P - Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

More documents

Recommendations

Info

να βρίσκει τους πρώτους παράγοντές του…Έχει βρεθεί αλγόριθµος που να µπορεί να αποφανθεί κατά πόσο ένας δοθέν αριθµός είναι πρώτος, που έχει πολυωνυµική πολυπλοκότητα. Ο λεγόµενος «AKS algorithm» από τα ονόµατα Agrawal ,Kayal, Saxena τριών Ινδών που τα ονόµατά τους έχουν κάνει το γύρο του κόσµου, υπολογίζει το αν ένας n είναι πρώτος σε πολυωνυµικό χρόνο. Όµως, δεν έχει ακόµη υλοποιηθεί πρακτικά αυτός ο αλγόριθµος, οπότε οι διακινήσεις είναι ακόµη ασφαλείς…Όµως το αποτέλεσµα των 3 Ινδών ήταν αρκετό ώστε να κλονίσει την εµπιστοσύνη που είχαν µέχρι πρόσφατα οι επιχειρηµατίες στις κρυπτογραφικές µεθόδους που βασίζονται στην αριθµητική. Έτσι λοιπόν έχει αναπτυχθεί περισσότερο τον τελευταίο καιρό και µία άλλη µέθοδος κρυπτογράφησης , αυτή των ελλειπτικών καµπυλών. Σίγουρα πιο πολύπλοκη, όµως γνωρίζει όλο και µεγαλύτερη αναγνώριση συνεχώς, καθώς αν υλοποιηθεί ο αλγόριθµος AKS ίσως να έρθουµε αντιµέτωποι µε ένα µικρό «χάος». Η προσέγγιση του Τσέµπισεφ Έχει γίνει η απαραίτητη «γνωριµία» µε τους πρώτους και γενικά την αριθµοθεωρία… Ας δούµε λοιπόν το πόσο ευφυής ήταν η προσέγγιση του Ρώσου µαθηµατικού Παφνούτι Τσέµπισεφ στο Θ. Π. Α. που είναι και ο σκοπός της παρούσης εργασίας… 44
Ο Τσέµπισεφ δεν απέδειξε ότι π(n)∼ n /lnn. Όµως απέδειξε ότι το n /lnn είναι µία πολύ καλή προσέγγιση της π(n) και ότι αν π (n)⋅lnn /n τείνει προς κάποιο όριο, αυτό το όριο είναι το 1. Ας δούµε αναλυτικότερα: Θα µας χρειαστεί ένα θεώρηµα που το έχει αποδείξει ο Legendre το οποίο είναι γνωστό µε την ονοµασία «η ταυτότητα του Legendre». Θεώρηµα: Έστω n∈Ν. Τότε η κανονική µορφή του (n)! Δίνεται από τον τύπο: (n)! =Πp αp όπου αp=[n/p]+[ n/p 2 ]+…[ n/p κ ] Το κ είναι τέτοιο ώστε p κ ≤ n< p κ+1 δηλαδή p κ είναι η µεγαλύτερη δύναµη του p που δεν υπερβαίνει τον n. Το γινόµενο εκτείνεται πάνω σε όλους τους πρώτους που δεν υπερβαίνουν τον n. Απόδειξη: (n)!=1⋅2⋅⋅⋅ n άρα το (n)! αναλύεται σε γινόµενο πρώτων που δεν υπερβαίνουν τον n. Έστω p≤ n. Από 1 έως και n υπάρχουν [n/p]− [ n/p 2 ] αριθµοί που είναι πολλαπλάσια του p όχι όµως του p 2 . Κάθε τέτοιος αριθµός συνεισφέρει µία µονάδα στον εκθέτη του p στην ανάλυση του (n)! . Υπάρχουν [ n/p 2 ]− [ n/p 3 ] αριθµοί που είναι πολλαπλάσια του p 2 όχι όµως του p 3 . Αυτοί οι αριθµοί συνεισφέρουν 2([ n/p 2 ]− [ n/p 3 ]) µονάδες στον εκθέτη του p. Γενικά λοιπόν, για κάθε p≤ n, ο εκθέτης του θα ισούται µε : Σ κ([ n/p κ ]− [ n/p κ+1 ]) το οποίο είναι ίσο µε : αp=[n/p]+[ n/p 2 ]+…+[ n/p κ ] όσο δηλαδή ισχυριστήκαµε στην αρχή. Άρα όντως, (n)! =Πp αp , όπου αp=[n/p]+[ n/p 2 ]+…+[ n/ p κ ] Επειδή έχουµε την εκτίµηση του Stirling για το (n)! µπορούµε να κάνουµε µία εκτίµηση που θα µας δώσει πληροφορίες σχετικά µε τους πρώτους. Έχουµε λοιπόν: (n)! =Πp αp Συνεπώς, ln(n)! = ∑αplnp. Επειδή όµως 45
Page 1: Εθνικό Μετσόβιο Πο
Page 4 and 5: Summary: You don’t have to be a m
Page 6 and 7: Εισαγωγή «Τα µαθηµ
Page 8 and 9: Μετά τους Έλληνες δ
Page 10 and 11: Σε µικρή ηλικία, ο ν
Page 12 and 13: 6) κ⋅λ=λ⋅κ για κάθε
Page 14 and 15: χρήσιµο θεώρηµα πο
Page 16 and 17: Αν οι α, β έχουν ως µ
Page 19: Βλέπουµε λοιπόν ότ
Page 23: Το γινόµενο του Euler
Page 29 and 30: Απόδειξη: Έστω n πρώ
Page 31: {α,2α,…( p−1)⋅α } διαι
Page 34: του n/κ). Το πλήθος τ
Page 39 and 40: Θεώρηµα: Έστω p ένας
Page 41 and 42: Από το κριτήριο του
Page 43: n π(n) n/lnn n/lnn-1.08366 Li(n) 1
Page 47 and 48: γινόµενο όλων των δ
Page 49 and 50: θ(n)=Σlnp όπου το άθρο
Page 51 and 52: n⋅lnn+ n(lnlnn-1)< pn< n⋅(lnn+l
Page 53: Βιβλιογραφία [1] Euler,

P - Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?