P - Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Βασιζόµενος σε αυτή, ο Ευκλείδης επινόησε τον «Ευκλείδειο
αλγόριθµο» µία µέθοδο υπολογισµού του µέγιστου κοινού
διαιρέτη δύο αριθµών. Ας δούµε όµως σε τι αναφερόµαστε…
Θεώρηµα:Έστω α, β ∈Ν, µε α=κβ+υ, µε 0≤υ≤ β-1
Τότε, (α, β)=(β, υ)
Απόδειξη:Έστω δ=(α, β). Τότε δ θα διαιρεί και τον α-κβ=υ.
Άρα ο δ διαιρεί τους β και υ, οπότε από προηγούµενο θεώρηµα
ο δ θα διαιρεί και τον µ.κ.δ (β, υ), δηλαδή δ⏐⏐(β, υ)
Επίσης, ο µ.κ.δ (β, υ) θα διαιρεί και τον κβ+υ άρα και τον α.
1.Συνεπώς, (β, υ) διαιρεί τον β και τον α. Άρα, (β, υ)⏐⏐δ
Από αυτό συµπεραίνουµε πως (β, υ)=(α, β) οπότε αποδείχτηκε
το ζητούµενο…
Θεώρηµα: Έστω p ένας πρώτος αριθµός και α∈Ν.
Αν p⊥α τότε (p,α)=1
Απόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι ο p και ο α έχουν κάποιο κοινό
διαιρέτη δ>1.Τότε δ⏐⏐ p και δ⏐⏐α
Επειδή όµως ο p πρώτος και δ>1 θα πρέπει αναγκαστικά δ= p
και άρα p⏐⏐α το οποίο είναι άτοπο µε βάση την υπόθεσή µας.
Θεώρηµα:Έστω α, β φυσικοί αριθµοί. Τότε αν (α, β)=δ
υπάρχουν κ, λ ακέραιοι ώστε κα+λβ =δ
Απόδειξη: Έστω το σύνολο Α= {κα+λβ⏐⏐κ, λ ∈Ζ}.Το σύνολο
αυτό έχει κάποιο ελάχιστο θετικό στοιχείο, έστω το χ. Θα
δείξουµε ότι χ= δ. Αφού χ∈Α υπάρχουν κ, λ∈Ζ ώστε
χ=κα+λβ. Έστω τώρα η ευκλείδεια διαίρεση του α µε τον χ
α=γχ+υ, 0≤υ0 τότε θα είχαµε υ∈Α µε υ