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有H=T+V≥V≥ c2λ此 式 对 任 意 态 均 成 立 。 同 时 ,H 又 是 无 上 界 的 。 因 为 , 如 果 取 ψ ( x)= e ,显 然 它 满 足 定 理 中 所 设 的 条 件 , 并 且2x−T=∫+∞−∞e2x−2λ2⎛ h d⎜ −⎝ 2mdx∫+∞−∞e22x−2λ2π h22 2 mλh= =2π 2mλλ222dx⎞⎟e⎠2x−2λdx当 λ → 0时 , T → +∞ , 于 是 不 论 V 有 无 上 界 , H 将 随 λ → 0 而 无 上界 。讨 论 :i, 这 相 当 于 证 明 了 这 一 类 量 子 系 统 的 能 量 是 可 观 察 量 。ii, 此 定 理 有 一 个 特 例 , 即 势 V(x) 作 为 x 的 函 数 有 下 限 Vmin 1 。在 这 种 情 况 下 , 显 然 导 致 H 有 下 界 无 上 界 的 结 论 。 这 包 括 了 谐 振 子等 重 要 情 况 , 但 却 未 能 概 括 库 伦 势 这 一 重 要 情 况 。 然 而 , 后 者 如 采 用绝 热 近 似 技 术 计 算 库 伦 势 的 相 关 积 分 , 就 可 以 包 括 在 这 个 定 理 中 。 就是 说 , 库 伦 势 的 波 函 数 族 ( 当 然 要 包 括 正 能 量 的 散 射 态 在 内 ) 也 是 完备 族 。2, 束 缚 态 存 在 定 理[ 定 理 2] 在 一 维 哈 密 顿 量 p 2+ V ( x)中2m, 如 果 非 常 数 势 V(x) 满 足 : i,V ( ±∞)= 0 , ii, V ( x)≤ 0, iii, 对 任 意 波 函 数 ψ (x), 有 常 数 c 存 在 , 使1这 就 是 李 政 道 在 “ 场 论 与 粒 子 物 理 学 ”( 上 册 , 第 13 页 例 1) 中 的 论 断 。 现 在 它 是 定 理 1 的 一 个 特 例 。75