P - Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

To Θεώρηµα των πρώτων αριθµών
Αναφέραµε ότι ο Γκάους είχε κάνει σε νεαρή ηλικία την
εικασία ότι π(x) ∼x/lnx κάτι το οποίο αποδείχτηκε το 1896
και ονοµάστηκε «το θεώρηµα των πρώτων αριθµών»
(Prime number theorem (P. N. T.) ) αποτελώντας σηµείο
αναφοράς στην αριθµοθεωρία. Παρ’ όλο που δεν µας δίνει όλη
την πληροφορία για το πότε ένας αριθµός είναι πρώτος αποτελεί
το σηµαντικότερο ίσως αποτέλεσµα που έχουµε σχετικά µε τους
πρώτους.
Ο Legendre έκανε την εικασία ότι
π(x) ∼x/(lnx-1.08366) , ένας τύπος µάλλον «άκοµψος».
Το Θ. Π. Α. για πολύ καιρό έµεινε αναπόδεικτο σαν υπόθεση
µέχρι τη δηµοσίευση δύο άρθρων (ανεξάρτητα το ένα από το
άλλο) που το απέδειξαν χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση ζ(s)
του Ρίµαν όπου s=α+βi είναι µιγαδικός αριθµός .Ειδικότερα
αποδείξανε ότι η ζ(s) δεν µηδενίζεται για α=1. Συγκεκριµένα
αποδείχτηκε το εξής:
π(x)=x/lnx +Ο(x e -κ√lnx ) για κάποια σταθερά κ>0 .
Μία πολύ καλύτερη προσέγγιση της συνάρτησης π(x) από την
x/lnx είναι το λογαριθµικό ολοκλήρωµα Li(x) του Γκάους .
Στον παρακάτω πίνακα βλέπουµε και τις τρεις προσεγγίσεις
µας n /lnn, n/lnn-1.08366, Li (n) σε σχέση µε την π(n) για
n≤10 9 .
42