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续 性 质 ( 由 V 的 正 规 性 所 保 证 ), 可 得 节 点 两 侧 的 常 数 c 相 等 。ii, 显 然 , 这 里 结 论 对 正 能 量 非 束 缚 态 并 不 成 立 1 。 比 如 周 期 势 情 况 ,在 节 点 处 两 侧 波 函 数 的 对 称 连 接 或 反 对 称 连 接 就 会 产 生 状 态 的 简 并 。iii, 这 个 一 维 束 缚 态 无 简 并 定 理 有 一 个 简 单 的 推 论 : 一 维 束 缚 态 的*波 函 数 总 可 以 取 成 实 函 数 。 这 是 因 为 ,H 是 实 的 , 若 ψ ( x)是 解 , 则 ψ ( x)也 必 定 是 同 一 能 级 的 解 。 又 由 于 非 简 并 , 要 求 两 态 相 同( x) cψ( x)*ψ =考 虑 到 ψ 、 ψ * 均 是 归 一 的 ,c 只 能 是 个 相 因 子 eiδ。 于 是 可 得可 见 , 只 要 取 新 的 波 函 数Ψei− δ2 *ψ =1 ⎛δ2( x) e ψ ( x)− δδ( ) ⎜ 2 * 2x =e ψ ( x) + e ψ2⎟ ⎠⎝i即 得 归 一 化 的 实 数 值 的 波 函 数 。 由 此 可 知 , 以 前 的 一 维 束 缚 态 问 题 中 ,ψ ( x)上 的 复 数 共 轭 记 号 其 实 是 多 余 的 。4, 零 点 定 理[ 定 理 4] 如 将 一 维 问 题 的 分 立 谱 波 函 数 ψ ( x)按 其 本 征 值 递 增 顺 序编 号 , 则 属 于 第 n + 1个 能 级 En的 本 征 函 数 ψn( x), 在 其 定 义 域 内 有 限 x值 处 共 有 n 个 零 点 。 其 中 , 基 态 E 0的 ψ 0 ( x)无 零 点 。iin⎞证 明 参 见 文 献 2 , 因 为 一 维 Schr o&dinger方 程 即 是 该 处 所 研 究 的Sturm-Liouville 型 方 程 的 特 例 。讨 论 :i,应 当 指 出 , 在 二 维 、 三 维 、 甚 至 任 意 维 情 况 下 , 分 立 谱12柯 朗 。 希 伯 尔 特 , 数 学 物 理 方 法 (I), 第 227 页 , 科 学 出 版 社 ,1958 年 。同 上 。 第 348 页 。78