“Cônicas e suas Aplicações” - Departamento de Matemática

Seja B um ponto qualquer da bissetriz, F2 G ⊥ BP ⊥ NP ( N é a reta normal),
donde NP e GF2 são retas paralelas e o triângulo PGF2 é isósceles. Como conseqüência
disto, os ângulos deste triângulo em G e F2 são iguais. Mas o ângulo em F2 é igual ao
ângulo de incidência em APN, pois são correspondentes; e o ângulo em G é igual ao
ângulo NPF1, alternos internos. Logo APN = NPF1 resultado que prova a lei da física
que o ângulo de incidência é igual ao de reflexão, c.q.d..
Falta provar que BP é ao mesmo tempo bissetriz e tangente à hipérbole em P.
De fato, recorrendo novamente à figura, BF1 < BG + GF1 (desigualdade
triangular), portanto, BF1 – BF2 < BG + GF1 – BF2; mas BG = BF2 (BGF2 é
isósceles) portanto,
c.q.d..
BF1 – BF2 < GF1 = PF1 – PG = PF1 – PF2 = d
O que significa que o ponto B é externo ao ramo da hipérbole por P.
Em outras palavras, a bissetriz BP só toca a hipérbole em P, portanto tangente,
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