Problemløsing - Abelkonkurransen

Eksempel 40. La f : N → N være strengt voksende og slik at f(nm) = f(n)f(m).
Hvilke verdier kan f(2) anta?
Vi merker oss først at dersom f(p j ) = q j der p j er primtallene, blir f entydig bestemt
ved at f(p n 1
1 · · · pn k
k ) = qn 1
1 · · · qn k
k .
I tillegg kommer betingelsen at f skal være strengt voksende. Det vil bl.a. si at p n i <
p m j ⇐⇒ qi n < qj m . Ved å ta logaritmen blir dette
ln p i
< m ln p j n ⇐⇒ ln q i
< m ln q j n
⇑
⇓
ln p i
ln p j
=
ln q i
ln q j
Følgelig må q i = p k i der k = ln q i / ln p i . Dette gir at f(n) = n k og at k må være et
naturlig tall. Vi ser da at f(2) = 2 k , k ∈ N.
Oppgave 40. La f : Z → Z være slik at f(x + y) = f(x + f(y)) for alle x, y ∈ Z og
0 ≤ f(x) ≤ x for x ≥ 0. Finn alle mulige funksjoner f.
Oppgave 41. Vis at hvis f : N → N er slik at f(n + 1) > f(f(n)), så er f(n) = n.
Oppgave 42. Finn alle f : R → R slik at f(x 2 + f(y)) = f(x) 2 + y.
12 Konstruksjoner og invarianter
I mange tilfeller skal man ikke bare vise at noe er mulig, men man skal lage en konstruksjon
som gjør noe spesielt. Det finnes også tilfeller der man viser en eksistens lettest ved
å konstruere objektet. På samme måte som med ulikheter, kan marginene variere: i noen
tilfeller skal man konstruere det ene tilfelle som eksisterer, mens i andre tilfeller finnes
en mengde løsninger og det gjelder kun å finne en konstruksjon som lar en bevise at det
er en løsning.
Det er et likhetstrekk mellom ulikheter og funksjonalligninger i at det ikke finnes
teoremer og resultater som gir svar på problemene. Det gjelder igjen å se på hvilke
egenskaper en slik løsning måtte ha.
Eksempel 41. Gitt et punkt P på en linje l og en sirkel S, konstruer med passer og
linjal en sirkel T som tangerer l i P og som tangerer S utvendig. La Q være sentrum
i S. Sentrum i T kaller vi R. For at T skal tangere l i P , må R ligge på normalen på
l gjennom P . Videre må avstanden fra R til P være lik avstanden fra R til sirkelen S.
Avstanden fra R til S er lik differansen mellom avstanden QR og radiusen til S.
Betingelsen om at P R er lik avstanden fra R til S kan da omformuleres til at P R pluss
radiusen til S er lik QR. Dette kan vi konstruere ved å sette et punkt U på normalen til
l gjennom P med avstand fra P lik radiusen til S. Da må QR = UR. Midtnormalen til
QU går da gjennom R.
Normalen til l gjennom P og midtnormalen til QU skjærer da i R.
22