2.TEMATS Ģeometriskie pārveidojumi Temata apraksts Skolēnam ...

2.TEMATS Ģeometriskie pārveidojumiTemata aprakstsSkolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedisUzdevumu piemēriStundas piemērsM_11_SP_02_P1 (a) Paralēlā pārnese Skolēna darba lapaM_11_SP_02_P1 (b) Aksiālā simetrija Skolēna darba lapaM_11_SP_02_P1 (c) Pagrieziens Skolēna darba lapaM_11_SP_02_P1 (d) Homotētija Skolēna darba lapaM_11_UP_02_P1 Joslu raksti Skolēna darba lapaM_11_LD_02_P1 Plaknes pārklājumi Skolēna darba lapaM_11_LD_02_P2 Radošā konkursa “Parketa zīmējumi” nolikums Skolēna darba lapaKārtējais vērtēšanas darbsNobeiguma vērtēšanas darbs1.variants2.variantsVērtēšanas kritērijiLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M IĢEOMETRISKIE PĀRVEIDOJUMIT E M A T A A P R A K S T S14Ikviens savā ikdienas dzīvē saskaras ar dažādiem ģeometriskiem pārveidojumiem.Piemēram, arhitektūras, etnogrāfijas vai mākslas darbos var saskatīt, ka toelementi ir izkārtoti noteiktā ritmā vai simetriski. Ģeometrijas mācību saturā nozīmīgair ne vien figūru un to īpašību izpratne un pielietošana, bet arī figūru pārveidojumi.Ģeometrisko pārveidojumu izpratne attīsta tēlaino, konstruktīvo un kombinatoriskodomāšanu. Ģeometrisko pārveidojumu apguves laikā skolēns atkārtoplaknes figūru īpašības, piemēram, saskata homotētijas saistību ar līdzību, interpretēparalēlo pārnesi ar vektoru palīdzību. Definējot ģeometriskos pārveidojumus kāfunkcijas, tiek paplašināta funkcijas un ar to saistīto jēdzienu izpratne.Priekšstats par paralēlo pārnesi un simetriju ir radīts pamatskolā ne tikai matemātikas,bet arī informātikas, vizuālās mākslas un mājturības stundās.Tematā tiek aplūkota paralēlā pārnese, aksiālā simetrija, pagrieziens (centrālāsimetrija kā pagrieziena speciālgadījums) un homotētija, kā arī šo pārveidojumusvarīgākās īpašības, šo īpašību lietojums konstrukcijas, aprēķinu un pierādījumauzdevumos.

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M IMATEMĀTIKA 11. klaseC E Ļ V E D I SGalvenie skolēnam sasniedzamie rezultātiSTANDARTĀIzprot ģeometriskos modeļus unto attēlošanu plaknē.Lieto ģeometriskos pārveidojumus,pamatojot ģeometrisko figūru vaito elementu īpašības un savstarpējonovietojumu.Plāno risinājumu; izvēlas vai izveidoproblēmai atbilstošu matemātisko modeli.Saskata matemātikas saikni ar dabas unhumanitārajām zinātnēm.15PROGRAMMĀ• Izprot ģeometriskospārveidojumus kā funkcionālassakarības.• Izprot paralēlās pārneses,aksiālās simetrijas, pagriezienaun homotētijas definīcijas unīpašības.• Lieto paralēlās pārneses, aksiālāssimetrijas, pagrieziena īpašībaskonstrukcijas, aprēķina un pierādījumauzdevumos.• Lieto homotētijas īpašības konstrukcijas,aprēķina un pierādījuma uzdevumos.• Veic plaknes pārklājumus, izmantojotplaknes figūras.• Analizē pagrieziena, simetriju, paralēlāspārneses un homotētijas lietojumumākslā (piemēram, Ešera zīm.),etnogrāfijā, kartogrāfijā, astronomijā,optikā u.c.STUNDĀVizualizēšana. Darbs ar tekstu.SP. Ģeometriskais pārveidojums kāfunkcija.VM. Ģeometriskie pārveidojumi.KD. Pagrieziena lietojums.Modeļu izgatavošana.LD. Plaknes pārklājumi.Demonstrēšana.VM. Paralēlā pārnese.VM. Plaknes pārklājumi.Demonstrēšana.VM. Ešera zīmējumi.VM. Ģeometriskie pārveidojumi.

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M IU Z D E V U M U P I E M Ē R ISasniedzamais rezultāts I II III16Izprot ģeometriskospārveidojumus kāfunkcionālas sakarības.Pabeidz teikumu, pasvītrojot, tavuprāt,atbilstošo frāzi!Ģeometriskie pārveidojumi ir:a) figūru konstrukcijas gaita,b) funkcijas, kuru argumenti un vērtības irplaknes punkti,Analizējot paralēlo pārnesi kā funkcionālusakarību, nosaki:a) definīcijas apgabalu,b) atbilstības formulējumu,c) vērtību apgabalu!Vai lineāru funkciju y=ax+b arī var uzskatīt par“ģeometrisku pārveidojumu”? Atbildi pamato!c)laukumu vai perimetru aprēķināšanas gaitaģeometriskām figūrām.Izprot paralēlāspārneses, aksiālāssimetrijas, pagriezienaun homotētijasdefinīcijas un īpašības.1. Paralēlajā pārnesē punkts A(4;0) attēlojas parpunktu X(–3;2). Iezīmē pārvietojuma vektoru!Nosaki tā koordinātas!2. Uzraksti aksiālās simetrijas definīciju! Izveidozīmējumu, kas ilustrē definīciju!3. Uzraksti paralēlās pārneses īpašības!1. Dots, ka MN ir trijstūra ABC viduslīnija.Nosauc homotētijas centru un koeficientu, ja:Ba) M attēlojas par A,b) C attēlojas par N!2. Definē centrālo simetriju, izmantojot:AMNC1. Uzzīmē tādu figūru, kura nav ne kvadrāts, neriņķa līnija, kura attēlojas par sevi pagriezienospar 90° un 180°!2. Uzzīmē tādus divus aksiāli simetriskustrijstūrus, lai vienu no tiem varētu pārveidotpar otru plaknes pagrieziena rezultātā! Nosakipagrieziena leņķi un pagrieziena centru!a) pagrieziena jēdzienu,b) homotētijas jēdzienu!Izprot ģeometriskopārveidojumu vispārīgāsīpašības un secinājumusno tām, kopīgo unatšķirīgo starp dažādiempārveidojumiem.1. Ieraksti trūkstošo!a) Ja visiem figūras F punktiem pielieto vienuun to pašu paralēlo pārnesi, pagriezienuvai aksiālo simetriju, tad iegūtā figūra F’ ir………… ar figūru F.b) Ja visiem figūras F punktiem katramatsevišķi pielieto vienu un to pašuhomotētiju, tad iegūtā figūra F’ ir …………ar figūru F.Trijstūris A 1 B 1 C 1 ir iegūts no trijstūra ABCar paralēlo pārnesi. Trijstūra ABC augstumikrustojas punktā H, bet trijstūra A 1 B 1 C 1augstumi krustojas punktā H 1 . Pierādi, kaHH 1 =CC 1 !Dots: ABC, ADE – regulāri trijstūri, ∠CAD=15°,O ir trijstūrī ABC ievilktās riņķa līnijas centrs, betO 1 ir trijstūrī ADE ievilktās riņķa līnijas centrs.Pamato ∠OAO 1 lielumu!c) Ja paralēlās pārneses rezultātā trijstūris ABCpārveidojas par trijstūri A’B’ C’, tad trijstūraABC mediānu krustpunkts M pārveidojaspar ………………………………………… .2. Nosauc ģeometriskus pārveidojumus, kurossaglabājas gan ģeometrisko figūru forma, ganizmēri!

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M IMATEMĀTIKA 11. klaseSasniedzamais rezultāts I II IIIKonstruē pagriezienāiegūtas figūras, aksiālisimetriskas figūras,veic figūru paralēlopārnesi un konstruēhomotētiskas figūras.1. Dots trijstūris ABC un punkts E, kas atrodasuz trijstūra malas BC. Konstruē trijstūra ABCattēlu paralēlajā pārnesē, ko nosaka vektorsEA!2. Uzzīmē vienādsānu taisnleņķa trijstūri!Konstruē trijstūri, kuru iegūst, doto trijstūripagriežot par 45° ap taisnā leņķa virsotni!1. Dots pagrieziena centrs O un leņķis ϕ.Uzraksti plānu nogriežņa AB attēlojumakonstruēšanai šajā pagriezienā!2. Uzzīmē trijstūri ABC, izvēlies homotētijascentru ārpus tā un konstruē trijstūrimABC homotētisku trijstūri, ja homotētijaskoeficientsa) k=3,b) k=–2!Dotas divas riņķa līnijas ω 1 un ω 2 un nogrieznisAB. Ar cirkuli un lineālu konstruē punktu M uzω 1 un punktu N uz ω 2 tā, ka MN=AB!AB17Lieto paralēlās pārneses,aksiālās simetrijas,pagrieziena īpašībaskonstrukcijas, aprēķinaun pierādījumauzdevumos.Izmantojot pagriezienu, pierādi, ka hordas, kassavelk vienādus lokus, ir vienāda garuma!1. Dots šaurs leņķis un punkts D tā iekšpusē.Izmantojot centrālo simetriju, konstruē taisniAB, kas leņķa malas krusto punktos A un B tā,lai AD=DB!2. Vienādmalu trijstūris tiek pagriezts par 30° apvienu no virsotnēm. Pamato, ka dotā trijstūraun pagriezienā iegūtā trijstūra kopīgā daļa iraksiāli simetriska figūra!3. Kvadrāts tiek pagriezts ap vienu no virsotnēmpar 30°. Nosaki dotā kvadrāta un pagriezienāiegūtā kvadrāta kopīgo daļu! Aprēķini iegūtāsdaļas un kvadrāta laukumu attiecību!1. Pierādi, ka vienādsānu trapecē ABCD(AD||BC) pamatu viduspunkti, diagonāļukrustpunkts un sānu malas pagarinājumukrustpunkts atrodas uz vienas taisnes!2. Dots regulārs trijstūris ABC ar centru punktāO. Caur O novilktas divas taisnes, leņķis starpkurām ir 60°. Viena no taisnēm krusto trijstūraABC malas punktos N un L, bet otra punktos Kun M. Pierādi, ka NL=KM!3. Vienādmalu trijstūra ABC iekšpusē dotspunkts M tā, ka AM=1, BM= 3, CM=2.Aprēķini ∠AMB, ∠BMC, malas AB garumu!Piezīme: Izmanto pagriezienu ap punktu C par 60 ovirzienā no A uz B!

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M ISasniedzamais rezultāts I II III18Lieto homotētijasīpašības konstrukcijas,aprēķina un pierādījumauzdevumos.1. Rombs ABCD ir homotētisks rombam EFGH.Kādi ir romba EFGH leņķi, ja ∠A=35°!2. Papildini homotētijas īpašību formulējumus!a) Ja taisne l homotētijā attēlojas par taisni l 1 ,tad vai nu l 1 sakrīt ar l, vai arī …………… .b) Ja riņķa līnija ω homotētijā ar centru Oattēlojas par riņķa līniju ω 1 un centrs Oatrodas uz ω, tad vai nu ω 1 sakrīt ar ω (jak=1), vai arī …………………………………………………………………………… .1. Trapecē ABCD (AD – garākais pamats)diagonāles krustojas punktā E. Pamatamalu garumi ir 4 cm un 10 cm. Nosaki, vaitrijstūri AED un BEC ir homotētiski! Nosakihomotētijas centru un koeficientu!2. Trijstūra A 1 B 1 C 1 malas ir trijstūra ABCviduslīnijas. Konstruē centru homotētijai, kastrijstūri ABC attēlo par trijstūri A 1 B 1 C 1 ! Nosakihomotētijas koeficientu!3. Divas riņķa līnijas iekšēji pieskaras punktā P.Caur punktu P novilktas divas taisnes, kaskatra krusto katru riņķa līniju vēl citā punktā.Pierādi, ka ABA 1 B 1 ir trapece!1. Trijstūris ABC (∠A=90°) ir vienādsānutaisnleņķa trijstūris. Ar homotētijas centrupunktā A konstruēts tam homotētisks trijstūrisAB 1 C 1 tā, ka trijstūra AB 1 C 1 laukums ir divasreizes lielāks nekā trijstūra ABC laukums.Pierādi, ka AB 1 =BC!2. Pierādi, ka divi trijstūri, kuri ir homotētiski, irarī līdzīgi! Vai arī apgrieztais apgalvojums irspēkā?3. Doti divi trijstūri. Uzraksti kādu nepieciešamonosacījumu, lai šie trijstūri būtu homotētiski!BB 1PA 1A

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M IMATEMĀTIKA 11. klaseSasniedzamais rezultāts I II IIILieto jēdzienuspārveidojums, pagrieziens,centrālā simetrija,aksiālā simetrija,simetriskas figūras,paralēlā pārnese,homotētija, homotētiskasfigūras, homotētijaskoeficients, līdzība,līdzīgas figūras – ,aprakstot reālassituācijas, komentējotģeometriskopārveidojumu lietošanucitos matemātikastematos.1. Ar kādu ģeometrisko pārveidojumu vienano figūrām attēlojas par otru? Ja iespējams,norādi pārveidojumu parametrus!acegbdf1. Rombs tiek pagriezts par 90° ap diagonāļukrustpunktu. Iezīmē dotās un pagriezienāiegūtās figūras kopīgo daļu! Raksturo iegūtofigūru un tās īpašības!2. Attēlā dota daļa no funkcijas y=f(x) grafika!Papildini funkcijas y=f(x) grafiku, lai funkcijabūtu:a) pāra;b) nepāra;c) periodiska!Nosauc izmantotos ģeometriskospārveidojumus!1. Konstruē doto funkciju grafikus un raksturoiegūto zīmējumu, lietojot ar ģeometriskajiempārveidojumiem saistītus jēdzienus:a) y= 2x–1 un y=2x+3,b) y= 2x–1 un y=–2x–1,c) y= 2x–1 un y=– 1 2 x–1!2. Vienādsānu trijstūrī novilktas visasviduslīnijas. Saskati un apraksti ģeometriskospārveidojumus: aksiālo simetriju, homotētiju,pagriezienu, paralēlo pārnesi, centrālosimetriju!19y2. Dots taisnstūra paralēlskaldņa zīmējums.Saskati vismaz trīs paralēlās pārneses unraksturo tās, lietojot vektora jēdzienu!x3. Lietojot matemātikā pieņemtos jēdzienus,raksturo animācijā demonstrēto!(M_11_UP_02_VM1)

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M ISasniedzamais rezultāts I II IIIVeic plaknespārklājumus, izmantojotplaknes figūras.Pārklāj plakni ar vienādiem dažādmalutrijstūriem, izmantojot ģeometriskospārveidojumus! Nosauc izmantotosģeometriskos pārveidojumus!1. Izveido plaknes pārklājumu, kurā izmantotasvismaz divas dažādas plaknes figūras!2. Izveido zīmējumu konkursam “Oriģinālākaisparkets”!1. Izveido plaknes pārklājumu, kurā izmantotigan regulāri trijstūri, gan regulāri četrstūri, ganregulāri sešstūri! Vai vari izveidot pārklājumu,kurā kopīgas malas ir tikai dažādām figūrām(trijstūrim un četrstūrim, četrstūrim unsešstūrim, trijstūrim un sešstūrim)?202. Vai plakni var pārklāt ar regulāriempiecstūriem, izmantojot ģeometriskospārveidojumus? Ja var, apraksti šo procesu,bet ja nevar, pamato to!Iegūst informācijupar ģeometriskajiempārveidojumiem,fraktāļiem no teksta.Ģeometrisko pārveidojumu konstrukcijas gaituvar sadalīt atsevišķos soļos – operācijās:a) caur doto punktu novelk taisni paralēlidotajam nogrieznim;b) dotā garuma nogriezni atliek uz jaunovilktā stara no šī stara sākumpunkta;c) no dotā punkta novelk perpendikulu prettaisni;d) atliek dotā lieluma leņķi tā, lai tā viena malasakristu ar doto staru;e) konstruē k reizes garāku nogriezni.Kuras no šīm operācijām tiek lietotas visuģeometrisko pārveidojumu konstrukcijās?Definējot funkcijas, tiek izmantoti parametri –konstantes, kas ietilpst funkcijas aprakstā.Parametri ir nemainīgi attiecībā pret visiemdefinīcijas apgabala punktiem. Piemēram,uzdodot lineāru funkciju y=ax+b, izmantodivus parametrus – lineārā locekļa koeficientua un brīvo locekli b. Arī ģeometriskajiempārveidojumiem ir parametri, kas tos nosaka.Nosauc paralēlās pārneses, aksiālās simetrijas unpagrieziena parametrus!Ja divas riņķa līnijas nav vienādas, tad vienmēreksistē tieši divas homotētijas (viena – arnegatīvu, otra – ar pozitīvu koeficientu), kasattēlo vienu riņķa līniju par otru. Homotētijaskoeficienta modulis vienmēr vienāds ar rādiusuattiecību. Ja riņķa līnijas atrodas viena ārpusotras un nepieskaras, tad “pozitīvās” homotētijascentrs ir kopējo ārējo pieskaru krustpunkts O 1 ,bet “negatīvās” – kopējo iekšējo pieskarukrustpunkts O 2 (sk. zīm.). Izvirzi hipotēzi parhomotētijas centru atrašanās vietu, ja: a) riņķalīnijas ārēji pieskaras, b) riņķa līnijas iekšējipieskaras!O 2O 1Izmanto IT informācijasiegūšanai, ģeometriskopārveidojumudemonstrēšanai.Izmantojot datorā pieejamos zīmēšanas rīkus,paša izveidotai figūrai konstruē:a) figūru, kas iegūta paralēlās pārnesesrezultātā,b) aksiāli simetrisku figūru,c) centrāli simetrisku figūru,d) figūru, kas iegūta pagriežot doto figūrupar –90°!Izmantojot datora pieejamos zīmēšanas rīkus,dotajam trijstūrim konstruē homotētiskutrijstūri, ja homotētijas centrs ir :a) trijstūra iekšpusē,b) trijstūra virsotnē,c) trijstūra ārpusē!Izmantojot datorā pieejamos zīmēšanas rīkus,atrisini uzdevumu:a) rombam “izgriez” neregulāras formasfragmentu, paralēli to pārnes par vektoru,kas sakrīt ar malu un “pielīmē” pie “romba”pretējās malas,b) izveido vizuālu prezentāciju, kas demonstrēplaknes pārklāšanu ar doto figūru!

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M IMATEMĀTIKA 11. klaseSasniedzamais rezultāts I II IIIIzmanto ģeometriskospārveidojumusuzdevumos ar praktiskusaturu.Pilsētas A un B atrodas vienā pusē no dzelzceļalīnijas. Jāizveido ceļš no A uz B tā, lai tas ietucaur staciju, kura atrodas pie dzelzceļa līnijas.Kur jābūvē stacija, lai braucot caur to, pa visīsākoceļu savienotu punktus A un B?Starp pilsētām A un B atrodas kanāls arparalēliem krastiem. Kur jāceļ pārceltuve(perpendikulāri kanāla krastiem), lai pilsētas Aun B savienotu pa visīsāko maršrutu?BZīmējumā attēlots jūras krasts, automaģistrāle(nepārtraukta līnija) un dzelzceļš (pārtrauktalīnija). Ostu jābūvē vietā, kas ir vismaz 1 kmattālumā no automaģistrāles un ne vairāk kā1 km attālumā no dzelzceļa. Atrast zīmējumā tāsjūras krasta daļas, kurās var būvēt ostu!BA21AAnalizē pagrieziena,simetriju, paralēlāspārneses un homotētijaslietojumu mākslā(piem. Ešera zīm.)etnogrāfijā, kartogrāfijā,astronomijā, optikā, u.c.1. Kurus ģeometriskos pārveidojumus varsaskatīt dotajos latvju rakstos?Mēness zīmēPērkona zīmē1. Kur apkārtējā dzīvē var saskatīt homotētisku,pagriezienā vai ar paralēlo pārnesi iegūtufigūru modeļus?2. Izvēlies vienu no prezentācijādemonstrētajiem Ešera zīmējumiem unkomentē ģeometrisko pārveidojumulietojumu tajā (M_11_UP_02_VM2)!1 kmPar joslu rakstiem sauc ornamentus, koierobežo 2 paralēlas malas un joslas platumsatbilst vienam elementam. Joslu raksta garumsir neierobežots. Joslu raksti tiek veidoti noatsevišķiem elementiem. Pētot joslu rakstus, varievērot, ka to elementiem piemīt simetriskums –gan pret asi (asīm), gan pret punktu; tosiegūst ar citu elementu paralēlo pārnesi. Parparaugiem izmantosim elementus L, Z un C untiem simetriskus elementus, arī spoguļattēlus(sk. zīm.). Par matemātiski vienādiemsauksim rakstus, kuri iegūstami paši no sevisar vieniem un tie pašiem ģeometriskajiempārveidojumiem. Cik matemātiski dažādus joslurakstus iespējams izveidot, izmantojot dotosparaugus (M_11_UP_02_P1)?Zalkša zīmē2. Izpēti attēlus dotajā vietnēhttp://www.worldofescher.com/gallery/Kādus pārveidojumus šeit var saskatīt?

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M ISasniedzamais rezultāts I II IIIIr ieguvis priekšstatu parfraktāļiem kā mūsdienumatemātikas pētījumuobjektiem.Izmantojot vietni http://www.fraktalis.lv uncitus pieejamos materiālus, sagatavo atbildes uzjautājumiem!a) Kā var nodefinēt fraktāli?Uzraksti piemērus no apkārtējās pasaules, kurossastopamas fraktāļu formas!Izmantojot datorā pieejamos zīmēšanas rīkus,izveido fraktāli!b) Kad sākās matemātiski pētījumi parfraktāļiem?22c) Kādās nozarēs tiek izmantoti fraktāļi?d) Kādi zinātnes sasniegumi ļāva attīstītiesfraktāļu ģeometrijai?

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M IMATEMĀTIKA 11. klaseS T U N D A S P I E M Ē R SĢEOMETRISKAIS PĀRVEIDOJUMS KĀ FUNKCIJAMērķisPilnveidot izpratni par ģeometriskajiem pārveidojumiem, izmantojot vizuālu untekstuālu informāciju.Skolēnam sasniedzamais rezultāts• Klasificē ģeometriskos pārveidojumus.• Zina parametrus, kas nosaka paralēlo pārnesi, aksiālo simetriju, pagriezienu,homotētiju.Nepieciešamie resursi• Spēle “Ģeometriskie pārveidojumi”.• Izdales materiāli – teksts (M_11_SP_02_P1).• Vizuālais materiāls (M_11_SP_02_VM1).Mācību metodesVizualizēšana, darbs ar tekstu.Mācību organizācijas formasFrontāls darbs, grupu darbs, individuāls darbs. Grupas (vēlams 4 skolēni grupā)izveido jau stundas sākumā.VērtēšanaSkolotājs gūst informāciju par skolēnu izpratni, saņemot atbildes uz jautājumiem,sekojot grupu darbam ar tekstiem; skolēni stundas gaitā salīdzina viedokļusgrupas ietvaros un starp grupām, pārbauda, papildina stundas nobeigumā izveidotoshēmu.Skolotāja pašnovērtējumsSecina par skolēnu prasmi patstāvīgi izmantot vizuālu un tekstuālu informācijuun tās nozīmi rezultāta sasniegšanai, stundā izvēlēto metožu un materiālulietderību.23Stundas gaitaSkolotāja darbībaIzdala spēles “Ģeometriskie pārveidojumi” kartītes. Paskaidro, ka attēlos redzami dažādiģeometriski pārveidojumi. Aicina dotos pārveidojumus klasificēt, saskatot pazīmes, pēckurām to var darīt, katrai pārveidojumu grupai izdomāt nosaukumu.Vizualizēšana (17 minūtes)Skolēnu darbībaSaņem kartītes. Izpēta attēlus. Klasificē figūru pārveidojumus, nosakot pazīmi, pēc kurasklasificē, izdomā nosaukumus pārveidojumu veidiem.Klasificēt var pēc tā, kādu figūru iegūst – vai saglabājas gan figūras forma, gan izmēri (iegūstvienādu, līdzīgu, citu figūru); arī pēc tā, kā mainās figūras novietojums, kādas darbības/soļiizmantoti, pārveidojot figūru.Informē pārējos skolēnus, uzzina citu grupu pieejas.Lūdz katrai grupai nosaukt pazīmi, pēc kuras veikta klasifikācija. Īsi pieraksta uz tāfeles.Var aicināt grupas, kuras dalījumu veikušas pēc viena principa salīdzināt darba rezultātus.Uz tāfeles veido shēmas/shēmu uzmetumus. Demonstrē atbilstošos attēlus(M_11_SP_01_VM1), var izmantot interaktīvo tāfeli. Elektroniskais vizuālais materiāls ardažādiem ģeometrisko pārveidojumu attēliem atbilst spēles kartītēm. Aicina skolēnus īsikomentēt.Piedalās shēmas/shēmu izveidē, salīdzina to ar savu salikto. Paskaidro, izsakakomentārus.

Ģ E O M E T R I S K I E P Ā R V E I D O J U M I24Skolotāja darbībaJautā, ar kādiem citiem matemātiskiem jēdzieniem saistās attēlos saskatītais. Janepieciešams uzvedina, jautājot, kura matemātiskā modeļa definīcijā ir runa par divāmkopām un atbilstības nodibināšanu starp tām. Veido sarunu, nonākot pie secinājuma, kaģeometriskos pārveidojumus var uzskatīt par funkcijām.Jautā, ko katrā gadījumā var uzskatīt par definīcijas kopu, ko par vērtību kopu, mudinavārdiski raksturot piekārtojuma likumu. Skolēni iespējams minēs, ka definīcijas unvērtību apgabali ir doto figūru visu punktu kopas, jāvirza saruna, lai secinātu, ka dažiemno pārveidojumiem (izņemot projekcijas) definīcijas apgabals un arī vērtību apgabals irvisa plakne. Demonstrē atbilstošos attēlus (M_11_SP_01_VM1).Vērš uzmanību uz skolēnu piedāvātajiem ģeometrisko pārveidojumu veidunosaukumiem. Pārrunā tos, saskaņo ar pieņemtajiem nosaukumiem.Informē, ka šajā tematā apskatīs paralēlo pārnesi, aksiālo simetriju, pagriezienu,homotētiju (centrālo simetriju kā pagrieziena, homotētijas speciālu gadījumu). Attēlosredzama arī paralēlā un centrālā projekcija un ir vēl arī citi pārveidojumi.Atgādina, ka algebrā, uzdodot funkcijas, izmanto parametrus, kas ietilpst funkcijasaprakstā (formulā), arī ģeometriskajiem pārveidojumiem ir parametri ar ģeometriskujēgu, kas nosaka konkrēto pārveidojumu. Definējot pārveidojumu, tiek noskaidrots, parkādu punktu pārveidojumā attēlojas dotais punkts.Izdala darba lapu (M_11_SP_01_P1) ar informāciju, par pārveidojumiem un toparametriem. Katrs skolēns grupā saņem tekstu par vienu no pārveidojumiem. Lūdz katruskolēnu izlasīt un pārdomāt informāciju par vienu no pārveidojumiem (laiks 5 minūtes).Aicina skolēnus pēc kārtas iepazīstināt pārējos grupā ar izlasīto.Ir četri teksti atbilstoši pārveidojumu veidiem, ja skolotājs, izvērtējot apjomu un skolēnupriekšzināšanas, nolemj informāciju par paralēlo pārnesi un aksiālo simetriju dot vienamskolēnam, tad sākotnēji skolēnu grupas jāveido pa 3.Aicina skolēnus individuāli pēc atmiņas izveidot shēmu ar pārveidojumu klasifikāciju,atbilstoši stundā apgūtajam, parādot 4 pārveidojumu veidus, katram īsi pierakstotparametrus un uzskicējot atbilstošu zīmējumu.Aicina atgriezties pie stundas sākumā klasificētajiem pārveidojumiem, ja nepieciešamsshēmu uz tāfeles papildina, saistot ar stundā apgūto, pārrunā to, akcentējot būtisko.Informē, ka stundas sākumā attēlos vēroja, par kādām figūrām ģeometriskiepārveidojumi pārveido dotās figūras. Nākamajās stundās runās precizēs pārveidojumuīpašības, konstruēs figūras, izmantos ģeometriskos pārveidojumus dažādu uzdevumurisināšanā.Darbs ar tekstu (15 minūtes)Vizualizēšana (8 minūtes)Saskata analoģijas ar funkcijām algebrā.Atbild uz jautājumiem.Skolēnu darbībaStrādā ar attēliem. Norāda katram pārveidojumam definīcijas un vērtību kopu, raksturopiekārtojuma likumu. Saskata pārveidojumus, kuru definīcijas un vērtību apgabals ir visaplakne un tos, kur nē.Pārrunā ģeometrisko pārveidojumu nosaukumus, atceras jau mācītos.Saņem darba lapu ar tekstu, izlasa, pārdomā, kā to stāstīs pārējiem grupas dalībniekiem.Stāsta un rāda – nosauc pārveidojumu, raksturo parametru/ parametrus, kas nosakapārveidojumu, definē pārveidojumu, paskaidro to ar piemēriem. Klausās, jautā, atbild,īsi pieraksta, skicē zīmējumus – iegūst informāciju par 4 aplūkojamajiem pārveidojumuveidiem.Patstāvīgi izveido shēmu. Šo uzdevumu skolēni veic pārdomājot un atceroties. Ja navpārliecības par kaut ko, atstāj brīvu vietu, ko pēc tam papildina.Saista stundā apgūto ar sākotnējo pieeju pārveidojumu klasifikācijai, izsakaierosinājumus shēmas pilnveidošanai. Salīdzina, papildina shēmu.

MATEMĀTIKA 11. klaseSTATISTISKS PĒTĪJUMSDarba izpildes laiks 10 + 40 minūtesM_11_LD_03MērķisVeidot izpratni par statistisko datu vidējiem lielumiem un izkliedes mēriem,savācot datus, veicot aprēķinus, analizējot un interpretējot datus, kā arī pilnveidojotsadarbības prasmes.Sasniedzamais rezultāts• Veic aptauju, apkopo datus.• Nosaka statistiskos rādītājus (modu, mediānu, vismazāko un vislielāko vērtību,amplitūdu, standartnovirzi).• Konstruē histogrammu.• Analizē un interpretē datus.Saskata un klasificē lielumus, formulē pētāmo problēmuVeido plānuIegūst un apstrādā informācijuFormulē pieņēmumu/ hipotēziVeic pierādījumu –Analizē un izvērtē rezultātus, secinaPrezentē darba rezultātus –Sadarbojas, strādājot grupā (pārī)DotsDotsMācāsPatstāvīgiMācāsMācāsDarbs veicams pāros.Ir svarīgi, lai skolēni pirms darba veikšanas būtu sagatavojuši izlases datus apstrādei.Tāpēc jau kādā no iepriekšējām mācību stundām paredz 10 minūtes laika,lai skolēnus iepazīstinātu ar situācijas aprakstu un pētāmo problēmu, kā arī uzdotuviņiem savākt datus izlasei, kas katram pārim būs atšķirīga.Darbā izmanto arī klases izlasi. Datus, kas raksturo klasi, apstrādā skolotājs pats.Rezultātus skolēniem iedod, lai viņi varētu salīdzināt izlases.Tā kā datu kopas nav ļoti lielas, visus aprēķinus veic rakstiski. Darba izpildēvēlams lietot zinātnisko kalkulatoru.Situācijas aprakstsSkolā nolēma noskaidrot vidējo laiku, ko skolēni pavada ceļā uz skolu. Laiiegūtu precīzus datus, vajadzētu aptaujāt visus skolas skolēnus. Taču tas varētu būtļoti darbietilpīgs process, tāpēc nolēma veikt aptauju tikai vienā klasē. Kāds nopētījuma organizatoriem izteica šaubas par šādi iegūto rezultātu objektivitāti unierosināja veikt vēl otru aptauju, kurā aptaujātu tikpat skolēnu, cik pētāmajā klasē,taču skolēni tiktu izraudzīti pēc nejaušības principa. Pārējie organizatori piekrita,kaut gan bija pārliecināti, ka skolas skolēnu vidēji ceļā pavadīto laiku var noteikt,savācot, apstrādājot un izanalizējot tikai vienas klases datus.Skolas “vidējo” skolēnu var raksturot, izvēloties arī citas pazīmes. Piemēram, varsavākt datus par brīvā laika daudzumu, par mājas darbu izpildei patērēto laiku, parizlasīto grāmatu skaitu semestrī, par pirmās pakāpes brālēnu un māsīcu skaitu utt.Pētāmā problēmaVai abu izlašu (vienas klases skolēnu un tikpat lielas nejauši izvēlētu skolēnuizlases) dati vienlīdz precīzi raksturo skolas “vidējo” skolēnu?HipotēzeIespējamās hipotēzes:• Abu izlašu dati vienlīdz labi raksturo skolas “vidējo skolēnu”, jo izlases ar 30skolēniem ir pietiekoši lielas.• Labāk skolas “vidējo” skolēnu raksturo izlase, kas veidota pēc nejaušības principa,jo šajā izlasē ietilpst dažādu klašu skolēni.Darba gaita1. Veic aptauju izlasē, kas izveidota no nejauši izvēlētiem no skolas skolēniem.Sagatavots iepriekš.2. Tabulā reģistrē aptaujā iegūtos izlases datus.3. Nosaka izlases mediānu un modu.4. Nosaka izlases vismazāko un vislielāko vērtību, amplitūdu.5. Apkopo datus biežuma tabulā, izvēloties 5 – 10 vienāda garuma intervālus.Skolotājs nosaka intervāla garumus, lai tie sakristu ar tiem, ko izvēlējis viņš,apstrādājot klases izlasi.5

6. Nosaka sagrupēto datu vidējo vērtību, aprēķiniem var izmantot zinātniskokalkulatoru, rakstiski uzrādot risinājuma gaitu. Vidējo vērtību noapaļo vai nulīdz vieniem vai desmitdaļām.7. Aprēķina standartnovirzi, izmantojot sagrupētos izlases datus (aprēķiniemvari izmantot zinātnisko kalkulatoru, rakstiski uzrādot risinājuma gaitu).Iegūto standartnovirzi noapaļo līdz desmitdaļām, ja vidējā vērtība ir noapaļotalīdz vieniem, vai līdz simtdaļām, ja vidējā vērtība ir noapaļota līdzdesmitdaļām.8. Konstruē izlases histogrammu.9. Nosaka, cik izlases datu vērtību atrodas vienas, divu un trīs standartnoviržuattālumā no vidējās vērtības. Izsaka tās procentos.Iegūto datu reģistrēšana un apstrādeDatu apstrādes piemēram tiek piedāvāti dati, kas savākti vidusskolas 10. klasē (32skolēni), skolā, kas atrodas Rīgas pilsētas Centra rajonā.Modas un mediānas noteikšanai, datus sakārto augošā secībā.10 10 13 13 15 15 15 1515 18 20 20 20 25 25 2525 25 25 30 30 30 35 4040 40 45 45 45 50 60 80No tabulas redzams, ka visbiežāk (6 reizes) parādās laiks 25 minūtes, tātadMo = 25 min.Mediānas aprēķināšanai, nosaka 1 2 (1+32)=1 ⋅33=16,5, tātad mediāna ir vidējaisaritmētiskais starp 16. un 17. vērtību: 25+25 =25, un Me = 25 min.22Datus sagrupē intervālos. Nosakot datu vismazāko (10 min.) un vislielākovērtību (80 min.), aprēķina datu amplitūdu: 80–10=70. Tā kā ieteiktais intervāluskaits ir no 5 līdz 10, tad šajā situācijā saprātīgi būtu izvēlēties 8 intervālus, katru10 minūšu garumā. Pieraksta sagrupētos datus biežuma tabulās:Vērtībuintervāls(laiksminūtēs)Biežums(skolēnuskaits)10≤x

MATEMĀTIKA 11. klasex = 990 =30,937≈31 (min.) (Šajā gadījumā ir saprātīgi noapaļot līdz veselām32minūtēm, jo izlases amplitūda ir 70.)Standartnovirzes aprēķināšana:Vērtībuintervāls(laiksminūtēs)Biežums(skolēnuskaits)IntervālaviduspunktsBiežums ×intervālaviduspunktsNovirze: intervālaviduspunkts–vidējāvērtībaNovirzeskvadrātsBiežums× novirzeskvadrāts10≤x

S k o l ē n a d a r b a l a p a AM_11_SP_02_P1PARALĒLĀ PĀRNESEParalēlo pārnesi nosaka viens vienīgs parametrs – vektors, par kuru šo pārnesi izdara.Pieņemam, ka ir fiksēts kaut kāds vektors a.DefinīcijaParalēlā pārnesē par vektoru a katrs punkts X attēlojas par tādu punktu X’, ka XX’=a.Piemēri1. Izdarot paralēlo pārnesi par vektoru a, X attēlojas par X’, bet Y par Y’.2. Ja ABCD ir paralelograms un M – malas AB viduspunkts, bet N – malas DC viduspunkts, tad, protams,AD=BC=MN (jo arī AMND ir paralelograms). Varam ieviest apzīmējumu AD=BC=MN=a. Tad, izdarot paralēlopārnesi par vektoru a , punkts B attēlojas par C, punkts A – par D, punkts M – par N.BCaXX 'MNYY 'AD11

S k o l ē n a d a r b a l a p a BM_11_SP_02_P1AKSIĀLĀ SIMETRIJAAksiālo simetriju nosaka viens vienīgs parametrs – simetrijas ass.Pieņemsim, ka dota brīvi izraudzīta taisne l.DefinīcijaSimetrijā pret asi la) katrs punkts B, kas atrodas uz ass l, attēlojas pats par sevi,b) punkts A, kas neatrodas uz ass l, attēlojas par tādu punktu A’, ka AA’⊥l un AA’ krustpunkts ar l ir AA’viduspunkts.B = B'AA'lPiemēri1. Simetrijā pret taisni AC kvadrāta ABCD virsotne B attēlojas par D un otrādi;punkti A un C attēlojas paši par sevi. Arī kvadrāta diagonāļu krustpunkts Oattēlojas pats par sevi.BOC2. Simetrijā pret nogriežņa vidusperpendikulu nogriežņa galapunkti attēlojasviens par otru, griežņa viduspunkts attēlojas pats par sevi (jeb, kā vēl saka,paliek uz vietas).AD12

S k o l ē n a d a r b a l a p a CM_11_SP_02_P1PAGRIEZIENSPagriezienu nosaka divi parametri – pagrieziena centrs un pagrieziena leņķis. Atcerēsimies, ka leņķi orientēti.Pieņemsim, ka dots pagrieziena centrs – punkts O un pagrieziena leņķis φ.DefinīcijaPagriezienā ap centru O par leņķi φa) pats punkts O “paliek uz vietas” jeb attēlojas pats par sevi,b) katrs cits punkts A attēlojas par tādu punktu A’, ka OA’=OA un ∠AOA’=φ.A'φAO = O'Piezīme: garā vārdu salikuma “pagrieziens ap centru O par leņķi φ” vietā var sacīt arī vienkārši “pagrieziens ap Opar φ” vai pat “pagrieziens (O;φ)”.Piemēri1. Ja ABCD – kvadrāts, tad pagriezienā (A;+90°) punkts D attēlojas par B; arī pagriezienā (C; –90°) punkts D attēlojaspar B.B-90°C+90°AD2. Pagriezienā par 360° (vienalga ap kādu centru) katrs punkts attēlojas pats par sevi.3. Ja ABCD – paralelograms un O – tā centrs, tad pagriezienā (O; 180°) punkts A attēlojas par C, punkts C – par A,punkts B – par D, punkts D – par B.BCOADPagriezienu par 180° sauc arī par centrālo simetriju.4. Pieņemsim, ka O – riņķa līnijas centrs, A – kaut kāds šīs riņķa līnijas punkts. Lai kāds arī būtu leņķis φ, punkts Apagriezienā (O;φ) attēlosies par kādu šīs pašas riņķa līnijas punktu; par kuru tieši – tas atkarīgs no leņķa φ.AφOA'13

S k o l ē n a d a r b a l a p a DM_11_SP_02_P1HOMOTĒTIJAHomotētiju nosaka divi parametri – homotētijas centrs un homotētijas koeficients. Homotētijas centrs ir punkts;homotētijas koeficients ir skaitlis, kas atšķiras no nulles.Pieņemsim, ka plaknē fiksēts punkts O un izvēlēts no nulles atšķirīgs skaitlis k.DefinīcijaHomotētijā ar centru O un koeficientu k brīvi izraudzīts punkts A attēlojas par tādu punktu A’, ka OA’ =k⋅OA.Izveido atbilstošu zīmējumu!Piezīme: vārdu salikuma “homotētija ar centru O un koeficientu k” vietā var lietot īsāku frāzi “homotētija (O; k)”.Piemēri1. Ja MN ir ∆ABC viduslīnija, tad homotētijā (B;2) punkts M attēlojas par A, betpunkts N – par C. Savukārt homotētijā B; 1 punkts A attēlojas par M, bet punkts2C – par N .MBNAC2.Ja ABCD – paralelograms ar diagonāļu krustpunktu O, tad homotētijā (O;–1)punkts A attēlojas par C, punkts C – par A, punkts B – par D, punktsD – par B.BOCAD3. Acīmredzot, homotētija ar koeficientu 1 attēlo katru punktu pašu par sevi (vai, kā vēl pieņemts teikt, atstāj uzvietas), bet homotētija (O;–1) ir tas pats, kas pagrieziens(O;180°) jeb centrālā simetrija.14

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_UP_02_P1Vārds uzvārds klase datumsJOSLU RAKSTIPar joslu rakstiem sauc ornamentus, ko ierobežo 2 paralēlas malas un joslas platums atbilst vienam elementam.Joslu raksta garums ir neierobežots. Joslu raksti tiek veidoti no atsevišķiem elementiem. Pētot joslu rakstus, var ievērot,ka to elementiem piemīt simetriskums – gan pret asi (asīm), gan pret punktu; tos iegūst ar citu elementu paralēlopārnesi. Par paraugiem izmantosim elementus L, Z un C un tiem simetriskus elementus, arī spoguļattēlus (skat.zīm.). Par matemātiski vienādiem sauksim rakstus, kuri iegūstami paši no sevis ar vieniem un tie pašiem ģeometriskajiempārveidojumiem. Cik matemātiski dažādus joslu rakstus iespējams izveidot, izmantojot dotos paraugus?Četri joslu rakstu piemēri:... ... ...1. 2. 3....4.Pirmais un otrais rakstu piemēri nav matemātiski vienādi, jo 1. piemērā raksts iegūstams pats no sevis, izmantojotparalēlo pārnesi un simetrijas pret punktiem, bet 2. piemērā raksts iegūstams pats no sevis, izmantojot paralēlopārnesi un simetriju pret horizontālu asi.Trešais un ceturtais rakstu piemēri ir matemātiski vienādi, jo gan 3. piemērā, gan 4. piemērā raksts iegūstamspats no sevis, izmantojot paralēlo pārnesi un simetrijas pret vertikālām asīm.15

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_LD_02_P1Vārds uzvārds klase datumsPLAKNES PĀRKLĀJUMISituācijas aprakstsHolandiešu mākslinieks M. Ešers (Maurits Cornelis Escher (1898 – 1972)) radījis mākslas darbus, par kuriemmatemātiķis varētu teikt: “Plaknes pārklājumi, izmantojot vienu un to pašu figūru daudzos eksemplāros”. Viņazīmējumos putni, taureņi un zirgi radušies, pārveidojot vienkāršas ģeometriskās figūras. Līdzīgu ideju izmanto,noklājot grīdu ar parketu, kur parketa dēlīšiem parasti ir ļoti vienkārša forma, bet varētu būt arī sarežģītāka.Iztēlojies, ka tu esi piekritis piedalīties konkursā par grīdas noklāšanu ar interesantāko parketu (pielikums).Zīmējumu veidošanaZīmējumu veido uz papildu lapām!Rezultātu izvērtēšana un secinājumi4

P i e l i k u m sM_11_LD_02_P2Vārds uzvārds klase datumsIZRAKSTS NO FIRMAS “PARKETS” IZSLUDINĀTĀ RADOŠĀ KONKURSA“PARKETA ZĪMĒJUMI” NOLIKUMAKonkursa noriseKonkurss tiek izsludināts divās nominācijās.1. Par labāko parketa zīmējumu no firmas krājumā esošajiem parketa dēlīšiem (zīm.).2. Par labāko parketa zīmējumu no citas formas dēlīšiem.Konkursa dalībniekiKonkursā drīkst piedalīties ikviens 11. klases skolēns, kurš vēl nav apguvis tēmu “Ģeometriskie pārveidojumi”.Darbu iesniegšanas kārtībaDarbi iesniedzami uz A5 formas papīra lapas (baltas vai rūtiņu). Uz vienas lapas – viens parketa zīmējums.Zīmējums izveidots tā, lai jebkurš parketa klājējs var realizēt pasūtījumu pēc parauga.Minimālais iesniedzamo zīmējumu skaits – divi.Darba izpildes termiņš – divas matemātikas mācību stundas.Laureātus noteiks aizklātā balsošanā, to vārdus un labākos zīmējumus publicēs skolas mājas lapā.5

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_KD_02Vārds uzvārds klase datumsPAGRIEZIENA LIETOJUMS1. uzdevums (1 punkts)Dots, ka hordas AD un BC ir paralēlas. Pagriezienā ap riņķa līnijascentru O loks AB attēlojas par loku CD . Konstruē pagrieziena leņķi!ABCDO2. uzdevums (3 punkti)Dots regulārs trijstūris. Uz malas AB atlikts punkts M.a) Konstruē punkta M attēlu pagriezienā par +120° ap trijstūracentru O!b) Konstruē trijstūra MBC attēlu pagriezienā par +120° ap trijstūracentru O!MBO3. uzdevums (4 punkti)Caur kvadrāta centru O novilktas divas perpendikulāras taisnes. Jāpierāda, ka šo taišņu nogriežņi, kuru galapunktiir uz pretējām kvadrāta malām, ir vienāda garuma. Aizpildi tukšās vietas un pabeidz pierādījumu!Pierādījums: Apskatīsim pagriezienu ap kvadrāta centru Opar +90°. Jāpierāda, ka nogrieznis KL attēlojas par nogriezniN..... . Stars OL attēlojas par staru ……… , jo leņķis starp tiem ir……… . Tā kā punkta L attēls šajā pagriezienā atrodas uz kvadrātamalas, bet staram ON ar kvadrāta malu ir tikai viens krustpunkts,var secināt, ka punkta L attēls ir punkts ……… .KAOLCM8

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_02_V1Vārds uzvārds klase datumsĢEOMETRISKIE PĀRVEIDOJUMI1. variants1. uzdevums (3 punkti)Definē aksiālo simetriju pret taisni t! Definīciju ilustrē ar zīmējumu!2. uzdevums (2 punkti)Paralēlo pārnesi nosaka vektors a . Nosaki vektora a koordinātas!Konstruē punktu A 1, par kuru šajā paralēlajā pārnesē attēlojas punkts A!aA3. uzdevums (4 punkti)Dots regulārs trijstūris ABC. Pagriežot trijstūri ABC ap virsotni A, virsotneB attēlojas par virsotni C. Norādi pagrieziena leņķi! Papildini zīmējumu, uzzīmējotpagriezienā iegūto trijstūri! Ar kādu vēl citu ģeometrisko pārveidojumudotais trijstūris attēlojas par pagriezienā iegūto trijstūri! Nosauc šī pārveidojumaparametru (-us)!BAC31

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_02_V14. uzdevums (2 punkti)Dotais trijstūris ABC ir homotētiski pārveidots par trijstūriem HGI, KML un UVZ.Homotētijas centrs ir O, bet koeficienti (neievērojot secību!) ir 2 7 ;–1;2.Kurš no trijstūriem no trijstūra ABC ir iegūts ar omotētiju, kuras koeficients k=–1?Ar kādu homotētijas koeficientu no trijstūra ABC iegūts trijstūris UVZ?UGIHOKLMCABZV5. uzdevums (5 punkti)Koordinātu plaknē dots trijstūris ABC, kura virsotnes ir A(–3; 3), B(3; 0) un C(–1; 1). Konstruē dotā trijstūraattēlu KLM paralēlajā pārnesē par vektoru a (2; 2)! Konstruē trijstūrim KLM centrāli simetrisku trijstūri K 1L 1M 1attiecībā pret punktu (0; –1)! Vai trijstūri K 1L 1M 1pagriezienā var attēlot par trijstūri ABC? Ap kuru punktu un parcik grādiem jāizdara šis pagrieziens?32

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_02_V16. uzdevums (4 punkti)Dots, ka trijstūra ABC mediānas krustojas punktā M, bet trijstūra A 1B 1C 1mediānas krustojas punktā M 1. Pierādi, ka AM A 1M 1!B 1MA 11C 1BAMC7. uzdevums (5 punkti)Dots regulārs trijstūris ABC . Caur malas BC iekšēju punktu M vilktastaisnes paralēli malām AC un AB. Malas AB un AC šīs taisnes krusto attiecīgipunktos D un E. Punkts K ir BE viduspunkts, bet L ir DC viduspunkts. Pierādi,ka ∠KML=60°!DBMKLAEC33

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_02_V2Vārds uzvārds klase datumsĢEOMETRISKIE PĀRVEIDOJUMI2. variants1. uzdevums (3 punkti)Definē pagriezienu ap centru O par leņķi ϕ! Definīciju ilustrē ar zīmējumu!2. uzdevums (2 punkti)Paralēlo pārnesi nosaka vektors a . Nosaki vektora a koordinātas!Konstruē punktu A 1, par kuru šajā paralēlajā pārnesē attēlojas punkts A!aA3. uzdevums (4 punkti)Dots regulārs trijstūris ABC. Pagriežot trijstūri ABC ap virsotni C, virsotneA attēlojas par virsotni B. Norādi pagrieziena leņķi! Papildini zīmējumu, uzzīmējotpagriezienā iegūto trijstūri! Ar kādu vēl citu ģeometrisko pārveidojumudotais trijstūris attēlojas par pagriezienā iegūto trijstūri! Nosauc šī pārveidojumaparametru (-us)!BAC34

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_02_V24. uzdevums (2 punkti)Dotais trijstūris ABC ir homotētiskipārveidots par trijstūriem HGI,KML un UVZ. Homotētijas centrs irO, bet koeficienti (neievērojot secību!)ir 2 7 ;–1;–2.Kurš no trijstūriem ir iegūts ar homotētiju,kuras koeficients k= 2 7 ?Ar kādu homotētijas koeficientuno trijstūra ABC iegūts trijstūrisUVZ?ACBKMOLGIHVZU5. uzdevums (5 punkti)Koordinātu plaknē dots trijstūris ABC, kura virsotnes ir A(–2;2), B(–3;4) un C(1;1). Konstruē dotā trijstūraattēlu KLM paralēlajā pārnesē par vektoru a (2;2)! Konstruē trijstūrim KLM centrāli simetrisku trijstūri K 1L 1M 1attiecībā pret punktu (–1;0)! Vai trijstūri K 1L 1M 1pagriezienā var attēlot par trijstūri ABC? Ap kuru punktu un parcik grādiem jāizdara šis pagrieziens?35

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_02_V26. uzdevums (4 punkti)Dots, ka trijstūra KLM bisektrises krustojas punktā B, bet trijstūra K 1L 1M 1bisektrises krustojas punktā B 1. Pierādi, ka KB K 1B 1!L 1BK 11M 1LKBM7. uzdevums (5 punkti)Dots regulārs trijstūris ABC. Caur malas BC iekšēju punktu L vilktastaisnes paralēli malām AC un AB. Malas AB un AC šīs taisnes krusto attiecīgipunktos F un G. Punkts M ir BG viduspunkts, bet N ir FC viduspunkts.Pierādi, ka ∠MLN=60°!FBLMNAGC36

MATEMĀTIKA 11. klaseĢEOMETRISKIE PĀRVEIDOJUMI1. variants1. uzdevums (3 punkti)Definē aksiālo simetriju pret taisni t! Definīciju ilustrēar zīmējumu!2. uzdevums (2 punkti)Paralēlo pārnesi nosaka vektors a . Nosaki vektoraa koordinātas!Konstruē punktu A 1 , par kuru šajā paralēlajā pārnesēattēlojas punkts A!3. uzdevums (4 punkti)Dots regulārs trijstūris ABC. Pagriežot trijstūri ABCap virsotni A, virsotne B attēlojas par virsotni C. Norādipagrieziena leņķi! Papildini zīmējumu, uzzīmējot pagriezienāiegūto trijstūri! Ar kādu vēl citu ģeometrisko pārveidojumudotais trijstūris attēlojas par pagriezienā iegūtotrijstūri! Nosauc šī pārveidojuma parametru (-us)!4. uzdevums (2 punkti)Dotais trijstūris ABC ir homotētiskipārveidots par trijstūriemHGI, KML un UVZ.Homotētijas centrs ir O, betkoeficienti (neievērojot secību!)ir 2 7 ;–1;2.GIHOKMLCAAaAUBZBVC5. uzdevums (5 punkti)Koordinātu plaknē dots trijstūris ABC, kura virsotnes ir A(–3; 3), B(3; 0) unC(–1;1). Konstruē dotā trijstūra attēlu KLM paralēlajā pārnesē par vektorua (2;2)! Konstruē trijstūrim KLM centrāli simetrisku trijstūri K 1 L 1 M 1 attiecībāpret punktu (0; –1)! Vai trijstūri K 1 L 1 M 1 pagriezienā var attēlot par trijstūri ABC?Ap kuru punktu un par cik grādiem jāizdara šis pagrieziens?6. uzdevums (4 punkti)Dots, ka trijstūra ABC mediānas krustojas punktāM, bet trijstūra A 1 B 1 C 1 mediānas krustojas punktā M 1 .Pierādi, ka AM║A 1 M 1 !7. uzdevums (5 punkti)Dots regulārs trijstūris ABC . Caur malas BC iekšējupunktu M vilktas taisnes paralēli malām AC un AB.Malas AB un AC šīs taisnes krusto attiecīgi punktos D unE. Punkts K ir BE viduspunkts, bet L ir DC viduspunkts.Pierādi, ka ∠KML=60°!AB 1MA 11ADEKC 1BLMCMBCKurš no trijstūriem no trijstūra ABC ir iegūts ar homotētiju, kuraskoeficients k=–1?Ar kādu homotētijas koeficientu no trijstūra ABC iegūts trijstūris UVZ?7

ĢEOMETRISKIE PĀRVEIDOJUMI2. variants1. uzdevums (3 punkti)Definē pagriezienu ap centru O par leņķi ϕ! Definīcijuilustrē ar zīmējumu!2. uzdevums (2 punkti)Paralēlo pārnesi nosaka vektors a . Nosaki vektoraa koordinātas!Konstruē punktu A 1 , par kuru šajā paralēlajā pārnesēattēlojas punkts A!3. uzdevums (4 punkti)Dots regulārs trijstūris ABC. Pagriežot trijstūri ABCap virsotni C, virsotne A attēlojas par virsotni B. Norādipagrieziena leņķi! Papildini zīmējumu, uzzīmējot pagriezienāiegūto trijstūri! Ar kādu vēl citu ģeometrisko pārveidojumudotais trijstūris attēlojas par pagriezienā iegūtotrijstūri! Nosauc šī pārveidojuma parametru (-us)!4. uzdevums (2 punkti)Dotais trijstūris ABC irhomotētiski pārveidots partrijstūriem HGI, KML unUVZ. Homotētijas centrs irO, bet koeficienti (neievērojotsecību!) ir 2 7 ;–1;–2.ACBKMOLGIAAZHVBaUC5. uzdevums (5 punkti)Koordinātu plaknē dots trijstūris ABC, kura virsotnes ir A(–2;2), B(–3;4) unC(1;1). Konstruē dotā trijstūra attēlu KLM paralēlajā pārnesē par vektoru a (2;2)!Konstruē trijstūrim KLM centrāli simetrisku trijstūri K 1 L 1 M 1 attiecībā pret punktu(–1;0)! Vai trijstūri K 1 L 1 M 1 pagriezienā var attēlot par trijstūri ABC? Ap kurupunktu un par cik grādiem jāizdara šis pagrieziens?6. uzdevums (4 punkti)Dots, ka trijstūra KLM bisektrises krustojas punktāB, bet trijstūra K 1 L 1 M 1 bisektrises krustojas punktā B 1 .Pierādi, ka KB║K 1 B 1 !7. uzdevums (5 punkti)Dots regulārs trijstūris ABC. Caur malas BC iekšējupunktu L vilktas taisnes paralēli malām AC un AB. MalasAB un AC šīs taisnes krusto attiecīgi punktos F un G.Punkts M ir BG viduspunkts, bet N ir FC viduspunkts.Pierādi, ka ∠MLN=60°!AL 1BK 11KFMGM 1BBMLNLCKurš no trijstūriem ir iegūts ar homotētiju, kuras koeficients k= 2 7 ?Ar kādu homotētijas koeficientu no trijstūra ABC iegūts trijstūris UVZ?8

MATEMĀTIKA 11. klaseĢEOMETRISKIE PĀRVEIDOJUMIVērtēšanas kritērijiUzdevumsKritēriji1. Izprot ģeometrisko pārveidojumu – 1 punktsPunktiPilnīgi un precīzi definē pārveidojumu – 1 punkts3Izveido zīmējumu, kas ilustrē pārveidojumu – 1 punkts2. Nosaka vektora koordinātas – 1 punkts2Konstruē punktu A 1 – 1 punkts3. Nosaka pagrieziena leņķi – 1 punktsUzzīmē pagriezienā iegūto trijstūri – 1 punkts4Saskata pārveidojumu, piemēram, aksiālo simetriju – 1 punktsRaksturo pārveidojumu, nosakot simetrijas taisni – 1 punkts4. Pēc dotā koeficienta nosaka homotētisko trijstūri – 1 punkts2Dotajam trijstūrim nosaka homotētijas koeficientu – 1 punkts5. Konstruē dotā trijstūra attēlu paralēlajā pārnesē – 1 punktsKonstruē trijstūrim KLM centrāli simetrisku trijstūri – 1 punktsSaskata, ka trijstūri K 1 L 1 M 1 pagriezienā var attēlot par trijstūri ABC –51 punktsNosaka pagrieziena centru – 1 punktsNosaka pagrieziena leņķi – 1 punktsSaskata un atsaucas uz paralēlo pārnesi – 1 punktsIzmanto īpašību par punktiem ar vienu ģeometrisko jēgu – 1 punkts4Atsaucas uz paralēlās pārneses īpašību – 1 punktsIzveido korektu un strukturētu spriedumu virkni – 1 punktsSaskata, ka trijstūris BME (BLG), pagriežot par +60 o , attēlojas partrijstūri DMC (FLC) – 1 punktsPamato pagriezienu – 1 punkts5Izmanto īpašību par punktiem ar vienu ģeometrisko jēgu – 1 punktsNosaka leņķi, atsaucoties uz pagrieziena īpašību – 1 punktsIzveido korektu un strukturētu spriedumu virkni – 1 punktsKopā 259