Geogebra

Sandvold | Øgrim | Bakken | Pettersen | Skrindo | Thorstensen | Thorstensen
Digitalt verktøy for Sigma 1P
Geogebra

Geogebra Sigma 1P
Innhold
1 Om Geogebra 4
1.1 Innstillinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Regning 5
2.1 Tallregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Regnerekkefølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Tallet π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Minne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Kvadratrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7 Brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.8 Store og små tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.9 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.10 n-terøtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Funksjoner 9
3.1 Tegning av grafer for hånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Tegning av rett linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Tegning av grafer på det digitale verktøyet . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Utregninger på grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4.1 Finne y når du kjenner x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4.2 Nullpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4.3 Finne x når du kjenner y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4.4 Topp- og bunnpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.5 Skjæringspunkter mellom grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Lineær regresjon 16
5 Sannsynlighetsregning 19
5.1 Simulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Økonomi 19
2

Geogebra Sigma 1P
Innledning
Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Geogebra som digitalt
verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1P», studieforbedredende utdanningsprogram.
Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning,
og inneholder referanser til framstillingen der.
Heftet er skrevet i samarbeid med Henning Bueie, Åretta ungdomsskole.
Henvisninger fra boka
Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale
verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler
det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk
1P, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, 2009. I den elektroniske utgaven av
heftet er referansene klikkbare.
Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet
12 Tallregning og regnerekkefølge 2.1
23 Kvadratrøtter 2.5
24 Store og små tall 2.8
68 Tegne rett linje 3.2
68 Skjæring av grafer 3.4.5
74 Lage verditabell 3.1
76 Tegne graf 3.3
78 Toppunkt 3.4.4
80 Lineær regresjon 4
81 Lineær regresjon 4
194 Budsjett 6
196 Regnskap 6
208 Serielån, annuitetslån 6
3

Geogebra Sigma 1P
1 Om Geogebra
Geogebra er et matematikkverktøy med funksjonalitet innenfor de fleste områdene
i matematikk i videregående skole. Geogebra kan lastes ned fra Internett og kjøres
som et frittstående program. Du kan også kjøre Geogebra direkte fra Internett. Du
finner Geogebra på http://www.geogebra.org/. Dette heftet tar utgangspunkt
i versjon 3.2.
Skjermbildet i Geogebra ser slik ut:
Skjermbildet består av:
1. Menylinje og knapperad. Viktig å merke seg at du får fram undermenyene
ved å trykke på de små trekantene på knappene.
2. Algebravindu/resultatvindu. Her kommer det fram opplysninger om de ulike
matematiske objektene du arbeider med, for eksempel skjæringspunkter,
funksjonsverdier, resultater av beregninger og annet.
3. Funksjons- og geometrivindu. Her viser Geogebra grafer og geometriske figurer.
4. Regnearkvindu.
5. Inntastingsfelt. Her skriver du inn formler, funksjoner og regneoperasjoner.
Resultatene av beregninger du gjør her havner i resultatvinduet.
4

Geogebra Sigma 1P
1.1 Innstillinger
Om du vil justere innstillingene i Geogebra, bruker du Innstillinger-menyen. Ønsker
du for eksempel at programmet skal runde av til tre gjeldende siffer, velger
Innstillinger > Avrunding > 2 desimaler.
Det kan være lurt å la programmet runde av til et bestemt antall gjeldende siffer,
slik at ikke små tall blir runda av til null.
2 Regning
2.1 Tallregning
Du taster inn regnestykker omtrent som på en vanlig lommeregner, med «⋆» for
gange og «/» for dele. Desimaltall skrives inn med punktum som desimalkomma.
Tallet 2, taster du altså inn som «2.5». Kommaet («,») brukes for å skille koordinater
i punkter.
Skriv inn i inntastingsfeltet. Resultatet av utregningen havner i resultatvinduet.
2.2 Regnerekkefølge
Vanlig regnerekkefølge er innebygd i programmet. Så vi kan taste rett inn slik det
står.
Utregningen 4 + 5 · 2 3 taster vi inn som det står og avslutter med enter. Geogebra
bruker cirkumflex (∧) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom
etter «∧».
5

Geogebra Sigma 1P
Resultatvinduet viser at svaret blir 44.
Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med parenteser,
som for eksempel i utregningen 7 · (−4 2 − 5 · (−3)) 2 , som tastes inn slik:
7*(-4^2-5*(-3))^2
Geogebra har hurtigtaster for skrive eksponenter. Dersom du taster alt + 2 (hold
inne alt-knappen og tast 2), så ser du at programmet skriver «opphøyd i andre»
direkte.
2.3 Tallet π
Programmet har en egen hurtigknapp for π. Dessuten kan vi bruke tastesnarveien
alt + p.
2.4 Minne
Geogebra lagrer automatisk resultater fra utregninger i variabler (minne) etter hvert
som resultatene kommer fram. Hvert nye svar blir tilordnet en ny variabel.
La oss si at du har regnet ut (4 + 5) · 2 3 og fått 72. Da vil Geogebra lagre verdien
72 i variabelen a. Dette kommer fram i resultatvinduet. Dersom du nå ønsker å
multiplisere savret med π, skriver du a ∗ π i inntastingsfeltet.
Resultatet av denne regneoperasjonen lagres i variabelen b. Siden resultatet b er
avhengig av verdien av a, kalles b for et avhengig objekt.
Du kan også lagre verdier i variablene direkte. For å lagre 2 i 2 og 71 i b, skriver du
a = 2 og b = 71 i inntastingsfeltet. Deretter kan du skrive a ∗ b. Da angir Geogebra
svaret som c = 142. Svaret blir angitt som et avhengig objekt, siden svaret c er
avhengig av variablene a og b.
6

Geogebra Sigma 1P
2.5 Kvadratrot
For å regne ut kvadratroten av et tall, bruker du kommandoen «sqrt()». For å regne
ut 4, skriver du inn «sqrt(4)». I resultatvinduet viser programmet at svaret er 2.
Husk på parenteser, slik at programmet vet hva som skal inkluderes i kvadratroten.
Eksempel: Vi skal regne ut
duet viser at svaret er 2, 9.
2.6 Parenteser
2·40
. Da taster vi inn «sqrt(2*40/9.8)». Resultatvin-
9,8
Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da
vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er
5 + 7
2 · 3
= 12
6
Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning i programmet, må vi hjelpe til
med å slå parenteser om telleren og nevneren:
(5+7)/(2*3)
= 2
I resultatvinduet ser vi at svaret på utregningen er 2.
2.7 Brøk
Brøker taster du inn med vanlig deletegn i stedet for brøkstrek. Pass på å slå parenteser
om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Brøkene regnes
om til desimaltall og svaret gis som desimaltall. Dessverre finnes det ikke en egen
brøkfunksjon i Geogebra.
Skal vi for eksempel regne ut
2 + 3
3
− 8
7 − 3
slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får:
(2+3)/3-8/(7-3)
Resultatvinduet viser −0,33 som svar.
7

Geogebra Sigma 1P
Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi
regne ut brøken
1
2
1
3
taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken.
((1/2)/(1/3))
Resultatvinduet viser 1,5 som svar.
2.8 Store og små tall
Når tallene blir svært store eller svært små, skriver programmet dem på standardform.
Dette avhenger noe av hvilke valg du har gjort på Innstillinger > avrunding.
Du velger selv om du taster inn på standardform eller ikke. Skal du taste
inn 24 000 000, kan du velge å taste rett inn alle sifrene eller å taste «2.4 E 7».
Når vi regner ut 24 000 000 · 5630, vil Geogebra normalt svare 135120000000. I
visse tilfeller svarer programmet 1.3512E11, som betyr at svaret er 1, 3512 · 10 11 .
2.9 Potenser
Potenser tastes inn med cirkumflex, ∧. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 ∧ 5. Resultatvinduet
gir oss svaret 32.
For å taste inn potenser med flere elementer i eksponenten, slår du en parentes om
eksponenten. Vi regner ut 2−5 ved å taste 2 ∧ (−5) og 2 2
3 ved å taste 2 ∧ (2/3).
2.10 n-terøtter
Geogebra har innebygd funksjoner for kvadratrot og tredjerot, henholdsvis «sqrt()»
og «cbrt()».
For andre røtter må vi bruke at n a = a 1
n . Eksempel: For å beregne 5 7,34 gjør vi
slik:
7.34^(1/5)
Resultatvinduet gir oss svaret 1,489838565112205.
8

Geogebra Sigma 1P
3 Funksjoner
3.1 Tegning av grafer for hånd
Når du tegner grafer for hånd, er det praktisk å bruke digitalt verktøy til å regne ut
funksjonsverdier for funksjonen.
Vi regner ut funksjonsverdier i Geogebra ved å taste inn funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet
og så be om funksjonsverdiene enkeltvis.
Eksempel: Vi skal arbeide med funksjonen f(x) = x 2 + 150x + 20 000. Vi taster inn
funksjonsutrykket i inntastingsfeltet i Geogebra.
Så kan vi regne ut de funksjonsverdiene vi vil ved å sette inn i f(x). Om vi nå taster
f(0) i inntastingsfeltet, vil resultatvinduet vise a = 20 000, som betyr at f(0) = 0.
Tilsvarende taster jeg f(100) i inntastingsfeltet, og Geogebra viser b = 45 000 i
resultatvinduet. Altså er f(100) = 45 000.
Fortsetter vi på denne måten, kan vi lage en verditabell:
x 0 100 200 300 400 500
y 0 45 000 90 000 155 000 240 000 345 000
Når vi så har laget verditabellen, merker vi av punktene i et koordinatsystem og
tegner en glatt kurve gjennom dem.
400 000
300 000
200 000
100 000
y
100 200 300 400 500 x
3.2 Tegning av rett linje
Vi skal tegne grafen til en rett linje y = ax+b. Først taster vi funksjonsuttrykket inn
i inntastingsfeltet. Deretter lager vi verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1 på
side 9. Det hender oppgaven ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker
vi det. Verditabellen bruker vi til å stille vinduet riktig.
9

Geogebra Sigma 1P
Eksempel: Vi skal tegne linja K = 2x + 8000. Vi taster K(x) = 2x + 8000 i inntastingsfeltet.
Det ser slik ut:
Så lager vi verditabell for x ∈ [0, 3000]. Vi taster inn K(0), K(500), K(1000),
K(2000) og K(3000). Da ser resultatvinduet vårt slik ut:
Altså må vi la x gå fra 0 til 3000 og y fra 0 til 15000. Nå velger vi Innstillinger >
Grafikkfelt. Der setter vi x til å gå fra −200 til 3000. Så klikker vi på «yAkse» midt
i vinduet og setter y til å gå fra −1000 til 15000. Vi bruker en liten negativ verdi
som nedre grense på begge aksene, slik at aksene syns. Da ser grafen slik ut:
10

Geogebra Sigma 1P
3.3 Tegning av grafer på det digitale verktøyet
Vi skal tegne grafen til en funksjon f(x). Vi taster funksjonsuttrykket inn i inntastingsfeltet.
Ut fra funksjonens definisjonsmengde lager vi deretter en verditabell slik
det er beskrevet i avsnitt 3.1 og stiller inn vinduet etter dette. Det hender oppgaven
ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det.
Som eksempel skal vi nå tegne grafen til f(x) = −0, 0001x 2 + 0, 45x − 200 for x
mellom 0 og 5000. Først legger vi inn funksjonen.
Så regner vi ut en verditabell. Når vi har tastet inn f(0), f(1000), f(2000), f(3000),
f(4000) og f(5000), ser resultatvinduet vårt slik ut:
Dette betyr at verditabellen er denne:
x 0 1000 2000 3000 4000 5000
y −200 150 300 250 0 −450
Vi ser av tabellen at om vi lar x gå fra 0 til 500, må y være mellom −200 og 300.
Nå velger vi Innstillinger > Grafikkfelt. For at grafen og aksene skal synes godt, lar
vi området være litt større enn verditabellen tilsier: Vi setter x til å gå fra −200 til
5000. Så klikker vi på «yAkse» midt i vinduet og setter y til å gå fra −450 til 350.
Da ser grafen slik ut:
11

Geogebra Sigma 1P
Dersom du vil forstørre eller forminske grafen, kan du gå på Innstillinger > Grafikkfelt
igjen. Men du kan også bruke verktøyene for forstørrelse eller forminskning på
verktøylinja, evt. bare dra i aksene.
3.4 Utregninger på grafen
3.4.1 Finne y når du kjenner x
Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi a av x, taster vi inn f(x).
Eksempel: Vi lar f være f(x) = −0,001x 3 + 0,09x 2 + 10. Vi taster inn f(1) i inntastingsfeltet.
Resultatvinduet viser oss da at a = 18, altså har vi f(x) = 18.
3.4.2 Nullpunkter
Du finner nullpunkter til en graf f ved å skrive «Nullpunkt[f]» i inntastingsfeltet.
Eksempel: La f(x) = −0,5x 3 + 2x 2 + 3x − 6. Vi skal finne nullpunktene. Vi taster
inn funksjonsuttrykket tilpasser vinduet vårt som beskrevet i avsnitt 3.3. Så taster
12

Geogebra Sigma 1P
vi inn «Nullpunkt[f]». Da ser resultatvinduet vårt ut slik:
Dette betyr at nullpunktene har koordinater (−2, 0), (1,27, 0) og (4,73, 0).
Dersom en funksjon ikke har noe nullpunkt, vil Geogebra skrive «udefinert». Eksempel:
La f(x) = −x 2 − 5x − 12. Vi skal finne funksjonens nullpunkter. Vi taster
inn f(x) og skriver «Nullpunkt[f]». Resultatvinduet ser da slik ut:
Dette betyr at f ikke har noen nullpunkter.
Noen funksjoner har Geogebra problemer med. Eksempel: La f være funksjonen
f(x) = 2,3 x − 6. Vi skal finne eventuelle nullpunkter. Vi prøver å taste «Nullpunkt[f]»,
men får ingen respons når vi trykker linjeskift. En unøyaktig nødløsning
kan da være å legge et punkt på grafen og dra punktet til det kommer til x-aksen:
Velg «Nytt punkt» fra verktøylinja og klikk på grafen til f. Bytt til vanlig verktøy
(flytt) og flytt punktet til det ligger omtrent på x-aksen. Koordinatene til punktet er
tilnærmet koordinatene til nullpunktet.
Altså har nullpunktet x ≈ 2,1.
3.4.3 Finne x når du kjenner y
Om vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi, legger vi inn
denne y-verdien som en ny funksjon g(x). Deretter finner vi skjæringspunktene med
«skjæring[f,g]».
13

Geogebra Sigma 1P
Eksempel: La f være funksjonen −0,0025x 3 + 0,075x 2 + 1 for x ∈ [0, 20]. Vi skal
finne når f(x) oppnår verdien 4,1. Da legger vi inn en ny funksjon g(x) = 4,1 og
skriver inn «skjæring[f,g]». Da får vi dette:
Altså ser vi at f(x) = 4,1 når x er ca. 7,4. De andre skjæringspunktene er ikke innenfor
funksjonens definisjonsmengde.
3.4.4 Topp- og bunnpunkter
Topp- og bunnpunkter til en funksjon f(x)finner vi ved å skrive «ekstremalpunkt[f]».
Da vises ekstremalpunktene i resultatvinduet og markeres på grafen.
Eksempel: La O(x) = −x 2 + 780x − 55 000. Vi skal finne toppunktet. Vi skriver
inn «Ekstremalpunkt[O]» og får dette:
14

Geogebra Sigma 1P
Altså er koordinatene til toppunktet (390, 97 100).
Dersom det i tillegg er bunnpunkter på grafen, vil også disse bli merket av.
3.4.5 Skjæringspunkter mellom grafer
Skjæringspunkter mellom to grafer f og g finner vi ved å skrive «skjæring[f,g]».
Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom K = 2x + 8000 og I = 6x. Vi
definerer K og I ved å taste K(x) = 2x + 8000 og I(x) = 6x i inntastningsfeltet. Så
taster vi «skjæring(K,I)». Da får vi denne:
15

Geogebra Sigma 1P
Altså er skjæringspunktet (2000, 12 000).
4 Lineær regresjon
Regresjon i Geogebra gjøres ved at vi legger inn verditabellen i et regneark, lager
en liste av tabellen og utfører regresjon på lista.
Eksempel: Vi skal utføre lineær regresjon på følgende tabell.
x 0 5 10 12 13 14 15 16
y 868 735 566 548 512 475 448 421
Først henter vi fram regnearkvinduet, nemlig Vis > Regneark.
16

Geogebra Sigma 1P
Så legger vi inn x-verdiene og y-verdiene i regnearket. Vi markerer tabellen, høyreklikker
på den og velger «Lag liste med punkter».
Da viser resultatvinduet at en liste {(0, 868), (5, 735), (10, 566), 12, 548), . . . av
punkter er opprettet under navnet «liste1».
Punktene er tegnet inn i funksjonsvinduet, men vi må kanskje tilpasse vinduet for
å se dem. Vi går til Innstillinger > Grafikkfelt. Der setter vi x til å gå fra −1 til 17,
litt utenfor intervallet [0, 16]. Så klikker vi på «yAkse» midt i vinduet og setter y
til å gå fra −30 til 900, som dekker intervallet [421, 868]. Da ser vinduet slik ut:
17

Geogebra Sigma 1P
Til slutt taster vi inn «RegLin[liste1]» i inntastingsfeltet. Da får vi tegnet inn regresjonslinja.
Likningen for regresjonslinja vises i resultatvinduet. For å få den på formen
y = ax + b, høyreklikker vi på likningen i resultatvinduet og velger «Likning
y = ax + b»:
Da ser vinduet vårt slik ut:
Dette betyr at regresjonslinja er y = −27, 9x + 868, 3.
18

Geogebra Sigma 1P
5 Sannsynlighetsregning
5.1 Simulering
Kommandoen «tilfeldigmellom[p,q]» gir oss et tilfeldig tall mellom p og q. Det er
mulig å bruke dette til å simulere enkle uniforme modeller.
Eksempel: Vi skal simulere terningkast. Vi skriver inn «tilfeldigmellom[1,6]». Da
får vi et tilfeldig tall større enn eller lik 1 og mindre enn eller lik 6. Vi taster oppoverpil
og enter pånytt og får et nytt tilfeldig tall. Gjentar vi dette, får vi en simulering
av en rekke med terningkast:
6 Økonomi
Foreløpig egner Geogebra seg ikke veldig godt til å arbeide med regneark på. Vi
anbefaler at du i stedet bruker et eget regnearkprogram.
19