ao ângulo entre F2T e s. Se mostrarmos que s é tangente a E em T, teremos mostrado a proprieda<strong>de</strong> bissetora, <strong>de</strong>vido à unicida<strong>de</strong> da tangente à elipse por um <strong>de</strong> seus pontos. Seja T um ponto <strong>de</strong> E. Então d(T,F1) + d(T,F2)=k, on<strong>de</strong> k é uma constante. Tomemos sobre s um ponto A ≠ T e consi<strong>de</strong>remos o ponto F1’, simétrico <strong>de</strong> F1 em relação a s. Figura 12: Prova da unicida<strong>de</strong> <strong>de</strong> T. A reta s é então mediatriz <strong>de</strong> F1F1’. Logo, d(T,F1)=d(T,F1’) e também d(A,F1)=d(A,F1’). Por construção, a reta s faz ângulos iguais com TF1 e TF2(a2 e a1 respectivamente) e, pela simetria, os ângulos a2 e a3 são também iguais. Daí, os segmentos F2T e TF1’ fazem ângulos iguais com s e, portanto, os pontos F1’, T e F2 são colineares. Segue-se então, pela <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong> triangular, que: k = d(T,F1) + d(T,F2) = d(T, F1’) + d(T,F2) = d(F1’,F2) < d(A,F1’) + d(A,F2) = d(A,F1) + d(A,F2) Como d(A,F1) + d(A,F2) > k , concluímos que T é o único ponto <strong>de</strong> s que pertence à elipse, o que mostra que a reta s é tangente a E em T, c.q.d.. A constante k também po<strong>de</strong> ser i<strong>de</strong>ntificada como 2a que é o comprimento do eixo maior da elipse, imaginando uma reta ligando os dois focos, a intersecção <strong>de</strong>sta reta com a elipse <strong>de</strong>termina dois pontos, chamemos <strong>de</strong> A e B, logo d(A,B)=2a. 18
CAPÍTULO 2 – A PARÁBOLA 19