“Cônicas e suas Aplicações” - Departamento de Matemática
“Cônicas e suas Aplicações” - Departamento de Matemática
“Cônicas e suas Aplicações” - Departamento de Matemática
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS<br />
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS<br />
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA<br />
Cônicas e Aplicações<br />
Por<br />
Eric Wan<strong>de</strong>rley <strong>de</strong> Souza
2008<br />
2
Cônicas e Aplicações<br />
Por<br />
Eric Wan<strong>de</strong>rley <strong>de</strong> Souza<br />
Monografia conclusiva do Curso <strong>de</strong> Especialização em<br />
<strong>Matemática</strong> para Professores que confere, ao autor, o grau <strong>de</strong><br />
Especialista em <strong>Matemática</strong>, com ênfase em Geometria, pela<br />
Universida<strong>de</strong> Fe<strong>de</strong>ral <strong>de</strong> Minas Gerais.<br />
Orientador: Professor Paulo Antônio Fonseca Machado, Dr.<br />
Belo Horizonte – Brasil<br />
2008<br />
3
AGRADECIMENTOS<br />
Quero agra<strong>de</strong>cer a todos que <strong>de</strong> forma direta ou indireta contribuíram para a<br />
realização <strong>de</strong>ste trabalho que marcou uma nova etapa <strong>de</strong> minha vida, representando a<br />
capacida<strong>de</strong> inerente do homem em vencer <strong>de</strong>safios.<br />
Em primeiro lugar à minha amada esposa Erika, presente nos maiores e<br />
melhores momentos que eu já vivi, me presenteando com seu amor, apoio<br />
incondicional, companheirismo e cumplicida<strong>de</strong>.<br />
À minha filha Izabel, que com sua vinda tornou a nossa vida mais bela,<br />
alegre e significativa, ela foi realmente um presente <strong>de</strong> Deus.<br />
Aos professores e colegas que tive o prazer <strong>de</strong> conviver durante este<br />
período, em especial ao Professor Paulo Antônio, meu orientador, com seu bom-humor<br />
e sabedoria constantes (ainda existem gran<strong>de</strong>s e especiais pessoas neste mundo!!).<br />
Aos meus pais, meus primeiros orientadores nessa vida, ensinando-me<br />
valores éticos e morais, e por terem me dado carinho, amor e <strong>de</strong>dicação, que hoje<br />
repasso na educação <strong>de</strong> minha filha.<br />
E é claro a Deus, por nos dar a opção <strong>de</strong> diariamente fazermos nossas<br />
escolhas, e assim construirmos nossas vidas em comunhão com nossos semelhantes.<br />
4
SUMÁRIO<br />
Introdução........................................................................................................................<br />
6<br />
Capítulo 1 -A Elipse.......................................................................................................<br />
10<br />
Capítulo 2 – A ParÁbola................................................................................................<br />
19<br />
Capítulo 3 – A Hipérbole<br />
............................................................................................... 29<br />
CONCLUSÃO.................................................................................................................<br />
38<br />
BIBLIOGRAFIA<br />
........................................................................................................... 39<br />
5
INTRODUÇÃO<br />
O curso <strong>de</strong> especialização em Geometria serviu-me como fonte <strong>de</strong> inspiração e<br />
conhecimento para que pu<strong>de</strong>sse escolher o assunto cônicas como tema <strong>de</strong> minha<br />
monografia.<br />
Este tema chamou-me a atenção pelo fato <strong>de</strong> estar tão ligado e presente em nossa<br />
realida<strong>de</strong> cotidiana, que, para encontrá-lo, basta termos os olhos atentos.<br />
As curvas planas conhecidas como Cônicas são três curvas obtidas à partir <strong>de</strong><br />
intersecções <strong>de</strong> um plano com um cone reto.<br />
Uma das origens do estudo <strong>de</strong> cônicas está no livro <strong>de</strong> Apolônio <strong>de</strong> Perga<br />
(c.261a.C.), intitulado Cônicas, no qual se estudam as figuras que po<strong>de</strong>m ser obtidas ao<br />
se cortar um cone com ângulo do vértice reto por diversos planos. Anteriormente a este<br />
trabalho existiam estudos elementares sobre <strong>de</strong>terminadas interseções <strong>de</strong> planos<br />
perpendiculares às geratrizes <strong>de</strong> um cone, obtendo-se elipses, parábolas e hipérboles,<br />
conforme o ângulo do corte fosse agudo, reto ou obtuso, respectivamente (fig.1).<br />
Fonte: www.soko.com.ar (2006)<br />
Figura 1: seções cônicas por um plano.<br />
Se bem que nessa época, não se dispunha da geometria analítica; Apolônio faz<br />
um tratamento das mesmas que se aproxima muito daquela. Os resultados obtidos por<br />
ele foram os únicos que existiram até que Fermat (1601-1665) e Descartes (1596-1650),<br />
em uma das primeiras aplicações da geometria analítica, retomaram o problema<br />
estudando-o quase completamente, mesmo não manejando coor<strong>de</strong>nadas negativas, com<br />
as restrições que isto impõe.<br />
6
Quanto ao aparecimento das cônicas em nosso dia-a-dia, este é vasto. Falaremos<br />
sobre isto começando pela elipse.<br />
A primeira Lei <strong>de</strong> Kepler (1571-1630) sobre movimento dos planetas no nosso<br />
Sistema Solar diz que os mesmos seguem trajetórias elípticas, no qual o Sol encontra-se<br />
posicionado em um <strong>de</strong> seus focos. Também para que Isaac Newton (1643-1727)<br />
pu<strong>de</strong>sse <strong>de</strong>senvolver sua famosa Lei <strong>de</strong> Gravitação Universal seu conhecimento sobre<br />
cônicas com certeza era bem vasto.<br />
A elipse também está presente na área <strong>de</strong> saú<strong>de</strong> humana, on<strong>de</strong> os espelhos<br />
refletores usados pelos <strong>de</strong>ntistas tem formato elíptico assim como os aparelhos<br />
utilizados em tratamentos radioterápicos, principalmente contra o câncer.<br />
Fonte: www.google.com.br (2007)<br />
Figura 2: Consultório odontológico:Espelho Elíptico<br />
Finalmente, também encontraremos a elipse em certos museus <strong>de</strong> ciência e nos<br />
castelos <strong>de</strong> alguns monarcas europeus excêntricos, na forma <strong>de</strong> “salas <strong>de</strong> sussurros”.<br />
Em segundo lugar falaremos da parábola.<br />
Para alunos do Ensino Fundamental a mesma é bastante explorada no tema<br />
funções, pois esta representa o gráfico <strong>de</strong> uma função polinomial <strong>de</strong> segundo grau.<br />
Quando vamos à algum bebedouro público, a água que jorra <strong>de</strong>ste <strong>de</strong>screve uma curva<br />
parabólica, assim como qualquer objeto lançado <strong>de</strong> forma oblíqua em uma região com<br />
algum campo gravitacional, como por exemplo a nossa superfície terrestre.<br />
Tem-se também aplicações ligada a engenharia <strong>de</strong> telecomunicações com as<br />
antenas parabólicas; automobilística no formato dos faróis dos carros; e arquitetônica<br />
7
amplamente utilizada por alguns arquitetos e engenheiros, como o centenário Oscar<br />
Niemeyer, no projeto da “Igrejinha” da Pampulha (fig.2)<br />
.<br />
Fonte: www.google.com.br (2007)<br />
Figura 3: Igreja <strong>de</strong> São Francisco (Belo Horizonte- Minas Gerais-Brasil)<br />
Por último falaremos da hipérbole.<br />
Para alunos do Ensino Médio, no assunto funções, ligado ao comportamento dos<br />
gases, a Lei que rege a variação do seu volume quando varia sua pressão,<br />
isotermicamente, <strong>de</strong>screve no seu gráfico um dos ramos da hipérbole.<br />
Além disso, a hipérbole tem importante aplicação na tecnologia dos telescópios.<br />
O primeiro cientista a construir um foi Galileu Galileu (1564-1642) (telescópio refrator)<br />
, mo<strong>de</strong>lo aperfeiçoado por Isaac Newton e finalmente com a tecnologia do espelho<br />
hiperbólico, em 1672, pelo astrônomo francês Cassegrain (1629-1693) chegou a sua<br />
forma atual (telescópio refletor). Destacamos o famoso telescópio óptico do<br />
obsertvatório <strong>de</strong> Monte Palomar, nos Estados Unidos, que utiliza várias montagens do<br />
tipo Cassegrain (fig.3).<br />
8
Fonte: www.google.com.br (2007)<br />
Figura 4: Observatório Monte Palomar (EUA)<br />
Nas páginas seguintes daremos a <strong>de</strong>finição geométrica e analítica das cônicas,<br />
proporemos ativida<strong>de</strong>s práticas, que servirão como sugestão para o professor utilizar em<br />
sala <strong>de</strong> aula, e finalmente explicaremos sucintamente os mecanismos que explicam o<br />
funcionamento dos exemplos citados nesta introdução.<br />
9
CAPÍTULO 1 -A ELIPSE<br />
Definição: Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das<br />
distâncias a dois pontos fixos, chamados focos da elipse, é constante; e essa constante é<br />
maior que a distância entre os focos.<br />
Fonte: www.soko.com.ar (2006)<br />
Figura 5: Seção Cônica elíptica.<br />
Observe a figura abaixo, on<strong>de</strong> d(F1,T) + d(F2,T)=k on<strong>de</strong> F1 e F2 são<br />
chamados focos da elipse, d(A,B) é a distância do ponto A ao ponto B, k é uma constante<br />
e E a elipse.<br />
Figura 6: A Elipse.<br />
Vamos agora apresentar uma construção com régua e compasso que <strong>de</strong>termina<br />
qualquer ponto <strong>de</strong> uma elipse dados os focos e a constante k.<br />
Sejam F1 e F2, pontos distintos do plano, focos da elipse E. Tracemos uma<br />
circunferência C1 <strong>de</strong> centro F1, e raio k (k>d(F1,F2) .Tomemos um ponto P, qualquer,<br />
sobre C1.<br />
P e F1.<br />
Unimos P a F2 por um segmento <strong>de</strong> reta. Tracemos então a reta r passando por<br />
Finalmente tracemos a mediatriz m, <strong>de</strong> PF 2 ;<br />
10
Notemos que r ∩ m = T é ponto <strong>de</strong> E, pois:<br />
e,<br />
portanto,<br />
F 1 T + TP = k (constante = raio <strong>de</strong> C1)<br />
TP = TF 2 ⇒ F1T<br />
+ F2T<br />
= k (por construção)<br />
T ∈ E .<br />
Figura 7: Ilustração da proprieda<strong>de</strong> da elipse.<br />
Essa construção po<strong>de</strong> perfeitamente ser feita com o auxílio <strong>de</strong> um programa <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>senho geométrico como o Z.u.L.. A vantagem <strong>de</strong>ste programa é o recurso <strong>de</strong> trilhar a<br />
trajetória <strong>de</strong> um ponto quando outro ponto escolhido se movimenta. O <strong>de</strong>senho acima,<br />
então, adquiriu o seguinte aspecto:<br />
11
Figura 8: Esboço da trajetória do ponto genérico T formando a elipse.<br />
Temos o ponto T trilhando sua trajetória, e o ponto P <strong>de</strong>slocando-se ao longo <strong>de</strong><br />
C1. Eis que surge E.<br />
Agora faremos a <strong>de</strong>monstração analítica da equação que <strong>de</strong>fine a elipse; para<br />
simplificar vamos supor a elipse centrada na origem e disposta simetricamente em<br />
relação a cada um dos eixos coor<strong>de</strong>nados, <strong>de</strong> forma que o eixo Ox seja coinci<strong>de</strong>nte com<br />
OF (fig.8).<br />
Fonte: www.soko.com.ar (2006)<br />
Figura 9: Parametrização da Elipse.<br />
Sejam a e c números reais positivos tais que a>c, e coloquemos os focos sobre<br />
o eixo das abscissas, situados nos pontos F(c,0) e F’(-c,0). Tomemos um ponto<br />
qualquer P da elipse, cujas coor<strong>de</strong>nadas são (x,y) (fig.9). Seja a soma das distâncias<br />
d(P,F)+d(P,F’) igual a 2ª, ou seja, d(P,F)+d(P,F’)=2a. A quantida<strong>de</strong> a é chamado<br />
raio maior da elipse.<br />
12
Fonte: www.soko.com.ar (2006)<br />
Figura 10: Escolha <strong>de</strong> um ponto genérico P da elipse.<br />
Aplicando a equação das distâncias entre pontos <strong>de</strong> ℜ 2 teremos que:<br />
( x + c)²<br />
+ ( y − 0)²<br />
+ ( x − c)²<br />
+ ( y − 0)²<br />
= 2a<br />
Para eliminar os radicais, elevamos ambos os membros <strong>de</strong>ssa equação ao<br />
quadrado, don<strong>de</strong> resulta:<br />
− = 4a²<br />
( x + c)²<br />
+ y²<br />
+ ( x − c)²<br />
+ y²<br />
+ 2 ( x + c)²<br />
+ y²<br />
( x c)²<br />
+ y²<br />
Ou ainda, após simplificações:<br />
( x² + c²<br />
+ y²<br />
+ 2cx)(<br />
x²<br />
+ c²<br />
+ y²<br />
− 2cx)<br />
= 2a² − x²<br />
− c²<br />
− y²<br />
Eliminamos em seguida o radical com uma nova elevação ao quadrado:<br />
( x ² + c²<br />
+ y²)²<br />
− 4c²<br />
x²<br />
= [ 2a²<br />
− ( x²<br />
+ c²<br />
+ y²)]²<br />
,<br />
Ou seja,<br />
4<br />
− 4c<br />
² x²<br />
= 4a<br />
− 4a²(<br />
x²<br />
+ y²<br />
+ c²),<br />
Que é equivalente à,<br />
( a² − c²)<br />
x²<br />
+ a²<br />
y²<br />
= a²(<br />
a²<br />
− c²)<br />
(1)<br />
Observemos que,<br />
a > c ; logo, pondo b a²<br />
− c²<br />
membros <strong>de</strong> (1) por a ²b²<br />
, obtemos finalmente a expressão:<br />
13<br />
= e dividindo ambos os
translação:<br />
x²<br />
y²<br />
+ = 1<br />
a²<br />
b²<br />
Se a elipse estivesse centrada no ponto<br />
( x − p)²<br />
( y − q)²<br />
+<br />
= 1<br />
a²<br />
b²<br />
Se <strong>de</strong>senvolvermos os quadrados teremos:<br />
b²<br />
x²<br />
+ a²<br />
y²<br />
− 2xpb²<br />
− 2yqa²<br />
+ p²<br />
b²<br />
+ q²<br />
a²<br />
− a²<br />
b²<br />
=<br />
A = b²<br />
B = a²<br />
C = − 2 pb²<br />
Se fizermos:<br />
D = − 2qa²<br />
E = p²<br />
b²<br />
+ q²<br />
a²<br />
− a²<br />
b²<br />
Teremos a equação:<br />
( p , q)<br />
a equação passaria a ser, por<br />
0<br />
Ax ² + By²<br />
+ Cx + Dy + E = 0 , on<strong>de</strong> po<strong>de</strong>mos comprovar<br />
que é semelhante à da circunferência exceto pelos termos A e B não necessariamente<br />
iguais.<br />
Exemplo:<br />
Seja a equação<br />
Então teremos que:<br />
4 x²<br />
+ 9y²<br />
+ 24x<br />
− 54y<br />
+ 81 =<br />
A = 4 ⇒ 4 = b²<br />
⇒ b = ± 2;<br />
B = 9 ⇒ 9 = a²<br />
⇒ a = ± 3<br />
Os dois raios da elipse são: sobre o eixo Ox, a = 3; sobre o eixo Oy , b = 2.<br />
Encontremos o centro (p, q).<br />
14<br />
0
C = 24 ⇒ 24 = − 2 pb²<br />
⇒ p = − 3<br />
D = − 54 ⇒ − 54 = 2qa²<br />
⇒ q =<br />
3<br />
O centro é, então, (p,q) = (-3,3). Para verificarmos que se trata <strong>de</strong> uma elipse<br />
calculemos E que <strong>de</strong>verá ter o valor <strong>de</strong> 81.<br />
A equação da elipse fica afinal:<br />
( x + 3)²<br />
( y − 3)²<br />
+<br />
= 1<br />
9 4<br />
E = p²<br />
b²<br />
+ q²<br />
a²<br />
− a²<br />
b²<br />
= 81<br />
A <strong>de</strong>finição da elipse po<strong>de</strong> ser utilizada para traçá-la <strong>de</strong> maneira concreta como<br />
<strong>de</strong>screvemos a seguir:<br />
Material: 01(uma) folha <strong>de</strong> papel A4, 02 (duas) tarraxas, um pedaço <strong>de</strong> barbante,<br />
um plano <strong>de</strong> isopor, ma<strong>de</strong>ira macia ou papelão e lápis colorido.<br />
Colocamos a folha <strong>de</strong> papel A4 sobre o isopor, aproximadamente no centro da<br />
folha fixamos as duas tarraxas a uma distância <strong>de</strong> aproximadamente 13 cm, amarramos<br />
as duas pontas do barbante com 18 cm, uma em cada tarraxa, e mantendo o barbante<br />
esticado com o lápis colorido traçamos a elipse. Estas medidas propostas são<br />
interessantes para que o <strong>de</strong>senho não fuja do tamanho do papel e para que a elipse tenha<br />
um formato bem oval, nem muito redondo nem muito achatado.<br />
Bem, <strong>de</strong>ssa forma traçamos uma elipse. Aproveitaremos este <strong>de</strong>senho para<br />
realizarmos uma ativida<strong>de</strong> bastante interessante que é a construção <strong>de</strong> um brinquedo, a<br />
“mesa mágica <strong>de</strong> bilhar”. Com a forma da elipse <strong>de</strong>senhada no papel, procuramos um<br />
marceneiro para a construção da mesa mágica. Pegamos um compensado ou<br />
aglomerado <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ira, tipo MDF, cobrimos com um pano <strong>de</strong> algodão ver<strong>de</strong>, como os<br />
das mesas <strong>de</strong> bilhar, e também com o MDF fazemos, em volta <strong>de</strong>sta, uma pare<strong>de</strong> na<br />
forma da elipse. Depois com ajuda <strong>de</strong> uma fura<strong>de</strong>ira, na posição <strong>de</strong> uma das tarraxas<br />
faremos uma caçapa, e na outra apenas marcamos o local com tinta. Está pronta a mesa<br />
mágica. Para testá-la colocamos uma bola <strong>de</strong> gu<strong>de</strong> no foco marcado a tinta e com um<br />
taco lançamos a bola em qualquer direção contra a pare<strong>de</strong>, e a mesma seguirá em<br />
direção ao outro foco, on<strong>de</strong> está a caçapa, e é lá que sempre a bola irá cair.<br />
15
O comportamento da bola observado nesta construção serve <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>lo para<br />
chegarmos à explicação <strong>de</strong> por que a elipse é usada na construção das salas <strong>de</strong><br />
sussurros, nos espelhos <strong>de</strong> <strong>de</strong>ntistas, aparelhos <strong>de</strong> radioterapia e outros. Para tanto<br />
iremos nos valer das “proprieda<strong>de</strong>s refletora e bissetora das elipses”.<br />
Graças a estas proprieda<strong>de</strong>s, no espelho dos <strong>de</strong>ntistas, a forma elíptica faz com<br />
que os raios <strong>de</strong> luz se concentrem no <strong>de</strong>nte a ser tratado, facilitando a visualização pelo<br />
odontólogo e evitando o <strong>de</strong>sconforto <strong>de</strong> ser ofuscado, pelo feixe <strong>de</strong> luz, o paciente.<br />
Por sua vez, nos tratamentos radioterápicos, células doentes são eliminadas<br />
enquanto células sadias ao seu redor não são afetadas.<br />
Já nas “salas <strong>de</strong> sussurros”, duas pessoas posicionadas nos focos da sala <strong>de</strong><br />
formato elíptico comunicam-se por voz sussurrada, visto que o formato oval da sala, faz<br />
com que todas as ondas sonoras que saem <strong>de</strong> um dos focos, em todas as direções,<br />
percorram a mesma distância e cheguem ao mesmo tempo no outro foco, ampliando<br />
sobremaneira o som inaudível no restante da sala.<br />
A proprieda<strong>de</strong> refletora nada mais é que a explicação <strong>de</strong> uma característica das<br />
elipses, que diz que a soma das distâncias a cada um dos focos a qualquer ponto<br />
localizado na superfície da elipse é constante. Isto faz com que todas as ondas, sonoras<br />
ou luminosas, percorram a mesma distância e por tanto gastem o mesmo intervalo <strong>de</strong><br />
tempo para saírem <strong>de</strong> um foco e chegarem ao mesmo tempo ao outro,<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente da direção tomada, além da segunda proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong>scrita seguir.<br />
Agora iremos analisar a segunda proprieda<strong>de</strong>, a bissetora das elipses. Para tanto<br />
iremos nos lembrar e utilizar duas leis da física sobre a reflexão; a primeira nos diz que<br />
o ângulo <strong>de</strong> incidência e reflexão são iguais em um plano, e a segunda nos diz que a<br />
reflexão em cada ponto <strong>de</strong> uma superfície se comporta como se fosse no plano tangente<br />
à superfície, no respectivo ponto.<br />
Teorema1.1<br />
(Proprieda<strong>de</strong> bissetora da elipse): Seja uma elipse E <strong>de</strong> focos F1 e<br />
F2 e seja T um ponto <strong>de</strong> E. Então a reta r tangente a E em T, forma ângulos iguais a1 e<br />
a2 com os raios focais F1T e F2T.<br />
16
Figura 11: Reta tangente à elipse.<br />
Demonstração: Lembramos que tal como uma circunferência, teremos uma reta<br />
tangente à elipse se esta a toca em apenas um, e somente um ponto, o ponto <strong>de</strong><br />
tangência.<br />
Denotando a distância entre dois pontos R e S por d (R,S) e <strong>de</strong>fimos a elipse E<br />
como o lugar geométrico dos pontos X que satisfazem a proprieda<strong>de</strong> métrica:<br />
d (X, F1) + d (X, F2) = k (constante)<br />
Concluímos que um ponto A não pertence à elipse se, e somente se:<br />
d(A,F1) + d (A,F2) ≠ k<br />
Portanto, uma reta r será tangente à elipse E em um ponto T se, e somente se,<br />
tocar E unicamente em T ( pela tangência), e para um outro ponto qualquer <strong>de</strong> r, A,<br />
tenha-se T ≠ A, ou seja:<br />
d(A,F1) + d(A,F2) ≠ d(T,F1) + d(T,F2)<br />
Seja, agora, um ponto T na elipse E e tomemos uma reta s (bissetriz <strong>de</strong> um dos<br />
ângulos formados pelas retas F1T e F2T) <strong>de</strong> modo que o ângulo entre F1T e s seja igual<br />
17
ao ângulo entre F2T e s. Se mostrarmos que s é tangente a E em T, teremos mostrado a<br />
proprieda<strong>de</strong> bissetora, <strong>de</strong>vido à unicida<strong>de</strong> da tangente à elipse por um <strong>de</strong> seus pontos.<br />
Seja T um ponto <strong>de</strong> E. Então d(T,F1) + d(T,F2)=k, on<strong>de</strong> k é uma constante.<br />
Tomemos sobre s um ponto A ≠ T e consi<strong>de</strong>remos o ponto F1’, simétrico <strong>de</strong> F1 em<br />
relação a s.<br />
Figura 12: Prova da unicida<strong>de</strong> <strong>de</strong> T.<br />
A reta s é então mediatriz <strong>de</strong> F1F1’. Logo, d(T,F1)=d(T,F1’) e também<br />
d(A,F1)=d(A,F1’). Por construção, a reta s faz ângulos iguais com TF1 e TF2(a2 e a1<br />
respectivamente) e, pela simetria, os ângulos a2 e a3 são também iguais. Daí, os<br />
segmentos F2T e TF1’ fazem ângulos iguais com s e, portanto, os pontos F1’, T e F2<br />
são colineares. Segue-se então, pela <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong> triangular, que:<br />
k = d(T,F1) + d(T,F2) = d(T, F1’) + d(T,F2) = d(F1’,F2) < d(A,F1’) + d(A,F2)<br />
= d(A,F1) + d(A,F2)<br />
Como d(A,F1) + d(A,F2) > k , concluímos que T é o único ponto <strong>de</strong> s que<br />
pertence à elipse, o que mostra que a reta s é tangente a E em T, c.q.d..<br />
A constante k também po<strong>de</strong> ser i<strong>de</strong>ntificada como 2a que é o comprimento do<br />
eixo maior da elipse, imaginando uma reta ligando os dois focos, a intersecção <strong>de</strong>sta<br />
reta com a elipse <strong>de</strong>termina dois pontos, chamemos <strong>de</strong> A e B, logo d(A,B)=2a.<br />
18
CAPÍTULO 2 – A PARÁBOLA<br />
19
Na língua portuguesa, a parábola é uma figura <strong>de</strong> linguagem <strong>de</strong> uma narração<br />
alegórica que encerra uma doutrina moral; é interessante ver que para todas as cônicas<br />
(elipse, parábola e hipérbole) existe um ente lingüístico associado a elas. A elipse, por<br />
exemplo, representa a omissão <strong>de</strong> uma ou mais palavras que se subenten<strong>de</strong>m, ao passo<br />
que a hipérbole é a figura <strong>de</strong> linguagem que engran<strong>de</strong>ce ou diminui exageradamente a<br />
verda<strong>de</strong> das coisas.<br />
Definição: a parábola é o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam <strong>de</strong> um<br />
ponto fixo chamado <strong>de</strong> foco, e <strong>de</strong> uma reta também fixa chamada diretriz (ponto não<br />
pertencente à reta).<br />
Fonte: www.soko.com.ar (2006)<br />
Figura 13: Seção Cônica parabólica.<br />
Seja F o foco e d a diretriz, na figura abaixo, se PD=PF, então P é um ponto da<br />
parábola <strong>de</strong> foco F e diretriz d.<br />
20
Figura 14: Característica da Parábola.<br />
Para obter diversos pontos <strong>de</strong> uma parábola, com régua e compasso, dados o<br />
foco F e a diretriz d, seguimos os seguintes passos:<br />
Trace por F uma reta r perpendicular a d, e seja D = r ∩ d ;<br />
O segmento DF chama-se parâmetro da parábola, e o ponto V, médio <strong>de</strong> DF, é<br />
chamado <strong>de</strong> vértice da parábola;<br />
Para cada ponto A da semi-reta VF, trace a reta s, perpendicular a r;<br />
A circunferência <strong>de</strong> centro F e raio AD corta s nos pontos P e P’, que pertencem<br />
à parábola, pois:<br />
PF=P’F=AD (por construção)<br />
Figura 15: Construção da Parábola.<br />
Novamente com auxílio do Z.u.L. po<strong>de</strong>mos trilhar o ponto P ao movimentar A<br />
sobre r, observe o traçado da parábola:<br />
21
Figura 16: Esboço da Parábola.<br />
A construção da parábola também po<strong>de</strong> ser feita <strong>de</strong> maneira concreta com<br />
materiais simples e um pouco <strong>de</strong> habilida<strong>de</strong> para <strong>de</strong>senhar.<br />
Material:<br />
Prancheta <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ira ou emborrachado <strong>de</strong>, aproximadamente, 40 cm <strong>de</strong><br />
comprimento, por 30 cm <strong>de</strong> largura e 2cm <strong>de</strong> espessura com um suporte na extremida<strong>de</strong><br />
inferior <strong>de</strong> aproximadamente, 2 cm <strong>de</strong> largura, colado na parte inferior da prancheta;<br />
esquadro, barbante fino ou linha grossa, lápis, papel, tesoura, percevejo e fita crepe.<br />
ângulo reto;<br />
I<strong>de</strong>ntifique os vértices do esquadro com os vértices do triângulo ABC, sendo B o<br />
Corte um pedaço <strong>de</strong> barbante com tamanho um pouco maior que o cateto BC;<br />
Dê um nó em uma das pontas do barbante;<br />
No vértice C, fixe com fita crepe a extremida<strong>de</strong> sem o nó, <strong>de</strong> maneira que o<br />
comprimento do barbante entre o nó e o vértice C seja exatamente igual a BC.<br />
22
Figura 17: Esquadro e linha.<br />
Coloque uma folha <strong>de</strong> papel sobre a prancheta. Um dos lados da folha <strong>de</strong>ve ficar<br />
rente ao suporte <strong>de</strong>ssa prancheta;<br />
Fixe com um percevejo, o nó da extremida<strong>de</strong> livre do fio em um ponto F<br />
qualquer do papel, fora da reta suporte d. Sugestão: escolha o ponto F próximo ao<br />
centro da folha.<br />
Coloque o cateto AB apoiado no suporte da prancheta;<br />
Com a ponta <strong>de</strong> um lápis encostada no lado BC do esquadro, estique o barbante<br />
(figura abaixo);<br />
Figura 18: Mecanismo para <strong>de</strong>senho da Parábola.<br />
23
Deslize ao mesmo tempo sobre o papel a ponta do lápis (sempre encostada no<br />
esquadro, <strong>de</strong> maneira que o fio se mantenha sempre esticado), e o esquadro (ao longo da<br />
reta suporte).<br />
Desse modo, à medida que o esquadro <strong>de</strong>sliza ao longo da reta suporte, o lápis<br />
irá <strong>de</strong>senhar uma curva no papel, uma parábola.<br />
Uma forma simples <strong>de</strong> enten<strong>de</strong>r porque esta construção funciona é perceber que,<br />
consi<strong>de</strong>rando a ponta do lápis como o ponto P, a distância PB será sempre igual a PF,<br />
visto que:<br />
Mas,<br />
Então,<br />
PC + PF = BC (comprimento do barbante),<br />
PC + BP = BC (cateto <strong>de</strong> ABC),<br />
PF =<br />
Portanto, P pertence à parábola.<br />
Equação da Parábola:<br />
BC<br />
Em um sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas, escolhemos a<strong>de</strong>quadamente o foco<br />
a diretriz como<br />
y = − p (p número real positivo):<br />
24<br />
F = ( 0,<br />
p)<br />
e
Figura 19: Parametrização da Parábola.<br />
Se<br />
P = ( x,<br />
y)<br />
é tal que PF = PD , temos:<br />
x ² + ( y − p)²<br />
= y + p .<br />
Elevando ao quadrado e cancelando os termos iguais dos dois lados, obtemos:<br />
1<br />
x² = 4 py ou y = x²<br />
,<br />
4 p<br />
O que mostra que a equação <strong>de</strong> uma parábola é da forma<br />
do segundo grau). Reciprocamente, dada uma função da forma<br />
y = ax²<br />
(uma função<br />
y = ax²<br />
, é fácil provar<br />
⎛ 1 ⎞<br />
que qualquer um <strong>de</strong> seus pontos possui distância ao ponto ⎜ 0 , ⎟ igual à distância a<br />
⎝ 4a<br />
⎠<br />
reta<br />
1<br />
y = − , o que mostra que o gráfico <strong>de</strong> y = ax²<br />
é uma parábola. (As passagens<br />
4a<br />
são todas equivalentes, também na elipse e na hipérbole).<br />
Agora iremos <strong>de</strong>monstrar por que a parábola é a melhor forma para construirmos<br />
antenas parabólicas e espelhos dos faróis <strong>de</strong> automóveis, por exemplo.<br />
25
A princípio, a forma parabólica é i<strong>de</strong>al, pois no caso das antenas parabólicas as<br />
ondas <strong>de</strong> rádio que se originam do espaço são muito fracas, <strong>de</strong>vido à sua distância e,<br />
portanto, a parábola capta estas ondas em uma superfície relativamente gran<strong>de</strong> e<br />
concentra em um único ponto (o foco). Desta forma os sinais (raios paralelos vindos do<br />
espaço) são amplificados.<br />
Nos faróis dos carros e motos, o foco da parábola muda <strong>de</strong> funcionamento, com<br />
relação às antenas parabólicas (receptora), passando a ser origem dos raios luminosos.<br />
Os raios <strong>de</strong> luz então saem <strong>de</strong> forma paralela uns dos outros iluminando a região logo a<br />
frente dos automóveis.<br />
Para enten<strong>de</strong>rmos por que isto ocorre falaremos <strong>de</strong> duas proprieda<strong>de</strong>s:<br />
Primeira Proprieda<strong>de</strong><br />
Observando o <strong>de</strong>senho a seguir (fig.20) po<strong>de</strong>mos perceber que a parábola<br />
<strong>de</strong>limita dois espaços. Em um <strong>de</strong>les <strong>de</strong>finimos pontos tais que a distância ao foco(F) é<br />
menor que a distância à diretriz(d), chamada região interior da parábola, ao passo que a<br />
outra região tem <strong>de</strong>finição oposta, ou seja, que a distância ao foco é maior que a<br />
distância à diretriz, chamada região exterior.<br />
Figura 20: Região interna e externa à Parábola.<br />
Nesta figura temos uma parábola <strong>de</strong> foco F e diretriz d e uma reta r paralela a d<br />
cortando a curva em P e P1. Se o ponto P’ da reta r é interior ao segmento PP1, então<br />
P’F
ponto da reta r exterior ao segmento PP1, então P’’F>PF=PD=P’’D’’ e P’’ é exterior<br />
à parábola.<br />
Segunda Proprieda<strong>de</strong><br />
Para um observador na terra os raios <strong>de</strong> luz e as ondas <strong>de</strong> rádio propagam-se no<br />
espaço em linha reta. Quando estes são refletidos em um ponto <strong>de</strong> uma superfície, esta<br />
se comporta como um espelho plano tangente à superfície naquele ponto e obe<strong>de</strong>ce à<br />
famosa Lei da Física: “o ângulo <strong>de</strong> incidência é igual ao ângulo <strong>de</strong> reflexão”.<br />
Teorema2.1<br />
(Ângulo <strong>de</strong> incidência e reflexão): Tomemos agora um ponto P<br />
qualquer da parábola <strong>de</strong> foco F e diretriz d, e a reta t, bissetriz do ângulo FPD. Vamos<br />
mostrar geometricamente que t é tangente à parábola.<br />
Figura 21: Reta tangente à parábola.<br />
No triângulo PFD, como PF=PD, a reta t, bissetriz do ângulo FPD, é também<br />
mediana e altura. Ou seja, a reta t é mediatriz do segmento FD. Seja agora Q, um ponto<br />
qualquer da reta t, distinto <strong>de</strong> P. Se D’ é a projeção <strong>de</strong> Q sobre d, temos:<br />
QF=QD>QD’<br />
27
Portanto Q é exterior à parábola. Ora, o ponto P da reta t pertence à parábola e<br />
todos os outros pontos <strong>de</strong> t não pertencem a ela. Logo, t é tangente à parábola em P.<br />
Figura 22: Proprieda<strong>de</strong> da parábola.<br />
Observe no <strong>de</strong>senho acima, a semi-reta PY, prolongamento do segmento DP,<br />
representa a direção dos raios inci<strong>de</strong>ntes. Como a tangente à parábola em P é bissetriz<br />
do ângulo FPD temos que PY e PF fazem ângulos iguais com esta tangente (a2=a3).<br />
Portanto, todo sinal recebido na direção do eixo da parábola toma direção do foco após<br />
reflexão (antenas), e todo sinal originado do foco ao refletir na superfície da parábola<br />
toma o sentido paralelo ao eixo <strong>de</strong>sta (faróis).<br />
28
CAPÍTULO 3 – A HIPÉRBOLE<br />
Definição: Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo módulo da<br />
diferença das distâncias entre dois pontos fixos, chamados focos da hipérbole, é<br />
constante. Esta constante é menor que a distância entre os focos.<br />
Fonte: www.google.com.br (2006)<br />
Figura 23: Corte hiperbólico do cone.<br />
Esboço da construção da hipérbole: Iremos notar uma gran<strong>de</strong> semelhança na<br />
construção da hipérbole com a da elipse visto que no caso <strong>de</strong>sta a soma das distâncias<br />
aos focos era constante e daquela passa a ser a diferença das distâncias. Observe o<br />
<strong>de</strong>senho abaixo:<br />
29
Figura 24: Definição da hipérbole..<br />
Nele temos que, se T é ponto da hipérbole, então<br />
d ( F1,<br />
T ) − d(<br />
F 2,<br />
T ) = k .<br />
Passemos agora para construção da hipérbole com régua e compasso:<br />
Temos os mesmos elementos da construção da elipse: os focos F1 e F2,<br />
quaisquer do plano, o círculo C1 <strong>de</strong> centro F1, o ponto P, escolhido aleatoriamente<br />
sobre C1, a reta r unindo F1 a P, a reta m, mediatriz do segmento PF2 e o ponto T,<br />
r ∩ m . Seja H a hipérbole procurada.<br />
Notemos que na construção da elipse o segundo foco localizava-se interiormente<br />
a C1, ao passo que agora está posicionado fora <strong>de</strong> C1. Isto faz toda a diferença, gerando<br />
as seguintes equações:<br />
F 1 T − TP = k (constante = raio <strong>de</strong> C1)<br />
e,<br />
portanto,<br />
TP = TF 2 ⇒ F1T<br />
− F2T<br />
= k (por construção)<br />
T ∈ H . (veja figura 25).<br />
30
Figura 25: Proprieda<strong>de</strong> da hipérbole..<br />
Gerando o movimento <strong>de</strong>ste <strong>de</strong>senho no Z.u.L. ele adquire o seguinte aspecto:<br />
Figura 26: Esboço da hipérbole.<br />
Observe a formação dos dois ramos da hipérbole H.<br />
Equação da hipérbole: novamente coloquemos os focos sobre o eixo Ox, F =<br />
(c,0) e F' = (– c,0), e tomemos um ponto qualquer P = (x, y) da hipérbole.<br />
31
Fonte: www.soko.com.ar (2006)<br />
Figura 27: Parametrização da hipérbole.<br />
Neste caso, a diferença das distâncias entre PF e PF' é igual ao dobro da<br />
distância que há entre o centro das coor<strong>de</strong>nadas e a intersecção da hipérbole com o eixo<br />
x. Então teremos que:<br />
PF − PF'<br />
= 2a, ou seja:<br />
Elevando ao quadrado ambos os membros e proce<strong>de</strong>ndo a simplificações<br />
cabíveis po<strong>de</strong>mos chegar à expressão:<br />
( c ² − a²).<br />
x²<br />
− a²<br />
y²<br />
− ( c²<br />
− a²).<br />
a²<br />
= 0 (os<br />
cálculos <strong>de</strong>ixo-os por conta do leitor, que po<strong>de</strong> se guiar pelo feito anteriormente na<br />
elipse). Novamente à partir do <strong>de</strong>senho e calculando a distância entre os pontos<br />
po<strong>de</strong>mos obter que c 2 = a 2 + b 2 e portanto a equação nos dá: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 .<br />
Dividindo cada termo por a 2 b 2 obtemos:<br />
ser:<br />
Se a hipérbole estivesse centrada em um ponto qualquer (p, q) a equação <strong>de</strong>veria<br />
Se <strong>de</strong>senvolvermos os quadrados obterá que:<br />
32
2 x 2 – a 2 y 2 – 2xpb 2 + 2yqa 2 + p 2 b 2 – q 2 a 2 – a 2 b 2 = 0<br />
Se fizermos:<br />
A = b 2<br />
B = – a 2<br />
C = – 2pb 2<br />
D = 2qa 2<br />
E = p 2 b 2 – q 2 a 2 – a 2 b 2<br />
Teremos a equação: Ax 2 – By 2 + Cx + Dy + E = 0, on<strong>de</strong> po<strong>de</strong>mos comprovar<br />
que é igual a da circunferência, ou <strong>de</strong> uma elipse, exceto que os termos A e B serem<br />
iguais.<br />
A <strong>de</strong>finição da hipérbole po<strong>de</strong> ser utilizada para construí-la <strong>de</strong> forma concreta, o<br />
que <strong>de</strong>screvemos a seguir:<br />
Material: Prancheta <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ira ou emborrachado <strong>de</strong>, aproximadamente, 40 cm<br />
<strong>de</strong> comprimento por 30 cm <strong>de</strong> largura e 2 cm <strong>de</strong> espessura, palito <strong>de</strong> picolé ou vareta <strong>de</strong><br />
bambu <strong>de</strong>, no máximo, 15 cm, dois percevejos, barbante fino ou linha grossa, papel e<br />
lápis.<br />
Fazemos um pequeno furo em cada uma das extremida<strong>de</strong>s do palito ou da vareta.<br />
Cortamos o barbante com comprimento menor que o do palito. Damos um nó em uma<br />
das extremida<strong>de</strong>s do barbante. Amarramos a extremida<strong>de</strong> sem o nó do barbante em uma<br />
das extremida<strong>de</strong>s do palito. Pren<strong>de</strong>mos a outra extremida<strong>de</strong> do palito, com um dos<br />
percevejos (no furo), em um ponto F do papel. Fixamos a outra extremida<strong>de</strong> livre do<br />
barbante em outro ponto F’(diferente do ponto F) do papel. Esticamos o barbante com o<br />
lápis que <strong>de</strong>verá ser mantido rente ao palito. Girar o palito mantendo o barbante sempre<br />
esticado. Invertendo a posição <strong>de</strong>ste aparato <strong>de</strong> F e F’, temos a outra “perna” da curva,<br />
os dois arcos da hipérbole.<br />
Agora iremos tratar <strong>de</strong> uma utilida<strong>de</strong> prática para a proprieda<strong>de</strong> observada nas<br />
hipérboles e que tem utilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> gran<strong>de</strong> importância nos estudos astronômicos: a<br />
construção dos telescópios refletores.<br />
33
Os telescópios refletores são a evolução dos primeiros telescópios criados, que se<br />
utilizavam <strong>de</strong> associações <strong>de</strong> lentes (refratores). Estas geram dois efeitos in<strong>de</strong>sejáveis<br />
que é a <strong>de</strong>formação das imagens e as aberrações cromáticas, pois as lentes acabam<br />
funcionando como prismas, <strong>de</strong>compondo a luz branca.<br />
O mais interessante que chega neste momento do trabalho on<strong>de</strong> vamos observar<br />
uma associação curiosa <strong>de</strong> duas cônicas, um espelho parabólico e outro hiperbólico para<br />
a concepção do telescópio refletor.<br />
Já sabemos que os raios <strong>de</strong> luz vindos do espaço chegam à terra por feixes<br />
paralelos, e que um espelho parabólico direciona estes raios para o seu foco (Teorema<br />
2.1, pág.26).<br />
Figura 28: Comportamento do espelho parabólico.<br />
Isto, no entanto, gerou um problema pelo fato <strong>de</strong> que para observar a imagem<br />
formada no foco, o olho do observador teria que estar posicionado sobre ele, o que na<br />
prática se torna impossível, pois o mesmo funcionaria como uma barreira para os raios<br />
luminosos.<br />
A solução dada a este problema por Isaac Newton foi posicionar um espelho<br />
plano entre a superfície parabólica côncava e o foco, <strong>de</strong> tal forma que os raios fossem<br />
direcionados para fora da parte interna do espelho. Por outro lado, a invenção <strong>de</strong><br />
Newton gerou problema similar, pois, para que a convergência do foco alternativo<br />
ficasse fora do cilindro telescópico a dimensão <strong>de</strong>ste espelho <strong>de</strong>veria ser bem<br />
34
consi<strong>de</strong>rável, bloqueando gran<strong>de</strong> parte dos raios inci<strong>de</strong>ntes prejudicando <strong>de</strong>starte a<br />
formação da imagem (veja esquema abaixo).<br />
Figura 29: Telescópio refletor <strong>de</strong> Newton.<br />
A solução para este problema foi dada em 1672 pelo astrônomo francês<br />
Cassegrain utilizando um espelho hiperbólico.<br />
Figura 30: Telescópio refletor (esquema <strong>de</strong> espelhos).<br />
parábola.<br />
Observe no <strong>de</strong>senho que um dos focos da hipérbole coinci<strong>de</strong> com o foco da<br />
35
Agora, os raios que iriam formar a imagem no foco F2 são refletidos pelo<br />
espelho hiperbólico e formarão a imagem no foco F1.<br />
Com essa associação <strong>de</strong> espelhos a flexibilida<strong>de</strong> da montagem ficou bem maior e<br />
as possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> variação das distâncias entre os focos e da distância do foco da<br />
parábola ao espelho também. Isto faz com que o telescópio se ajuste perfeitamente à<br />
necessida<strong>de</strong> das observações.<br />
Hoje telescópios mo<strong>de</strong>rnos como os radiotelescópios utilizam-se <strong>de</strong>sta<br />
tecnologia, que levou um século para serem implementadas <strong>de</strong>s<strong>de</strong> sua i<strong>de</strong>alização.<br />
Teorema3.1<br />
( Prova <strong>de</strong> que o raio refletido passa por F1):<br />
Finalmente iremos <strong>de</strong>monstrar que o raio <strong>de</strong> luz inci<strong>de</strong>nte no espelho hiperbólico<br />
direcionado a um dos focos do mesmo passa pelo outro foco.<br />
A <strong>de</strong>monstração será feita da seguinte maneira: provaremos que a bissetriz do<br />
ângulo F1PF2 (figura abaixo) é ao mesmo tempo tangente à hipérbole em P. Uma vez<br />
provado isto, o resultado <strong>de</strong>sejado segue facilmente como mostraremos a seguir. Para<br />
tanto, consi<strong>de</strong>remos que a bissetriz e a tangente sejam a mesma reta.<br />
Figura 31: Prova da proprieda<strong>de</strong> da hipérbole.<br />
36
Seja B um ponto qualquer da bissetriz, F2 G ⊥ BP ⊥ NP ( N é a reta normal),<br />
don<strong>de</strong> NP e GF2 são retas paralelas e o triângulo PGF2 é isósceles. Como conseqüência<br />
disto, os ângulos <strong>de</strong>ste triângulo em G e F2 são iguais. Mas o ângulo em F2 é igual ao<br />
ângulo <strong>de</strong> incidência em APN, pois são correspon<strong>de</strong>ntes; e o ângulo em G é igual ao<br />
ângulo NPF1, alternos internos. Logo APN = NPF1 resultado que prova a lei da física<br />
que o ângulo <strong>de</strong> incidência é igual ao <strong>de</strong> reflexão, c.q.d..<br />
Falta provar que BP é ao mesmo tempo bissetriz e tangente à hipérbole em P.<br />
De fato, recorrendo novamente à figura, BF1 < BG + GF1 (<strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong><br />
triangular), portanto, BF1 – BF2 < BG + GF1 – BF2; mas BG = BF2 (BGF2 é<br />
isósceles) portanto,<br />
c.q.d..<br />
BF1 – BF2 < GF1 = PF1 – PG = PF1 – PF2 = d<br />
O que significa que o ponto B é externo ao ramo da hipérbole por P.<br />
Em outras palavras, a bissetriz BP só toca a hipérbole em P, portanto tangente,<br />
37
CONCLUSÃO<br />
Foi mostrado neste trabalho belas e interessantes aplicações <strong>de</strong> conceitos<br />
matemático-geométricos abstratos, originados da capacida<strong>de</strong> infinita do homem <strong>de</strong><br />
sonhar e criar mo<strong>de</strong>los, a princípio unicamente teóricos, mas que posteriormente<br />
revertem-se em mecanismos concretos que contribuem para a evolução do<br />
conhecimento, da tecnologia e da ciência.<br />
È muito gratificante ver como a ciência po<strong>de</strong> ser usada <strong>de</strong> forma consciente, com<br />
ética e respeito aos princípios humanos fundamentais dos quais estamos tão carentes nos<br />
dias <strong>de</strong> hoje.<br />
Todas as aplicações aqui abordadas corroboram com o bem comum da<br />
humanida<strong>de</strong> e trazem mais clareza e conforto aos homens.<br />
É importante também ressaltar que os jovens e adolescentes nas escolas, que ao<br />
tratarem <strong>de</strong> matérias correlacionadas com estes conceitos, possam ser motivados para o<br />
estudo, visto que trata-se <strong>de</strong> assunto que não está totalmente <strong>de</strong>sligado <strong>de</strong> seu cotidiano.<br />
Há <strong>de</strong>ssa forma uma forte ligação contextual entre teoria e prática, e isso po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong><br />
gran<strong>de</strong> proveito para os professores tornarem <strong>suas</strong> aulas mais interativas e interessantes.<br />
Durante a realização do mesmo passei a conhecer melhor os elementos tratados e<br />
me surpreen<strong>de</strong>r com as diversas utilizações <strong>de</strong>stes, enriquecendo sobremaneira minha<br />
formação.<br />
Também fui apresentado ao aplicativo Z.u.L., programa <strong>de</strong> código aberto com o<br />
qual aprendi e me surpreendi com todos os seus recursos e possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>, em um<br />
contexto tecnológico, po<strong>de</strong>r-se simular aquilo que na minha época <strong>de</strong> estudante <strong>de</strong><br />
ensino fundamental (antigo 1º grau) fazia-se com régua e compasso; não que este não<br />
seja importante, mas tal programa po<strong>de</strong> ser sua expansão e por que não sua evolução.<br />
A continuação <strong>de</strong>ste estudo po<strong>de</strong> ser dada no tratamento <strong>de</strong>stas mesmas curvas<br />
no espaço, on<strong>de</strong> teremos as quadráticas, convite que faço ao leitor que se interessar pela<br />
continuação do assunto aqui tratado.<br />
38
BIBLIOGRAFIA<br />
1) Ávila,G. A Hipérbole e os telescópios. Revista do Professor <strong>de</strong> <strong>Matemática</strong>,<br />
nº34, p.22-27, SBM, São Paulo, 1997.<br />
2) Ávila,G. Como tratar a circunferência a elipse e a hipérbole. Revista do<br />
Professor <strong>de</strong> <strong>Matemática</strong>, nº35, p.09-14, SBM, São Paulo, 1997.<br />
3) Valladares,R.J.C. Elipse, sorrisos e sussuros. Revista do Professor <strong>de</strong><br />
<strong>Matemática</strong>, nº 36, p.24-28, SBM, São Paulo, 1998.<br />
4) Wagner,E. Porque as antenas são parabólicas. Revista do Professor <strong>de</strong><br />
<strong>Matemática</strong>, nº 33, p.10-15, SBM, São Paulo, 1997.<br />
5) Fernan<strong>de</strong>s,A.M.V.;Rego,C.A.;Fioravante,D.P.G.;Sabatucci,J.;Barbosa,M.G.G.<br />
<strong>Matemática</strong> Cônicas, Guia do Professor e Guia do Aluno,Belo Horizonte, 1999.<br />
Sites consultados:<br />
1) http://www.soko.com.ar<br />
2) http://www.google.com.br<br />
3) http://www.wikipedia.com<br />
4) http://mathsrv.ku-eichstaett.<strong>de</strong>/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/<br />
39