Problemløsing - Abelkonkurransen

I matematikken har vi et logisk sprog. I stedet for ord bruker vi ofte symboler for de
vanligste begrepene og relasjonene. I logikken studerer man utsagn og sammenhenger
mellom disse. Jeg vil bruke ordet ‘utsagn’, men jeg kunne også brukt ‘påstand’ eller
‘hypotese’. Når jeg behandler et generelt utsagn vil jeg gjerne sette navn på den: betegne
den med en variabel slik man betegner ukjente tall med variable. F.eks. kan P angi
utsagnet ‘1729 er et primtall’; utsagnet P er da usant (1729 = 7 · 13 · 19).
Vi har et par logiske begreper som dere kanskje har sett før:
P ⇒ Q : P impliserer Q; Q følger fra P . Dette vil si at dersom P er riktig, så er også Q
riktig.
P ⇐⇒ Q : P er ekvivalent med Q; P er sann hvis og bare hvis Q er sann. Dette vil si
at enten er begge utsagnene sanne, eller så er de begge gale. Ekvivalens er forøvrig
det samme som at P ⇒ Q og Q ⇒ P .
∧, ∨ : ‘og’, ‘eller’. P ∧ Q er sant hvis og bare hvis både P og Q er sanne; P ∨ Q er sant
hvis P eller Q eller begge to er sanne.
∩, ∪ : ‘snitt’, ‘union’. Dette er mengdeoperasjoner, ikke logiske operasjoner, men jeg tar
dem med likevel. Dersom A og B er to mengder er snittet A ∩ B mengden av
elementer som er i både A og B; unionen A ∪ B består av de elementer som er i A
eller B eller begge. Merk dualitetene ∧ ↔ ∩ og ∨ ↔ ∪.
|A| : antall elementer i A. Dette er også en mengdeoperasjon. Den teller kort og godt
antall elementer i mengden A.
¬P : ikke P ; utsagnet ‘P er galt’; P ’s negasjon. For klarhetens skyld er det vanligvis best
å skrive ‘ikke P ’ eller formulere P ’s negasjon på ny i stedet for å bruke symbolet
¬.
(. . .) : Det kan forekomme at du ønsker å formulere et utsagn som inneholder et logisk
uttrykk. F.eks. kan det at P ⇒ Q og Q ⇒ P er det samme som P ⇐⇒ Q, uttrykkes
((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )) ⇐⇒ (P ⇐⇒ Q). Som du ser brukes paranteser nøyaktig
som ellers i algebra.
Dere har sikkert hørt begrepet ‘teorem’ brukt om matematiske resultater; det finnes
dog flere termer som betegner lignende begreper. Et teorem er gjerne et resultat som er
interressant i seg selv; et lemma er et mindre resultat som ikke i seg selv er så veldig
interessant, men som kan brukes til å vise noe; et korollar er et resultat som følger direkte
av noe man har vist tidligere.
Oppgave 1. Vis at (P ⇒ Q) ⇐⇒ ((P ∧ Q) ∨ (¬P )) ⇐⇒ ((¬P ) ∨ Q).
Oppgave 2. En person A har tre sedler: en 50-lapp, en 100-lapp og en 500-lapp. En
annen person B skal si et utsagn U. A skal gi B en seddel (eller flere) hvis og bare hvis
U er sant. Hva skal B si for å få mest mulig penger.
4