和 (3.8) 即 可 得 出 此 问 题 的 能 谱 。 一 般 可 用 图 解 法 求2h解 , 即 在 ξ − η 平 面 上 , 以 坐 标 原 点 为 圆 心 , 半 径 为22ma V2h0做 圆 周 , 此圆 周 与η = ξ tgξ曲 线 的 交 点 即 为 所 求 的 ( η)相 应 的 能 量 本 征 值 E 。 由 于有ξ = 0,π ,2π, Lηξ tgξξ, 值 , 再 由 它 们 中 任 一 个 定 出= 曲 线 是 多 分 支 曲 线 ( 例 如 , 对 应 = 0η ,等 无 穷 多 个 值 ), 因 此 交 点 可 能 不 止 一 个 , 也 就 是 能 级 可能 不 止 一 个 , 具 体 多 少 个 要 看 半 径 大 小 , 也 就 是 V 0 大 小 而 定 。 但 无 论20aV 多 小 , 由 于 η = ξ tgξ曲 线 有 一 个 分 支 经 过 坐 标 原 点 , 所 以 它 与 圆 周至 少 有 一 个 交 点 ( 即 一 个 能 级 ) 存 在 。 就 是 说 , 无 论 方 势 阱 多 浅 多 窄 ,至 少 有 一 个 束 缚 定 态 存 在 。 具 体 见 图 三 .4.a。再 讨 论 α = 0 情 况 。 这 时 ψ ( x) = BsinkxII, 边 界 条 件 为η = −ξctgξ(3.9)2 2此 条 件 与 ξ +η =22ma V2h0相 结 合 , 用 图 解 法 即 可 定 出 相 应 能 谱 。 由 于 方2程 (3.9) 各 分 支 曲 线 都 不 经 过 原 点 , 这 两 个 条 件 方 程 有 无 交 点 要 看 V 0 a的 数 值 而 定 。 在 第 一 象 限 内 ( ≥ 0从π2也 即ξ , η ≥ 0), 当πξ = 时 η = 02, 并 且 当 ξ趋 向 π 时 η 从 0 趋 向 +∞ 。 因 此 若 要 有 交 点 , 圆 周 半 径 不 应 小 于π ,2ma2h2V022π≥4这 就 是 阱 中 能 够 存 在 形 式 为 sin kx 解 的 条 件 。显 然 , 当 V → +∞ , 这 里 的 结 果 将 趋 向 前 面 无 限 深 方 阱 的 结 果 。 作050

当 相 等 。 这 导 致 在 x = ± a 处 波 函 数 及 其 一 阶 导 数 连 续 的 边 界 条 件 , 于是 可 得Ae−ik1aik 1aik 2aik 2+ Be = Ce−+ Deaik 1aik 1Beak Ceik 2k AeaDeik 2a1(−− ) =2(−−Ceik 2aDeik 2aFeik 1+−=ak Ceik 2aDeik 2ak Feik 1( −−) =a21)为 便 于 计 算 , 将 这 些 方 程 改 写 成 矩 阵 的 形 式 ,⎛ −ik1⎜ea⎜ −ik1a⎝eik 1ea− eik 1a⎛ −ik2a⎞⎟⎛A⎞⎜ e⎜ ⎟ =⎟ ⎜ k2 −ik2a⎠⎝B⎠⎜e⎝ k1ik 2eak2− eik 2ak1⎞⎟⎛C ⎞⎟⎜⎟⎟⎝D⎠⎠⎛ ik 2a⎜⎜eik 2a⎝e−ik2a⎞ C ⎛ 1 ⎞⎟⎛⎞⎜ ⎟ =⎜ k ⎟eik a1eik 2aD ⎜ ⎟−− ⎟⎠⎝⎠⎝ k2 ⎠e 1F利 用 任 意 满 秩 二 阶 矩 阵 和 其 逆 矩 阵 的 关 系M⎛α β ⎞ −11 ⎛ δ=⎜⎟,M =⎜⎝γδ ⎠ αδ − βγ ⎝−γ− β ⎞⎟α ⎠可 得⎛ A⎞⎜ ⎟ =⎝ B⎠12⎛ ⎛ k ⎞⎜− ⎛ ⎞ +⎜⎜ +2i(k k ) a k i(k k ) a1 2⎜ −21 21⎟e1⎟e⎝ k1⎠⎝ k1⎠⎜⎛ k ⎞ −ik ⎛ ⎞ −⎜+ k a k i k −ka⎜ −2( )( )1 221⎟e⎜1+21⎟e⎝⎝k1⎠⎝ k1⎠⎛⎛ k1⎞ ik 2⎜ 1 e− a1 ⎜⎜ +k⎟⎛ ⎞2⎜ ⎟ =⎝ ⎠D 2⎜⎝ ⎠ ⎛ k1⎞eik 2⎜ 1a⎜ −⎝ k⎟⎝ 2 ⎠⎞⎟⎟eik a⎟⎟⎠C1F⎞⎟⎟⎛C ⎞⎟⎜⎟⎟⎝D⎠⎠消 去 C 、 D 两 个 系 数 , 由 这 两 组 方 程 可 得 势 垒 两 边 波 函 数 振 幅 之 间 的关 系 ,52

象 称 为 共 振 透 射 。 出 现 这 种 现 象 的 原 因 是 , 这 时 在 势 垒 第 一 个 界 面 上反 射 的 波 和 势 垒 第 二 个 界 面 上 反 射 ( 包 括 在 势 垒 中 往 返 多 次 反 射 ) 再透 过 势 垒 传 向 第 一 区 的 反 射 波 相 消 干 涉 , 从 而 使 第 一 区 中 的 反 射 波 消失 。 光 学 中 已 经 知 道 , 在 一 个 介 质 层 两 侧 的 两 个 反 射 波 之 间 有 附 加 π位 相 差 存 在 。 现 在 , 在 势 垒 两 个 界 面 ± a 上 的 反 射 情 况 类 似 于 一 个 介质 层 两 侧 的 反 射 情 况 , 从 而 知 道 这 两 个 反 射 波 之 间 已 有 π 位 相 差 存在 。 因 此 , 只 要 在 势 垒 中 往 返 的 附 加 程 差 为 波 长 的 整 数 倍 , 即便 导 致 两 束 反 射 波 的 相 消 干 涉 。4k 2a = 2nπ这 种 共 振 透 射 现 象 在 波 动 现 象 里 普 遍 存 在 。 比 如 , 光 学 薄 膜 的 无反 射 透 射 、 波 导 中 的 阻 抗 匹 配 以 及 低 能 电 子 从 惰 性 气 体 上 散 射 的1Ramsauer-Townsend 效 应 等 等 。《 第 二 种 情 况 》—— 入 射 粒 子 总 能 量 低 于 势 垒 E < V0。 这 时 由 左 入 射粒 子 的 波 函 数 在 I、III 区 中 形 式 不 变 , 只 有 第 II 区 它 改 变 为这 里 指 数 λ 为ψ ( x) = Ce−λx+ Deλx( − a〈 x〈 a)(3.16)IIλ =2m(V0 − E)h此 时 求 解 可 利 用 前 面 的 结 果 , 只 要 在 前 面 公 式 中 将 k 2→ iλ, 并 利 用 下面 公 式sin( iz) = ishz , cos( iz)= chz1 Ramsauer-Townsend 效 应 更 容 易 在 小 原 子 的 散 射 中 观 察 到 。 详 见 H。A。Bethe,R。W。Jackiw,Intermediate Quantum mechanics,third edition, The Benjamin/Cummings Publishing Company, 1986,p。259。54

就 能 得 到 此 时 结 果 为TF2= =(3.17)2A2 1 ⎛ λ k1⎞2ch ( 2λa) + ⎜ − ⎟ sh ( 2λa)4 ⎜⎝ k11λ ⎟⎠R14⎛ λk1 2sh ( 2λa)2⎜ +Bk λ⎟⎝ 1 ⎠= =(3.18)2A2 1 ⎛ λ k1⎞2ch ( 2λa) + ⎜ − ⎟ sh ( 2λa)4 ⎜⎝ k1⎞2λ ⎟⎠同 样 , 依 然 有T + R = 1理 由 当 然 还 是 和 前 种 情 况 一 样 。 当 λ a >> 1, 即 势 垒 较 高 、 透 射 不 容 易的 情 况 下 ,1⎛ λk⎞1T ≈ = 16 e−4λa2⎜2 2a λ k ak λ⎟(3.19)1e4λ1 ⎛1⎞ 1e4λ⎝ 1+ ⎠+4 4⎜ −k1λ⎟⎝ ⎠ 4这 时 T 和 a 的 关 系 呈 负 指 数 衰 减 的 形 式 。 这 里 的 分 析 对 许 多 势 垒 隧 穿现 象 ( 隧 道 效 应 )—— 如 α 粒 子 衰 变 等 , 有 重 要 应 用 。3, 一 维 谐 振 子 问 题在 经 典 力 学 中 , 一 维 谐 振 子 问 题 是 一 个 基 本 问 题 , 它 是 物 体 位 置或 其 它 物 理 量 在 平 衡 值 附 近 作 小 振 动 、 小 摆 动 、 小 涨 落 等 问 题 的 理 想化 的 概 括 。 在 量 子 力 学 中 , 不 但 情 况 类 似 。 甚 至 一 维 量 子 谐 振 子 问 题更 为 基 本 。 因 为 它 不 仅 仅 是 微 观 粒 子 在 势 场 稳 定 平 衡 位 置 附 近 作 小 振动 等 一 类 常 见 问 题 的 理 想 概 括 , 而 且 还 是 将 来 的 场 量 子 化 的 基 础 。众 所 周 知 , 处 在 势 场 中 的 粒 子 在 其 平 衡 位 置 附 近 作 小 振 动 时 , 可对 势 场 V(x) 作 Taylor 展 开 并 只 保 留 到 最 低 阶 不 为 零 的 项 。 设 平 衡 位置 x0= 0 , 选 取 能 量 标 度 的 零 点 使 V(0)=0, 在 平 衡 位 置 处 一 次 项 应255

当 消 失 , 即 V ′() 0 = 0 , 于 是11V ( x)= VL ′ x2222( 0) + V ′( 0) x + V ′′( 0) x + ≅ V ′(0)如 果 平 衡 是 稳 定 的 则 有 V ′′(0) > 0 。 除 非 振 动 的 幅 度 比 较 大 , 否 则 不 必进 一 步 考 虑 展 开 式 中 非 简 谐 的 高 阶 项 。 这 类 物 理 问 题 的 例 子 很 多 , 比如 , 原 子 核 内 核 子 ( 质 子 或 中 子 ) 的 简 谐 振 动 、 原 子 和 分 子 的 简 谐 振动 、 固 体 晶 格 上 原 子 的 简 谐 振 动 、 甚 至 一 个 多 自 由 度 系 统 在 其 平 衡 态附 近 的 小 涨 落 、 小 振 动 、 小 摆 动 等 等 , 在 引 入 简 正 坐 标 之 后 也 可 以 约化 为 一 系 列 退 耦 的 一 维 谐 振 子 运 动 的 叠 加 。总 上 所 述 , 一 维 量 子 谐 振 子 的 位 势 可 表 示 为相 应 的 Schr o&dinger 方 程 是V ( x)x1 2 2= mω(3.20a)22− h2m2d ψ ( x)1 2 2+ mωx ψ ( x)= Eψ( x)2dx 2(3.20b)显 然 , 由 于 x → ∞ 时 V ( x) → ∞ , 所 以 ψ ( x) ⎯⎯x →⎯∞→0, 即 在 这 种 平 方 增 长 势阱 的 囚 禁 作 用 下 , 粒 子 运 动 将 是 局 域 化 的 。 为 方 便 计 算 , 将 方 程 自 变数 无 量 纲 化 , 引 入 自 变 数 变 换ξ =mωxh2E并 令 λ = , 可 得hω2d ψ ( ξ )2+ ( λ −ξ) ψ ( ξ ) = 02dξ这 里 , 为 节 约 符 号 仍 然 记 ψ ( ξ ) = ψ ( x)。 下 面 求 解 这 个 方 程 。 当 ξ → ∞ 时 ,2这 个 方 程 趋 于 方 程 ψ ′ − ξ ψ = 0 , 可 知 解 ψ ( ξ ) 在 大 数 值 ξ 的 渐 近 行 为 中56

2ξ±起 主 要 作 用 的 因 子 为 e2。 略 去 含 e2的 一 个 , 因 为 它 会 导 致 波 函 数 不能 平 方 可 积 。 于 是 引 入 函 数 变 换2ξ+2ξ−2( ) = e ϕξ ( )ψξ这 样 , 这 个 未 知 函 数 ψ 方 程 就 转 化 为 下 面 ϕ 方 程 ,2d ϕ dϕ− 2ξ+ ( λ −1)ϕ = 02dξdξ由 于 此 方 程 在 ξ 有 限 值 处 均 无 奇 点 , 可 以 设 定 解 的 形 式 为 幂 级 数 ,= ∑ ∞ ϕ ( ξ ) anξ=0n其 中 an为 一 系 列 待 定 系 数 。 将 这 个 待 定 解 代 入 ϕ 的 方 程 , 逐 项 决 定 其n系 数 an,∑n=2n(n −1)a ξnn−2− 2∑n=1na ξnn+ ( λ −1)∑n=0a ξnn= 0此 方 程 要 求 左 边 相 同 幂 次 各 项 的 系 数 之 和 为 零 。 由 此 就 得 到 系 数 an之间 有 如 下 递 推 关 系( n2λ)+ 2)( n + 1) an+= (1 + 2n− a n注 意 这 里 奇 次 幂 项 之 间 的 递 推 ( 由 a1出 发 ) 和 偶 次 幂 项 之 间 的 递 推 ( 由a0出 发 ) 各 自 独 立 进 行 。 于 是 可 以 分 开 奇 、 偶 项 的 求 和 。 如 果 参 数 λ数 值 不 等 于 某 个 正 奇 数 , ( 1 + 2n − λ)就 总 不 会 等 于 零 , 这 个 递 推 公 式 将一 直 工 作 下 去 直 到 无 穷 , 解 就 成 为 一 个 无 穷 级 数 ,ϕ∞∞2m( ξ ) = ∑ a2mξ+ ∑m=0当 ξ → ∞ 时 , ϕ ( ξ ) 的 渐 进 性 质 主 要 取 决 于 m 较 大 的 项 。 现 在 当 m 很 大 时 ,由 递 推 关 系 可 知 , 奇 偶 项 两 个 无 穷 级 数 的 各 自 相 邻 项 的 比 值 都 趋 于m=0a2m+1ξ2m+157

这 正 是 指 数 函 数可 知 , 这 将 导 致e22ξaa+,( 当 n 很 大 )n 2 2→nn的 展 开 式 当 ξ 幂 次 很 大 时 相 邻 两 项 的 比 值 。 由 此2−ξ 2ξ → ∞ 时 ψ ( ξ ) ϕ ( ξ )= e 的 发 散 , 不 符 合 对 ψ ( ξ ) 的 物 理要 求 。 由 这 个 分 析 可 知 此 幂 级 数 应 当 截 断 , 即 参 数 λ 是 某 个 正 奇 数 ,记 为 λ = 2 n + 1。 这 时 系 数 递 推 将 终 止 在 有 限 的 第 n 项 。 而 ϕ 的 方 程 就 成为 n 阶 厄 米 方 程 ,其 解 为 n 阶 的 厄 米 多 项 式 ( ξ )它 们 前 几 个 是 :2d ϕ dϕ− 2ξ+ 2nϕ= 02dξdξH ,nn −ξ2 n ξ d e=n( −1) enϕ( ξ ) H ( ξ ) =dξ2H ( ξ ) = 10H ( ξ ) = −2+ 4ξ2H ( ξ ) = 12 − 48ξ422+ 16ξ这 些 H ( ξ ) 具 有 以 下 正 交 归 一 性 质n4H ( ξ ) = 2ξ1H ( ξ ) = −12ξ+ 8ξ3H ( ξ ) = 120ξ−160ξ+ 32ξ5335(3.21)∫ + ∞−∞H并 且 满 足 递 推 关 系 :m2−ξ⎧ 0 , m ≠ n( ξ ) Hn( ξ ) e dξ= ⎨(3.22)n⎩2π n!, m = n2ξe 2 H n⎧dHn⎪⎨ dξ⎪⎩Hn+1( ξ )= 2nHn−1 ( ξ )(3.23)( ξ ) + 2nH( ξ ) = 2ξH( ξ )n−1−而 波 函 数 解 ψ ( ξ ) = ( ξ ) 也 将 满 足 波 函 数 的 各 项 条 件 。 于 是 , 一 维量 子 谐 振 子 的 能 谱 和 波 函 数 的 表 达 式 为n58

⎧ mω4 n⎪ ψn( x)= ( ) (2 n!)⎪ πh⎨⎪1En= ( n +2)hω⎪⎩1 21−2emω−2hxHn(mωx)h( n = 0,1,2, L)(3.24)这 里 ψ (x)已 经 归 一 化 了 。 前 三 个 能 级 的 几 率 分 布 ψ ( x) 2见 图 1 。n由 于 量 子 谐 振 子 问 题 十 分 重 要 , 下 面 简 要 讨 论 并 小 结 一 下 量 子 谐振 子 的 有 关 结 果 :首 先 , 计 算 任 一 能 量 本 征 态 的 平 均 动 能 和 平 均 势 能 。第 二 章 中 已 用 Virial 定 理 证 明 过 , 这 时 平 均 动 能 等 于 平 均 势 能 。 现在 用 另 一 种 办 法 来 直 接 计 算 。 前 面 叙 述 过 , 不 显 含 时 间 的 算 符 在 任 一定 态 中 的 平 均 值 将 不 随 时 间 改 变 。 现 将 此 结 论 用 到 算 符 Ω ˆ =( 以 下 略 去 算 符 记 号 “ ∧ ”)npˆ ˆx上 , 有0 =ddt1=ih1=ih1px =ih⎡2p ⎤p⎢x,⎥ +⎣ 2m⎦2[ px,H ][ p,V ]p ∂Vih− ihxm ∂xx∴T = V(3.25)这 说 明 在 谐 振 子 的 任 一 定 态 下 , 动 能 与 势 能 的 平 均 值 相 等 。 即 , 平 均值 情 况 符 合 经 典 图 象 。其 次 , 强 调 指 出 , 在 能 量 本 征 值 问 题 上 量 子 谐 振 子 与 经 典 振 子 有两 个 显 著 不 同 的 特 点 : 第 一 , 能 量 本 征 值 随 量 子 数 n 的 变 化 不 但 是 断续 的 , 而 且 是 等 间 距 的 , 间 距 h ω 只 和 振 子 的 固 有 频 率 有 关 。 这 正 阐明 了 Planck 能 量 子 h ω 假 设 的 物 理 根 据 。 因 为 , 任 何 量 子 系 统 , 如 果1 L. 泡 令 ,E. B. 威 尔 迪 ,“ 量 子 力 学 导 论 ”, 第 69-70 页 , 科 学 出 版 社 ,1964 年 。59

可 以 认 为 它 在 做 简 谐 振 动 , 那 么 它 的 能 谱 特 征 都 是 如 此 ( 绝 对 黑 体 空2腔 内 的 电 磁 场 也 不 例 外 )。 能 谱 的 这 种 均 匀 间 距 特 征 和 势 场 为 x 形 式密 切 相 关 。 第 二 , 最 低 能 态 ( 通 常 称 为 “ 基 态 ”) 的 总 能 量 并 不 为 零 ,而 是 大 于 零 :E1 1 m 24 ω0)h⎛ mω⎞ −2x= hω, ψ0( x = ⎜ ⎟ e(3.26)2⎝ πh⎠这 个 E0称 为 零 点 能 。 就 是 说 , 当 温 度 趋 于 绝 对 零 度 时 , 无 论 是 电 磁 场的 简 谐 振 动 还 是 晶 体 点 阵 上 的 原 子 振 动 均 已 处 在 基 态 。 但 按 照 量 子 力学 的 观 点 , 作 为 量 子 谐 振 子 , 它 们 却 依 然 在 振 动 着 。 因 为 , 这 时 平 均动 能 大 于 零 , 而 且 平 均 平 方 位 移 也 不 等 于 零 :⎧⎪T⎨⎪( Δx)⎩1= hω42=x2=1 h2 mω(3.27)其 中 第 二 个 方 程 的 推 导 见 下 。 这 两 个 物 理 量 不 为 零 的 确 表 明 量 子 谐 振子 仍 然 在 振 动 着 。 这 种 振 动 常 被 称 为 零 点 振 动 。 事 实 上 , 低 温 下 x − 射线 Bragg 弹 性 散 射 强 度 分 布 依 然 和 刚 性 点 阵 结 果 不 符 , 说 明 这 时 点 阵的 零 点 振 动 依 然 存 在 。 同 样 , 后 面 第 八 、 第 九 章 中 将 讨 论 由 电 磁 场 这种 零 点 振 动 所 造 成 的 可 观 测 的 物 理 效 应 ——Casimir 效 应 和 Lamb移 动 。“ 能 量 量 子 化 ” 和 “ 零 点 能 存 在 ” 是 量 子 振 子 能 谱 不 同 于 经 典振 子 能 谱 的 两 大 特 点 。 而 且 ,“ 存 在 零 点 能 ” 的 现 象 即 使 在 Planck 假设 中 也 是 没 有 表 现 出 来 的 。 这 两 个 特 点 都 是 粒 子 波 动 性 的 体 现 : 前 者由 于 粒 子 de Broglie 波 的 自 身 干 涉 ; 后 者 来 源 于 粒 子 de Broglie 波 所固 有 的 不 确 定 性 关 系 , 说 明 动 能 为 零 值 的 de Broglie 波 没 有 什 么 意 义60

1 。 实 际 上 对 谐 振 子 基 态 有1hω=41hω=4TV1= p2m1= mω212( Δp)22=m12 22x= mω2( Δx) 2这 里 , 由 于 ≡ p = 0令p , ≡ x = 022x , 所 以 p ( p − p) ≡ Δp2= , 2x 也 类 似 。 若Δ p =( Δp) 2 , Δx= ( Δx) 2则 有hΔ ⋅ Δp=2x (3.28)所 以 , 量 子 谐 振 子 的 基 态 是 具 有 “ 最 小 不 确 定 度 ” 的 状 态 ( 这 是Schr odinger & 研 究 的 最 早 的 相 干 态 , 详 见 第 五 章 有 关 叙 述 )。第 三 , 研 究 量 子 谐 振 子 向 经 典 谐 振 子 过 渡 的 问 题 。 图 三 .7 是 n 较大 时 的 情 况 。 图 中 虚 线 代 表 按 经 典 观 点 , 在 谐 振 子 势 阱 中 找 到 质 点 的几 率 密 度 分 布 ( 单 位 长 度 内 发 现 粒 子 的 几 率 )。 由 图 可 以 看 到 , 就 平均 而 言 , 当 量 子 数 n 越 大 , 量 子 结 果 和 经 典 结 果 越 接 近 。 其 中 , 经 典ρ经按 下 面 方 法 计 算 出 : 当 质 点 能 量 为 E 时 , 它 被 绝 对 地 限 制 在 由 下 式决 定 的 区 间 [ X , X ]− 之 内 :1 2 2E = mωX2在 x 处 dx 间 隔 内 的 粒 子 出 现 的 几 率 dP ( x)= ρ dx 正 比 于 它 在 该 处 dx 间 隔经1一 个 态 不 可 能 平 均 动 能 为 零 。 证 明 :( 用 坐 标 表 象 表 示 也 可 , 因 为 可 转 到 动 量 表 象 )0 =2pT =2m2+∞ p= ∫ ψ ( p)−∞2m⇒ψ( p)= 0=2∫* 2pψ ( p)ψ ( p)dp2m+∞−∞dp61

规 则 , 腔 中 热 辐 射 电 磁 场 所 含 频 率 ω 将 是 连 续 的 , 在 ω → ω + dω区 间内 的 自 由 度 数 可 按 经 典 理 论 计 算 。4, 一 维 均 匀 势 场 问 题1这 是 如 下 一 些 问 题 的 概 括 : 重 力 场 中 的 粒 子 和 均 匀 电 场 中 带 电 q的 粒 子 。 当 重 力 方 向 或 电 场 强 度 E v 的 方 向 指 向 负 x 轴 时 , 势 能 ( 不 计任 意 常 数 ) 均 可 表 示 为V ( x)= Fx(3.29a)这 里 F = mg 或 q Ev 。 这 两 个 势 能 里 的 零 点 ( 也 即 x 坐 标 的 零 点 选 择 )可 根 据 题 意 选 定 。 所 选 V 的 零 点 不 同 仅 仅 相 当 于 系 统 总 能 量 E 的 零点 的 定 义 不 同 , 并 不 给 问 题 带 来 实 质 性 的 变 化 。考 虑 如 图 的 问 题 。 在 x = −x0处 , 有 一 刚 性 墙 壁 ( 在 此 处 势 突 变 升至 + ∞ ) 2 。 此 时 的 Schr o&dinger 方 程 为2mψ ′ ( x)+ ( E − Fx)ψ ( x)= 02h(3.29b)引 入 无 量 纲 参 数当 ξ = 0 时 , x⎛ 2mF ⎞1/ 3⎛ E ⎞ξ = ⎜ ⎟ ⎜ x − ⎟2⎝ h ⎠ ⎝ F ⎠E= x 1≡ , 从 经 典 观 点 来 看 , 这 是 能 量 为 E( 现 假 定 E >0)F的 粒 子 所 能 达 到 的 最 大 高 度 。 就 是 说 , 以 此 点 为 分 界 线 , ξ > 0 为 经 典不 容 许 区 域 ; ξ < 0 为 经 典 容 许 区 域 。 在 这 样 的 自 变 数 替 换 下 ,Schr odinger &方 程 变 为 Airy 方 程1关 于 量 子 力 学 和 重 力 、 非 惯 性 参 照 系 及 等 效 原 理 的 讨 论 可 见 张 永 德 、 裴 寿 镛 , 大 学 物 理 , 第 11 卷 , 第 4期 , 第 1 页 ,1992 年 。2− ∞为 防 止 此 量 子 系 统 塌 缩 ( 至 势 能 为 处 ), 这 个 假 定 是 必 要 的 。 实 际 上 , 前 面 哈 密 顿 量 H 本 征 函 数 族 完备 性 的 叙 述 以 及 后 面 的 一 维 完 备 性 定 理 均 假 定 H 有 下 界 。63

ψ ′ ( ξ ) −ξψ( ξ ) = 0(3.30)它 的 两 个 线 性 无 关 解 (ξ )A 和 B (ξ )ii均 称 为 Airy 函 数1 , 其 中 ,Bi (ξ ) ⎯ ⎯ξ → ⎯+∞ →+∞不 符 合 物 理 边 条 件 , 应 当 捨 去 ( 这 是 因 为 , 当 x → +∞时 V (x) → +∞ , 必 有 ψ ( x)→ 0 ), 所 以 在 [ −x0, +∞)区 域 内 有 限 且 平 方 可 积的 解 为∫ ∞ 3α ⎛ u⎟ ⎞ψ ( ξ ) = αAi(ξ ) = cos⎜ + ξ u du0π ⎝ 3 ⎠这 里 α 为 [ −x0, +∞)区 间 上 的 归 一 化 系 数 。 为 运 算 方 便 , 按 ξ 大 于 或 小 于0 的 情 况 分 别 将 ψ ( ξ ) 写 为ψ( ξ )⎧⎪αAi= ⎨⎪αAi⎪⎩( ξ )( ξ )α ξ ⎛ 2 ⎞= K3/ 21/ 3⎜ξ ⎟ ,ξ > 0π 3 ⎝ 3 ⎠α ξ ⎡ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎤= ⎢J− ⎜3/ 2⎟ + ⎜3/ 21/ 3ξ J1/3ξ ⎟⎥,ξ < 03 ⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦应 用 ψ ( − x 0) = 0的 边 界 条 件 , 得 到 决 定 能 量 本 征 值 的 方 程 为(3.31)33⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞22J ⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 ξ0+1 0= 03Jξ3(3.32)−3 ⎝ ⎠ 3 ⎝ ⎠上 式 中 的ξ0⎛ 2mF= ⎜2⎝ h13⎞⎟⎠⎛⎜ x⎝0+EF⎟⎠⎞。 满 足 这 个 方 程 的 所 有 E 值 的 集 合 即 为 此问 题 的 能 谱 。 注 意 , 由 于 − x0处 的 边 界 条 件 已 将 粒 子 局 域 化 , 所 以 能谱 呈 现 出 分 立 的 情 况 。讨 论 :i, 如 上 所 述 ,[ ,0]− 区 域 是 经 典 容 许 区 域 。 现 计 算 向 经 典 趋 近 时 ,ξ 0此 区 域 中 粒 子 在 不 同 位 置 出 现 的 几 率 分 布 P(x)。 这 时 可 假 设 h → 0 ,1关 于 Airy 函 数 可 参 见 M.Abramowitz, I.A.Stegum, “Handbook of Mathematical Functions”, P.446, DoverPublications, Inc., New York; Л.Д. 朗 道 等 ,“ 量 子 力 学 ( 非 相 对 论 理 论 )“, 上 册 , 附 录 b;J.Phys.A.:Math.Gen.15(1982)L463-L465; J.Phys.A.:Math.Gen.16(1983)L451-L453 等 ; 泡 利 物 理 学 讲义 ,5。 波 动 力 学 , 第 110 页 , 人 民 教 育 出 版 社 ,1983。64

也 即 ξ → +∞ . 利 用 贝 塞 尔 函 数 J v(z)的 渐 近 表 达 式 1 ,代 入 上 面 ( ) ξψ( ξ )Jv( z)2 ⎛ vππ ⎞cos⎜z − − ⎟πz⎝ 2 ⎠z⎯ ⎯→ ⎯+∞ →4ψ 在 ξ < 0 区 域 中 的 表 达 式 , 得α ξξ →+∞⎯⎯⎯→3==αξπαξπ−1 / 4−1 / 422π ⋅ ξ33 / 2⎛ 2cos⎜ξ⎝ 3⎛ 2sin⎜ξ⎝ 3⎧ ⎛ 2⎨cos⎜ξ⎩ ⎝ 33 / 23 / 2−+π ⎞⎟4 ⎠π ⎞⎟4 ⎠3 / 2π π+ −6 4⎞⎟ +⎠⎛ 2cos⎜ξ⎝ 33 / 2π π ⎞⎫− − ⎟⎬6 4 ⎠⎭由 于 势 场 V(x) 随 x 变 化 , 这 相 当 于 折 射 率 n 为 非 均 匀 的 介 质 中 光 波波 包 的 运 动 2 , 这 时 等 效 波 长 λ = λ(x)是 位 置 x 的 函 数 , 由 于得当 → 02 3 / 22πxξ = k(x)⋅ x =3λ(x)3πhxλ ( x ) =〈 x2( 2mF) 1 /( x − x)13 / 2( − x 〈 x )h 时 , λ ( x) → 0 , 发 生 快 速 振 荡 。 将 此 快 速 振 荡 抹 平 , 也 即 在 宏 观尺 度 下 讨 论 位 置 分 布 概 率 时 , 实 际 上 已 就 很 多 个 λ 的 空 间 范 围 取 了 平均 。 这 样 一 来 , 在x → x + dxP(x)dx = ψ ( x)内 找 到 粒 子 的 概 率 便 成 为22 −1/2 2 3/ 2 παdx =πξ⎛ 2sin ⎜ ξ⎝ 3⎞+ ⎟dx4 ⎠01∝1dx ∝ξ1dxx − x1另 一 方 面 , 按 经 典 观 点 有1 M.Abramoutitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions, P.364。2 E. 费 米 , 量 子 力 学 , 第 1、2 章 , 西 安 交 通 大 学 出 版 社 ,1984 年 。65

得122mv + Fx =Fx1v2Fm=1( x − x)并 且 在 dx 内 找 到 此 经 典 粒 子 的 几 率 正 比 于 它 在 此 处 的 速 率 ,1P(x)dx ∝ dx ∝v1dxx − x1可 知 当 h → 0 时 , 量 子 力 学 分 布 趋 于 经 典 分 布 。ii, 对 ξ > 0 的 区 域 , 按 经 典 观 点 是 禁 止 区 域 。 但 按 量 子 力 学 , 仍 能有 一 定 的 几 率 在 此 区 域 内 发 现 粒 子 。 这 显 然 又 是 物 质 粒 子 de Broglie波 波 动 性 的 表 现 , 是 纯 粹 的 量 子 效 应 。 当 x → +∞( 即 ξ → +∞于ψ 在 ξ > 0 区 域 的 表 达 式 可 得由 ( ) ξψ( ξ )Kvπzz( z) ⎯ ⎯⎯+∞ → e− z→2ξ α⎯⎯→ξ−1/42 π⎯ →+∞e2− ξ3 / 23) 时 , 由表 明 在 此 区 域 内 的 概 率 分 布 随 x 增 加 而 迅 速 衰 减 , 这 显 然 是 由 于 外 场的 势 能 呈 线 性 增 长 并 最 终 变 得 很 大 的 缘 故 。 而 当 h → 0( ξ → +∞ ) 时 ,ψ ( ξ ) → 0 , 此 区 域 就 逐 渐 变 成 经 典 运 动 的 禁 区 。※ iii, 现 在 来 研 究 取 消 − x0处 刚 性 墙 的 约 束 而 出 现 的 现 象 。 这 时可 认 为 x → +∞ , 利 用 (z)的 渐 进 表 达 式 , 将 前 面 的 能 量 本 征 值 方 程简 化 为0J v66

⎛⎜⎜⎜ 2π ξ 0⎝ 31/ 3⎡ ⎛ 2⎢cos⎜ξ 0⎣ ⎝ 32 3/ 23/ 23/ 2⎞⎟⎟⎟⎠π π ⎞ ⎛ 2+ − ⎟ + cos⎜ξ 06 4 ⎠ ⎝ 3π π ⎞⎤− − ⎟ = 06 4⎥⎠⎦即⎛ 2sin⎜ξ⎝ 3⎞+ π ⎟4 ⎠3 / 20=0也 即2 3/ 2 πξ 0 + = n π ( 当 ξ 0 >> 1, 或 等 效 的 , n >> 1)3 4于 是12 2 21 ⎛ 9πh F ⎞ 3⎛ 1 ⎞ 3x0 ) = ⎜ − ⎟ −0,〉〉2⎜⎟ n x Fn⎝ m ⎠ ⎝ 4 ⎠E n(02( x → ∞并 且 1)这 里 n 的 选 取 要 足 够 大 , 以 保 证 在 足 够 大 的 x 0 时 , 仍 然 有 ( x 0 ) > 0E n 。由 于 En是 待 定 的 参 数 , x 0和 n 都 是 独 立 变 数 (n 的 变 化 只 限 于 整 数 范dE围 ), 鉴 于 这 时 n ⎯⎯→n→ ⎯∞x00, 所 以 ⎯⎯ → +∞,nE ⎯⎯→+∞n( x0) ⎯⎯ →连 续 变 化 , 从dn而 过 渡 到 连 续 谱 情 况 。 详 细 可 参 见 文 献 1 。※5, Kronig-Penney 问 题Kronig-penney 势 是 从 晶 体 的 周 期 势 抽 象 出 的 模 型 ( 图 三 。9)。 当两 个 独 立 的 方 势 阱 彼 此 靠 近 时 , 将 会 相 互 影 响 , 使 原 先 两 个 阱 中 每 个能 级 的 空 间 波 函 数 以 对 称 或 者 反 对 称 方 式 组 合 连 接 起 来 , 于 是 每 个 能级 也 就 相 应 劈 裂 成 两 个 。 这 样 , 当 许 多 方 势 阱 彼 此 靠 近 而 形 成Kronig-penney 势 时 , 在 此 势 中 运 动 的 电 子 , 原 先 能 谱 的 每 个 能 级 都将 劈 裂 、 拓 宽 成 为 一 个 能 带 。 这 是 晶 体 中 电 子 运 动 的 最 重 要 特 征 。 由此 出 发 可 以 定 量 或 半 定 量 地 解 释 固 体 中 的 许 多 现 象 。 现 在 来 处 理 这 一1朗 道 , 非 相 对 论 量 子 力 学 , 上 册 , 第 92 页 , 高 等 教 育 出 版 社 ,1983 年 。67

重 要 问 题 。1设 电 子 总 能 量 E < V0, 作 为 一 般 考 虑 , 假 定 第 n 谷 中 的 波 函 数 为ik x−nl−ikx−nl( x)= A e1( )1()ψ + B e , (( n −1)l + a) < x < ( nl − a)(3.33a)nn于 是 第 0 至 第 1 谷 情 况 区 段 中 波 函 数 解 为⎧⎪A eik1x+ B e−ik1x00 , 在 第 0谷 里− x x⎨ 00⎪ −⎪A eik1leik1x+ B eik1le−ik1x11, 在 第 1谷 里⎩n− l + a < x < −a⎪ψ ( x)= C eλ+ D eλ, 在 第 0垒 里 − a < x < a (3.33b)a < x < l − a这 里 h k1 = 2mE, hλ= 2m(V0− E)。 注 意 , 系 数 A1、 B 1中 分 别 含 有 相ik l因 子 e 、 1 −e ik 1 l ( 就 是 说 , 为 方 便 起 见 , A 1、 B 1采 用 了 和 上 面 一 维 势垒 例 子 不 同 的 新 定 义 )。 把 x = ± a 处 的 四 个 边 界 条 件 写 成 矩 阵 形 式 ,⎛ 1⎜ eik x⎜1⎝ik1eik x− 1eik x−− 1ik eik x1⎞⎟⎟⎠x=−a⎛ A⎜⎝ B00λ⎞ ⎛⎜⎟ =e− x⎠⎜⎝−λe−λxeλxλeλx⎞⎟⎟⎠x=−a⎛ C⎜⎝ D00⎞⎟⎠⎛⎜ e−λx⎜⎝−λe−λxeλxλeλx⎞⎟⎟⎠x=a⎛ C⎜⎝ D00⎛⎞ ⎜ik1(x−l)⎟ =e⎜⎠ik1(x−l)⎝ik1e−ik1(x−l)e−ik1(x−l)− ik e1⎞⎟⎟⎠x=a⎛ A1⎞⎜⎟⎝ B1⎠于 是⎛ 1 − − 1⎛ A ⎞ ik ( a l)ik ( a−l)⎞1⎜ ⎟ =⎜ ee⎟⎜ − − −⎝ B ⎠ik 1(a l)ik 1(a l)⎟1⎝ik1e− ik1e⎠−1⎛− ⎞ ⎛ −ik1a⋅⎜eλaeλa⎟ ⎜ e⎜− ⎟ ⎜ − 1⎝−λeλaλeλaik a⎠ ⎝ik1e−1⎛⎜ e−λa⎜ −⎝−λeλa1eik a1− ik eik a按 上 例 中 逆 矩 阵 的 一 般 公 式 求 出 两 个 逆 矩 阵 , 即 得1eλaλeλa⎞⎟⎛ A⎜⎟⎠⎝B00⎞⎟⎠⎞⎟⎟⎠⎛ A ⎛1 ⎞= ⎜⎜⎟⎝ B ⎠ ⎜1⎝−2ikaik l( ch( 2λa) − iεsh( 2λa)) e1e1− iηsh( 2λa)( )− 1iηsh 2λaeik l( ch( 2λa) + iεsh( 2λa))1eik l2ik1a−ik1e el⎞⎟⎛A⎜⎟⎠⎝B00⎞⎟⎠1参 见 E. Merzbacher, Quantum Mechanics, P.100, John Wiley & Sons, Inc., 1961。68

这 里于 是 有以 及⎛ ⎞ ⎛ ⎞=1 λ k11 λ⎜ −⎟,η =⎜ +k⎟2 ⎝ k1 λ ⎠ 2 ⎝ k1λ ⎠ε1⎧α1= ch⎨⎩β1= ch。 令 β2= η sh( 2λa)和 ( ( ) ( )) 2 1ch 2λaiεsh 2λae− ik a= α1− iβ1( 2λa) cos( 2k1a) − εsh( 2λa) sin( 2k1a)( 2λa) sin( 2ka) + εsh( 2λa) cos( 2ka)12 2 2α + β − β 1。1 1 2 =这 里 α 1 , β 1 , β 2 均 为 实 数 。 最 后 得 系 数 递 推 公 式− ,1⎛Ω = ⎜⎜⎝⎛ A⎜⎝ B这 里 , n 取 任 意 整 数 。nn⎞ ⎛ A⎟ = Ω⎜⎠ ⎝ B( α − iβ)n−1n−1ik 1l1 1ei e−ik1βl2⎞⎟ = Ω⎠n⎛ A⎜⎝ B00⎞⎟⎠−ik 1iβel ⎞2−ikl( )⎟ ⎟ 1α1+ iβ1e ⎠(3.34a)(3.34b)下 面 讨 论 Kronig-penney 势 的 能 谱 问 题 。 为 此 , 先 来 考 查 这 个 系数 递 推 矩 阵 Ω 的 本 征 值 。 设 Ω 的 两 个 本 征 值 为 ω±, 即det2( − ω ) = 0 ( 即 , ω − ω Ω + det Ω = 0)Ω ± ±由 (3.31) 式 , 可 得 det Ω = 1, 于 是± tr⎧⎪1 ⎛ 1 ⎞ω ± = trΩ ± ⎜ trΩ⎟⎪ 2 ⎝ 2 ⎠⎨ω+ + ω − = trΩ = 2 1⎪ω⋅ =⎪+ ω − 1⎪⎩2−1( α cos( k l) + β sin( k l))111(3.35)根 据 阱 中 波 函 数 必 须 有 限 的 物 理 要 求 , 可 得 如 下 限 制 条 件121trΩ≤ 1,2即 α cos( k l) + β sin( k l) 1(3.36)1 1 1 1 ≤这 是 因 为 , 如 果 tr Ω > 1, 由 ω±表 达 式 可 知 两 个 ω±中 必 有 一 个 的 模 值n1大 于 1。 不 失 一 般 性 取 ω + > 1, 于 是 lim ω + = +∞ , 而 同 时 ω −= , 又 ωn→+∞+69

lim − , 这 将 导 致 x → ±∞n→−∞n有 ω = +∞理 要 求 的 。 当 Ω = 11tr , + = ω − = 12处 的 阱 中 波 函 数 发 散 , 这 是 违 背 物12*ω 。 当 tr Ω < 1时 , ω ±均 为 复 数 , 且 ω−= ω +,但 又 由 于 ω+⋅ω−= 1, 因 此 ω±的 模 均 为 1, 从 而 可 将 它 们 记 为ωeikl+= ω−= e−ikl实 参 数 k 和 能 量 E 有 关 , 并 且 由 下 面 条 件 决 定即1212( ω ω ) = Ω++ −trcos kl = α cos k1l+ β1sin k1l1≤将 前 面 α1、 β 1表 达 式 及 l = 2 a + 2b代 入 此 式 , 得 到( 2λ a) ⋅ cos( 2kb) + εsh( 2 a) ⋅ sin( k b)(3.37a)cos kl = ch1 λ 2 1这 是 E < V0情 况 下 决 定 电 子 能 谱 的 公 式 , 由 下 面 讨 论 可 知 它 具 有 带 状结 构 。若 E > V0, 只 须 作 替 换 λ = −ik2( sh( iz) = i sin z , ch( iz) = cos z ), 就 得 到 另 一 公 式1, 并 注 意 双 曲 函 数 与 三 角 函 数 的 关 系= cos( 2ka) cos( 2kb) − ς sin( 2ka) sin( k b)(3.37b)cos kl2 1221k21=h1 ⎛ k2 1( −V) =⎜ +⎟ 0, ς2 ⎝ k1k2 ⎠2m Ek⎞现 在 讨 论 上 面 两 个 能 谱 公 式 。 它 们 决 定 电 子 在 这 种 周 期 势 中 运 动时 , 容 许 具 有 的 能 量 E。 第 一 个 公 式 , 即 E〈 V0情 况 下 , 由 于 ch2 λa 〉 1( 设 λ ≠ 0), 当 E 取 值 满 足( )2k 1 b = mπ, m = 整 数时 , 等 式 右 边 第 一 项 为 ch2 λa, 第 二 项 为 零 , 从 而 使 公 式 不 能 成 立 。显 然 这 些 E( 及 其 附 近 区 域 ) 是 被 禁 止 的 。 于 是 电 子 能 谱 便 被 分 割 成70

一 系 列 的 能 量 带 , 中 间 所 夹 的 被 禁 止 的 能 量 间 隙 称 为 禁 带 , 它 们 包 含着 方 程 2 k 1b= mπ所 决 定 的 点 。 第 二 个 公 式 , 即 E > V0情 况 下 , 由 下 式 决定 的 能 量 及 其 邻 域 是 被 禁 止 的2a+ 2kb = mπ ( m = 整 数 )(3.38)2 1k ,从 而 构 成 了 在 这 些 点 附 近 的 一 个 个 禁 带 。 这 些 条 件 可 用 如 下 考 虑 得到 : 将 它 们 代 入 第 二 个 公 式 得coskl==cos( mπ− 2k1b) cos 2k1b−ςsin( mπ− 2k1b)m2( −) 1+( ς −1)sin 2kb{ }1sin 2kb1(3.39)由 于 ς 〉 1, 大 括 号 中 的 量 大 于 1, 无 k 解 , 即 由 该 式 所 决 定 的 能 量 ( 及其 邻 值 ) 也 构 成 了 禁 带 。 说 明 当 E > V0时 , 电 子 能 谱 也 具 有 带 状 结 构 。这 里 电 子 能 谱 呈 带 状 结 构 的 结 论 虽 是 在 方 阱 周 期 势 这 一 特 殊 情 况下 得 出 的 , 实 际 上 , 对 任 何 形 状 的 周 期 势 , 电 子 能 谱 均 呈 带 状 结 构 ,只 是 间 隙 的 位 置 和 宽 度 等 细 节 不 同 。 这 一 来 源 于 电 子 波 动 性 质 的 结 论对 了 解 固 体 物 质 许 多 基 本 性 质 十 分 重 要 , 并 且 是 固 体 电 子 论 中 不 可 缺少 的 基 本 内 容 。以 上 是 就 两 个 方 程 成 立 与 否 谈 起 的 , 说 明 当 E 取 某 些 区 间 内 的 值时 , 等 式 右 边 不 成 立 , 即 无 k 值 对 应 。 就 每 一 单 个 的 能 隙 ( 禁 带 ) 来说 , 能 隙 的 上 、 下 限 能 量 值 必 定 总 是 使 得也 就 是 说 , 能 隙 的 上 下 限 必 满 足cos kl = ±1kl = mπm = 整 数2 2mE于 是 若 作 k1= — k 的 图 , 则 为2hKronig-penney 势 的 一 个 特 例 是 Dirac 梳 。 这 是 令 每 个 势 垒 区 域 在71

保 持 面 积 ( 2aV 0= v0) 的 前 提 下 无 限 减 薄 ( a → 0 ) 的 结 果 ( 见 习 题20)。 这 时 (3.37a) 简 化 为mcos kl = cos k1l+ v0sin k1l(3.37c)22Eh由 于 势 垒 宽 度 a → 0 , 两 个 相 邻 δ − 函 数 的 间 距 也 即 这 里 的 谷 宽 l = 2b。下 面 讨 论 Kronig-penney 势 的 本 征 函 数 问 题 。( ) ( )( ) ( )( + ) ( + ) − −假 设 Ω 的 对 应 本 征 值 ω+、 ω −的 两 组 本 征 矢 量 为 A0, B0和 A0, B0,比 如 从 ω + 的 本 征 方 程可 得所 以⎛ A⎜⎝ B( + )( + )⎞ ⎛ A( )⎟ ⎟ ⎞0⎟ = ⎜ω+⎠ ⎝ B0⎠0Ω( + )+0ik lik likl1 ( + ) 1 ( + ) ( + )( α iβ) e A − iβe B = e A1−10 2 00AB( + )0( + )0=ik 1iβel2ik liklik 1β el1( α − iβ) e − e α1sin k1l− β1cos k1l− sin kl11=2上 式 的 第 二 步 等 号 用 到 了 下 面 等 式cos kl = α1cos k1l+ β1sin k1l于 是 , 可 取⎪⎧A⎨⎪⎩ B( + )0( + )0= β=2( α k l − β cos k l − sin kl)1sin1 1 1−ik1el(3.40)( ) ( )将 (3.37b) 式 代 入 (3.32a) 式 , 得 知 + = inklA e A0+( ) ( )n 和 + = inklB e B0+n( + )个 谷 中 的 电 子 波 函 数 ψ (x) 为 { a < [ x − ( n −1) l] < ( l − a)}。 从 而 第 n72

ψ( + )n( x)= A( + )nik1(x−nl)e−ik1(x−nl)e( ) 1() ( ) 1()einkl ⎧+ ik x−nl+ −ikx−nl⎫= ⎨A0e + B0e⎬⎩⎭ik(x nl)ik 2(x nl)eikx − − ⎧ −= e⎨β2e+⎩−ik1(x−(n−1)l)e[ α sin k l − β cos k l − sin kl]1≡eikx1⋅ u ( x)k1+ B这 里 u k(x)是 周 期 函 数 , 其 周 期 和 Kronig-penney 势 的 周 期 相 同 , 即( + )由 此 , 电 子 波 函 数 ψ ( x)具 有u( + )n1( x + l)u ( x)k=kikl( + )( + )ψ ( x + l)= e ψ ( x)(3.41)这 里 k 称 为 Bloch 波 矢 , 这 种 波 函 数 (Bloch 平 面 波 乘 以 适 当 的 和 势( −)同 周 期 的 周 期 函 数 ) 称 为 Bloch 波 函 数 。 ψ ( x)的 情 况 类 似 。 这 一 结( ± )论 具 有 普 遍 性 。 这 就 是 说 , 尽 管 周 期 势 具 体 形 式 不 同 而 导 致 ψ (x) 的具 体 形 式 不 同 , 但 这 些 ψ (x)都 满 足 上 式 。 这 样 , 电 子 在 任 一 周 期 势 中的 波 函 数 为 Bloch 波 矢 的 平 面 波 乘 以 适 当 的 ( 与 周 期 势 同 周 期 的 ) 周期 函 数 。 这 称 为 Floquet 定 理 。最 后 还 应 当 指 出 , ( ±ψ ) (x)这 两 个 波 是 线 性 无 关 的 , 除 非 kl = mπ。 当kl = mπ 时 , 这 两 个 解 相 同 , 都 代 表 着 驻 波 。 这 是 因 为 由⎧coskl = α1cos k1l+ β1sin k1l⎨ 2 2 2⎩α1+ β1− β2= 1代 入 kl = mπ, 将 第 一 个 方 程 平 方 , 再 将 第 二 个 方 程 代 入 后 再 开 方 , 即得⎫⎬⎭于 是α k l = ± β1sin k1l− β1cos1273

ψ( x)= eiknl= 2β⎧ ik 1(x−nl)−ik( x−(n−1)l)⎨β2e± β2e⎩i−⎧1k⎫1l⎪cos k1[x − ( n − ) l]nm 22 ⎪e ⎨1⎬⎪isin k [ − ( − ) ] ⎪1x n l⎩2 ⎭( + )12( −1)( −)这 是 驻 波 解 。 由 于 ψ ( x)解 对 应 于 ω ( ) *−= ω +, 故( + )[ ( )] *这 两 个 驻 波 解 相 应 于 能 隙 上 下 限 的 带 边 情 况 。( −)ψ ( x)= ψ x(3.42)⎫⎬⎭※§3.2 一 维 定 态 的 一 般 讨 论有 了 上 面 一 些 一 维 事 例 的 具 体 认 识 , 现 在 可 以 进 一 步 研 究 一 维 定态 的 一 些 普 遍 特 征 。 除 了 第 二 章 中 所 讲 的 Schr o&dinger 方 程 的 普 遍 特 征之 外 , 一 维 Schr o& dinger 方 程 还 有 如 下 几 个 一 般 性 结 论 。1, 本 征 函 数 族 完 备 性 定 理2p[ 定 理 1] 如 果 一 维 哈 密 顿 量 H = + V ( x)中 的 V (x)在 任 意 态 中 的 平2m均 值 有 下 界 , 即 , 对 任 给 的 一 个 单 值 、 连 续 、 可 微 ( 除 有 限 个 孤 立 点外 )、 平 方 可 积 函 数 ψ (x), 若 存 在 一 个 不 依 赖 于 ψ ( x)的 常 数 c, 使 得V*= ∫ V ( x)ψ ( x)ψ ( x)dx ≥ c(3.43)则 此 哈 密 顿 量 的 本 征 函 数 族 是 完 备 的 1 。证 : 只 须 证 明 此 系 统 的 哈 密 顿 量 H 有 下 界 、 无 上 界 , 然 后 应 用 前面 脚 注 的 完 备 性 定 理 即 可 。 事 实 上 ,H 是 有 下 界 的 。 因 为 按 定 理 条 件 ,1注 意 , 此 处 的 定 理 比 柯 朗 . 希 伯 尔 特 书 ( 数 学 物 理 方 法 (I), 科 学 出 版 社 ,1958 年 ) 中 的 Sturm-Liouville方 程 的 本 征 函 数 完 备 性 定 理 要 宽 松 得 多 。 那 里 要 求 : 势 函 数 V ( x)在 定 义 域 内 为 连 续 函 数 。74

有H=T+V≥V≥ c2λ此 式 对 任 意 态 均 成 立 。 同 时 ,H 又 是 无 上 界 的 。 因 为 , 如 果 取 ψ ( x)= e ,显 然 它 满 足 定 理 中 所 设 的 条 件 , 并 且2x−T=∫+∞−∞e2x−2λ2⎛ h d⎜ −⎝ 2mdx∫+∞−∞e22x−2λ2π h22 2 mλh= =2π 2mλλ222dx⎞⎟e⎠2x−2λdx当 λ → 0时 , T → +∞ , 于 是 不 论 V 有 无 上 界 , H 将 随 λ → 0 而 无 上界 。讨 论 :i, 这 相 当 于 证 明 了 这 一 类 量 子 系 统 的 能 量 是 可 观 察 量 。ii, 此 定 理 有 一 个 特 例 , 即 势 V(x) 作 为 x 的 函 数 有 下 限 Vmin 1 。在 这 种 情 况 下 , 显 然 导 致 H 有 下 界 无 上 界 的 结 论 。 这 包 括 了 谐 振 子等 重 要 情 况 , 但 却 未 能 概 括 库 伦 势 这 一 重 要 情 况 。 然 而 , 后 者 如 采 用绝 热 近 似 技 术 计 算 库 伦 势 的 相 关 积 分 , 就 可 以 包 括 在 这 个 定 理 中 。 就是 说 , 库 伦 势 的 波 函 数 族 ( 当 然 要 包 括 正 能 量 的 散 射 态 在 内 ) 也 是 完备 族 。2, 束 缚 态 存 在 定 理[ 定 理 2] 在 一 维 哈 密 顿 量 p 2+ V ( x)中2m, 如 果 非 常 数 势 V(x) 满 足 : i,V ( ±∞)= 0 , ii, V ( x)≤ 0, iii, 对 任 意 波 函 数 ψ (x), 有 常 数 c 存 在 , 使1这 就 是 李 政 道 在 “ 场 论 与 粒 子 物 理 学 ”( 上 册 , 第 13 页 例 1) 中 的 论 断 。 现 在 它 是 定 理 1 的 一 个 特 例 。75

*得 ∫Vψψ dx ≥ c . 则 此 系 统 至 少 存 在 一 个 束 缚 定 态 。证 : 设 势 阱 V(x) 如 图 。 在 此 势 阱 内 , 总 可 以 选 取 一 方 势 阱( a < x b)⎧ −V0,

讨 论 : 此 定 理 意 味 着 , 在 这 种 一 维 势 场 中 运 动 的 粒 子 , 其 能 谱 一定 包 含 分 立 的 负 值 部 分 1 。3, 无 简 并 定 理[ 定 理 3] 若 一 维 势 V(x) 在 有 限 x 处 无 奇 点 , 则 对 应 的 全 部 束 缚 定态 都 是 不 简 并 的 。 也 就 是 说 , 这 类 一 维 问 题 的 分 立 能 级 均 无 简 并 存 在 。证 : 假 定 有 两 个 束 缚 态 ψ1、 ψ 2, 均 对 应 同 一 分 立 能 级 E, 则由 此 得⎧ 2m⎪ψ′′1= −2h⎨2m⎪ψ′′2= −2⎩ h( E −V)ψ( E −V)ψ12ψ′ ψ ′′2ψ1−ψ1 2=0将 此 式 作 不 定 积 分 , 得ψ ′ − ′2ψ1ψ1ψ2= 不 依 赖 于 x 的 常 数由 束 缚 态 在 无 穷 远 处 ψ =ψ 0 , 定 出 此 常 数 为 零 。 于 是1 2=ψ ′ = ′ , x = ( −∞,+ ∞)2ψ1ψ1ψ2就 是 说 , 两 个 波 函 数 的 朗 斯 基 行 列 式 在 全 区 间 内 恒 等 于 零 。 因 此 ( 进行 第 二 次 积 分 即 知 ), 它 们 只 相 差 一 个 常 数 倍 ,( ) c ( x)ψ =1x ψ2按 波 函 数 的 含 义 , ψ ( x)和 ψ ( x)代 表 同 一 个 状 态 。 证 毕 。12讨 论 :i, 第 二 次 积 分 似 乎 要 求 ψ ( x)和 ψ ( x)无 节 点 。 但 有 节 点 并不 影 响 定 理 成 立 。 这 时 两 个 函 数 的 节 点 位 置 必 定 相 同 , 可 在 它 们 任 一节 点 两 侧 的 两 个 无 节 点 小 区 段 内 分 别 应 用 上 面 推 理 , 并 用 ψ1、 ψ 2连121可 用 微 扰 论 方 法 定 出 一 维 浅 势 阱 中 的 能 级 。 参 见 朗 道 ,“ 量 子 力 学 ( 非 相 对 论 理 论 )” 上 册 , 第 197 页 。高 教 出 版 社 ,1983 年 。77

续 性 质 ( 由 V 的 正 规 性 所 保 证 ), 可 得 节 点 两 侧 的 常 数 c 相 等 。ii, 显 然 , 这 里 结 论 对 正 能 量 非 束 缚 态 并 不 成 立 1 。 比 如 周 期 势 情 况 ,在 节 点 处 两 侧 波 函 数 的 对 称 连 接 或 反 对 称 连 接 就 会 产 生 状 态 的 简 并 。iii, 这 个 一 维 束 缚 态 无 简 并 定 理 有 一 个 简 单 的 推 论 : 一 维 束 缚 态 的*波 函 数 总 可 以 取 成 实 函 数 。 这 是 因 为 ,H 是 实 的 , 若 ψ ( x)是 解 , 则 ψ ( x)也 必 定 是 同 一 能 级 的 解 。 又 由 于 非 简 并 , 要 求 两 态 相 同( x) cψ( x)*ψ =考 虑 到 ψ 、 ψ * 均 是 归 一 的 ,c 只 能 是 个 相 因 子 eiδ。 于 是 可 得可 见 , 只 要 取 新 的 波 函 数Ψei− δ2 *ψ =1 ⎛δ2( x) e ψ ( x)− δδ( ) ⎜ 2 * 2x =e ψ ( x) + e ψ2⎟ ⎠⎝i即 得 归 一 化 的 实 数 值 的 波 函 数 。 由 此 可 知 , 以 前 的 一 维 束 缚 态 问 题 中 ,ψ ( x)上 的 复 数 共 轭 记 号 其 实 是 多 余 的 。4, 零 点 定 理[ 定 理 4] 如 将 一 维 问 题 的 分 立 谱 波 函 数 ψ ( x)按 其 本 征 值 递 增 顺 序编 号 , 则 属 于 第 n + 1个 能 级 En的 本 征 函 数 ψn( x), 在 其 定 义 域 内 有 限 x值 处 共 有 n 个 零 点 。 其 中 , 基 态 E 0的 ψ 0 ( x)无 零 点 。iin⎞证 明 参 见 文 献 2 , 因 为 一 维 Schr o&dinger方 程 即 是 该 处 所 研 究 的Sturm-Liouville 型 方 程 的 特 例 。讨 论 :i,应 当 指 出 , 在 二 维 、 三 维 、 甚 至 任 意 维 情 况 下 , 分 立 谱12柯 朗 。 希 伯 尔 特 , 数 学 物 理 方 法 (I), 第 227 页 , 科 学 出 版 社 ,1958 年 。同 上 。 第 348 页 。78

( E < 0) 基 态 都 无 零 点 。 详 见 上 面 文 献 第 346 页 。ii, 从 分 立 谱 基 态 无 零 点 这 一 结 论 出 发 , 可 以 证 明 任 意 维 问 题 的 分立 谱 基 态 都 是 不 简 并 的 。 因 为 , 如 果 简 并 , 便 至 少 有 两 个 不 相 关 的 本(1)(2)征 函 数 ψ ( q)、 ψ ( q)对 应 同 一 个 基 态 能 级 E0, 它 们 任 意 线 性 组 合0(1) (2)1ψ0c2ψ00c + 也 属 于 这 个 能 级 。 但 选 择 组 合 系 数 c1、 c 2, 总 可 以 使 任 一给 定 点 q0成 为 零 点 。 这 和 i, 中 结 论 相 矛 盾 。 这 一 推 论 也 可 以 表 述 为 :一 维 Schr o& dinger 方 程 分 立 谱 问 题 不 存 在 自 发 破 缺 。§3.3, 一 维 高 斯 型 波 包 的 自 由 演 化这 里 以 Gauss 型 波 包 的 自 由 运 动 为 例 , 说 明 时 间 演 化 计 算 。设 初 始 时 刻 波 包 的 概 率 分 布 为 gauss 型 分 布 , 于 是 初 始 时 刻 波 函数 即 为ψ1 ⎧⎪,0 = exp⎨−2πσ⎩⎪( x )( x−x ) 24σ02⎫⎪⎬⎭⎪(3.44)现 在 来 研 究 它 在 自 由 运 动 情 况 下 随 时 间 的 演 化 。 注 意 , 此 时Hamiltonian H2p x= 并 不 含 时 , 之 所 以 是 含 时 问 题 , 纯 粹 由 于 初 条 件2m( 不 是 单 色 de Broglie 波 ) 的 原 因 ( 参 见 第 十 一 章 )。其 中按 第 二 章 所 述 , 第 一 步 是 将 此 ψ ( x,0)展 开 为 平 面 波 的 叠 加 ,1ipx⋅xhψ ( x,0) = ψ ( px) e dpp2πh∫x1− x( ) ( ,0)ip ⋅xhψ px= ψ x e dxx2πh∫x79

第 二 步 是 将 ψ ( x,0)展 开 式 中 的 每 一 个 平 面 波 组 份 ( 它 们 都 是 自 由 粒2⎛ pxt ⎞子 Schrodinger 方 程 的 定 态 解 ) 乘 以 时 间 因 子 exp⎜−i⎟⎝ 2 m h, 由 此 得⎠21⎧ px⋅x pxt ⎫ψ ( xt , ) = ψ ( px)exp⎨i −i ⎬dppx2πh∫x⎩ h 2mh⎭21⎧ px⋅x pxt ⎫= ψ ( x′ ,0)exp⎨i −i ⎬dpxdx′2π h∫∫x′px⎩ h 2mh⎭(3.45)代 入 ψ ( x′ ,0)表 达 式 , 并 利 用 广 义 Gauss 积 分 ( 或 广 义 Fresnel 积 分 )∞2i x iπ∫ dx ⋅ e α = (Imα≥0)(3.46)−∞α这 里 α 可 为 任 意 复 数 , 只 要 它 的 虚 部 不 小 于 零 ( 显 然 , 当 Imα = 0即为 Fresnel 积 分 , 而 当 Reα = 0 即 为 Gauss 积 分 )。 完 成 对 px的 积 分 ,可 得21⎧ px⋅x pxt ⎫ψ ( xt , ) = ψ ( px)exp⎨i −i ⎬dpxp2πh∫x⎩ h 2mh⎭12⎛ m ⎞⎧ m2 ⎫= ⎜ ⎟ ψ ( x′ ,0) exp⎨i ( x′ −x)⎬dx′i2π tx′⎝ h∫⎠ ⎩ 2ht⎭接 着 再 用 该 积 分 公 式 完 成 对 x′ 积 分 , 最 后 得 到即( − x )⎧2im xψ4( xt , ) 1 2π 1 ⎡σ ( 1 i t2mσ) ⎤⎪⎣h⎦exp⎩⎪2 − 20= + ⎨ ⎬22( hti mσ)⎫⎪⎭⎪( − )σ ()( − )2σ σ ()2 2⎧−14 −12 ⎪ x x0 ht x x0 i −1⎛ ht⎞⎫⎪ψ ( xt , ) = ( 2π) σ () t exp ⎨− + i− tan2 2 ⎜ 2 ⎟⎬(3.47)⎪⎩4 t 8m t 2 ⎝2mσ⎠⎪⎭2 2⎛ h t ⎞1/2这 里 σ () t ≡ σ ⎜1+42 4 ⎟ 。 与 (3.44) 式 相 比 ,(3.47) 式 表 明 :t=0⎝ m σ ⎠−时 刻 峰 高 为 ( ) 14 − 122π σ , 峰 宽 为 σ 的 高 斯 波 包 , 自 由 演 化 到 t 时 刻 , 成−为 峰 高 ( 2π) σ () t14 −12, 峰 宽 σ () t 的 高 斯 波 包 。 说 明 在 自 由 演 化 中 , 高斯 波 包 高 度 逐 渐 变 矮 , 宽 度 逐 渐 加 大 。 这 就 是 常 说 的 “ 波 包 弥 散 ”。80

这 一 现 象 的 物 理 根 源 是 : 即 便 在 真 空 中 自 由 传 播 时 ,de Broglie 波 的传 播 速 度 也 与 频 率 有 关 , 即 根 源 于 de Broglie 波 固 有 的 色 散 性 质 。 这和 光 波 在 真 空 中 传 播 时 无 色 散 呈 鲜 明 对 照 。 由 于 自 由 传 播 中 的 deBroglie 波 也 存 在 着 色 散 , 因 此 否 定 了 把 粒 子 看 成 纯 粹 是 个 波 包 的 偏颇 观 念 , 因 为 人 们 从 未 看 见 一 个 稳 定 的 微 观 粒 子 逐 渐 变 “ 胖 ” 的 现 象 。即 便 探 测 从 宇 宙 深 处 来 的 经 历 长 期 飞 行 的 粒 子 也 未 发 现 此 种 现 象 。 说明 了 不 能 用 波 动 学 说 片 面 地 取 代 波 粒 二 象 性 ; 正 如 同 不 能 按 经 典 观 念用 粒 子 学 说 片 面 取 代 波 粒 二 象 性 一 样 。如 果 计 算 (3.47) 式 位 置 和 动 量 的 不 确 定 性 , 可 以 发 现 ,tΔx t ⋅Δ = + ≥() p()t2 2h h h12 42 4m σ 2(3.48)不 确 定 性 逐 渐 增 加 。 这 是 由 于 自 由 演 化 中 , 因 色 散 Δ x()t 不 断 增 加 ,而 动 量 则 是 此 时 守 恒 量 , 其 概 率 分 布 保 持 为 初 始 分 布 不 变 , 或 者 说 ,( Δ p) 2 = ( pˆ− p)2与 内 积 积 分 中 的 时 间 演 化 算 符 对 易 , 所 以 Δ p () t 的 平 均积 分 等 于 初 始 时 刻 数 值 ( 习 题 21)。 和 谐 振 子 的 对 比 可 见 p.164。81