Problemløsing - Abelkonkurransen

Vi kan godt se det slik at man skal kunne bestemme ethvert element x ∈ X ved å si
hvilke A i ’er det er med i. Siden det for enhver i er to muligheter — x ∈ A i eller x ∉ A i
— kan det være naturlig å representere x ved (x 1 , . . . , x m ) der x i er 1 hvis x ∈ A i og 0
ellers.
Siden x må være inneholdt i minst en A i , kan ikke alle x i være lik 0; vi har derfor
2 m − 1 forskjellige representasjoner. Dersom vi omvendt tenker oss (x 1 . . . x m ) 2 som et
tall i to-tall-systemet, ser vi at disse representasjonene svarer til tallene fra 1 til 2 m − 1.
Med m mengder kan vi altså få n opptil 2 m − 1; omvendt trenger man for en gitt n,
m = ⌊log 2 (n + 1)⌋ mengder for å skille de n elementene i X. (⌊x⌋ er x rundet ned til
nærmeste heltall.)
Oppgave 43. Vis at for enhver a > 0 finnes en følge x j og en konstant c slik at |x j | < c
og |x i − x j | · |i − j| a ≥ 1 for i ≠ j.
Oppgave 44. Vis at enhver endelig mengde med (forskjellige) naturlige tall kan ordnes
i rekkefølge x 1 , . . . , x n slik at det ikke finnes i < j < k med 2x j = x i + x k .
Oppgave 45. I en skog bor 12 dverger; disse bor alle i små hytter som er enten hvite
eller røde. Hver dag besøker en dverg alle sine venner; hver dverg drar på besøk hver
12’te dag. Dersom en dverg oppdager at et flertall av hans venner har en annen farve
på sine hytter enn ham selv, maler han om sin egen hytte til den farven. Vis at etter en
stund vil dvergene slutte å male om hyttene sine.
Oppgave 46. Vi beveger oss i planet etter følgende regler. Dersom vi står på (x, y) kan
vi hoppe til (x, y ±2x) eller (x±2y, y), men vi kan ikke umiddelbart hoppe tilbake til det
punkt vi nettopp kom ifra. Vis at hvis vi starter i (1, √ 2), så vil vi aldri vende tilbake.
Oppgave 47. Når kan N, N +1, . . . , N +k−1 deles inn i to mengder (uten felles element)
slik at de to mengdene har samme sum?
Oppgave 48. Vi har en rekke med hele tall plassert rundt en sirkel slik at summen av
alle tallene er større enn null. Dersom vi har en sekvens (x, y, z) der y < 0 kan vi endre
den til (x + y, −y, y + z). Vis man kun kan utføre et endelig antall slike operasjoner før
alle tallene er større enn eller lik null.
13 Symmetrier
Begrepet symmetri er noe vagt. Det dere sikkert kjenner til er geometrisk symmetri:
en figur kan være symmetrisk om en linje eller et punkt. Vi kan også ha algebraiske
symmetrier: uttrykket x 2 + xy + y 2 er symmetrisk i variablene x og y, vi kan bytte dem
om uten å endre verdien; f.eks. kan vi utnytte denne symmetrien ved å kreve x ≤ y uten
at oppgaven blir mindre generell.
Generelt vil jeg definere symmetri som følger: en symmetri er en transformasjon som
ikke endrer objektet det transformerer. Denne transformasjonen kan være speilingen om
en linje, permutasjoner av variable i et uttrykk, etc.
24