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这 里于 是 有以 及⎛ ⎞ ⎛ ⎞=1 λ k11 λ⎜ −⎟,η =⎜ +k⎟2 ⎝ k1 λ ⎠ 2 ⎝ k1λ ⎠ε1⎧α1= ch⎨⎩β1= ch。 令 β2= η sh( 2λa)和 ( ( ) ( )) 2 1ch 2λaiεsh 2λae− ik a= α1− iβ1( 2λa) cos( 2k1a) − εsh( 2λa) sin( 2k1a)( 2λa) sin( 2ka) + εsh( 2λa) cos( 2ka)12 2 2α + β − β 1。1 1 2 =这 里 α 1 , β 1 , β 2 均 为 实 数 。 最 后 得 系 数 递 推 公 式− ,1⎛Ω = ⎜⎜⎝⎛ A⎜⎝ B这 里 , n 取 任 意 整 数 。nn⎞ ⎛ A⎟ = Ω⎜⎠ ⎝ B( α − iβ)n−1n−1ik 1l1 1ei e−ik1βl2⎞⎟ = Ω⎠n⎛ A⎜⎝ B00⎞⎟⎠−ik 1iβel ⎞2−ikl( )⎟ ⎟ 1α1+ iβ1e ⎠(3.34a)(3.34b)下 面 讨 论 Kronig-penney 势 的 能 谱 问 题 。 为 此 , 先 来 考 查 这 个 系数 递 推 矩 阵 Ω 的 本 征 值 。 设 Ω 的 两 个 本 征 值 为 ω±, 即det2( − ω ) = 0 ( 即 , ω − ω Ω + det Ω = 0)Ω ± ±由 (3.31) 式 , 可 得 det Ω = 1, 于 是± tr⎧⎪1 ⎛ 1 ⎞ω ± = trΩ ± ⎜ trΩ⎟⎪ 2 ⎝ 2 ⎠⎨ω+ + ω − = trΩ = 2 1⎪ω⋅ =⎪+ ω − 1⎪⎩2−1( α cos( k l) + β sin( k l))111(3.35)根 据 阱 中 波 函 数 必 须 有 限 的 物 理 要 求 , 可 得 如 下 限 制 条 件121trΩ≤ 1,2即 α cos( k l) + β sin( k l) 1(3.36)1 1 1 1 ≤这 是 因 为 , 如 果 tr Ω > 1, 由 ω±表 达 式 可 知 两 个 ω±中 必 有 一 个 的 模 值n1大 于 1。 不 失 一 般 性 取 ω + > 1, 于 是 lim ω + = +∞ , 而 同 时 ω −= , 又 ωn→+∞+69