Problemløsing - Abelkonkurransen

li at A n,0 = ∑ n
i=0 (−1)i n!/i!. Det er flere måter å gjøre dette på, men en av løsningene
bruker at e x = ∑ ∞
j=0 xj /j!.
24. Se på primtallsfaktoriseringene.
25. Hva er (1 ± 1) n ?
26. Det følger fra en tidligere oppgave at F n = F n−m F m−1 + F n−m−1 F m når m < n.
27. Gang opp med minste felles multiplum. Resten er en enkel modulobetraktning.
28. Bruk at g og h begge er polynomer med heltallige koeffisienter og høyeste grads
koeffisient lik 1. Siden f(x 1 ) = 1, er g(x j ) = h(x j ) = ±1. Vi har da at f(x) − 1 |
(g(x) − 1)(g(x) + 1) og f(x) − 1 | (h(x) − 1)(h(x) + 1). Hvis g har lavest grad av de to,
gir f − 1 | g 2 − 1 en likhet.
29. Gang ut på begge sider med minste felles nevner. Hva er summen av nullpunktene?
30. La p(x) = ∏ (x − x i ). Vis at da er x(x − 1)p ′′ (x) = N(N − 1)p(x) og at dette
bestemmer p entydig. Husk forøvrig på at også y j = 1 − x j vil gi en løsning.
31. Vis at eneste primfaktor som kan inngå i n er 3.
32. I hvilken høyde over AB skjærer normalen fra A normalen fra C; beregn tilsvarende
for normalen fra B. Legg AB vannrett og se på stigningstallene til linjene.
33. Legg ABC inn i et koordinatsystem med AB og AC på koordinataksene. Vis at
punktene S og T ligger på linjen x + y = AD.
34. Se teorem om innskrevne sirkel og areal. Vis tilsvarende for de andre sirklene. Bruk
Heron’s formel.
35. Merk at sin 2u = sin(v + w − u), etc. Bruk så at sin er konkav: krummer nedover,
det motsatte av konveks.
36. Du kan skalere x’ene slik at ∑ x 2 j = 1. Da er x3 j ≤ x2 j . Likhet oppstår dersom alle
x i = 0 unntatt en.
37. Hvis du holder B og C fast og flytter A langs y-aksen, hvor må da A stå for at
AB + BC + AC er minst mulig? Hvis du kan velge a og b fritt, hva er da minste mulige
omkrets?
38. Bruk induksjon på størrelsen av S. Del S i to biter med et plan parallelt med xyplanet;
anta at ulikheten holder for bitene.
39. Bruk setningen om periferivinkler; dette gir det vinklene i A ′ , B ′ og C ′ og at AA ′
står normalt på BC osv. Bruk dette til å finne arealene av ABC og A ′ B ′ C ′ uttrykt ved
vinklene ∠A, ∠B og ∠C.
40. Anta at a = f(y) − y ≠ 0 for en y. Vis at da er f peridoisk: f(x + a) = f(x).
Løsning er at enten er f(x) = x, ellers finnes en n ∈ N slik at f(np + q) = q for
q ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, p ∈ Z.
41. Hvis f(x) = a der a er f’s minste funksjonsverdi, hva kan du da si om x? Vis at f
må være strengt stigende.
30