Problemløsing - Abelkonkurransen

Et triks som er lett å gjennomføre når man har en genererende funksjon f(x) =
a 0 +a 1 x+· · · hvorfor man også har et algebraisk uttrykk (f.eks. 1+x+x 2 +· · · = 1/(1−x))
er at man kan ta summen av annethvert ledd: a 0 + a 2 + a 4 + · · · = (f(1) + f(−1))/2.
Oppgave 10. Vis at ( ) (
n
i + n
) (
i+1 = n+1
)
i+1 og (1 + x) n = ∑ n
( n
j=0 j)
x j .
Oppgave 11. For n ≤ m, vis at ∑ m
( j
) (
j=n n = m+1
n+1)
.
Oppgave 12. Vis at (1 + x) −n = ∑ ∞
j=0 (−1)j( )
n+j−1
n−1 x j . Motiver definisjonen ( )
−n
j =
(−1) j( )
n+j−1
n−1 utifra dette.
Oppgave
∑
13. La
)
F n være Fibonacci-tallene: F 1 = F 2 = 1, F n+1 = F n + F n−1 . Vis at
F n =
.
0≤p≤q≤n−1
p+q+1=n
( p
q
Oppgave 14. På hvor mange forskjellige måter kan vi velge x 1 , . . . , x n ∈ {0, 1, 2} slik
at x j ’ene inneholder et like antall 1-ere?
6 Pigeon hole principle
6.1 Pigeon hole principle (skuff-prinsippet)
Dersom det finnes n skuffer og n + 1 eller flere sokker (eller andre objekter) i skuffene,
så må det finnes en skuff med minst to sokker.
Hvor banalt dette enn kan se ut, så taes det ofte i bruk.
Eksempel 11. La A være en mengde med ti forskjellige naturlige tall mindre eller lik
100. Vis at det da finnes to forskjellige mengder X og Y som er inneholdt i A og slik at
summen av elementene i X er lik summen av elementene i Y .
Det finnes 2 10 = 1024 delmengder av A (inklusive A og den tomme mengde). Summen
av alle elementene i A må være mindre enn 1000. (Summen kan maks bli 100 + 99 +
· · · + 91.) Dersom delmengdene i A er ‘sokkene’ og de mulige summene er ‘skuffene’, har
vi flere ‘sokker’ enn ‘skuffer’. Følgelig må to forskjellige ‘sokker’ havne i samme ‘skuff’:
to forskjellige delmengder må ha samme sum.
Oppgave 15. I et selskap med n personer har gjestene satt seg ved bordet i total
uoverensstemmelse med bordkortene: ingen sitter på sin tiltenkte plass. For å rette på
dette begynner de å flytte seg en og en plass til venstre (i takt); vis at når de har flyttet
et passende antall plasser, vil minst 2 personer sitte på riktig plass.
Oppgave 16. Gitt n punkter i planet med heltallige koordinater. Hvor stor må n være
for at du kan være sikker på at linjestykket mellom to av disse punktene går gjennom
et tredje punkt med heltallige koordinater. Hva om du bruker punkter i rommet med
heltallige koordinater?
Oppgave 17. La x 1 , . . . , x 11 ∈ Z. Vis at det finnes a j ∈ {−1, 0, 1} ikke alle lik null, slik
at 1993 | ∑ 11
j=1 a jx j . (Se seksjon 8 om delelighet.)
10