P - Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

More documents

Recommendations

Info

ότι κάθε αριθµητική πρόοδος της µορφής α+βν, ν=1,2,…µε (α,β)=1 δίνει άπειρους πρώτους αριθµούς. Η απόδειξη του θεωρήµατος αυτού είναι πολύ δύσκολη και η απόδειξη του Ντίριχλετ ήταν η πρώτη στην οποία χρησιµοποιήθηκε µιγαδική ανάλυση [4] … Οι πρώτοι µοιάζουν να επιβεβαιώνουν τα λόγια του Χάρντι, ενός Άγγλου αριθµοθεωρητικού που άσκησε µεγάλη επιρροή στη θ. αριθµών: «Υπάρχει µία διαβολική µοχθηρία στους πρώτους»… Κανείς δεν έχει κάνει το «κάτι παραπάνω» σχετικά µε τους πρώτους… Ωστόσο, είµαστε σε θέση να διατυπώσουµε κάποια άλλα αποτελέσµατα πολύ, πολύ ενδιαφέροντα! Τα θεωρήµατα Euler-Fermat Το επόµενο λέγεται το «µικρό» θεώρηµα του Φερµά και αυτό για να διαχωριστεί από το «τελευταίο» θεώρηµά του που έµεινε άλυτο για 350 χρόνια περίπου… Θεώρηµα: Αν p πρώτος, τότε α p-1 ≡1(modp) για κάθε φυσικό αριθµό α µε (α, p)= 1 Απόδειξη: Αρχικά δείχνουµε το ακόλουθο: Οι αριθµοί 30
{α,2α,…( p−1)⋅α } διαιρούµενοι δια p αφήνουν όλα τα πιθανά υπόλοιπα (εκτός του 0) modp. Πράγµατι, βλέπουµε το εξής: Για κ≠λ, οι κ⋅α και λ⋅α είναι ανισότιµοι modp. Πράγµατι, αν ίσχυε ποτέ κ⋅α ≡λ⋅α (modp) τότε θα είχαµε p⏐⏐α(κ-λ) και επειδή p⊥α θα πρέπει p⏐⏐(κ-λ). Επειδή όµως κ και λ είναι µικρότεροι του p θα πρέπει κ=λ το οποίο είναι όµως άτοπο. Άρα λοιπόν οι {α,2α,…( p−1)⋅α } είναι ( p−1) στο πλήθος και ανισότιµοι modp και µόνο το 0 δεν εµφανίζεται ως υπόλοιπο. Άρα αποδείχτηκε ο αρχικός µας ισχυρισµός ότι όλα τα υπόλοιπα εκτός του 0 εµφανίζονται στο {α,2α,…( p−1)⋅α } (µε κάποια πιθανή αναδιάταξη)… Συνεπώς, α⋅2α⋅⋅⋅( p−1)⋅α≡( p −1)!(modp) Άρα α p-1 ⋅ ( p −1)! ≡( p −1)! (modp) και επειδή p⊥( p −1)! p⏐⏐α p-1 −1 δηλαδή α p-1 ≡1(modp) που είναι και το ζητούµενο… Δυστυχώς το αντίστροφο του µικρού θεωρήµατος του Φερµά δεν ισχύει, δηλαδή ότι αν για κάποιο α, α ν-1 ≡1(modν) µε (α, ν)=1, ο ν είναι αναγκαστικά πρώτος. Αυτό το πίστευαν ως αληθές οι Κινέζοι πιο παλιά, όµως βλέπουµε ότι για 341=11⋅31 δεν ισχύει, αφού (2, 341)=1 και 341⏐⏐ 2 340 −1 όµως ο 341 είναι σύνθετος… Οι αριθµοί που είναι σύνθετοι αλλά ικανοποιούν την συνθήκη του µικρού θεωρήµατος για α=2 ονοµάζονται 31
Page 1: Εθνικό Μετσόβιο Πο
Page 4 and 5: Summary: You don’t have to be a m
Page 6 and 7: Εισαγωγή «Τα µαθηµ
Page 8 and 9: Μετά τους Έλληνες δ
Page 10 and 11: Σε µικρή ηλικία, ο ν
Page 12 and 13: 6) κ⋅λ=λ⋅κ για κάθε
Page 14 and 15: χρήσιµο θεώρηµα πο
Page 16 and 17: Αν οι α, β έχουν ως µ
Page 19: Βλέπουµε λοιπόν ότ
Page 23: Το γινόµενο του Euler
Page 29: Απόδειξη: Έστω n πρώ
Page 34: του n/κ). Το πλήθος τ
Page 39 and 40: Θεώρηµα: Έστω p ένας
Page 41 and 42: Από το κριτήριο του
Page 43 and 44: n π(n) n/lnn n/lnn-1.08366 Li(n) 1
Page 45 and 46: Ο Τσέµπισεφ δεν απέ
Page 47 and 48: γινόµενο όλων των δ
Page 49 and 50: θ(n)=Σlnp όπου το άθρο
Page 51 and 52: n⋅lnn+ n(lnlnn-1)< pn< n⋅(lnn+l
Page 53: Βιβλιογραφία [1] Euler,

P - Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?