ProblemlÃ¸sing - Abelkonkurransen

More documents

Recommendations

Info

14 Til angrep! Når man ser en oppgave bli løst ser det gjerne lett ut, men man kan lett sitte igjen med følelsen av å ha sett en tryllekunstner utføre en av sine kunster. I de foregående seksjonene har jeg forsøkt å gi litt bakgrunn for å løse oppgaver: et slags teoretisk svømmekurs. Denne seksjonen tar for seg hva du kan gjøre når du ikke vet hva du skal gjøre: når du står fast. Gå gjerne tilbake og se på tidligere eksempler og oppgaver som du har løst; hvordan løste du dem? Hvaslags metoder kan brukes for å få gode ideer? Ved å tenke litt over og jobbe litt med disse spørsmålene finner du nok at det er en del metoder som kan hjelpe når man står fast. • Mulige metoder. Ofte kan man se på oppgaven hvaslags metoder som kan tenkes å bli brukt. Dette forutsetter dog noe erfaring med oppgaveløsing. • Konstruer en løsning. Dersom du skal bevise at noe eksisterer kan du av og til konstuere et eksempel. • Egenskaper ved evt. løsning. Når du skal finne en løsning kan det ofte være lurt å prøve å finne ut hvilke egenskaper en slik løsning må ha. Dette kan gi en pekepinn på hvor du skal lete og hvaslags metoder du skal bruke. • Hjelpehypoteser og mellomledd. Kan du redusere problemet til et enklere problem eller omformulere det til et anderledes problem? Kan du anta at problemet er på en bestemt form eller at noe kan fjernes? • Se på spesialtilfeller. De kan ofte gi mye informasjon. Spesielt kan det være nyttig å prøve ut de mest ekstreme situasjonene. Når situasjonen er uoversiktlig kan det å se på spesialtilfeller gi bedre oversikt. • Mere generelt. Dersom du fjerner noen av betingelsene, holder resultatet fortsatt? Hvis ikke, hvaslags problemer oppstår. Du må da bruke metoder for å løse oppgaven som ikke ville fungere for disse mere generelle tilfellene. De forutsetningene som er nødvendige må du bruke. • Vri på oppgaven. Forsøk å ‘se oppgaven fra en annen vinkel’. • Finn invarianter. Finn konstanter som ikke lar seg endre eller som bare lar seg øke/redusere. • Utnytt symmetrier. 15 Oppgaver Her kommer en rekke oppgaver som dere kan trene dere på. Det finnes absolutt intet system i rekkefølgen til oppgavene; de er lagt inn etterhvert som jeg har funnet dem og lagt inn der cursoren ramlet ned, så fortvil ikke om du skulle stoppe opp på de første oppgavene: gå videre. 26
Oppgave 50. La (1 − √ 2x + x 2 ) n = ∑ 2n j=0 a jx j . Hva er ∑ 2n j=0 (−1)j a 2 j ? A Z C S X P Y U T B Oppgave 51. La S, T og U være tre sirkler som skjærer i et felles punkt P . Definer skjæringene X, Y og Z mellom sirklene som på figuren. Velg et punkt A på S. La B være skjæringen mellom T og AX, og C skjæringen mellom U og AZ. Vis at da ligger B, Y og C på en linje. Oppgave 52. Vis at det finnes like mange odde som like permutasjoner i S n for n > 1. Oppgave 53. La s 1 = 2, s 2 = 2 + 3, . . . , s n = p 1 + · · · + p n , p j primtallene. Finnes alltid et kvadrattall mellom s n og s n+1 ? Oppgave 54. Gitt n punkter der tre punkter aldri ligger på linje. Trekk linjer mellom par av punkter. Hva er det minste antall slike linjestykker som må farve slik at hvis man plukker fire punkter, vil tre av dem være hjørner i en trekant? Oppgave 55. La a n,m ∈ R, n, m ∈ Z, 4a n,m = a n+1,m +a n,m+1 +a n−1,m +a n,m−1 . Anta at det finnes A ∈ R og N ∈ N slik at a n,m < A dersom |n| > N eller |m| > N. Vis at da er a n,m < A for alle n, m. Oppgave 56. La x, y > 0 være irrasjonale tall slik at x + y = 1. Vis at ethvert naturlig tall forekommer nøyaktig en gang som ⌊n/x⌋ eller ⌊n/y⌋ der n ∈ N. (⌊s⌋ er s rundet nedover til nærmeste hele tall.) Oppgave 57. Et ekorn klatrer i en stige ved å hoppe a trinn oppover eller b trinn nedover ad gangen. Hva er det minste antall trinn en stige må ha for at ekornet skal kunne klatre fra bakken, opp til toppen av stigen og ned igjen? Matematisk vil dette si at vi skal ha en følge x j ∈ {0, 1, . . . , n}, n er antall trinn i stigen, slik at x j+1 = x j + a eller x j − b, x 0 = 0, x k = n for en k og x l = 0 for en l > k. Oppgave 58. La a 1 , a 2 , . . . være en følge slik at ethvert naturlig tall forekommer nøyaktig en gang i følgen. Vis at da er ∑ ∞ i=1 1/a ia i+1 ≤ 1. Når er det likhet? Oppgave 59. Fem matematikere på en forelesning sovner hver to ganger i løpet av en forelesning. Ethvert par av matematikere sover samtidig på ett eller annet tidspunkt. Vis at det er et tidspunkt der minst tre av dem sover samtidig. 27
Page 1 and 2: Problemløsing Treningshefte foran
Page 3 and 4: 1 Innledning Det er selvsagt umulig
Page 5 and 6: 3 Reductio ad absurdum Reductio ad
Page 7 and 8: A 5 A 4 B A 2 B 1 3 B 3 B 5 B 4 A 1
Page 9 and 10: Oppgave 7. La x, y og n være natur
Page 11 and 12: Oppgave 18. En gruppe på 17 person
Page 13 and 14: har divisjon er ikke helt opplagt.
Page 15 and 16: 9 Geometri Det er en rekke geometri
Page 17 and 18: Merk dog at dersom C og P ligger p
Page 19 and 20: 10 Ulikheter Mange ulikheter bygger
Page 21 and 22: C B ′ A ′ A C ′ B 11 Funksjon
Page 23 and 24: S T l P En type konstruksjon som ka
Page 25: Teorem 45. Vi har at n∏ (x + x i
Page 29 and 30: 5. Anta at x i,j = x j,i for i + j
Page 31 and 32: 42. Vis at for enhver a finnes en x
Page 33 and 34: Dersom vi gjør det samme med x j,i
Page 35 and 36: to andre emnene. Plukk ut en person
Page 37 and 38: For n = 1 og n = 3 vil n 2 | 2 n +

ProblemlÃ¸sing - Abelkonkurransen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?