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保 持 面 积 ( 2aV 0= v0) 的 前 提 下 无 限 减 薄 ( a → 0 ) 的 结 果 ( 见 习 题20)。 这 时 (3.37a) 简 化 为mcos kl = cos k1l+ v0sin k1l(3.37c)22Eh由 于 势 垒 宽 度 a → 0 , 两 个 相 邻 δ − 函 数 的 间 距 也 即 这 里 的 谷 宽 l = 2b。下 面 讨 论 Kronig-penney 势 的 本 征 函 数 问 题 。( ) ( )( ) ( )( + ) ( + ) − −假 设 Ω 的 对 应 本 征 值 ω+、 ω −的 两 组 本 征 矢 量 为 A0, B0和 A0, B0,比 如 从 ω + 的 本 征 方 程可 得所 以⎛ A⎜⎝ B( + )( + )⎞ ⎛ A( )⎟ ⎟ ⎞0⎟ = ⎜ω+⎠ ⎝ B0⎠0Ω( + )+0ik lik likl1 ( + ) 1 ( + ) ( + )( α iβ) e A − iβe B = e A1−10 2 00AB( + )0( + )0=ik 1iβel2ik liklik 1β el1( α − iβ) e − e α1sin k1l− β1cos k1l− sin kl11=2上 式 的 第 二 步 等 号 用 到 了 下 面 等 式cos kl = α1cos k1l+ β1sin k1l于 是 , 可 取⎪⎧A⎨⎪⎩ B( + )0( + )0= β=2( α k l − β cos k l − sin kl)1sin1 1 1−ik1el(3.40)( ) ( )将 (3.37b) 式 代 入 (3.32a) 式 , 得 知 + = inklA e A0+( ) ( )n 和 + = inklB e B0+n( + )个 谷 中 的 电 子 波 函 数 ψ (x) 为 { a < [ x − ( n −1) l] < ( l − a)}。 从 而 第 n72