“Cônicas e suas Aplicações” - Departamento de Matemática
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Fonte: www.soko.com.ar (2006)<br />
Figura 10: Escolha <strong>de</strong> um ponto genérico P da elipse.<br />
Aplicando a equação das distâncias entre pontos <strong>de</strong> ℜ 2 teremos que:<br />
( x + c)²<br />
+ ( y − 0)²<br />
+ ( x − c)²<br />
+ ( y − 0)²<br />
= 2a<br />
Para eliminar os radicais, elevamos ambos os membros <strong>de</strong>ssa equação ao<br />
quadrado, don<strong>de</strong> resulta:<br />
− = 4a²<br />
( x + c)²<br />
+ y²<br />
+ ( x − c)²<br />
+ y²<br />
+ 2 ( x + c)²<br />
+ y²<br />
( x c)²<br />
+ y²<br />
Ou ainda, após simplificações:<br />
( x² + c²<br />
+ y²<br />
+ 2cx)(<br />
x²<br />
+ c²<br />
+ y²<br />
− 2cx)<br />
= 2a² − x²<br />
− c²<br />
− y²<br />
Eliminamos em seguida o radical com uma nova elevação ao quadrado:<br />
( x ² + c²<br />
+ y²)²<br />
− 4c²<br />
x²<br />
= [ 2a²<br />
− ( x²<br />
+ c²<br />
+ y²)]²<br />
,<br />
Ou seja,<br />
4<br />
− 4c<br />
² x²<br />
= 4a<br />
− 4a²(<br />
x²<br />
+ y²<br />
+ c²),<br />
Que é equivalente à,<br />
( a² − c²)<br />
x²<br />
+ a²<br />
y²<br />
= a²(<br />
a²<br />
− c²)<br />
(1)<br />
Observemos que,<br />
a > c ; logo, pondo b a²<br />
− c²<br />
membros <strong>de</strong> (1) por a ²b²<br />
, obtemos finalmente a expressão:<br />
13<br />
= e dividindo ambos os
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