P - Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

πολλά άλλα συµπεράσµατα τα οποία όµως δεν θα ερευνηθούν
εδώ…
Ισοτιµίες
Θα κάνουµε τώρα µία εισαγωγή στις ισοτιµίες, οι οποίες
πρωτοεµφανίζονται στο κλασσικό έργο του Gauss
“Disquisitiones arithmeticae” το 1801…
Ορισµός: Έστω α, β, χ φυσικοί αριθµοί.
Ορίζουµε α≡β(modχ ) να σηµαίνει ότι οι α και β αφήνουν το
ίδιο υπόλοιπο διαιρούµενοι δια χ και λέµε ότι
«ο α είναι ισουπόλοιπος µε το β modχ»
Αυτός ο ορισµός εισήχθη από τον Γκάους. Ας δούµε το επόµενο
βασικό θεώρηµα στις ισοτιµίες…
Θεώρηµα: α≡β(modχ ) αν και µόνον εάν χ⏐⏐α−β.
Απόδειξη: Έστω ότι α≡β(modχ ) δηλαδή α=κχ+υ, 0≤υ≤χ−1
και β=λχ+υ. Τότε, α−β=(κ−λ)χ+υ− υ άρα α−β=(κ−λ)χ
το οποίο σηµαίνει χ⏐⏐α−β .
Αντίστροφα, έστω ότι χ⏐⏐α−β και α=κχ+υ και β=λχ+υ΄.
Τότε, χ ⏐⏐(κ−λ)χ+υ− υ΄ συνεπώς χ ⏐⏐ υ− υ΄ άρα, αναγκαστικά
υ− υ΄=0 δηλαδή υ=υ΄ άρα και α≡β(modχ ).
Παρ’ όλο που δεν είναι εµφανής η χρησιµότητα των ισοτιµιών
θα δούµε στην συνέχεια πάρα πολλές εφαρµογές τους σε
διάφορα θεωρήµατα…
Ορισµός: Έστω α, β φυσικοί αριθµοί. Ορίζουµε τον αντίστροφο
του α (modβ) και τον συµβολίζουµε µε α΄, τον µικρότερο
φυσικό για τον οποίο ισχύει αα΄≡1(modβ).
27