Problemløsing - Abelkonkurransen

Eksempel 36. La P være sentrum i den innskrevne sirkelen i trekanten ABC, la A ′
være skjæringen mellom BC og forlengelsen av AP og definer B ′ og C ′ tilsvarende. Vis
ulikheten
AP · BP · CP
AA ′ · BB ′ · CC ′ ≤ 8 27 .
C
A ′
B ′
P
B
A
C ′
Forhodet mellom arealet av BCP og arealet av ABC er lik forholdet mellom P A ′ og
AA ′ . Men, dersom vi bruker at arealet av BCP er 1 2r · BC og arealet av ABC er lik
1
2r · (AB + BC + AC), finner vi at dette forholdet er lik BC/(AB + BC + AC).
I en trekant kan vi alltid skrive AB = a + b, BC = b + c og AC = a + c der a, b, c ≥ 0.
La x = a/(a + b + c), etc. Venstre side av ulikheten er da lik 1 8
(1 + x)(1 + y)(1 + z) og vi
har betingelsen x + y + z = 1.
Det aritmetiske middel av 1 + x, 1 + y og 1 + z er 4/3. Det geometriske er mindre enn
eller lik det aritmetriske. Derfor må (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≤ ( 4 3 )3 . Ved å sette inn dette
får vi ulikheten vi ønsket.
Tips 37. Dersom man står fast på en ulikhet kan det være lurt å finne ut hvor store
marginene er og når man har likhet. Dersom man har store marginer (det er langt igjen
til likhet) kan man tillate seg grovere metoder enn hvis det er nesten likhet. Tilsvarende
må man huske på at der det er likhet må metoden også bevare likheten.
Oppgave 35. La 0 < u, v, w < 90 ◦ være vinklene i en trekant. Vis at sin u+sin v+sin w ≤
sin 2u + sin 2v + sin 2w.
Oppgave 36. La x 1 , . . . , x n være reelle tall. Vis at
√
3
x 3 1 + · · · + x3 n ≤
√
x 2 1 + · · · + x2 n.
Når har vi likhet?
Oppgave 37. La ABC være en trekant i et koordinatsystem, der A = (0, a) og B = (b, 0).
Vis at da er AB + BC + AC ≥ 2CO.
Oppgave 38. La S være en endelig mengde av punkter i rommet. La S x være projeksjonen
av S ned i yz-planet; definer tilsvarende S y og S z . Vis at |S| 2 ≤ |S x | · |S y | · |S z |.
Oppgave 39. La ABC være en trekant og la S være dens omskrevne sirkel. La vinkelen
som halverer ∠A skjære sirkelen i A ′ , og definer B ′ og C ′ tilsvarende. Vis at trekanten
A ′ B ′ C ′ har areal større enn eller lik arealet til ABC.
20