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这 正 是 指 数 函 数可 知 , 这 将 导 致e22ξaa+,( 当 n 很 大 )n 2 2→nn的 展 开 式 当 ξ 幂 次 很 大 时 相 邻 两 项 的 比 值 。 由 此2−ξ 2ξ → ∞ 时 ψ ( ξ ) ϕ ( ξ )= e 的 发 散 , 不 符 合 对 ψ ( ξ ) 的 物 理要 求 。 由 这 个 分 析 可 知 此 幂 级 数 应 当 截 断 , 即 参 数 λ 是 某 个 正 奇 数 ,记 为 λ = 2 n + 1。 这 时 系 数 递 推 将 终 止 在 有 限 的 第 n 项 。 而 ϕ 的 方 程 就 成为 n 阶 厄 米 方 程 ,其 解 为 n 阶 的 厄 米 多 项 式 ( ξ )它 们 前 几 个 是 :2d ϕ dϕ− 2ξ+ 2nϕ= 02dξdξH ,nn −ξ2 n ξ d e=n( −1) enϕ( ξ ) H ( ξ ) =dξ2H ( ξ ) = 10H ( ξ ) = −2+ 4ξ2H ( ξ ) = 12 − 48ξ422+ 16ξ这 些 H ( ξ ) 具 有 以 下 正 交 归 一 性 质n4H ( ξ ) = 2ξ1H ( ξ ) = −12ξ+ 8ξ3H ( ξ ) = 120ξ−160ξ+ 32ξ5335(3.21)∫ + ∞−∞H并 且 满 足 递 推 关 系 :m2−ξ⎧ 0 , m ≠ n( ξ ) Hn( ξ ) e dξ= ⎨(3.22)n⎩2π n!, m = n2ξe 2 H n⎧dHn⎪⎨ dξ⎪⎩Hn+1( ξ )= 2nHn−1 ( ξ )(3.23)( ξ ) + 2nH( ξ ) = 2ξH( ξ )n−1−而 波 函 数 解 ψ ( ξ ) = ( ξ ) 也 将 满 足 波 函 数 的 各 项 条 件 。 于 是 , 一 维量 子 谐 振 子 的 能 谱 和 波 函 数 的 表 达 式 为n58