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当 消 失 , 即 V ′() 0 = 0 , 于 是11V ( x)= VL ′ x2222( 0) + V ′( 0) x + V ′′( 0) x + ≅ V ′(0)如 果 平 衡 是 稳 定 的 则 有 V ′′(0) > 0 。 除 非 振 动 的 幅 度 比 较 大 , 否 则 不 必进 一 步 考 虑 展 开 式 中 非 简 谐 的 高 阶 项 。 这 类 物 理 问 题 的 例 子 很 多 , 比如 , 原 子 核 内 核 子 ( 质 子 或 中 子 ) 的 简 谐 振 动 、 原 子 和 分 子 的 简 谐 振动 、 固 体 晶 格 上 原 子 的 简 谐 振 动 、 甚 至 一 个 多 自 由 度 系 统 在 其 平 衡 态附 近 的 小 涨 落 、 小 振 动 、 小 摆 动 等 等 , 在 引 入 简 正 坐 标 之 后 也 可 以 约化 为 一 系 列 退 耦 的 一 维 谐 振 子 运 动 的 叠 加 。总 上 所 述 , 一 维 量 子 谐 振 子 的 位 势 可 表 示 为相 应 的 Schr o&dinger 方 程 是V ( x)x1 2 2= mω(3.20a)22− h2m2d ψ ( x)1 2 2+ mωx ψ ( x)= Eψ( x)2dx 2(3.20b)显 然 , 由 于 x → ∞ 时 V ( x) → ∞ , 所 以 ψ ( x) ⎯⎯x →⎯∞→0, 即 在 这 种 平 方 增 长 势阱 的 囚 禁 作 用 下 , 粒 子 运 动 将 是 局 域 化 的 。 为 方 便 计 算 , 将 方 程 自 变数 无 量 纲 化 , 引 入 自 变 数 变 换ξ =mωxh2E并 令 λ = , 可 得hω2d ψ ( ξ )2+ ( λ −ξ) ψ ( ξ ) = 02dξ这 里 , 为 节 约 符 号 仍 然 记 ψ ( ξ ) = ψ ( x)。 下 面 求 解 这 个 方 程 。 当 ξ → ∞ 时 ,2这 个 方 程 趋 于 方 程 ψ ′ − ξ ψ = 0 , 可 知 解 ψ ( ξ ) 在 大 数 值 ξ 的 渐 近 行 为 中56