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第 二 步 是 将 ψ ( x,0)展 开 式 中 的 每 一 个 平 面 波 组 份 ( 它 们 都 是 自 由 粒2⎛ pxt ⎞子 Schrodinger 方 程 的 定 态 解 ) 乘 以 时 间 因 子 exp⎜−i⎟⎝ 2 m h, 由 此 得⎠21⎧ px⋅x pxt ⎫ψ ( xt , ) = ψ ( px)exp⎨i −i ⎬dppx2πh∫x⎩ h 2mh⎭21⎧ px⋅x pxt ⎫= ψ ( x′ ,0)exp⎨i −i ⎬dpxdx′2π h∫∫x′px⎩ h 2mh⎭(3.45)代 入 ψ ( x′ ,0)表 达 式 , 并 利 用 广 义 Gauss 积 分 ( 或 广 义 Fresnel 积 分 )∞2i x iπ∫ dx ⋅ e α = (Imα≥0)(3.46)−∞α这 里 α 可 为 任 意 复 数 , 只 要 它 的 虚 部 不 小 于 零 ( 显 然 , 当 Imα = 0即为 Fresnel 积 分 , 而 当 Reα = 0 即 为 Gauss 积 分 )。 完 成 对 px的 积 分 ,可 得21⎧ px⋅x pxt ⎫ψ ( xt , ) = ψ ( px)exp⎨i −i ⎬dpxp2πh∫x⎩ h 2mh⎭12⎛ m ⎞⎧ m2 ⎫= ⎜ ⎟ ψ ( x′ ,0) exp⎨i ( x′ −x)⎬dx′i2π tx′⎝ h∫⎠ ⎩ 2ht⎭接 着 再 用 该 积 分 公 式 完 成 对 x′ 积 分 , 最 后 得 到即( − x )⎧2im xψ4( xt , ) 1 2π 1 ⎡σ ( 1 i t2mσ) ⎤⎪⎣h⎦exp⎩⎪2 − 20= + ⎨ ⎬22( hti mσ)⎫⎪⎭⎪( − )σ ()( − )2σ σ ()2 2⎧−14 −12 ⎪ x x0 ht x x0 i −1⎛ ht⎞⎫⎪ψ ( xt , ) = ( 2π) σ () t exp ⎨− + i− tan2 2 ⎜ 2 ⎟⎬(3.47)⎪⎩4 t 8m t 2 ⎝2mσ⎠⎪⎭2 2⎛ h t ⎞1/2这 里 σ () t ≡ σ ⎜1+42 4 ⎟ 。 与 (3.44) 式 相 比 ,(3.47) 式 表 明 :t=0⎝ m σ ⎠−时 刻 峰 高 为 ( ) 14 − 122π σ , 峰 宽 为 σ 的 高 斯 波 包 , 自 由 演 化 到 t 时 刻 , 成−为 峰 高 ( 2π) σ () t14 −12, 峰 宽 σ () t 的 高 斯 波 包 。 说 明 在 自 由 演 化 中 , 高斯 波 包 高 度 逐 渐 变 矮 , 宽 度 逐 渐 加 大 。 这 就 是 常 说 的 “ 波 包 弥 散 ”。80