Diskretusis atsitiktinis dydis. ( )

4 paskaita
Diskretusis atsitiktinis dydis.
Įvykus eksperimentui jo baigtis gali būti nusakoma kokybine išraiška. Tokią išraišką vadinome atsitiktiniu įvykiu.
Pavyzdžiui. Metame monetą. Atvirto herbas.
Tačiau eksperimento baigtis gali būti nusakoma ir kiekybine išraiška. Pavyzdžiui, metus monetą tris kartus, herbas
atvirto du kartus. Kiekybinė atsitiktinio įvykio charakteristika yra atsitiktinis dydis.
Kiekvienas atsitiktinis dydis gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę. Šių reikšmių aibė gali būti diskrečioji arba tolydžioji.
Apibrėžimas. Vienareikšmę realiąją elementariojo įvykio funkciją vadiname atsitiktiniu dydžiu.
Atsitiktinį dydį vadiname diskrečiuoju, jei jo įgyjamų reikšmių aibė yra baigtinė arba skaičioji.
Diskretųjį atsitiktinį dydį galime nusakyti jo skirstiniu ar šio skirstinio pasiskirstymo funkcija.
Diskrečiojo atsitiktinio dydžio skirstinys – lentelė, kurioje pateiktos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir jų
tikimybės.
x
x ...........
P
x
1
2
p
1
2
p ................
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija F vadinama tikimybė, kad X

2. F( x1 ) F(
x2),
kai x1
x2
Pasiskirstymo funkcija – nemažėjanti funkcija.
3. P( x X x Fx
Fx
1 2)
4.Pasiskirstymo funkcija tolydi iš kairės
5. F ( )
0 ; F ( )
1
2
1
F(
x
0)
Fx
Diskrečiojo atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos:
1. Vidurkis (EX)
Diskrečiojo atsitiktinio dydžio vidurkiu vadiname skaičių
matematine viltimi.
Vidurkio savybės:
1. EC C
, kai C konstanta
2. Jei X 0 , tai EX 0
3. E(
X Y ) EX EY
EX
x i
p i
. Šis skaičius dar dažnai vadinamas
i
4. Jei dydžiai X ir Y nepriklausomi, tai E(
X Y ) EX EY
5. EXC CEX
2. Moda ( M
0
)
Moda – patikimiausia reikšmė, t.y. ta atsitiktinio dydžio reikšmė, kurio tikimybė pati didžiausia.
3. Dispersija (DX)
Kartais vidurkio charakteristikų neužtenka. Svarbu sužinoti, kaip atsitiktinio dydžio reikšmės pasiskirsčiusios apie
vidurkį, koks jų išsibarstymas.
Atsitiktinio dydžio dispersija vadiname šio dydžio nuokrypio nuo vidurkio kvadrato vidurkį:
DX
E
X
EX 2
Dispersijos skaičiavimo formulė:
DX
i
x
2
i
EX p i
Dispersijos savybės:
1. DX 0
DX EX 2 EX
2. 2
3. DC 0 , kai C – konstanta
2
4. DCX C DX
5. Jei atsitiktiniai dydžiai nepriklausomi, tai DX
Y DX DY
4. Vidutinis kvadratinis nuokrypis X
X
DX

Pavyzdys: Duotas atsitiktinio dydžio skirstinys. Apskaičiuokite konstantos c reikšmę, raskite šio atsitiktinio dydžio
pasiskirstymo funkciją, apskaičiuokite jo skaitines charakteristikas
x -1 0 1 2
p 0,2 0,3 c 0,2
Atsitiktinių dydžių funkcijos:
Kaip apibūdinti atsitiktinio dydžio Y= f(X) tikimybių skirstinį, jei funkcija f ir dydžio X skirstinys yra žinomi?
Tarkime diskrečiojo dydžio skirstinys pateiktas lentele:
x
P
x
1
x ...........
2
p ................
p
1
2
x
i
p
i
Be to Y= f(X). Tada dydžio Y skirstinys yra:
x
P
y
1
y ...........
2
q ................
q
1
2
y
i
q
i
Jei funkcija f yra tolydi ir monotoninė, tai
q
j
j
f
( X ) f ( x
j
P(
X x
j
p
j
P( Y y ) P
) . Taigi tikimybės nesikeičia.
2
Jei funkcija nemonotoninė (pvz x ), ir dydžio Y reikšmės pasikartoja, tai skirstinių lentelėje įrašome vieną iš tų
reikšmių, o jų tikimybes sudedame.
Pateiksime pavyzdžius.
1 pavyzdys:
Atsitiktinio dydžio skirstinys pateiktas lentele
X -1 0 1
p 0,2 0,5 0,3
EX
DX
1
0,2 0
0,5 1
0,3 0,1
2
2
2
1 0,2 0 0,5 1
0,3 0,01 0, 49
Rasime šio dydžio funkcijų Y=2X-1 ir
Y -3 -1 1
p 0,2 0,5 0,3
2
Z X
skirstinius, vidurkius, dispersijas.
EY
DY
3
0,2 1
0,5 1
0,3 0,8
2
2
2
2
3 0,2
( 1)
0,5
1
0,3
0,8 1, 96
Kitas būdas EY E2 X 1 2 EX
E1
2 0,1 1
0,
8

DY
D
2
2X
1 2 DX
D(0)
4 0,49 1, 96
Z 0 1
p 0,5 0,5
EZ 0
0,5 10,5
0,5 .
DZ 0
2
2
2
0,5 1
0,5 0,5
0,25