“Cônicas e suas Aplicações” - Departamento de Matemática

ao ângulo entre F2T e s. Se mostrarmos que s é tangente a E em T, teremos mostrado a
propriedade bissetora, devido à unicidade da tangente à elipse por um de seus pontos.
Seja T um ponto de E. Então d(T,F1) + d(T,F2)=k, onde k é uma constante.
Tomemos sobre s um ponto A ≠ T e consideremos o ponto F1’, simétrico de F1 em
relação a s.
Figura 12: Prova da unicidade de T.
A reta s é então mediatriz de F1F1’. Logo, d(T,F1)=d(T,F1’) e também
d(A,F1)=d(A,F1’). Por construção, a reta s faz ângulos iguais com TF1 e TF2(a2 e a1
respectivamente) e, pela simetria, os ângulos a2 e a3 são também iguais. Daí, os
segmentos F2T e TF1’ fazem ângulos iguais com s e, portanto, os pontos F1’, T e F2
são colineares. Segue-se então, pela desigualdade triangular, que:
k = d(T,F1) + d(T,F2) = d(T, F1’) + d(T,F2) = d(F1’,F2) < d(A,F1’) + d(A,F2)
= d(A,F1) + d(A,F2)
Como d(A,F1) + d(A,F2) > k , concluímos que T é o único ponto de s que
pertence à elipse, o que mostra que a reta s é tangente a E em T, c.q.d..
A constante k também pode ser identificada como 2a que é o comprimento do
eixo maior da elipse, imaginando uma reta ligando os dois focos, a intersecção desta
reta com a elipse determina dois pontos, chamemos de A e B, logo d(A,B)=2a.
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