Veselo skaitl¸u teorija 8.lekcija

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE
Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte
Matemātikas katedra
Bakalaura studiju programma “Matemātika”
Studiju kurss
Veselo skaitl¸u teorija
8.lekcija
Docētājs: Dr. P. Daugulis
2007./2008.studiju gads
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
1

Saturs
1. Invertējamo atlikuma klaˇsu kopas Um īpaˇsības 3
1.1. Um kā grupa attiecībā uz atlikumu klaˇsu reizināˇsanas
operāciju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Papildfakti no grupu teorijas . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Elementa kārta un tās īpaˇsības . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Klaˇsu skaits ar dotu kārtu . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. 8.mājasdarbs 22
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
2

1. Invertējamo atlikuma klaˇsu kopas Um
īpaˇsības
1.1. Um kā grupa attiecībā uz atlikumu klaˇsu reizināˇsanas
operāciju
Um (multiplikatīvi invertējamo atlikuma klaˇsu kopa pēc modul¸a
m) ar atlikumu reizināˇsanas operāciju ir komutatīva grupa, jo izpildās
grupas aksiomas:
• Um ir slēgta attiecībā uz reizināˇsanas operāicju: ja a ∈ Un un
b ∈ Um, tad ab ∈ Um, jo
(ab)(b −1 a −1 ) ≡ a(bb −1 )a −1 ≡ a · 1 · a −1 ≡ aa −1 ≡ 1 (mod m);
• atlikumu reizināˇsana ir asociatīva;
• eksistē neitrālais elements attiecībā uz reizināˇsanu: katram a ∈
Um izpildās
a · 1 ≡ 1 · a ≡ a (mod m);
• katram elementam eksistē multiplikatīvi inversais elements;
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
3

• atlikumu reizināˇsana ir komutatīva - ab ≡ ba (mod m).
Elementu skaits grupā Um ir vienāds ar ϕ(m).
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
4

1.2. Papildfakti no grupu teorijas
Par grupas G elementa a ˇgenerētu apakˇsgrupu 〈a〉 ⊆ G sauksim
visu a pakāpju (ieskaitot negatīvās) kopu. Elementu a sauc par
apakˇsgrupas 〈a〉 ˇgeneratoru. Katru G apakˇsgrupu H, kas ir izsakāma
formā H = 〈h〉, sauc par ciklisku apakˇsgrupu. Grupu G sauc par
ciklisku, ja eksistē elements g ∈ G tāds, ka G = 〈g〉.
1.1. piemērs. Skaitl¸i 1 un −1 katrs ir (Z, +) ˇgenerators, ja katrs
vesels skaitlis ir izsakāms kā vairāku 1 vai −1 summa. Klase 1 ir
Z/mZ ˇgenerators katram m.
Par grupas elementa a kārtu sauksim mazāko naturālo skaitli k,
tādu, ka a k = e. Galīgā grupā katram elementam eksistē kārta, jo
kādam n un k izpildās a n = a k , tāpēc a n−k = e. Bezgalīgās grupās
elementiem kārta var neeksistēt. Piemērs - Z.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
5

1.3. Elementa kārta un tās īpaˇsības
Par elementa a ∈ Um kārtu sauksim mazāko nenegatīvo veselo
skaitli k tādu, ka
a k ≡ 1 (mod m).
No Eilera teorēmas seko, ka katram a ∈ Um izpildās nosacījums
k ≤ ϕ(m).
Elementa a kārtu apzīmēsim ar Pm(a) vai P (a), ja m ir fiksēts. Elementa
1 kārta ir vienāda ar 1.
1.2. piemērs. Atradīsim kārtas invertējamiem elementiem gredzenos
GF (5), GF (7). Var izmantot MAGMA vai Mathematica.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
6

1.1. teorēma. Ja a k ≡ 1 (mod m), tad Pm(a)|k.
PIER ĀDĪJUMS Izdalīsim k ar Pm(a): k = qPm(a) + r, kur 0 ≤
r < Pm(a). Redzam, ka
a k ≡ a qPm(a)+r ≡ (a Pm(a) ) q a r ≡ a r ≡ 1 (mod m).
Ja r = 0, tad a r ≡ 1 (mod m), jo r < Pm(a) un Pm(a) ir a kārta.
Tātad r = 0 un Pm(a)|k.
1.2. teorēma. Pm(a)|ϕ(m).
PIERĀDĪJUMS Apgalvojums seko no Eilera teorēmas un iepriek-
ˇsējās teorēmas. Tā kā aϕ(m) ≡ 1 (mod m), tad Pm(a)|ϕ(m).
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
7

1.3. piemērs. Elementu kārtas var būt tikai ϕ(m) dalītāji. Apskatīsim
m = 20, ϕ(20) = 8. Invertējamie elementi ir
{1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}.
Elementa kārta var būt 1,2,4 vai 8. Invertējamo elementu kvadrāti ir
1 2 ≡ 1, 3 2 ≡ 9, 7 2 ≡ 9, 9 2 ≡ 1, 11 2 ≡ 1,
13 2 ≡ 9, 17 2 ≡ (−3) 2 ≡ 9, 19 2 ≡ 1.
Tātad elementiem 9, 11, 19 kārta ir 2. Visu invertējamo elementu
ceturtās pakāpes ir kongruentas ar 1, jo 9 2 ≡ 1. Tātad tiem elementiem,
kuru kārta nav ne 1, ne 2, tā ir vienāda ar 4. ˇ Sie elementi ir
3, 7, 13, 17.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
8

1.3. teorēma. a k1 ≡ a k2 (mod m) tad un tikai tad, ja
k1 ≡ k2(mod Pm(a)).
PIER ĀDĪJUMS Ja ak1 ≡ a k2 (mod m), tad a k1−k2 ≡ 1 (mod m).
No tā seko, ka Pm(a)|k1 − k2 jeb k1 ≡ k2 (mod Pm(a)).
Ja k1 ≡ k2(mod Pm(a)), tad k1 − k2 = qPm(a) un k1 = k2 +
qPm(a). Redzam, ka
a k1 ≡ a k2+qPm(a) ≡ a k2 (a Pm(a) ) q ≡ a k2 (mod m).
1.4. teorēma. Daˇzādo elementa a pakāpju skaits ir vienāds ar Pm(a).
PIERĀDĪJUMS Apgalvojums seko no iepriekˇsējās teorēmas.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
9

1.5. teorēma. Pm(a k ) = Pm(a) tad un tikai tad, ja
LKD(k, Pm(a)) = 1.
PIERĀDĪJUMS No sākuma atzīmēsim, ka
Pm(a k ) ≤ Pn(a),
jo elementa a k pakāpju kopa ir a pakāpju kopas apakˇskopa. Ja
tad no kongruences
LKD(k, Pm(a)) = 1,
(a k ) t ≡ a kt ≡ 1 (mod m)
seko, ka Pm(a)|kt un Pm(a)|t. Tātad Pm(a k ) = Pm(a).
Ja LKD(k, Pm(a)) = d = 1, tad
Seko, ka Pm(a k ) = Pm(a)
d
(a k ) Pm(a)
d ≡ (a Pm(a) ) k
d ≡ 1 (mod m).
< Pm(a).
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
10

1.6. teorēma. (palīgteorēma - Lagranˇza teorēma) Ja f(x) ir nekonstants
polinoms ar pakāpi n un veseliem koeficientiem un p ir pirmskaitlis,
tad vienādojumam
f(x) ≡ 0 (mod p)
ir ne vairāk kā n daˇzādi (savstarpēji nekongruenti) atrisinājumi
PIERĀDĪJUMS Izmantosim matemātisko indukciju pēc parametra
n. Ja polinoma pakāpe ir 1, tad vienādojums ir
a1x + a0 ≡ 0 (mod p).
Tam ir tieˇsi viens atrisinājums x ≡ a −1
1 (−a0) (mod p). Indukcijas
bāze ir pierādīta.
Pieņemsim, ja teorēmas apgalvojums ir spēkā, ja polinoma pakāpe
nepārsniedz i − 1. Apskatīsim polinomu
f(x) = aix i + ai−1x i−1 + ... + a1x + a0 =
i
ajx j ,
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
j=0
11

kura pakāpe ir vienāda ar i. Ja tam nav atrisinājumu, tad indukcijas
solis ir pierādīts. Ja tam ir atrisinājums x0, tad
i
f(x) ≡ f(x) − f(x0) ≡ ajx j i
− ajx j
0 =
i
aj(x j − x j
0 ) (mod p).
Atcerēsimiem vienādību
j=0
j=0
j=0
x j − x j
0 = (x − x0)(x j−1 + x j−2 x0 + ... + x · x j−2
0 + xj−1 0 ).
Redzam, ka
f(x) ≡ f(x) − f(x0) ≡ (x − x0)g(x) (mod p),
kur g(x) ir polinoms ar pakāpi, kas nepārsniedz i − 1. Tādējādi
vienādojumam
f(x) − f(x0) ≡ (x − x0)g(x) ≡ 0 (mod p)
atrisinājumu skaits nepārsniedz i - viens atrisinājums x0 un vēl ne
vairāk kā i − 1 vienādojuma
g(x) ≡ 0 (mod p)
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
12

atrisinājumi.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
13

1.7. teorēma.
1. Elementa a pakāpes a 1 , ..., a Pm(a) ir vienādojuma
daˇzādi atrisinājumi.
x Pm(a) ≡ 1 (mod m)
2. Ja m ir pirmskaitlis, tad elementa a pakāpes a 1 , ..., a Pm(a) ir
vienādojuma
x Pm(a) ≡ 1 (mod m)
visi atrisinājumi.
PIER ĀDĪJUMS 1. Ja 0 ≤ l < Pm(a), tad (a l ) Pm(a) ≡ 1 (mod m).
Apgalvojums seko no iepriekˇsējās teorēmas.
2. Saskaņā ar Lagranˇza teorēmu vienādojumam
x Pm(a) ≡ 1 (mod m)
ir ne vairāk kā Pm(a) nekongruentu atrisinājumu. Bet atlikumu klases
a = a 1 , ..., a Pm(a) ir ˇsī vienādojuma Pm(a) atrisinājumi un citu nevar
būt.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
14

1.1. piezīme. Iepriekˇsējā teorēma l¸auj risināt vienādojumus
x k ≡ 1 (mod p),
ja p ir pirmskaitlis. Ja k ≤ p − 1 un k ∤ p − 1, tad atrisinājumu
noteikti nav. Ja k|p − 1, tad jāatrod vismaz viens elements a tāds, ka
P (a) = k, tā pakāpes būs atrisinājumi.
1.2. piezīme. Ja m nav pirmskaitlis, tad vienādojumam
x Pm(a) ≡ 1 (mod m)
var būt arī citi atrisinājumi:
• m = 8, a = 3, P8(3) = 2, vienādojumam x 2 ≡ 1 (mod 8)
atrisinājumi ir arī 5 un 7, ˇsajā gadījumā visiem atrisinājumiem
kārtas ir vienādas;
• m = 15, a = 2, P15(2) = 4, vienādojumam x 4 ≡ 1 (mod 15)
atrisinājumi ir arī 11 un 14, kuriem kārtas ir vienādas ar 2 ;
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
15

1.4. Klaˇsu skaits ar dotu kārtu
Ja m ir fiksēts, tad apskatīsim visus grupas Um elementus, kuru
kārta ir vienāda ar k. ˇ Sādu elementu skaitu apzīmēsim ar ψ(k).
Ievērosim, ka ja k ∤ ϕ(m), tad ψ(k) = 0.
1.4. piemērs.
• m = 2, ϕ(m) = 1, ψ(1) = 1;
• m = 3, ϕ(m) = 2, ψ(1) = ψ(2) = 1;
• m = 4, ϕ(m) = 2, ψ(1) = ψ(2) = 1;
• m = 5, ϕ(m) = 4, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(4) = 2;
• m = 6, ϕ(m) = 2, ψ(1) = ψ(2) = 1;
• m = 7, ϕ(m) = 6, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(3) = ψ(6) = 2;
• m = 8, ϕ(m) = 4, ψ(1) = 1, ψ(2) = 3;
• m = 9, ϕ(m) = 6, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(3) = ψ(6) = 2;
• m = 10, ϕ(m) = 4, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(4) = 2;
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
16

• m = 11, ϕ(m) = 10, ψ(1) = ψ(2) = 1, ψ(5) = ψ(10) = 4;
1.8. teorēma. Katram m izpildās vienādība
ψ(k) = ϕ(m).
k|ϕ(m)
PIERĀDĪJUMS Katrai invertējamai atlikuma klasei kārta ir ϕ(m)
dalītājs. Summas
1 = ϕ(m)
a∈Um
locekl¸us varam apvienot grupās, kas atbilst ϕ(m) dalītājiem - katram
ϕ(m) dalītājam k atbildīs ψ(k) vieninieku, tādējādi
a∈Um
1 = 1 + ... + 1
ψ(k1) locekl¸i
+ 1 + ... + 1
ψ(k2) locekl¸i
+... + 1 + ... + 1
ψ(kl) locekl¸i
k|ϕ(m)
=
ψ(k) = ϕ(m)
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
17

1.9. teorēma. Ja m = p ir pirmskaitlis, tad
1. katram k = 0 izpildās nevienādība
ψ(k) ≤ ϕ(k).
2. katram k, kuram izpildās nosacījums k|p − 1, izpildās vienādība
ψ(k) = ϕ(k).
PIERĀDĪJUMS 1. Ja ψ(k) = 0, tad nevienādība ir pierādīta. Ja
eksistē vismaz viena klase a tāda, ka P (a) = k, tad
a) saskaņā ar iepriekˇs pierādītu teorēmu pakāpes a1 , ..., ak ir visi
vienādojuma xk ≡ 1 (mod p) atrisinājumi;
b) saskaņā ar (citu) iepriekˇs pierādītu teorēmu P (a s ) = P (a) = k
tad un tikai tad, ja LKD(s, k) = 1, tādu kāpinātāju skaits ir
vienāds ar ϕ(k).
No punkta a) seko, ka katra klase b, kurai P (b) = k, pieder kopai
{a 1 , ..., a k }, jo tā apmierina vienādojumu x k ≡ 1 (mod p). Tātad
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
18

ˇsādu klaˇsu skaits ir vienāds ar ϕ(k).
2. Izmantosim ˇsādu palīgrezultātu (Eilera funkcijas īpaˇsību), kas
tiks pierādīts atseviˇsk¸i zemāk. Katram naturālam m izpildās vienādība
ϕ(k) = m.
k|m
Ja m = p − 1, tad iegūsim vienādību
ϕ(k) = p − 1.
k|p−1
Tādējādi mums ir divas līdzīgas vienādības:
ϕ(k) = p − 1
un
k|p−1
k|p−1
ψ(k) = p − 1.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
19

(otrā ir no iepriekˇs pierādītas teorēmas). Ievērosim, ka summēˇsanas
indeksu kopas ir vienādas. Atņemot no pirmās vienādības otro, iegūsim
(ϕ(k) − ψ(k)) = 0.
k|p−1
Bet saskaņā ar ˇsīs teorēmas pirmo punktu ϕ(k) − ψ(k) ≥ 0, tāpēc visi
locekl¸i ir vienādi ar 0 un katram k|p−1 izpildās vienādība ψ(k) = ϕ(k).
1.10. teorēma. Katram naturālam m ≥ 2 izpildās vienādība
ϕ(k) = m.
k|m
1 2 m
PIERĀDĪJUMS Apskatīsim kopu { m , m , ..., m }. ˇ Sajā kopā ir m
elementi. Katram no ˇsiem skaitl¸iem var izdalīt skaitītāju un saucēju
ar kopīgo reizinātāju, tādējādi katrs no tiem ir izsakāmas formā l
k ,
kur k|m un LKD(l, k) = 1. Ja k ir fiksēts, tad skaitl¸u skaits, kuriem
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
20

saucējs ir vienāds ar k, ir ϕ(k). Tāpēc summa kreisajā pusē ir vienāda
ar m.
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
21

2. 8.mājasdarbs
1. Atrodiet elementu skaitus ar visām kārtām, kas dala ϕ(m), ja
(a) m = 8;
(b) m = 10.
2. Izmantojot tikai pamatfaktus, pierādiet, ka primitīvās saknes
neeksistē, ja
(a) m = 8;
(b) m = 21.
Katrā no ˇsiem gadījumiem atrodiet grupas (Un, ·) minimālo ˇgenerējoˇso
kopu.
3. Izmantojot primitīvās saknes un indeksus, atrisiniet ˇsādus vienādojumus:
(a) x 6 ≡ 4 (mod 23);
(b) x 7 ≡ 9 (mod 18);
(c) x 2 y 3 ≡ 5 (mod 11);
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakal¸ Aizvērt Pilns ekrāns
22