P - Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Θεώρηµα: Υπάρχουν ακριβώς (p-1)/2 τετραγωνικά υπόλοιπα
και (p-1)/2 µη τετραγωνικά υπόλοιπα modp για κάθε περιττό
πρώτο p.
Τα πράγµατα διευκολύνονται πολύ αν εισάγουµε έναν ορισµό
αυτόν του συµβόλου Legendre καθώς µας επιτρέπει να
εκφράσουµε τυποποιηµένα πότε ένας αριθµός είναι τετραγωνικό
υπόλοιπο κάποιου πρώτου p.
Ορισµός: Ορίζουµε το σύµβολο Legendre (α|p) ως εξής :
1, αν ο α είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modp
(α|p)= -1, αν ο α είναι µη τετραγωνικό υπόλοιπο modp
0, αν ο α είναι πολλαπλάσιο του p
(Το σύµβολο Legendre (α|p) δεν έχει καµία απολύτως
σχέση µε τον λόγο α/p ).
Το σύµβολο Legendre έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1)Αν α≡β(modp) τότε (α|p)= (β|p)
2)( α 2 |p)=1 για κάθε α µε (α, p)=1
3) (αβ|p)= (α|p)⋅(β|p)
4) (α|p)≡ α (p-1)/2 (modp)
Η πρώτη ιδιότητα είναι προφανής ότι ισχύει, όπως και η
δεύτερη ιδιότητα. Ας δούµε τις άλλες δύο.
3) Αν α και β είναι και οι δύο τετραγωνικά υπόλοιπα τότε
υπάρχουν χ, ψ ώστε χ 2 ≡α(modp) και ψ 2 ≡β(modp).
Άρα, αβ≡χ 2 ψ 2 ≡(χψ) 2 (modp). Συνεπώς
(αβ|p)= (α|p)⋅(β|p)=1
Αν α είναι τετραγωνικό υπόλοιπο και β είναι µη
τετραγωνικό υπόλοιπο:
Είδαµε ότι υπάρχουν (p-1)/2 τετραγωνικά υπόλοιπα.
Επίσης, το σύνολο Α={α, 2α ,…(p-1)α} είναι πλήρες
σύστηµα υπολοίπων modp. Χωρίζουµε το Α σε δύο
υποσύνολα, το Α1={α⋅α1, α⋅α2,…} όπου α1,α2 … είναι
37