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2ξ±起 主 要 作 用 的 因 子 为 e2。 略 去 含 e2的 一 个 , 因 为 它 会 导 致 波 函 数 不能 平 方 可 积 。 于 是 引 入 函 数 变 换2ξ+2ξ−2( ) = e ϕξ ( )ψξ这 样 , 这 个 未 知 函 数 ψ 方 程 就 转 化 为 下 面 ϕ 方 程 ,2d ϕ dϕ− 2ξ+ ( λ −1)ϕ = 02dξdξ由 于 此 方 程 在 ξ 有 限 值 处 均 无 奇 点 , 可 以 设 定 解 的 形 式 为 幂 级 数 ,= ∑ ∞ ϕ ( ξ ) anξ=0n其 中 an为 一 系 列 待 定 系 数 。 将 这 个 待 定 解 代 入 ϕ 的 方 程 , 逐 项 决 定 其n系 数 an,∑n=2n(n −1)a ξnn−2− 2∑n=1na ξnn+ ( λ −1)∑n=0a ξnn= 0此 方 程 要 求 左 边 相 同 幂 次 各 项 的 系 数 之 和 为 零 。 由 此 就 得 到 系 数 an之间 有 如 下 递 推 关 系( n2λ)+ 2)( n + 1) an+= (1 + 2n− a n注 意 这 里 奇 次 幂 项 之 间 的 递 推 ( 由 a1出 发 ) 和 偶 次 幂 项 之 间 的 递 推 ( 由a0出 发 ) 各 自 独 立 进 行 。 于 是 可 以 分 开 奇 、 偶 项 的 求 和 。 如 果 参 数 λ数 值 不 等 于 某 个 正 奇 数 , ( 1 + 2n − λ)就 总 不 会 等 于 零 , 这 个 递 推 公 式 将一 直 工 作 下 去 直 到 无 穷 , 解 就 成 为 一 个 无 穷 级 数 ,ϕ∞∞2m( ξ ) = ∑ a2mξ+ ∑m=0当 ξ → ∞ 时 , ϕ ( ξ ) 的 渐 进 性 质 主 要 取 决 于 m 较 大 的 项 。 现 在 当 m 很 大 时 ,由 递 推 关 系 可 知 , 奇 偶 项 两 个 无 穷 级 数 的 各 自 相 邻 项 的 比 值 都 趋 于m=0a2m+1ξ2m+157