Fernando Antonio Sampaio de Amorim TESE SUBMETIDA AO ...

Fernando Antonio Sampaio de Amorim 

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS 

DE P6S-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO 

DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTEN- 

ÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS (M.sc.) 

Aprovada por: 

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL 

MARÇO DE 1983

AMORIM, FERNANDO ANTONIO SAMPAIO 

Um Modelo de Otimiza~ão para o Projeto Preliminar 

de Navios Graneleiros I ~ i de o Janeiro1 1983. 

vi i , p.213 29,7 cm (coPPE/UFRJ, M. Sc. Engenharia Oceã- 

nica, 1983). 

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Fa- 

culdade de Engenharia. 

1. Projeto do Navio, Projeto Preliminar, Programa- 

ção Não-Linear, Otimização. 

I. COPPE/UFRJ 11. Título (sêrie).

iii 

A Elaine, 

Fernanda e 

Leonardo.

AGRADEC I MENTOS 

Ao Professor Sérgio Hamilton Sphaier pela orien - 

tação da pesquisa e principalmente pela sua amizade e estimulo. 

Aos Professores do PENO/COPPE e do DEN/EE, em 

particular ao Professor Waldyr Azevedo Junior, pelo grande apoio 

e pelas observações e sugestões oportunas. 

A José Henrique Sanglard pela sua grande amiza- 

de e inestimável colaboração na discussão deste trabalho. 

Ao Professor Claudio Luiz Baraina Vieira pelo 

grande estimulo durante as fases finais deste trabalho. 

A Raimunda Vieira do Nascimento pela sua amiza- 

de e tambêm pelo seu paciente e excelente trabalho de datilo- 

grafia. 

A Nereida P.S. de Arnorim, minha mãe, pelo seu 

excelente trabalho de revisão dos manuscritos. 

A todos os meus alunos pela sua colaboração nos 

testes do programa e no desenvolvimento conjunto de testes do 

trabalho nas disciplinas de Projeto do Navio, e em particular, 

a José Marcio do A, Vasconcel 10s e a Carlos Manuel de O.P. Pe- 

rei ra. 

Aos meus amigos, aos funcionários da Secretaria 

e a todos aqueles, que de a1 guma forma, colaboraram para o de- 

senvol vi:mento deste t rabal ho.

RESUMO 

Este trabalho propõe um modelo matemático para 

a solução Ôtima de problemas de projeto preliminar para navios 

especializados no transporte de cargas a granel. 

O projeto prel iminar é formulado como um proble 

ma de programação matemática com restrições de igualdade e res 

triçÕes de desigualdade, cuja solução numérica é determinada por 

um algoritmo de programação não-linear. O método escolhido é 

a função Lagrangeana Aumentada associada ao método de Davidon 

Fletcher-Powel l para a mi nização sem restrições. 

São real izados testes com o programa para todos 

os tipos de navios considerados, cujos resultados são apresen- 

tados no Último capitulo. 

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ABSTRACT 

A mathematical model for the optimum solution of 

problems concern ing the desi gn of special ized grain cargo shi ps 

during the preliminary stages is proposed herein. 

The prel iminary design problem is formulated 

as a mathernatical programming problem with equality and ineque 

lity constraints which is solved numerically by means of a non- 

1 i near programming a1 gori thm, based on the augmented Lagrangean 

method in association with the Davidon-Fletcher-Powell procedure 

for unrestricted minimisation. 

Severa1 tests have been carried out covering a1 1 

types of ships considered the results of which are presented in 

the laãt Chapter.

I . INTRODUÇÃO E HIST~RICO ............................. 1 

I1 . A DEFINIÇÃO DO PROBLEMA ............................ 10 

111 - A FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ........................... 15 

I V . A MODELAÇÃO DO PROBLEMA ............................ 35 

V . O ALGORITMO DE SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA DE PROJETO 

PRELIMINAR ......................................... 83 

v11 . RESULTADOS E CONCLUSUES ............................ 124 

BIBLIOGRAFIA ............................................ 179 

APENDICE I . UM PEQUENO RESUMO DOS PRINCIPAIS CONCEI- 

TOS DE MATEMATICA FINANCEI RA .............. 183 

APENDICE I I . OS TEOREMAS E DEFINIÇÕES UTILIZADOS NO 

CAPTTULO V ................................ 193 

APENDICE I11 . UMA BREVE DESCRIÇÃO DO PROGRAMA ........... 202

O projeto do navio 6 um processo iterativo em 

que s nivel de generalidade, considerado do ponto de vista da 

tomada de decisões pelo projetista e do alcance destas decisões 

sobre a produto final, vai diminuindo ã medida em que ele se 

desenvolve, enquanto aumenta o nível de detalhamento, conside- 

rado do ponto de vista da qualidade, quantidade e precisão das 

informações geradas e manipuladas. Devido a estas caracterfs- 

ticas este processo, em geral, é dividido em estágios, com nf- 

veis de generalidade e detalhamento homogêneos. Neste traba- 

lho ele será dividido em três estãgios, que serão chamados de 

projeto preliminar, projeto bãsico e projeto de detalhamento, 

os qua i s serão definidos a segui r. 

O projeto preliminar 6 o nivel mais alto de ge- 

neralidade e consiste na determinação da configuração geral da 

solução para o problema de projeto do navio proposto, no qual, 

em geral, se procura uma embarcação ou um conjunto de embarca- 

ções para exercer determinada atividade de transporte de bens 

por via aquaviária. 

Existem também as embarcações de serviço, de pes - 

ca, de pesquisa, m i l itares, etc, A indüstria de construção 

naval,entretanto, ocupa-se predominantemente com o projeto e a 

construção de embarcações para transporte de cargas por via ma - 

ritima, fluvial e lacustre. Este trabalho trata exclusivamen- 

te do projeto destas embarcações. 

A determinação da configuração geral da solução 

do problema consiste basicamente na escolha do melhor conjunto 

de caracteristicas principais que definem o navio, isto é, o ti-

po, as dimensões principais, os coeficientes de forma e a velo - 

cidade de serviço; e, eventualmente, o número de navios. Por- 

tanto, no projeto preliminar o projetista considera o navio co - 

mo um todo e a sua preocupação principal é a de analisar a es- 

colha destas caracteristicas do ponto de vista do desempenho do 

navio e da sua inserção no sistema de transporte. 

As informações d i spon ivei s no projeto prel iminar 

são apenas aquelas obtidas com o que se convencionou chamar de 

requisitos de projeto, os quais definem em seus aspectos gerais 

a função da embarcação, (como por exemplo), a carga a ser trans 

portada, a rota em que deverá operar, a quantidade de carga a 

ser transportada anualmente ou por viagem, ou o porte bruto e 

a velocidade esperados para o navio e outros dados referentes ã 

operação da embarcação, que podem aparecer em problemas parti- 

culares. Além dos requisitos de projeto, o arquiteto naval só 

dispõe das informaçÔes que podem ser obtidas diretamente a par 

tir deles, tais como: restrições físicas nos portos da rota, res 

trições físicas de canais e estreitos, etc; e daquelas obtidas 

em regulamentos nacionais e internacionais como as convenções 

de Borda Livre e ~oluição MarTtima da IMO (Intergovetmamental Ma- 

ritime Organization, organismo do sistema ONU). 

O projeto básico consiste na definição das l- i 

nhas do casco, da sua estrutura e dos arranjos de porões, con- 

veses, acomodações e praça de máquinas. Tem-se, portanto, um 

nível de generalidade mais baixo e o trabalho de projeto ê di- 

vidido objetivando-se a sua maior eficiência. Perdeu-se, as- 

sim, a sua unidade, no sentido de que, partindo-se do projeto 

preliminar, particularizou-se o trabalho de projeto através da 

sua especialização, Entretanto, as equipes que desenvolvem as 

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linhas do casco, a estrutura e os arranjos não trabalham, e 

não podem trabalhar, de forma estanque; elas devem manter estrei 

ta colaboração e criar um eficiente canal de transmissão de in 

formações. Neste estágio do processo de projeto, as informa- 

ções di çponivei s são aquelas desenvolvidas na fase anterior, i s- 

to ê, o projeto preliminar. Quanto ao nível das informaçoes ge 

radas, verifica-se um salto de qualidade, tanto no que se refe 

re à precisão, quanto no que diz respeito ao detalhamento. Nes 

ta fase são desenvolvidos os desenhos do plano de linhas; a es 

trutura tem a sua geometria definida e os seus elementos dimen 

sionados; os arranjos são desenvolvidos até ao nivel da sele- 

ção e dimensionamento dos equipamentos principais. 

No projeto detalhado, como o próprio nome suge- 

re, o navio é definitivamente definido, isto é, serão geradas 

todas as informações para que se inicie o seu processo de cons 

truçã~. Desta forma, são desenvolvidos até o seu nível mais 

profundo de detalhamento aquilo que se poderia chamar de sub- 

sistemas do projeto básico. Portanto, nesta fase do projeto, 

atingiu-se o nível mais baixo de generalidade, enquanto que a 

especial iza~ão do trabalho de projeto alcança o seu estágio mais 

elevado. 

Como dito anteriormente, será tratado neste tra - 

balho o problema do projeto preliminar, para o qual se apresen 

tará um modelo que objetiva a determinação da solução ótima. A 

seguir, serão brevemente discutidos os aspectos históricos e 

econômicos que forneceram as bases para o desenvolvimento da 

solução proposta. 

A Revolução Industrial, que se iniciou na Ingla - 

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terra em fins do século XVIII, teve como caracteristicas a 

aplicação de conhecimentos de base cientifica ã produção indus - 

trial e o rápido deçenvolvimento tecnolõgico, tendo sido uma 

consequêncla da concentração de capital e da necessidade de 

maior rendimento para suas aplicações. A indüstria de constru 

ção naval era, na êpoca, uma atividade de estrutura artesanal, 

no sentido de que a concepção das embarcações era praticamente 

uma tradição familiar, passando de pai para filho, de geração 

em geração, e o desenvolvimento se fazia de forma empfrica e 

ass i stemãt ica, a parti r das observat;Ões dos navios construidos. 

Com a rápida evolução tecnolõgica esta indüstria não mais dis- 

punha de tempo para a tradição e viu-se compelida a adaptar-se 

âs novas exigências econômicas e sociais, isto ê, a construção 

de novos navios, mais seguros, mais adequados ãs suas funções 

e que, consequentemente, apresentariam um maior rendimento eco - 

nÔm i co. 

Verificou-se, na êpoca, um grande avanço na in- 

düstria de construção naval, inicialmente com a utilização da 

máquina a vapor como fonte de energia mecânica para a propul- 

são, usada prlmeiramente como equipamento auxiliar às velas e 

posteriormente como meio de propulsão principal. Pouco mais 

tarde,eçte avanço teve continuidade com o emprego do ferro la- 

minado e, posteriormente, do aço laminádo como material para a 

construção do casco em substituição ã madeira. 

Estas mudanças exigiram uma completa reformula- 

ção dos processos de projeto e construção de novas embarcações, 

uma vez que não existia uma tradição disponivel e os processos 

de construção existentes não eram passiveis de adaptação ãs no 

vas condições e, principalmente, ao novo material. Portanto, 

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foi necessário recorrer aos processos tecnolÓgicos de base ci- 

entifica já empregados em outras ãreas de atividade industrial. 

A evolução subsequente dos métodos empregados no 

projeto do navio e, principalmente, o desenvolvimento de novas 

concepções de projeto, isto é, o desenvolvimento de navios con - 

cebidos especificamente de acordo com a sua função, foi sempre 

consequência do aumento na demanda de transporte como um todo, 

ou de algum bem em particular que, por sua vez, teve como cau- 

sa o crescimento da economia e do comércio mundial. Assim sen -- 

do, na medida em que o comércio de determinado bem ou mercado- 

ria cresce, vai aumentando a pressão para a redução dos custos 

de transporte, até que se criam as condições para o desenvolvi - 

mento de uma solução especifica, ou seja, para o desenvolvimen 

to de um novo tipo de navio especificamente concebido para o 

transporte do bem em questão. O transporte do petróleo e seus 

derivados é um excelente exemplo desta tendência. A medida que 

crescia o consumo de gasolina e outros derivados, iam surgindo 

as soluções mais adequadas para o seu transporte mais econômi- 

co. Desta forma, criaram-se inicialmente os navios tanque pa- 

ra o transporte de derivados, cujo porte crescia com o aumento 

da demanda. Posteriormente, quando esta demanda justificou a 

construção de refinarias nos principais centros de consumo e o 

transporte da matéria prima I1in natural', apareceram os navios 

tanque para o transporte de petróleo bruto. E, mais uma vez, 

verificou-se um acentuado aumento no porte bruto, a f i m de se 

obter economia de escala. Finalmente, devido principalmente ao 

grande aumento experimentado pelo preço do petróleo, na Ultima 

década, cresceu sensivelmente o consumo de gãs natural, apare- 

cendo então os navios para o transporte desta matéria prima e 

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de gás 1 iquefeito de petróleo: os LNG (1 iquif ied natural gas) e 

os LPG (1 iquif ied petroleum gas). 

Uma característica importante, observada no de- 

senvolvimento da indústria de construção naval nas últimas dé- 

cadas e motivada pela necessidade de se buscar um maior rendi- 

mento econ&nico para o sistema de transportes, 6 a pesquisa de 

soluções que proporcionem uma redução global dos custos, isto 

e, que considerem todo o sistema de forma unitária e não o se- 

parem em mõdulos ou subsistemas estanques. Tal pesquisa resul 

tou, entre outras, em duas importantes consequências. 

A primeira delas foi o surgimento do conceito de 

cargas unitizadas, isto 6, as cargas propriamente ditas são acon - 

dicionadas em "invÓlucros" padronizados, que, por sua vez, são 

manipulados como cargas individuais pelos diversos meios ou mo 

dos de transporte por que passam, da origem ao destino. Os pri 

meiros destes "invÓlucros" a surgir foram os pallets, que mais 

tarde se desenvolveram e deram origem aos contentores (containers), 

que posteriormente foram padronizados pelas normas "ASA" e "ISO". 

A medida que se desenvolvia o transporte de "containers", ini'- 

cialmente tratados pelas empresas de navegação como grandes en - 

gradados, foram surgindo os navios especializados para o seu 

transporte. Os primeiros eram apenas adaptações ou transforma - 

ções de navios existentes; mais tarde surgiram os primeiros na 

vios concebidos exclusivamente para carregar llcontainers". Pa 

ralelamente ao desenvolvimento do transporte de contentores, 

surgiram outras cargas unitizadas e os navios para transportá- 

las, como por exemplo as carretas e os navios Roll-on Roll-off 

(carreteiros) e as barcaças e 0s navi-os "porta barcaçasf1. 

Desta forma, surgiu o que se convencionou chamar de transporte 

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intermodal, cujas principais vantagens são: a utilização mais 

eficiente e racional dos diversos meios de transporte e das 

suas interfaces; a redução dos custos e dos tempos das opera- 

ções de carga, descarga e transbordo; a redução sensivel dos 

problemas de manipulação das cargas nos portos de origem e des - 

t i n ~ e nos pontos de transbordo, tais como estoque e conferên- 

cia; e, finalmente, a possibilidade de se oferecer ao usuãrio 

do sistema um serviço porta a porta, da origem ao destino da 

carga. 

A outra solução encontrada para se reduzir os 

custos globais de transporte foi a redução das viagens em las- 

tro dos navios especial izados para o transporte de cargas a gra - 

nel, que foi obtida atravês do desenvolvimento de graneleiros 

combinados, isto 6, navios projetados para o transporte simul- 

tâneo ou em viagens alternadas de vários tipos de granéis li- 

quido~ ou çõlidos. Desta forma surgiram os mínero-petroleiros 

(ORE/OIL), navios projetados para o transporte de minério de 

ferro ou carvão e petrõleo bruto; os OBOs (ORE/BULK/OIL), que 

são projetados para transportar granéis leves (cereais, açÚcar, 

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etc), granéis pesados (minêrio de ferro, carvao, etc) e petrõ- 

leo bruto; e, naturalmente, os granelei ros projetados para trans 

portar granéis leves e pesados (BULK -t- ORE). Além destes, SUL 

giram ainda uma çêrie de variações, chamadas genericamente de 

"vary-cargo", que ampl iaram para contentores e carga geral as 

suas possibilidades de transporte. Estes navios, entretanto, 

tinham um rendimento satisfatõrio apenas para os problemas par 

titulares para os quais surgiram como soluçÕes. Por esta ra- 

zao, têm ainda uma utilização bastante restrita. 

A preocupação com a determinação da melhor solu 

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çao, ou da melhor concepção para o problema de projeto propos- 

to, ou seja, com a determinação da solução Ótima para o proje- 

to preliminar, é mais ou menos recente, uma vez que só há pou- 

co tempo,como consequência do processo descrito, o projetista 

passou a se defrontar com um imenso conjunto de possibilidades 

para resolver o seu problema de projeto preliminar, tanto no 

que diz respeito ã diversidade dos tipos de navios quanto ã am 

plitude da faixa de variação possível para o porte bruto. An- 

teriormente, quando as opções eram bem mais restritas, os no- 

vos projetos consistiam basicamente no desenvolvimento das so- 

luções tradicionais, isto é, na evolução do projeto de navios 

semelhantes, onde se buscava melhorar o seu desempenho de um 

ponto de vista estritamente técnico. A preocupação com uma anã 

lise econômica, quando existia, limitava-se a uma avaliação do 

custo de aquisição da embarcação projetada. Em geral, as preo 

cupações principais eram: reduzir a resistência do casco ao avan 

ço através de um desenho hidrodinamicamente mais eficiente de 

suas formas, o qual resultaria em maiores velocidades de servi - 

ÇO para uma mesma potência instalada, ou na redução do consumo 

de combustivel para uma mesma velocidade de serviço; a util iza 

ção de equipamentos mais avançados na instalação propulsora, 

inclusive a própria máquina propulsora, para manipulação de 

cargas a bordo e para amarração e fundeio; a redução do peso de 

aço do casco, que resultaria numa estrutura mais barata e no 

aumento da capacidade de carga; e a utilização de teorias mais 

avançadas no projeto do propulsor e do leme. Entretanto, es- 

tas soluçÕeã praticamente não a1 teravam as caracterist icas prin - 

cipais dos navios semelhantes, mantendo inalterada, desta for- 

ma, a sua concepção de projeto. 

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10 da seguinte forma: 

Poder-se-iam resumir as conclusÕes deste capitu - 

- O arquiteto naval dispõe hoje de uma variedade muito grande 

de possíveis soluções para um determinado problema de trans- 

porte marítimo, o que tornou o projeto preliminar um proble- 

ma bastante complexo. 

- A necessidade de se buscar um maior rendimento global para a 

economia determinou soluç6eç escolhidas sob um ponto de vis- 

ta econ6mic0, onde o navio seja considerado como um elemento 

do sistema de transportes e que dele não pode ser dissociado. 

- A análise econômica dos custos, sempre que possíve1,deve con - 

siderar tambêm, alem dos custos com a aquisição e operação do 

navio projetado, os gastos referentes à ampliação do sistema 

de transportes gerados pela solução proposta, tais como dra- 

gagem dos canais de acesso dos portos onde i rã operar, adoção 

de instalações portuárias para carga, descarga e armazenamen 

to e ampliasão ou criação de linhas ferroviária ou rodoviã- 

rias. 

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No capítulo anterior mostrou-se como o desenvol 

vimento dos diversos tipos de navios especial izados foi uma con - 

sequência da crescente busca de redução dos custos globais de 

transporte. Esta procura ter ia, necessariamente, que gerar na 

vios com caracter fst icas operaciona is sensivelmente diferentes, 

as quais seriam definidas basicamente pela carga que deveriam 

transportar. Seu projeto deve refletir estas diferen~as, isto 

é, ainda que o procedimento de abordagem e resolução do proble 

ma seja o mesmo, o modelo utilizado ou desenvolvido para cada 

um deles terá que ser diferente. 

O problema que se pretende resolver neste traba - 

t 

lho é o do projeto preliminar como se definiu no capjtulo an- 

terior, isto é, a determinação da configuração básica do proje 

to, pela qual se deve entender a escolha do tipo de navio, das 

suas dimensões principais, coeficientes de forma, velocidade de 

serviço e, eventualmente, do número de navios. Entretanto, pe 

las razões expostas no parágrafo anterior, não é possível de- 

senvolver um Único modelo para a solução de todos os problemas 

de projeto preliminar. Portanto, 6 necessário que se desenvol 

va um modelo para cada tipo de navio, ou para cada grupo de ti 

pos de navios de caracteristicas razoavelmente semelhantes.Nes = 

te capitulo definir-se-á o grupo de navios para o qual será de 

senvolvido um modelo de solução para o problema do projeto pre 

liminar, bem como mostrar-se-ão as razões para a sua escolha. 

Para que fique bem clara a forma decisiva pela 

qual a carga a ser transportada condiciona o desenvolvimento 

dos navios projetados para transportá-la, considerem-se dois 

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casos que se poderiam chamar de extremos: o dos contentores e 

o do petrõleo. Enquanto os primeiros constituem cargas uniti- 

zadas, isto é, embalagens no interior das quais a carga propria 

mente dita é transportada, carga que em geral é constituida por 

manufaturados e bens de capital que normalmente precisam de agi- 

lidade em sua colocação no mercado, o petróleo é uma matéria 

prima essencial para qualquer país industrializado, ou em fase 

de industr ia1 ização, que, entretanto, não exige rapidez no trans 

porte, uma vez que, em geral, são mantidos altos níveis de es- 

toque, principalmente após a crise de 1973. Portanto, os na- 

vios para o transporte de contentores deverão possuir uma velo 

cidade de serviço elevada, enquanto os petroleiros podem ope- 

rar a velocidades reduzidas. Este simples fato é um dos prin- 

cipais responsáveis pela grande diferença das caracterjsticas 

de forma de ambos os navios, já que os porta-contentores, por 

operarem a altas velocidades, precisam de formas mais finas e 

os petroleiros, navios de baixa velocidade, podem ter coefici- 

entes de forma bem mais elevados. 

A velocidade de serviço e diferentes caracterís 

ticas de forma do casco não são, entretanto, as Únicas diferen 

ças entre os petroleiros e os porta-contentores. O petróleo, 

por ser uma carga líquida, acomoda-se em qualquer volume desti 

nado ao seu transporte, sendo as Gnicas restrições os proble- 

mas de superfície livre e os regulamentos da convenção de po- 

luição marítima da IMCO., que limitam as dimensões dos comparti - 

mentos de carga dos petroleiros. Já os contentores são sóli- 

dos, de forma definida e volume razoável e a melhor maneira de 

carregá-los é empilhando-os em fiadas com a altura de vários 

contentores (o limite de empilhamento 6 de 6 unidades). Portan - 

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to, os compartimentos de carga dos porta-contentores têm que 

ser projetados para receber estas fiadas de contentores, ou se 

ja, têm que possuir grandes aberturas no convés e ser providos 

com guias que facilitem as operações de carga e descarga. O ar - 

ranjo destas fiadas ao longo dos compartimentos de carga, bem 

como a altura de cada fiada, definem aproximadamente as dimen- 

sões principais do navio. Os principais problemas para a defi - 

nição deste arranjo sao: a variação das formas do casco ao lon 

go do comprimento, que reduz a altura das fiadas mais externas, 

bem como a estabilidade na condição de carga, já que os conten 

tores são cargas leves e os porta-contentores têm, consequente 

mente, calados relativamente pequenos e pontais relativamente 

grandes e, ainda, levam algumas fiadas de contentores sobre o 

convés principal. Resumindo, os petroleiros têm as suas dimen - 

sões definidas pelo peso ou volume de carga a ser transportada, 

e não têm maiores problemas para acomodá-la a bordo, enquanto 

os porta-contentores têm as suas dimensões definidas pelo núme 

ro de contentores a ser transportados e a forma como serão aco 

modadoç a bordo, o que não tem uma relação direta nem com pe- 

so, nem com volume. 

Existem ainda outras caracterist icas operacionais 

responçãveis por diferenças significativas entre petroleiros e 

porta-contentores. As comentadas, entretanto, são suficientes 

para traçar um quadro vivo da influência da carga a ser trans- 

portada e de suas caracterist i cas econômicas de comercial ização 

no desenvolvimento dos d iversos tipos de navios especial izados. 

O exemplo do petroleiro foi escolhido intencio- 

nalmente porque as suas características operacionais são apro- 

ximadamente as mesmas de todos os navios especializados no trans- 

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porte de cargas a granel. E foi exatamente este grupo de na- 

vios, formado por petroleiros, graneleiros e graneleiros combi 

nados, isto 6, mfnero-petroleiros, OBOs (ORE -I- BULK + OIL - MI 

N€RIO/GRANEL LEVE/PETR~LEO) e OBs (ORE + BULK - MINERIO + GRA- 

NEL LEVE), o escolhido neste trabalho para o desenvolvimento de 

um modelo de solução para o problema do projeto preliminar. Não 

só pelas raz6es acima, mas principalmente porque o Brasil tem 

um comércio internacional fortemente marcado pela comercializa 

ção de produtos a granel, dos quais o minério de ferro e a so- 

ja são os mais importantes da pauta de exportação, e o petrõ- 

leo, o trigo e os fertilizantes os principais da pauta de im- 

portação. Apesar disto, não dispõe ainda de uma frota mercan- 

te suficiente para executar o transporte destas mercadorias, 

tendo, em consequência, que recorrer ao afretamento de navios 

estrangeiros. Este fato chegou a provocar, em 1981, um dese- 

quilibrio em sua balança comercial e mesmo os esforços governa - 

mentais dos últimos anos (a maioria dos navios do segundo pla- 

no de construção naval era de petroleiros, graneleiros e mine- 

ro-petrolei roa) não foram suficientes para acabar com esta de- 

ficiência. Portanto, ê ainda necessária e muito importante a 

construção, no Brasil, destes tipos de navios. 

A pesquisa e o desenvolvimento de modelos para 

o projeto, em todas as fases, justifica-se pela grande depen- 

dência tecnolõgica que se pode ainda verificar na indústria bra - 

sileira de construção naval vista como um todo. Apesar da sua 

grande maturidade na fase de construção, e o lugar de destaque 

na construção naval mundial (terminou o ano de 1981 em 20 lu- 

gar em tonelagem de porte bruto), a área de projeto, principal 

mente nas fases iniciais, ainda se apresenta atrofiada e depen 

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dente, na maioria dos casos, da compra de recursos tecnolõgi- 

coç ou do próprio projeto bãsico no exterior. Estas fases são 

as mais importantes para o desenvolvimento de soluções adequa- 

das aos problemas peculiares que o Brasil apresenta no setorde 

transporte maritimo e às próprias particularidades da indús- 

tria brasileira de construção naval.

I I I - A FORMULA$ÃO 

.. -- - DO PROBLEMA - 

Pode-se identificar no processo de solução de 

um problema de projeto várias etapas distintas, diferenciadas 

basicamente pelos seus objetivos. 

Inicialmente necessário definir ou formular o 

problema do projeto preliminar. No capitulo I mostrou-se que, 

de acordo com a definição de projeto preliminar adotada, exis- 

te uma infinidade de soluções possiveis para um determinado pro 

blema particular proposto, entre as quais é necessário esco- 

lher a melhor. Portanto, formular o problema de projeto preli - 

minar significa eleger um critério de escolha ou medida de me- 

rito para a obtenção desta melhor solução, bem como identifi- 

car os parâmetros que definem um projeto, que estão inteiramen - 

- 

te sob o controle do projetista e, por esta razão, sao chama- 

dos de variãvels de projeto e, ainda, determinar as limitações 

exi stentes na escol ha de um certo conjunto daqueles parâmetros, 

que serão chamadas de restrições. Logo, a formulação do pro- 

blema é a definição objetiva do problema que se pretende resol 

ve r. 

Formulado o problema, ê necessário, para que ele 

possa ser resolvido, identificar todas as relações entre variã - 

veis de projeto, restrições e medida de mérito e determinar a 

forma de calcular estes dois últimos valores para um dado con- 

junto de variãveis de projeto, o que exigirá a idealização de 

um modelo que represente aproximadamente o problema real. Esta 

fase é chamada de modelação do problema e será tratada em deta 

lhes no próximo capitulo. 

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A Ultima etapa do processo de solução de qual 

quer problema de projeto é a da obtenção e análise dos resulta 

dos. Este assunto será tratado em detalhes no capítulo VII. 

No capítulo I estabeleceu-se a necessidade e a 

propriedade de se escolher a melhor soluçZo para o projeto pre - 

liminar de um ponto de vista econômico. Sem o intuito de re- 

tornar ã dl scussão é, entretanto, importante ressaltar que exis 

tem outros critérios que poderiam ser uti 1 izados nesta escolha, 

de natureza eminentemente técnica e relacionados com a avalia- 

ção do desempenho da embarcasão, os quais já foram muito utili 

zados no projeto de navios mercantes e que ainda sao emprega- 

dos no projeto de embarcações militares, de recreio ou para ser - 

viços especiais. A opção por critérios de natureza econômica 

apresenta inicialmente dois problemas: a escolha de um rnêtodo 

de análise de natureza econômica e a definição do critério de 

escolha ou medida de mérito. As soluções destes problemas es- 

tão, entretanto, intimamente ligadas, uma vez que a definição 

da medida de mérito depende do método de anã1 ise escolhida e 

vice-versa. 

Existem muitas maneiras de se formular um pro- 

blema. É preciso, porêm, estabelecer com clareza que nesta eta - 

pa o objetivo 6 o de definir o problema, isto é, escolher a me 

dida de mérito e identificar as variáveis e restrições. Entre- 

tanto, é importante ressaltar que estas formulações não são es - 

tanques e autonomas. Assim como a escolha do método de anãli- 

se influencia e 6 influenciada pela definição da medida de me- 

rito, no seu deçenvolvimento, estas duas etapas se influenciam 

mutuamente, como se poderá verificar no desenvolvimento subse- 

quente. 

- 

- 

- 

- 

-

Para formular o problema do projeto preliminar 

foi escolhida a abordagem utilizada por Nowacki 111 e Fisher 121, 

que o formularam como um problema de programação não linear, is- 

to é, um problema no qual se procura determinar o vetor X* das 

variáveis de projeto que minimiza a função f(X), que represen - 

ta a medida de mérito, sujeita ãs n restrições de desigualdade 

gi (x), para i = 1, 2, . . . , n e às m restrições de igualda 

de, h. (x), para j = 1, 2, . . . , m. Estes problemas são assim 

J - 

chamados porque a sua solução não pode ser obtida através dos 

métodos tradiclonaiç de cálculo e as restrições e/ou a função 

de mérito são funções não 1 ineares das variáveis de projeto. Es 

teç problemas podem ser resolvidos numericamente através dos 

métodos de otimização em programação não-linear. 

Ao adotar esta abordagem, assumem-se implicita- 

mente as exigências inerentes ao prõprio procedimento. Assim 

sendo, é necessário que a medida de mérito escolhida possa ser 

definida como uma função das variãveis de projeto. Isto não im 

plica, entretanto, em que seja necessária a existência ou o de 

senvolvimento de uma expressão analítica relacionando um vetor 

de variáveis de projeto ao valor correspondente da função de 

mérito. Basta que possa ser definida uma relação unfvoca en 

tre o vetor em questão e o respectivo valor da medida de méri- 

to. O mesmo se aplica ao caso das restrições. 

Quanto ãs limitações e vantagens de se formular 

o problema do projeto preliminar como um problema de programa- 

ção não-linear poder-se-ia dizer, resumidamente, que: se, por 

um lado, não existe na prática uma situação em que se possa 

transformar todas as relações e dependências entre variãveis, 

restrições e função de mérito em um problema de programação ma 

- 

- 

- 

- 

-

temãtica que corresponda ponto por ponto ã realidade,sendo por - 

tanto necessãr io o desenvolvimento de um modelo aproximado, que 

exigirá do projetista a perfeita compreensão dos elementos es- 

senciais do problema; por outro lado, obtém-se a racionaliza- 

ção do processo de solução, uma vez que é essencial que se de- 

finam explicitamente os objetivos do problema, os parâmetros 

que definem um projeto e que estão sob controle integral do pro 

jetista e as limitações existentes na busca da solução. Assim 

sendo, é possfvel, e até mesmo recomendãvel, que se formule o 

projeto preliminar como um problema de programação não-1 inear, 

mesmo quando não se pretende utilizar ou não se dispõe de um 

método de otimização na sua solução porque, se não se obtém a 

soluç"a matemãtica exata, 6 poçsivel a um projetista, mesmo sem 

grande experiência e habilidade, dela se aproximar considera- 

velmente. 

111.2 - A ESCOLHA DA FUNÇÃO DE MÉRITO 

A escolha da medida de mérito deve obedecer aos 

critérios estabelecidos anteriormente, isto é, a medida de me- 

rito escolhida deve ser definida como uma função das variáveis 

de projeto, de forma a que o projeto preliminar possa ser for- 

mulado como um problema de programação não-linear. Deve tam- 

bém ser de natureza econômica, para que se possam considerar to 

dos os custos envolvidos no projeto, inclusive aqueles referen - 

tes ã interação do navio com o sistema de transporte em que irá 

operar, Benford, aplicando os métodos de matemática financei- 

ra para seleção de alternativas de investimento ao projeto do 

navio 131, 141, 151 e 161, mostrou que estes métodos possuiam 

as caracterfsticas definidas acima. Posteriormente, este cami - 

-

nho foi seguido por outros autores como Goss 171, Chapmam 181, 

Nowacki 111, Buxton 191, Fisher 121e~upras 1101 e 1111. O tra - 

balho de Fisher é particularmente importante porque, além de 

formular o problema do projeto preliminar como um problema de 

programação não-linear, demonstra como os custos do sistema de 

transporte relacionados com a escolha de um conjunto determina 

do de variáveis de projeto podem ser considerados. No caso par 

titular do problema descrito em seu artigo, que trata do es- 

coamento da produção de uma nova jazida de minério de ferro, 

estes custos eram basicamente os referentes ã construção de ter- 

minais portuários e à ampliasão do estaleir6 que construiria 

os navios da frota. 

Benford descreve e analisa em 161 todos os meto - 

dos de seleção de investimento e os separa em dois grupos: mé- 

todos para a solução de problemas em que a receita não é conhe 

cida ou não existe e métodos para resolver os problemas onde 

esta informação está disponivel ou pode ser estimada. Esta di- 

visão parece, entretanto, um tanto artificial porque, com e& 

cessão do método da taxa de retorno, todos os outros podem ser 

aplicados indistintamente a qualquer problema, isto é, não exis 

te nenhuma característica inerente aos métodos que impeçam a 

sua aplicação a um ou outro tipo de problema. Portanto, as ra 

zões para a divisão adotada parecem ser mais de natureza práti 

ca, isto é, originadas pelas próprias características dos pro- 

blemas e da facilidade com que tais caracteristicas são trata- 

das por cada um dos métodos. Nos demais pontos a análise é bas 

tante completa e demonstra com perfeição as potencialidades de 

cada um dos métodos analisados. A parte mais importante é a 

dos comentãrios sobre as hipóteses simplificadoras dos modelos 

- 

- 

- 

-

de matemãtica financeira, onde são analisadas as suas limita- 

ções e di scut i das as razões para a sua apl icação a problemas de 

projeto do navio. Como já decorreram mais de dez anos da p; 

blicação deste trabalho e vive-se hoje um tempo de crise econo 

mica e recessão em praticamente todos os paises desenvolvidos, 

que acabam por refleti r-se nos países do terceiro mundo, cujas 

caracteristicas principais são as altas taxas de inflação, o 

crescimento das taxas de juro, a queda na produção e, consequen 

temente, na demanda de transporte, é aconselhável que estas hi 

põteãeç sejam rediscutidas e reavaliadas. 

E preci so ressaltar, porém, que nem todos os pro - 

blemaç com que se deparam hoje os projetistas na aplicação dos 

modelos de matemãt i ca f i nancei ra são consequência direta da cri - 

se econômica ou da inflação como, por exemplo, a alta acentua- 

da dos preços dos combustiveis verificada na Última década. 

Os conceitos de matemãtica financeira e os mêto - 

dos de seleção de alternativas de investimento estão descritos 

resumidamente no Apêndice I. 

A primeira e mais discutível e discutida das hi = 

põteses simplificadoras 6 a que considera a economia estável, 

isto é, os efeitos da inflação não são compdtados. Esta hipõ- 

tese se baseia na premissa de que a matemática financeira tra- 

balha com quantias futuras e que, portanto, ainda não existem. 

Estas quantias representam, em geral, valores esperados que são 

definidos, de forma deterministica, com base nas informações dis - 

poniveiç, enquanto que as projeções para as taxas de inflação, 

que são de natureza probabilistica, se baseiam em informações 

de caráter geral referentes ao estado da economia. Dependem, por 

conseguinte, de medidas de caráter politico decididas a nivel 

- 

-

de governo. Logo, a sua consideração não aumentará necessaria - 

mente a precisão e a confiabilidade dos resultados, devido ao 

caráter de incerteza das suas projeções. 

Outra premissa em que se baseia a hipõtese da 

economia estável refere-se aos efeitos da inflação, os quais 

geralmente podem ser contornados com a adoção de taxas de atra 

tividade mais altas, que refletiriam desta forma osmaiores ris 

cos e incertezas presentes no investimento e a disposição, bas 

tante comum em épocas de recessão, de sõ investir quando o re- 

torno esperado for bem mais alto que aplicações seguras e de 

pouco risco. 

Finalmente, a Última premissa referente ã esta- 

bilidade da economia supõe que a inflação afetará de forma ho- 

mogênea a todas as quantias monetárias de todas as alternati- 

- 

vas de investimento analisadas. Logo, quando a inflação nao 

for considerada, o resultado final não será afetado. 

Benford em 161 não se mostrou muito preocupado 

com a inflação, que então apresentava taxas muito baixas nos 

Estados Unidos e também em quase todos os países desenvolvidos, 

com exceâsão talvez apenas do Japão. Sua argumentação se ba 

seou principalmente no fato de que para problemas de projeto - pa- 

ra os quais todos os custos manipulados pelos métodos de mate- 

mática financeira são estimados com base em informações de na- 

vios semelhantes - a hipõtese de que a inflação agiria de for- 

ma idêntica para todos os custos e projetos analisados e, des- 

ta forma, o seu efeito, para fins de escolha do melhor resulta 

do poderia ser desprezado, era bastante razoável, representan- 

do praticamente uma imagem sem distor~ões do problema real. O 

- 

- 

- 

-

efeito da inflação se manifestaria principalmente em resulta- 

dos otimistas, isto 6, os valores esperados seriam na realida- 

de maiores do que os que seriam obtidos. Este problema pode- 

ria ser facilmente contornado recorrendo-se a uma taxa de atra - 

tividade 1% ou 2% mais alta. 

Atualmente, entretanto, a inflação se encontra 

perto dos 100% no Brasil e em outros paÍses com processos de 

industrialização semelhantes, e, mesmo em países com economias 

fortes, já alcançou os dois digitos. Portanto, hipóteses que 

consideram que a inflação atinge de forma idêntica a todas as 

quantias presentes num problema de projeto preliminar e a to- 

das as soluçÕes analisadas precisam ser reavaliadas. E preci- 

so ressaltar, porém, que ainda não se desenvolveram me'todos tão 

simples e de apl icação tão imediata ao problema em questão, com 

o mesmo nÍvel de confiabilidade, como os métodos de seleção de 

investimento analisados por Benford em 161 e apresentados de 

forma resumida no Apêndice I. 

Uma possível solução para o problema da infla- 

ção talvez fosse obtida por um processo semelhante ao apresen- 

tado em 161 para o problema dos impostos, para o qual Benford 

sugere que se calcule o valor do fator de recuperação do capi- 

tal antes da cobrança dos impostos,a partir da taxa de impostos 

e dos valores da taxa de atratividade e do fator de recupera- 

ção do capital antes do imposto. Neste caso seria calculado o 

valor deste fator para valores defl acionados. Esta solução, po 

rem, não eliminaria, a princípio, os problemas de incerteza ge 

rados pelo cãlculo das estimativas das taxas de inflação futu- 

ras para um período longo como a vida econômica de um navio. 

Outra maneira de superar ou reduzir o impacto da 

-

inflação sobre a conf iabi 1 idade dos modelos de matemãtica f inan - 

ceira é fazer as estimativas dos custos de operação e aquisi- 

ção em moeda forte (o dõlar americano, por exemplo) porque, des 

ta forma, as hipóteses consideradas continuariam válidas, ou, 

para efeito de projeto, os erros provocados poderiam ser des- 

prezados porque não influiriam na escolha da solução e resulta 

riam em pequenas distorçÕes para os valores esperados, mesmo pa 

ra os valores atuais das taxas de inflação do dólar americano. 

Outro ponto importante é o que diz respeito à 

hipótese de que a inflação age de forma idêntica sobre todos os 

custos ou receitas presentes num problema de projeto prelimi- 

nar. Esta aproximação se mostra razoãvel mesmo para as condi- 

ções atuais. Porque, se não é verdade que realmente a inflação 

atue de forma homogênea sobre todos os custos - por exemplo, o 

aumento dos salários depende basicamente da legislação traba- 

I h ista em vigor e da organização pol ft ica dos trabalhadores, en 

quanto que o aumento da taxa de frete depende principalmente da 

demanda de carga, a qual não está subordinada de modo direto ã 

inflação - por outro lado, o preço de compra do navio 6 fixado 

no momento da assinatura do contrato de construção e o efeito 

da mão-de-obra no custo de operação é pequeno e, em geral, idên 

tico para todos os projetos. 

Portanto, sobre o problema da inflação, o ponto 

de vista adotado neste trabalho 6 o de que, embora altas taxas 

de inflação possam trazer dificuldades para a fixação da taxa 

de atratividade, os modelos de matemática financeira ainda são 

a solu~ão mais adequada para apl icação a problemas de projeto 

preliminar. Deve-se, entretanto, fazer as estimativas dos cus 

tos em moeda forte e escolher-se o método cujas característi- 

- 

- 

- 

-

cas sejam tais que evitem a tendência para soluções com meno- 

res custos de capital. Recomenda-se também a utilização de ta - 

xaâ de atratividade elevadas. 0s tyabalhos mais recentes de 

Kupraâ 1101 e 1111 confirmam esta posição. 

A Última hipótese que merece, ainda, alguma dis - 

cusãão é a que se refere aos custos operacionaiã, que são con- 

siderados constantes ao longo de toda a vida Ú t i l econômica do 

navio. Realmente, existe um aumento dos custos de operação, 

pr i ncipalmente da parcela referente â manutenção e reparos, com 

o envelhecimento do navio. Entretanto, este fenômeno, de fá- 

cil verificação, sempre foi do conhecimento de todos os pesqui 

sadores que apl icaram os modelos de matemãtica financeira ao 

projeto do navio. E os resultados obtidos, desde o trabalho de 

Benford 131 até o de Kupraã ]101, demonstram que a hipótese 6 

correta e não provoca nenhuma di storção nos resul tados obtidos. 

O fato novo é a mudança qualitativa, provocada pelo preço atual 

dos combustÍveis, na posição das diversas parcelas de custo, 

computadas no cálculo do custo operacional. No inicio da deca - 

da de 60, os custos de manutenção e reparos eram a parcela? mais 

importante e os gastos com Óleo combustivel e Óleo diesel ti- 

nham uma importância relativa muito pequena, sendo responçãveis, 

em geral , por menos de 10% do total do custo de operação. Atual - 

mente, os gastos com combustÍveis são de longe a parcela mais 

importante, responsável por mais de 50% do custo de operação, 

e a perspectiva é a de que este percentual continue aumentando. 

A elevação dos preços dos combustiveis, entretanto, não resul- 

tou da inflação, que teve uma influência muito pequena, ou da 

crise economica dos Últimos anos. As causas principais foram 

a crise do petróleo de 1973, a mudança radical promovida pela 

-

OPEP (0rgan i zação dos PaÍses Exportadores de Petrõleo) na pol Í 

tica de comercialização do petróleo nos anos subsequentes, e a 

especulação posta em prãtica pelas grandes companhias de petrÓ - 

leo. Esta mudança qualitativa não justifica, entretanto, uma 

revisão da utilização da hipótese em questão, mesmo sabendo-se 

que não hã perspectiva de que o quadro anterior venha a sofrer 

uma modificação a curto prazo. E recomendãvel, porém, que se 

tome o cuidado de realizar uma análise de sensibilidade para 

avaliar o efeito da elevação dos preços dos combustiveis sobre 

a escolha do resul tado f i na1 . 

As demais hipõteses simplificadoras não apresen - 

tararn, e continuam não apresentando, maiores problemas. Adota- 

ram-se, portanto, as seguintes simplificações: convenção de fim 

de periodo, isto é, todos os custos e receitas que ocorrerem du 

rante um periodo de capitalização são lançadas ao f i m do perio 

do; o instante inicial é o da entrada em operação do navio,que 

é marcado pela entrega ao armador; o investimento com a aquisi = 

ção da embarcação ocorre integralmente no instante inicial; a 

depreciação 6 linear e o valor residual 6 nulo. 

O último ponto importante antes da escolha da 

função de mérito é o que diz respeito à consideração ou não da 

receita gerada por fretes. Neste trabalho pretende-se resol- 

ver o problema do projeto preliminar para navios destinados ao 

transporte de carga a granel, isto é, granelei ros, petroleiros, 

m;ner~-~etrolei ros, granelei ros mistos para a carga de granéis 

leves e pesados e OBOs. Esta classe de navio opera nas seguin 

teâ situações tipicas: no mercado de afretamento por viagem, 

em linhas regulares conferenciadas e no transporte de matérias 

primas ou produtos acabados para empresas de mineração, empre- 

- 

- 

-

sas de petrõleo, indüstrias petroquimicas e empresas de impor- 

tação e exportação. Em qualquer destas situações, ou a recei- 

ta não existe, como no caso das empresas de petróleo, minera- 

ção, petroquimicas, etc, e o objetivo & o de reduzir os custos 

globais de produção, ou ela 6 difícil de ser estimada, como no 

caso dos armadores que operam no mercado de afretamento, devi- 

do 2s osci laçÕes e ,caracteristicas sofridas pela taxa de frete. 

O caso dos navios conferenciados não é muito diferente porque, 

se as taxas de frete não oscilam, a demanda de carga também se 

mostra bastante instável. Portanto, para estes dois últimos ca 

âos, o objetivo também é a redução dos custos de transporte. 

Logo, é mais coerente não considerar a receita de fretes no 

cálculo da função de mérito. 

ApÕs as s impl i f i caçÕes d i scut i das anteriormente, 

um projeto seria representado graficamente pelo fluxo de caixa 

da Figura 1 abaixo. 

FI GURA 1 

Pelas razões e argumentos expostos, a função de 

mérito escolhida foi a taxa de frete requerida, que utiliza o 

- -- - .- - - - 

método do custo anual mêdio na manipulação dos fluxos de caixa

que representam cada projeto, cujo valor é obtido pela expres- 

são (1). 

'aro 

- custo anual médio 

FRC(~, n) - fator de recuperação do capital para n períodos de 

capitalização e a taxa de atratividade i . 

O próprio custo anual médio poderia ser utiliza - 

do como fungão de merito. Este apresenta, entretanto, uma ten - 

dência para resultados com menores necessidades de capital, o 

que dificulta a sua aplicação a problemas em que os benefícios 

gerados por cada solução (representados no caso estudado pela 

carga transportada) apresentam diferença sensível . A função de 

mérito escolhida resolve este problema atraves da normalização 

do custo anual médio, que 6 dividido pela carga transportada 

anualmente, expressa na unidade mais conveniente (toneladas, 

barris, containers, etc). 

TFR = C /CAT 

am 

TFR - taxa de frete requerida 

CAT - carga anual transportada 

A taxa de frete requerida representa, portanto, 

o custo uni tãrio de transporte, isto é, o custo mêdio para trans - 

portar 1 tonelada, ou 1 container, ou 1 unidade de carga, qual 

quer que seja ela. Fornece, desta forma, uma idéia imediata 

da competitividade do projeto examinado, já que as taxas de fre 

te são cobradas, em geral, pela unidade de carga transportada.

I I 1.3 - A ESCOLHA DAS VARIAVEIS DE PROJETO 

De acordo com a definição da seção 2, var iãveis 

de projeto são os parãmetros que definem um projeto e que e2 

tão inteiramente sob controle do projetista, além disto, as Únicas 

1 imitações existentes na escolha de um determinado conjunto des 

tes valores são aquelas relativas ã segurança do navio projeta 

do, ao atendimento dos requisitos do problema particular que 

se quer resolver, ãs normas da prática corrente de projeto do 

navio e aos regulamentos das convenções internacionais. 

O projeto preliminar é, dentro do processo de 

projeto do navio, a fase cujo nível de generalidade ê o mais 

alto. Portanto, as variáveis de projeto nesta etapa devem for - 

necer a definição mais geral possivel de um navio, isto é, de- 

vem ser suficientemente particulares para defini r um navio es- 

pecífico e suficientemente gerais para não interferir no grau 

de liberdade das etapas subsequentes. 

A interação entre formulação e modelação começa 

agora a se mostrar de forma mais nítida. O conjunto de variã- 

veis de projeto tem que conter as informações necessárias não 

só para definir um navio, mas também para que se possa calcular 

o valor correspondente da função de mêrito. Entretanto, somen 

= 

te s modelo a ser utilizado poderá definir se estas informações 

são suficientes ou não. Esta questão, porém, é complexa, por- 

que, dependendo dos recursos disponíveis, talvez seja possível 

desenvolver um modelo de engenharia-naval com o qual se possa 

calcular o valor da função de mérito a parti r de um conjunto de 

variáveis de projeto considerado adequado aos objetivos estabe - 

lecidoç no parágrafo anterior. 

- 

-

Os parãmetros que serão considerados neste tra- 

balho como variáveis de projeto são o comprimento em perpendi- 

culares, a boca moldada, o ponta1 moldado, o calado de projeto 

moldado, o coeficiente de bloco e a velocidade de serviço. Es - 

tes parãmetros são, em geral, chamados de caracterist i cas pri n 

cipais e são suficientes para definir um navio dentro do nivel 

de general idade desejado. 

As restrições podem ser divididas em três gru- 

pos, que se distinguem basicamente pelas suas origens. 

1 1 1 .4.1 - As Reçtr i ~ Õ e ç 

A Obtidas a parti r . -. dos - - -. Requisitos . -. .. . - de 

Projeto 

O problema clãssico de projeto do navio é aque- 

le que fornece ao projetista o valor esperado para o porte bru 

to do navio a ser projetado (ou valor equivalente relacionado 

com a quantidade de carga a ser transportada, como o volume dis 5 

ponivel ou capacidade de carga em toneladas), a velocidade de 

serviço, o tipo de carga (ou cargas) a ser transportada e a ro 

ta. Estes dados são chamados, em geral , de requ i s i t os de pro- 

jeto. 

Atualmente começam a aparecer, com uma frequên- 

cia cada vez maior, problemas onde se fornece ao projetista ape 

nas o tipo e a quantidade da carga (ou cargas) a ser transpor- 

tada e a rota. Este tipo de problema dã ao projetista um grau 

de 1 i berdade sensivelmente maior. 

0s requisitos referentes â quantidade de carga 

a ser transportada podem gerar restrições de igualdade para o 

-

porte bruto, ou para o volume de porões disponível para a car- 

ga ou, ainda, para a capacidade de carga em massa dos porões. 

Estes requisitos podem ainda gerar restrições de desigualdade 

que representem limites mãximos ou mínimos para o valor daque- 

las características operacionais. É importante ressaltar que 

estas restrições não são mutuamente excludentes. Podem surgir 

problemas cujas condições particulares indiquem que devem ser 

adotada duas ou mais destas restrições. Por exemplo, é possi- 

vel ter para um problema duas restrições de desigualdade que 

representem limites mãximos e mínimos para a capacidade de car - 

ga, ou uma restrição de igualdade para o porte bruto e um l i m i 

te inferior para o volume. 

O requisito para o tipo ou tipos de carga pode 

ser representado numericamente, no projeto de navios para o 

transporte de cargas a granel, pelo fator de estiva (o volume 

ocupado por uma tonelada de carga). Este requisito nem sempre 

se transforma em restrição. Quando isto ocorre, geralmente ela 

aparece como um 1 imite inferior associado a uma restrição de 

igualdade para o volume ou para a capacidade de carga. Entre- 

tanto, podem surgir problemas para os quais seja necessãrio de - 

finir também um 1 imite superior ou mesmo uma restrição de igual = 

dade para o fator de estiva. 

Da rota saem os 1 imites mãximos para o compri- 

mento entre perpendiculares, a boca e o calado, que sao obti- 

dos das condições de acesso aos diversos terminais portuãrios 

em que o navio irá operar e dos canais e estreitos atravessa- 

dos numa viagem típica. 

-

111.4.2 - kstri~ões Relativas à Avaliasão da Segurança e do 

- - -- - - -- L - 

- 

Neste grupo de restrições serão consideradas ape H 

nas as condições de segurança relativas ã estabilidade do na 

vio, eãtitica e dinâmica, e capacidade da estrutura para re- 

sistir aos esforços a que é submetida. 

A estabilidade estática pode ser avaliada dire- 

tamente pelo valor do raio metacêntrico. Este valor deve ser 

maior do que um valor mínimo estabelecido por um critério de 

estabilidade qualquer. Entretanto, também não pode assumir um 

valor excessivo para que se garanta o conforto da tripulação e, 

em alguns casos, até mesmo a integridade da carga. Ter-se-ão, 

portanto, duas restrições de desigualdade. 

A avaliação da estabilidade dinâmica representa 

um problema bem mais complexo, principalmente nesta fase do pro 

jeto, quando se dispõe ainda de muito poucas informações a res 

peito do navio. Como os navios considerados não apresentam pro - 

blemas de estabilidade dinâmica, decidiu-se omitir esta avalia 

ção. Alguns autores, por exemplo Kupras 1111 e Lamb 1121, re- 

solveram este problema adotando restrições para os valores má- 

ximos dos periodos de arfagem, afundamento e jogo. 

O problema de aval iação da integridade da estru - 

tura também 6 dificil de ser tratado nesta fase do projeto, por e 

que ela ainda não foi definida e as variáveis de projeto nao 

fornecem informações mínimas que permitam qualquer avaliação 

objetiva. A Ünica coisa que pode ser analisada são as dimen- 

sões relativas da viga navio, representadas pelas relações adi 

mensionais L/B, L/D e L/T, as quais informam se o comprimen 

- 

- 

-

to é relativamente grande e, desta forma, devem-se esperar maio- 

res esforços de flexão, ou se a relação entre a alma e o flan- 

ge da viga navio é inadequada e, portanto, a estrutura, do pon 

to de vista de resistência longitudinal, 6 pouco eficiente. Es 

ta avaliação qualitativa 6, entretanto, consistente com o nÍ 

vel de generalidade do projeto preliminar e a Ünica maneira de 

quantificar a análise adotar valores prãticoç para os l i m i- 

tes inferior e superior destas relações, valores estes que são 

obtidos da prãtica corrente de projeto do navio. Entretanto, é 

preciso que se tome todo cuidado ao se adotar valores práticos. 

Em primeiro lugar, na anãlise dos resultados este tipo de res- 

t r i ~ ã o não pode ter o mesmo status das demais. Uma destas res e 

trições violadas significa apenas que se tem uma solução um 

pouco fora dos padrões tradicionais e que no projeto da estru- 

tura se deve prestar um pouco mais de atenção ã definição da 

geometria e da topologia. Já uma violação da estabilidade, ou 

de qualquer dos requisitos de projeto, representa realmente um 

projeto inviãvel. Em segundo lugar, 6 preciso que se evite a 

coagulação da prática de projeto, impedindo-se a pesquisa de 

novas soluções. 

0s limites para as relações adimensionais cita- 

das no parágrafo anterior e para as relaçóes v5/K e B/T que, 

junto com aquelas, também são usadas para avaliar o desempenho 

hidrodinâmico do casco, estão da mesma forma relacionados com 

os modelos para as estimativas do peso leve e da resistência ã 

propul são. 

- 

- 

-

1 1 1.4.3 - Restrições Re1ativa.s aos Regulamentos das C-onvençÕes 

- . - -- - -- - - - - 

da IMC 

No projeto prel iminar, só & possível verificar 

os regulamentos da Convenção Internacional de Linhas de Carga 

de 1966 referentes ao cálculo da borda livre mínima de verão 

e alguns poucos regulamentos das Convenções de Prevenção da Po 

lulção Marítima de 1973 e de 1978, referentes à quantidade ne- 

cessãria de lastro segregado, isto é, lastro carregado em tan- 

ques reservados exclusivamente para esta finalidade, de modo a 

manter condições seguras de navegabilidade. 0s demais regula- 

mentos destas duas convenções e todos os da Convenção para Sal - 

vaguarda da Vida Humana no Mar de 1974 dizem respeito a aspec- 

tos que só poderão ser tratados na fase de projeto bãsico (Ar- 

ranjos) e de projeto de detalhamento. 

Psrtan to, da Convenção de Linhas de Carga (I LLC-1966) 

sairã uma restrição de desigualdade, ou seja, a diferença en - 

tre ponta1 e calado tem que ser maior ou igual ã borda livre 

mínima de verão calculada pelos regulamentos da Convenção. Das 

conven~ões de poluição (1973 e Protocolo de 1978)~ sairão duas 

restrições de desigualdades. A primei ra, referente aos espa- 

ços para o lastro segregado, estabelece que o volume total do 

espaço de carga deve ser maior ou igual ao volume requerido, que 

6 a soma do volume de carga, do volume de lastro, do volume de 

combustíveis e, finalmente, dos volumes dos tanques de SLOP. 

A outra restrição se refere estabilidade na condição de las- 

tro e estabelece que o raio metacêntrico no calado de lastro de 

ve ser maior ou igual a um valor mínimo estabelecido de acordo 

com o critério de estabilidade adotado. 

- 

-

Resumindo, nos problemas tipicos de projeto pre 

1 iminar dos navios para o transporte de cargas a granel tere- 

mos as seguintes restrições: 

- ~estriçQes estabelecidas pazos requisitos de projeto 

Qualquer que seja o problema, ter-se-á pelo me- 

nos uma das seguintes restrições: 

- T pb = T req. 

pb 

- T > T req. 

pb - pb 

- T < T req. 

pb pb 

- C = C req. 

P P 

- C < C req. 

P - P 

- C > C req. 

P - P 

- - 

Fest - Fest req. 

- > 


- < 


Vol req. 

Vol req. 

Vol req. 

- Restrições relativas ã avaliação da segurança e do desempe- 

nho do nauio: 

- 

- 

- G M > GMmin 

- GM < GM max 

- 5'5 < L PP /B L 7.5 

- ~estrições relativas aos regulamentos das ~onvenções da IMO 

- Vol > Vol ias 

- GM laç > GM min 

- D - T > B L 

- requerida

IV - A - MODELAEO 

- - DO PROBLEMA -- .- 

A taxa de frete requerida é obtida por uma ope- 

ração com os valores dos custos de operação e aquisição, bem 

como da carga transportada anualmente. O fator de recuperação 

do capital pode ser considerado como uma constante, porque não 

estã relacionado com os mesmos parâmetros e permanece i nvariã- 

vel na análise de todas as opções de projeto. 

Para que esta medida de mérito seja realmente 

uma função das variáveis de projeto, é preciso que a relação en - 

tre custo de aquisição, custo de operação e carga transportada 

anualmente e as variáveis de projeto também satisfaça à defini - 

ção de função. 

TFR (L , B, D, T, CB, Vs) = 

PP 

0s custos de aquisição e operação e o valor da 

carga transportada anualmente não são conhecidos e nem podem 

ser calculados de modo direto, a partir unicamente das informa- 

ções contidas num conjunto de variãveis de projeto. O objetivo 

do modelo é exatamente o de permitir que estes valores sejam 

estimados para um dado conjunto de variãveis de projeto, def i- 

nindo uma relação unívoca entre elas e os valores corresponden 

tes dos custos de aquisição e operação e da carga transportada 

anualmente. 

(3) 

-

IV.l - A ESTIMATIVA DO CUSTO DE AQUISIÇÃO 

O Único modo de se desenvolver um modelo para 

estimar o custo de aquisição é através do tratamento de infor- 

maçoes sobre a construção de navios semelhantes. Existem, entre - 

tanto, várias maneiras de se obter e tratar estes dados. A me- 

lhor e mais eonfiãvel é, sem dúvida, levantar estes dados dire 

e 

tamente junto aos construtores e, através da anã1 ise de regreç - 

são, definir um ou vãrios polinômios que fornecerão os valores 

necessários ao cálculo da est imativa desejada. No presente tra 

balho, entretanto, não foi possivel seguir este caminho, por- 

que não se conseguiu obter as informações necessárias em nume- 

ro suficiente para desenvolver um modelo de custo. As princi- 

pais barreiras foram o sigilo industrial e a falta de dados le 

vantados de forma homogênea. 

As alternativas para resolver o problema da fal - 

ta de dados suficientes são tentar obter estes dados em publi- 

cações especializadas ou desenvolver e adaptar modelos prontos 

descritos na bibliografia diãponivel. A primeira das opções 

se mostrou inadequada, porque as i nformações obt i das também eram 

insuficientes e refletiam condições bastante diferentes. Por- 

tanto, a Única solução ê adaptar um modelo já desenvolvido, com 

base nas informações obtidas. Esta solução, entretanto, tam- 

bém apresenta diversos problemas. Em primeiro lugar, apesarde 

haver um grande número de artigos publicados sobre projeto pre 

liminar, são poucos os que apresentam todas as informações so- 

bre o modelo de custo utilizado. Em geral, alegando problemas 

de sigilo industrial, só apresentam os resultados obtidos e, 

em alguns casos, umas poucas informações sobre as simpl if ica- 

çÕeã adotadas. Outra dificuldade 6 que estes modelos foram de - 

-

senvolvidos com base numa realidade bem diferente daquela onde 

ocorrem os 'problemas que se pretende resolver, não sÔ no que 

diz respeito 5s condições econômicas, ou seja, taxa de infla 

ção, custo da mão-de-obra, etc, como também no que diz respei- 

to ao grau de desenvolvimento e independência da indüstria de 

construção naval, em termos de capital, tecnologia e disponibi 

lidade de matérias primas, materiai-s e bens de capital, que in - 

fluenciam diretamente os seus custos de construção e a sua com = 

petitividade em termos de mercado. 

O Ünico trabalho encontrado que fornecia todas 

as informações necessárias foi desenvolvido por Benford 151. 

Apesar de apresentar as dificuldades mencionadas anteriormente, 

posçuia uma série de qual idades que o tornaram uma referência 

básica para praticamente todos os artigos publicados sobre o 

assunto. A grande qualidade deste trabalho reside na aborda 

gem desenvolvida por Benford para o problema de estimar os cus - 

tos de construção e aquisição de navios mercantes, abordagem es 

ta que permite facilmente a adaptação do modelo ãs condições 

particulares do problema, sem que se mude a sua estrutura. 

Benford não recorreu a métodos estatísticos ou 

matemãticos para ajustar um polinomio que fornecesse o valor 

da estimativa de custo de aquisição. Ele o dividiu em várias 

parcelas, as quais eram relacionadas diretamente com um deter- 

minado parâmetro através de curvas exponenciaiç. 

Para a verificação do porte bruto, 6 necessário 

estimar o peso do navio leve, uma vez que aquele valor é a di- 

ferença entre o deslocamento e o peso leve. Esta verificação 

é feita mesmo quando na seleção das caracteristicas principais 

-

se adota uma abordagem mais convencional, como a proposta por 

Lamb 1121, sem se recorrer a um critêrio de natureza econômica 

para a escolha do melhor projeto, que 6 real izada com base ape 

nas em cri têrios técnicos. 

Na estimativa do peso leve quase sempre se divi 

dia este peso em três parcelas, que eram estimadas separadamen 

te: o peso de aço do casco, o peso da instalação propulsora e 

o peso de outfit. Nesta ultima parcela, são considerados to 

dos os itens que não estão incluídos nos dois anteriores. Esta 

divisão ê bastante coerente com o nível de detalhamento do pro - 

jeto preliminar, porque nenhum dos sistemas do navio está ain- 

da definido e o interesse principal 6 com o valor total do pe- 

so 1 eve. 

Benford adotou uma divisão semelhante para o cus 

to de construção, isto é, aço utilizado na construção do cas 

co, instalação propulsora e outfit, dividindo ainda cada uma 

destas parcelas em custo de material e custo de mão-de-obra, no 

qual considerou o custo total, isto 6, o custo direto com sal5 

rios e os custos indiretos com obrigações sociais. 0s custos 

de aço e outfit foram relacionados com os pesos de aço e outfit 

e o custo da instalação propulsora com a potência requerida da 

máquina propulsora, ou seja, utilizou a mesma solução que em 

geral se utiliza para estimar o peso desta parcela. 

Para estimar o custo de aço utilizado na cons- 

trução do casco a partir do peso de aço, Benford multiplicou es - 

te valor por uma constante que representa a eficiência no esta 

leiro, ou seja, a quantidade relativa de perdas de material na 

construção do casco, e pelo valor do preço tonelado do aço uti - 

- 

- 

- 

- 

- 

- 

- 

-

1 izado. 

O custo de mão-de-obra é obtido multiplicando o 

custo médio total do HH (homem hora), isto é, custos de sal5 - 

rios e obrigações sociais, pela quantidade consumida na cons- 

trução do casco. Para este valor foi ajustada uma curva expo- 

necial relacionando-o com o peso de aço. 

O coeficiente K1 acima representa também a ef i 

ciência do estaleiro na utilização de mão-de-obra. Para o coe 

ficiente a Benford utilizou o valor de 2/3. Neste traba- 

1 

lho, entretanto, ambos os coeficientes foram reajustados, não 

só para ajustar o custo de mãb-de-obra consumida na construção 

do casco 5s condições atuais, mas também para representar as 

diferenças existentes na construção dos navios considerados no 

que se refere ã utilização de mão-de-obra. 

Para o custo de outfit Benford usou uma solução 

semelhante ã utilizada para estimar o custo de aço, multipli- 

cando o peso de outfit pelo custo médio da tonelada de outfit. 

Cout = P out ' 'm~out 

O outfit engloba itens de preços tão diferentes 

quanto a máquina do leme e um cabeço de amarração, ou um guin- 

daste para manobras de carga e descarga e as luzes de navega- 

- 

-

ção. Entretanto, uma vez que não é necessário estimar o peso 

dos itens individuais, mesmo porque eles ainda não estão defi- 

nidos, a dificuldade principal é ajustar este valor ao preço 

médio da tonelada de outfit. No caso deste trabalho, será ne- 

cessário ajustar um valor diferente para cada um dos tipos de 

navio, porque os itens de outfit de cada um deles serão baçtan 

te diferentes. 

Para o custo de mão-de-obra consumido na insta- 

lação e fabricação do outfit, Benford usou uma solução semelhan 

te ã utilizada para o custo de mão-de-obra na construção do cas 

co, ajustando uma curva exponencial que relaciona este valor 

com o peso de outfit. 

O coeficiente K2, assim como no caso do aço,re - 

presenta a eficiência do estaleiro na utilização de mão-de-obra 

para a instalação e fabricação dos itens que compõem o outfit. 

Para o coeficiente C2, Benford utilizou o valor de 2/3. Am 

bos os valores, entretanto, serão reajustados para as condições 

do problema em questão. 

O custo da instalação propulsora inclui todos os 

equipamentos, isto é, a máquina propulsora e todos os periféri - 

tos, inclusive as unidades para geração de energia elétrica. Tan 

to o custo dos equipamentos como o da mão-de-obra neceçsãria pa 

ra a sua instalação foram relacionados com a potência requeri- 

da da mãquina propulsora. 

- 

- 

- 

-

C 

mo maq 

C = K3(pot req) 5 

ma q 

4 

= K4(Pot reg) . PHH 

Benford definiu valores diferentes para estes 

coeficientes nos casos de motores diesel e turbinas a vapor. 

Eles foram reajustados para as condi çÕes atuais, no presente tra - 

balho. 

A potência requerida para a instalação propulso 

ra é obtida a partir da estimativa da resistência à propulsão. 

Mais adiante, as estimativas deste parâmetro e do peso leve se 

rio discutidos com mais detalhes. 

timadas em dólares americanos. 

Todas as parcelas do custo de construção são e2 

O custo de aquisição obtido somando-se o cus- 

to de construção aos gastos com administração e ao lucro do es - 

taleiro. Geralmente, em trabalhos deste tipo, considera-se um 

percentual de 12% a 15% do custo de construção para estas 

parcelas. 

'aq = Kg(Caço + 

'mo 

aço + 

'out 

+ 

'mo 

out + 

IV.2 - ESTIMATIVA DOS CUSTOS DE OPERASÃO 

'maq 

+ 

'mo 

maq ) 

Assim como o custo de aquisição, a estimativa do 

custo de operação também é dividida em parcelas. Entretanto, 

nem todas elas se relacionam exclusivamente com as variáveis

de projeto ou têm qualquer influência sobre a escolha do melhor 

conjunto destas variáveis. E interessante, contudo, conside- 

rá-las na estimativa, para que se obtenha um valor mais prõxi- 

mo do real. Do ponto de vista do problema que se pretende re- 

solver, as parcelas mais importantes são aquelas que diferen- 

ciam um projeto de outro, para as quais & necessãrio desenvol- 

ver estimativas que representem de forma realistica estas dife - 

renças relativas. 

~ ã existe, o 

para o custo operacional, uma divi- 

são tão popular quanto a uti 1 izada por Benford para o custo de 

aquisição. A maioria delas, porém, considera uma divisão bási 

ca em custos fixos, que são as despesas para manter o navio em 

condições de operação e que ocorrem sempre, mesmo quando o na- 

vio não está operando e - custos variáveis, . 

que incluem todas as 

despesas originadas por uma viagem do navio (e que, por isto, 

são chamadas também de custos de viagem). Cada uma destas par 

celas é dividida em uma série de itens, os quais se relacionam 

com as vãrias funções necessãrias à operação de um navio mer- 

cante. 

Neste trabalho, serão considerados os seguintes 

itens na estimativa dos custos fixos: tripulação, manutenção e 

reparos, seguros, depreciação e administração. Para os custos 

de viagem, considerar-se-ão os seguintes: õleo combustÍve1, õleo 

diesel, óleo lubrificante, taxas portuárias e de canais, supri - 

mentoç para a tripulação. 

O custo de tripulação depende basicamente do n; 

mero de tripulantes, o qual não estã relacionado di.retamente 

com as variáveis de projeto ou com os demais requisitos de pro 

3

jeto. Isto principalmente no Brasil, onde a legislação traba- 

lhista não permite grandes diferenças, mesmo para navios de ti - 

po e porte bruto bastante diversos, que é exatamente o fator 

mais importante na fixação do número de tripulantes. Portanto, 

esta parcela não def inirã nenhuma diferença relativa entre os 

projetos analisados e será considerada apenas para que se obte = 

nha para o custo de operação um valor mais prõximo dos valores 

práticos. O custo de tripulação será obtido mul tipl icando - se 

o número de tripulantes pelo salário médio anual corresponden- 

te, no qual são incluidos tambêm os custos indiretos com obri- 

gações sociai S. 

- 

'triP - Ntrip trip 

0s custos de manutenção e reparos dependem basi - 

camente do tipo do navio, das suas dimensões, da sua idade e 

da eficiência do esquema de manutenção adotado pelo armador. 

Portanto, estão relacionados com as variáveis de projeto e ge- 

ralmente são obtidos tratando-se por análise de regressão as 

informações de navios semelhantes. Neste trabalho, pelas mes- 

mas razões do custo de aquisição, foi utilizada a expressão de 

senvolvida por Benford (51, a qual foi corrigida para as condi 

ções atuais, atravês do ajustamento dos coeficientes K~ e K. 

7 ' 

C = K ~ ( . L B ~ . ~ D/IOOO) + K (~ot req) 

m req 7 

K6 E 10000 e Kj, ' 7600 

2/3 2/3 

O custo de seguro depende basicamente do preço 

-

do navio e da idade. Em problemas de projeto preliminar é ge- 

ralmente estimado como uma percentagem do custo de aquisição, 

entre 5% e 10%. 

A depreciação é calculada com base no custo de 

aquisição e na vida econômica esperada através de uma fórmula 

obtida em 161, que supõe valor residual nulo e depreciação li- 

near. 

0s custos de administração dependem basicamente 

da empresa de navegação que opera o navio. Esta parcela tam- 

bém foi considerada, para que o valor estimado do custo de opg 

ração seja um valor o mais próximo possível dos valores reais. 

Para estimá-la também foi ut i 1 izada a expressão desenvolvida por 

Benford, que a relacionou com o porte bruto, corrigida para as 

condições atuais através do ajustamento do coeficiente K8 ' 

Os custos com combustiveis são as parcelas mais 

- 

importantes do custo operacional. Atualmente, sao reçponsã- 

veis por cerca de 50% do total do custo de operação. O custo 

com Óleo combusti'vel depende basicamente do consumo especifico 

da máquina propulsora que, por sua vez, é função da potência 

de serviço requerida e do tipo de instalação propulsora, bem 

como do percurso navegado em uma viagem redonda, o qual é fun-

ção da rota, que é um dos requisitos de projeto. O custo de 

Óleo diesel depende basicamente do número e da potência dos mo - 

teres auxiliares. Uma pequena parcela, entretanto, no caço de 

máquinas propulsoras diesel, ê consumida pelo motor principal 

nas manobras portuárias. O custo de lubrificantes depende do 

tipo e da potência requerida da instalação propulsora e em ge- 

ral a sua estimativa é calculada como uma percentagem do custo 

de Óleo combustível. 

A parcela do custo de operação referente ao Õleo 

combustivel ê obtida mul t i pl icando-se a massa deste combusti- 

vel consumida em um ano pelo preço de uma tonelada. 

O peso do combustivel por viagem redonda pode 

ser obtido multiplicando-se o número de horas nevegadas pelo 

consumo especifico e pela potência requerida da mãquina propul - 

sora. O número de horas navegadas 6 calculado aproximadamente 

dividindo-se a distância total percorrida em milhas maritimas 

pela velocidade de serviço em nós. Para obter-se o valor to - 

tal anual, basta multiplfcar-se o peso de combustível consumi- 

do em uma viagem redonda pelo número de viagens realizadas em 

um ano. 

O custo de Õleo diesel pode ser obtido de forma 

semelhante ao Õleo combustível. Deve-se apenas levar em consi - 

deração o esquema de operação dos motores auxiliares em curso 

e durante operações portuãrias e, quando for o caso, conside- 

rar-se uma pequena margem para o consumo do motor principal em 

manobras portuãrias. Outra alternativa, de previsão equivalen 

te, é obtida multiplicando-se o consumo médio em toneladas por 

dia em curso e em operações portuãrias pela duração correçpon-

dente da viagem, navegando e no porto. 

As taxas portuárias também podem ser divididas 

em dois grupos de natureza distinta. No primeiro ficariam as 

despesas proporcionais ao número de chamadas, isto 6, o número 

de portos da rota e o número de vezes em que o navio opera em 

cada um numa viagem redonda, despesaç estas que ou não têm re- 

lação com o tipo ou com o porte do navio, ou esta relação só apa 

rece para grandes diferenças. Por exemplo, rebocar um navio de 

200000 t de porte bruto exige um número maior de rebocadores 

, mais potentes, do que a execução da mesma tarefa com um navio 

de 20000 t de porte bruto. Logo, a operação para o primeiro 

navio é mais cara que para o segundo. Entretanto, as rnonobras 

de atracação para um navio de 250000 t ou 300000 t exige o 

mesmo número de rebocadores, enquanto que o tempo, que em ge 

ral define o custo destas operações, dependerá mais das condi- 

ções meteorológicas do que desta diferença de porte. Logo, es- 

tas duas operações deverão ter o mesmo preço. Este grupo de 

despesas será chamado de . taxas - - -- , portuãrias 

- -- fixas e inclui os gas - -. -- -- - 

tos com praticagem, rebocadores, lanchas de serviço, enfim, to 

dos os serviços oferecidos pelo porto que não se relacionam com 

as operações de carga e descarga. Este grupo não influencia na 

escolha do melhor projeto e ê considerado apenas para formar 

uma figura mais realista do custo de operação. 

O outro grupo de despesas se relaciona com as 

operações de carga e descarga, Será chamado de taxas - - portuã- 

rias variáveis e inclui todos os custos relativos ao embarque 

--- P 

-- - 

e desembarque da carga, estiva e conferência. Para navios des 

tinados ao trawçporte de produtos a granel muitas vezes estas 

despesas não existem, isto 6, não existe um gasto especjfico 

- 

-

para descarregar ou carregar a carga transportada. Para ilus- 

trar, considerem-se dois exemplos típicos. No transporte de 

petróleo bruto, as despesas para carregar correm por conta do 

exportador, enquanto o navio, pelos seus próprios meios, se en 

carrega da operação de descarga. Desta forma, não existe des- 

pesa para o embarque da carga. Para o desembarque, também não 

há uma taxa; o custo se manifestará num consumo um pouco maior 

de Óleo diesel que, entretanto, é computado no item correspon- 

dente. O outro exemplo ocorreria nos contratos de afretamento 

por viagem de navios para transporte de granêis leves,nos quais 

é muito comum existir uma clãusula que libera o armador das deç - 

pesas de carga e descarga, as quais são divididas por importa- 

dor e exportador. 

Na estimativa do primeiro grupo de despeças, ou 

seja, das taxas portuárias fixas, como estas taxas variam mui- 

to de porto para porto e as informações correspondentes não são 

difíceis de ser obtidas, o modelo prevê que tais informações 

sejam fornecidas pelo projetista, na forma de um valor médio 

em dólares para cada porto da rota. A mesma solução foi adota 

da para o outro grupo, isto é, as taxas portuãriaç variãveis. 

A iinica diferença 6 que, quando elas existirem, deve ser forne 

tido um valor médio em dólares por tonelada embarcada ou desem 

barcada, jã que os serviços relacionados neste grupo dependem 

da quantidade de carga embarcada ou desembarcada. 

Uma solução semelhante utilizada para as ta- 

xas portuárias fixas foi adotada para estimar as despesas com 

as travessias dos canais de Suez ou do Panamá. Deve ser forne - 

tido pelo projetista um valor médio em dólares que corresponda 

aproximadamente ao preço da taxa cobrada pela utilização do pró - 

- 

-

prio canal e dos serviços prestados pela administração de Suez 

ou do Panamã. 

Finalmente, o Último item dos custos de viagem 

é o referente às despesas com suprimentos para a tripu- 

lação, que depende apenas do número de tripulantes. Pa - 

ra estimá-lo, foi utilizada a fõrmula desenvolvida por 

Benford 161. 

IV.3 - A ESTIMATIVA DA CARGA TRANSPORTADA ANUALMENTE 

A carga transportada anualmente obtida multi- 

plicando a quantidade total de carga transportada em uma via 

gem redonda pelo numero destas viagens realizadas num 

ano. 

A carga transportada por viagem é obtida a par- 

tir dos requisitos de projeto, isto é, dos tiposedas 

quantidades de carga a serem trankportadas entre cada um 

dos portos da rota e da capacidade de carga do navio 

projetado. Este valor, por sua vez, depende dos requi- 

sitos de projeto, que definem a autonomia e das variã - 

veis de projeto, que definirão os demais parâmetros ne- 

cessários ao cálculo. 

A capacidade de carga 6 obtida subtraindo-se o 

peso de consumiveis do porte bruto. O porte bruto, por sua 

vez, é o resultado da subtração do peso leve do deslocamento, 

os quais são estimados a partir das variáveis de projeto. O pe 

so de consumiveis é constituido basicamente dos pesos de com- 

bustíveis, de ãgua doce, ãgua potável, suprimentos e pertences 

e bagagens da tripulação. O peso de combustiveis é estimado

com base na autonomia desejada para o navio, que é um 

requisito de projeto, na potência requerida da instala- 

ção propulsora, que é estimada diretamente a partir das 

variáveis de projeto e nos consumos especificos deõleo 

diesel e Óleo combustivel, que dependem do tipo e da 

potência da mãquina propulsora. Os pesos de água doce e 

água potável dependem do número de tripulantes e, assim 

como os demais, que pelo seu valor têm influência m- i 

nima no peso total de consumiveis, foram calculados pe 

la estimativa desenvolvida ppr Benford 151. 

O número de viagens é estimado com base na ro - 

ta, que é um requisito de projeto, e que define o percurso to- 

tal a ser navegado em uma viagem redonda, bem como no tempo mé 

dio das operações portuárias, que está relacionado à capacida- 

de de carga, e na velocidade de serviço, que ê uma variável de 

projeto. A duração de uma viagem é obtida dividindo-se o per- 

curso pela velocidade de serviço, que fornece o tempo gasto na 

vegado, o qual deve ser somado ao tempo gasto em operações por 

tuãrias. Dividindo-se o ano operacional, do qual devem 

ser abatidos os dias em que o navio permanece fora de 

serviço, em manutenção ou reparos, pela duração de uma 

viagem redonda completa obtém-se o numero de viagens. Cal 

culando este valor, já se tem todas as parcelas para a 

estimativa do custo operaciona'l médio anual e passa-se, 

assim, ao cãlculo da função de mérito, que poderia ser 

resumido no diagrama de blocos da Figura 2. 

- 

- 

- 

-

FIGURA 1 

Diagrama de Blocos Ilustrativo do Cálculo da 

Taxa de Frete Requerida 

Escolha do Vetor X de Vari3veiç. 

I 

,. 

de Projeto 

I Estimativa da Potência Requer 

i da para a Instalação Propulsora 

4 

Estimativa do Peso Leve 

E s t i ma t i va do Peso Gonsumivei s e 

da capacidade de cargado Navio 

Estimativa da quantidade de car 

ga transportada anualmente 

-I 

Estimativa do Custo de Aquisi 

$20 

Estimativa do Custo Operaciov 

na1 Media 

- - 

Cálculo da Taxa de Frete Re-- 

quer ida 

- 

.

O cãlculo do valor da função de mérito não esgo - 

ta o modelo. c necessário ainda calcular as estimativas dos 

valores das restrições. Algumas delas podem ser verificadas di - 

retamente, comparando o valor das variáveis de projeto, com os 

limites gerados pelas condições de acesso aos terminais por- 

tuários, ou com os limites adotados para as relações adimensio - 

nais, ou ainda os valores jã calculados do porte bruto, carga 

paga e carga transportada anualmente com os limites respecti- 

vos gerados pelos requisitos de projeto. Entretanto, as res- 

trições para o volume disponivel para a carga e para a estabi- 

lidade estática e as geradas pelos regulamentos das Convenções 

de Linha de Carga de 1966 e de Convenção da Poluição Maritima 

por dleo de 1973 e 1978 ainda não podem ser verificadas. Para 

isto, é necessário que se calcule o raio metacêntrico e os seus 

1 imites inferior e superior, a borda livre mínima, o volume dis - 

ponível para a carga, os volumes necessários para lastro segre 

gado e o raio metacêntrico na condição de lastro. 

IV.4.3 - A verificação - - . da 

- - - E- stabilidade - 

- 

Para a estimativa do raio metacêntrico e dos 

seus valores mãximo e mínimo, utilizou-se a expressão adotada 

por Nowacki 111, que, por sua vez, se havia baseado no traba- 

1 ho de G i lfi 1 lan, IiPrel iminary Design by Computer ii , publ icado 

na iranã. IESS Vol. 110, 1967. 

-

GMmin = 0.048 para assegurar a estabilidade inicial 

- 4,rr2 (o. 4 B) - - 

GMmax T ~ i . m g ~ 

T Lim = 10 seg para asse- 

IV.4.2 - O ~álculo da Borda Livre Minima 

--- -. . - - 

gurar um perfodo de 

jogo suficiente 

A estimativa do valor da borda livre mfnima foi 

desenvolvida diretamente a parti r da Convenção Internacional de 

Linhas de Carga de 1966 (15). 

Para a determinação do valor tabular da borda 1 i 

vre previu-se a possibilidade de escolher o projetista as tabe - 

las para navios do tipo A e navios do Tipo B e a tabela do ti- 

po B reduzida, para a qual se considerou a redução máxima de 

60% da diferença entre os valores correspondentes das duas ta - 

belas. 

Foram consideradas as seguintes correções para 

o valor tabular da borda 1 i vre: coeficiente de bloco, pontal, 

tosamento e conveses e casarias. 

Na correção para o coeficiente de bloco, quando 

o seu valor for maior que 0.68, o valor tabular ê multiplica- 

do pelo seguinte fator: 

onde o valor do coeficiente de bloco utilizado 6 o próprio va- 

lor da variãvel de projeto correspondente, isto é, o coeficien -

te de bloco para o calado de projeto. Esta aproximação é bas- 

tante razoãvel nesta etapa do projeto, principalmente porque pa - 

ra os tipos de navios considerados a variação do coeficiente de 

bloco do calado de projeto para c, calado equivalente a 85% do 

pontal 6 muito pequena. 

Só e xisti rã correção para o pontal quando a re- 

lação for L / D > 15.0 . Neste caso, o valor da borda livre de 

P P 

- 

ve ser acrescido da seguinte parcela: 

A correção para casarias, que são superestrutu- 

ras de largura inferior a 96% e superior a 60% da boca na 

seçao, foi considerada para todos os tipos de navios e nela se 

assume altura padrão e comprimento igual ao da praça de mãqui- 

nas. A Única superestrutura considerada, e apenas no caso de 

graneleiros e OBOs, foi o castelo de proa, para o qual se assu 

me altura padrão e comprimento igual ao do tanque de colisão 

de vante. 

A dedução para o valor da borda livre nas corre - 

çÕeç para casarias e castelo é calculada da seguinte maneira: 

para um navio com uma superestrutura ou casaria que se estenda 

por todo o seu comprimento, a dedução seria de 350 mm, quando 

esta dimensão for de ate 24 m; de 860 mm, quando o comprimento 

for igual a 85 m; de 1070, para navios de comprimento igual ou 

superior a 122 m. Para valores intermediários, isto é, entre 

24 m e 122 m, o valor da dedução é obtido por interpolação 1 i 

-

near. Quando o comprimento da superestrutura for menor que o 

comprimento do navio, o valor da dedução é obtido a partir de 

uma das duas tabelas abaixo, que fornecem a percentagem da de- 

dução padrão a ser considerada. 

L = L P P 

PERCENTAGEM DE DEDUÇÃO PARA NAVIOS DO TIPO A 

I COMPR 1 MENTO EFETIVO DA SUPERESTRUTURA OU CASARIA I 

TABELA I 

PERCENTAGEM DE DEDUÇÃO PARA NAVI OS DO TIPO B 

TABELA I I 

Para navios do tipo B, quando o comprimento efe 

tivo do castelo for inferior a 0.07 L as percentagens da 

PP' 

Tabela II acima devem ser reduzidas do seguinte valor: 

onde f é o comprimento efetivo do castelo.

A correção para o tosamento se baseia na dife- 

rença entre o tosamento real e o tosamento padrão, que é calcu - 

lado em seis seções ao longo do comprimento do navio pelas se- 

guintes' expressões: 

nulo. 

I Perp-. de Van te 

PARTE DE VANTE 

PARTE DE RÉ 

O tosamento na seção mestra, por definição, 6 

Quando o perfil do tosamento real nas diversas 

seções das partes de vante e de ré for diferente do padrão, a 

variação do tosamento 6 medida pelas somas dos produtos dos to - 

samentos, real e padrão, pelos fatores das tabelas divididas 

por 8. Quando a diferença entre os valores correspondentes dos 

tosamentoã padrão e real, para as seções de vante e de ré, for 

negativa existe uma deficiência de tosamento e deverá ser adi - 

cionado um valor ao valor da borda livre. Entretanto, quando 

este valor for positivo, é possível haver uma redução do valor

atual da borda livre. No presente trabalho, para efeito de sim - 

plificação, não será considerada nenhuma correção aditiva. 

A deficiência media e a média aritmética dos va e 

lores da deficiência de tosamento para as seções de vante e de 

ré. A correção para o valor da borda livre é calculada com ba 

se neste valor medto pela seguinte expressão: 

onde D a dificiência de tosamento e S 6 o comprimento to - 

tal de superestruturas ou casarias. O valor obtido deve ser 

deduzido do valor da borda livre. 

IV.4.3 - - A Estimativa do Volume 

Para estimar o volume disponível para carga, es - 

colheu-se o trabalho de Kupras 11 1 ] desenvolvido para granelei- 

ros, principalmente por ter este autor adotado uma estrutura 

que tornava simples as modificações exigidas pelas caracterfs- 

ticas particulares dos tipos de navios considerados. 

Kupras desenvolveu um procedimento no qual obti ,!== 

nha os volumes de todo o navio, incl'usive do compartimento da 

praça de mãquinas e do fundo duplo, multiplicando coeficientes 

de volume pelas dimensões principais do navio. Estes coefici- 

entes, por sua vez, foram derivados usando valores adimensio- 

naiç das curvas hidrostãticas, de áreas de seções transversais 

e de momentos de área, as quais foram desenvolvidas para for- 

mas da série 60. Uma vez obtidos estes volumes, o volume do 

compartimento de carga & calculado por subtração e corrigido pa 

-

a toçamento, abauliamento, escotilhas de carga e tanques de 

asa. 

O método é vá1 ido para navios com formas em U 

moderado, toâamento e aubalamento parabólicos e coeficientes 

de bloco na faixa 0.70 a 0.84 com extrapolação válida até 

0.86, que é muito boa para os problemas em questão. 

O volume do casco até o convés principal pode 

ser obtido pela seguinte expressão: 

onde CBD é O coeficiente bloco para um calado igual ao pon- 

tal e é calculado pela fõrmula abaixo. 

CB, = (r - 1.0) O.O86+ (0.7 - CB) O.O475+CB 

O volume do tanque de colisão de vante é abati- 

do do volume total obtido pela expressão (20), multiplicando-se 

este valor por 0.987, o que significa uma dedução de 1.3%. 

O volume do compartimento da praça de 'máquinas 

é calculado multiplicando-se o coeficiente de volume correspon - 

dente pelas dimensões principais. 

D 

CVpM = 0.042-- 0.04 CB+ LPM (CB - 0.02)/~ - 0.08 

T PP 

onde LPM é o comprimento da praça de máquinas, medido da per - 

pendicular de re até a antepara de vante do compartimento. 

(22) 

A expressão do coeficiente de volume da praça

de mãquinas foi desenvolvida para uma relação entre a altura 

do fundo duplo naquele compartimento e o calado igual a 0.1. 

Quando o valor desta relação for diferente, será necessário cor - 

rigi r o v01 ume da praça de máqui nas, correção esta que será rea 

lizada abatendo-se daquele volume o valor obtido pela expres- 

são abaixo. 

Conhecido o volume da praça de máquinas, que é 

calculado pela expressão (24), já é possível calcular o volume 

bruto do compartimento de carga, isto é, o volume deste compar 

timento sem nenhuma dedução ou correção para os diversos ele 

mentos estruturais e operacionais, tais como fundo duplo, tan- 

ques de asa, tosamento e abaulamento. 

A primeira correção a ser considerada serã aque e 

la relativa aos volumes de tosamento e abaulamento, isto é, o 

volume adicional em relação ao valor obtido pela expressão (25) 

devido aos espaços proporcionados pelo perfil de tosamento e 

abaulamento, uma vez que, por definição, o ponta1 é medido a 

meio navio no convés ao lado e o perfil do tosamento e do abau 

lamento são definidos em relação àquele valor, isto 6, ao pon- 

tal moldado. 

- 

- 

-

expresçao: 

O volume de abaulamento é obtido pela seguinte 

= (0.221 + 0.446 CWD - 0.111) ABAU . CWD (0.97 L - LPM) B~ (26) 

V Q L ~ ~ ~ ~ 

onde CWD é o coeficiente de 1 inha d'água para um calado igual 

ao pontal, sendo calculada pela fõrmula abaixo: 

D 

CWD = 0.82 CB -i- 0.217 + (- - 1.0) (0.16 -i- (0.7 - CB) 0.4) 

T 

ABAU é abaulamento dado em relação â boca, isto 6, representa 

o valor da relação entre o abaulamento real e a boca na seção. 

são abaixo: 

onde: 

L~~ Ç 

(27) 

O volume de tosamento é calculado pela expres- 

= (0.444 CWD - 0.111) o.~(TOS V -i- TOS R) (0.97 L - LPM)B (28) 

TOS V - ê o tosamento na perpendicular de vante 

TOS R - 6 o tosamento na perpendicular de ré 

Até aqui o procedimento de cálculo do volume diçponivel para a 

carga ê o mesmo para todos os tipos de navio. Doravante, po- 

rém, as correções serão diferentes, refletindo as part iculari-

dades de cada um deles. 

Como os petroleiros são, dos tipos de navios con - 

siderados, os que apresentam o arranjo do espaço de carga mais 

simples a descrtção das corre~ões adicionais para o rãlculo 

do volume útil do espaço de carga será iniciada por este tipo 

de navio. 

- O VOLUME ÓTIL DE CARGA PARA PETROLEIROS 

Para este tipo de navio, a única correção que 

ainda falta considerar é a que diz respeito ao volume dos cha- 

peamentos e dos elementos estruturais de reforço. Esta corre- 

ção 6 tratada de forma idêntica ao volume do tanque de c01 isso 

de vante, isto é, multiplicando o volume do compartimento de 

carga por um fator de correção. É interessante notar que, no 

caso do transporte de petróleo, os compartimentos de carga não 

podem ser totalmente cheios, sendo necessário deixar uma reser - 

va para os gases. Como a fixação desta margem depende de uma 

série de fatores que serão definidos apenas em estágios mais 

avançados do processo de projeto, ela não serã considerada no 

cãlculo atual da capacidade volumétrica de carga. Entretanto, 

na definição do coeficiente de correção para os volumes dos vã 

rios elementos estruturais, qualquer excesso na definição do 

valor deste coeficiente pode ser considerado como parte da re- 

serva para os gases do petrõleo. 

- O YOLUME ÚTIL DE CARGA PARA M~NERO-PETROLEIROS 

Este tipo de navio é dotado de tanques laterais, 

também chamados de tanques de asa, bem como de um porão central, 

-

que é provido de fundo duplo. Portanto, as correções para o cálculo da ca- 

pacidade volumetrica de carga deveriam considerar, alem do volume do fundo 

duplo, o volume das escotilhas de carga. Entretanto, como no transporte de 

minério não existe problema de volume,já que esta carga possui peso especí 

fico bastante elevado, e no transporte de petrõleo existe o problema da re 

serva para os gases, considerou-se que a estimativa do volume extra das es - 

cot i 1 has de carga não era relevante nesta fase do projeto, não havendo ne- 

cess i dade de ca 1 cu 1 i- la. 

0s minero-petroleiros possuem fundo dup 10 apenas no porão 

central, que se destina ã carga de minêrio e petróleo . Para o cãlculo 

da estimativa do volume diçponivel para a carga, bastava calcular o volume 

do fundo duplo. Entretanto, como este volume dependerá da geometria do po- 

rão central e o volume deste compartimento constitui uma informação impor- 

- 

BTC 

tante para uma anã1 ise mais criteriosa dos resultados obtidos, este volume 

tamb6m ser5 eât imado. Por i sto, partiu-se das duas configurações aba i xo , 

cabendo ao projetista escolher a que julgar mais adequada. 

FIGURA 2 

- 

-

fundo duplo é igual a 


L = L 

Por PP 

ga 

Para qualquer das duas configurações o volume do 

VOLFD = BFD . HFD . L Por 

- L~~ - L~cv 

& o comprimento do espaço de car 

A boca do fundo duplo, em ambas as configurações, 

pode ser fornecida diretamente pelo projetista como uma percen 

tagem da boca moldada, ou calculada a partir da boca do porão 

(que também deve ser fornecida como uma relação da boca molda- 

da) e do ângulo de inclinação das anteparas longitudinais. 

volume do porão central. 

- - ~ o n f i g u ~ e 

obtêm-se então as seguintes expressões para o 

BPC + BFD 

VOLPC = ( -i-- -) (D - HFD) L Por 

(32) 

A estimativa da capacidade volumétrica para mi- 

nero-petroleiros pode então ser calculada pela seguinte expres 

são : 

VQLMp = 0.955 ( V O L ~ + ~ VOLTOS ~ + VOLABAU - VOLFD) (33) 

VOLUME TIL DE CARGA PARA GRANELEIROS, OBOs e OBs (ORE/BULK) 

- 

- 

-

Todos estes tipos de navios possuem seGoes de 

geometria semelhante (Figura 3). Entretanto, a utilização dos 

porões e tanqueç de asa é variada e depende do tipo de carga. 

E muito comum, por exemplo, utilizar-se os tanques de asa supe - 

rior para carregar granel leve e cargas liquidas. Estas Ú l t i- 

mas também podem ser transportadas nos tanques de asa inferio- 

res e até mesmo nos tanques de fundo duplo. Atualmente, com a 

Convenção de Prevenção da Poluição de 1978, a carga de produ- 

tos fora dos porões apresenta uma sgrie de restrições, que se- 

rão discutidas com mais detalhes posteriormente. Por ora, a 

discusçãa centrar-se-: na estimativa do volume Ú t i 1 para carga. 

w 

BTAI 

FIGURA 3

O volume do fundo duplo é estimado com base na 

formulação desenvolvida por Kupras 1101. O coeficiente de vo- 

lume do fundo duplo é calculado de acordo com a fórmula abaixo: 

O volume do fundo duplo, então, 6 obtido multi- 

pl i cando-se o valor resul tante da expressão (34) acima pelo pro 

duto do comprimento entre perpendiculares, boca moldada e altu 

ra do fundo duplo. 

V0LFD = CV L 

FD PP 

. B . HFD (35) 

Caso seja necessário, é posçivel obter o volume 

líquido do fundo duplo, isto é, o volume realmente disponível 

para combustiveis, lastro, cofferdans, tubulações, etc., bas- 

tando multiplicar o valor obtido em (35) por 0.992. 

Para as correções para os tanques de asa, Kupras 

desenvolveu as seguintes expressões, com base nas relações geo 

métricas destes compartimentos: 

- ãrea de seção transversal do tanque superior 

2 

ATS = 0.02 B . R BT s + 0.5 R tg ANG 

BTS 

su P 

- ãrea de seção transversal do tanque inferior 

- volume do tanque de asa superior 

- 

- 

-

- volume do tanque de asa inferior 


R~~~ - < a boca do tanque de asa superior em percenta- 

gem da boca moldada. 

R~~ I - a boca do tanque de asa inferior em percenta- 

L = L - 

Por PP 

gem de B. 

LpM - LTCV 6 o comprimento do espaço de car 

Para o volume Ü t i l de graneleiros, bem como de 

OBs (ORE/BULK), considera-se que o tanque de asa superior tam- 

bém pode ser usado para carga. 

VOL = (VOLBCC + VOLTDS + VOLABAu - VOLFD - VOL~~~) 

gra 

Para OBOs assumiu-se por hipótese que os tan- 

ques superiores 56 poderiam ser usados para transportar granêis 

leves e cargas l Íquidas não poluentes de baixo peso especifico. 

Para o transporte de petrõleo e minério seriam usados apenas os 

porões. 

-

A Convensão de 1978 consistiu na realidade ape- 

nas em uma evolução das tendências que se manifestaram na Con- 

venção de 1973, isto é, visou reduzir significativamente a po- 

luição cronica provocada pela descarga de lastro sujo e aumen- 

tar a segurança da carga para evitar grandes perdas de poluen- 

tes em caso de acidentes. Assim sendo, se em 1973 a preocupa- 

ção central parece ter sido com a poluição provocada pelo las- 

tro sujo, resultando na exigência de tanques de lastro segrega - 

do para petroleiros com porte bruto igual ou superior a 70000t, 

em 1978 ratificou-se esta tendência, reduzindo-se o limite pa- 

ra 20000 t. Nesta ultima Convenção, o terna principal foi a po - 

luição provocada por acidentes e, neste sentido, introduziu-se 

o conceito de proteção dos compartimentos de carga, segundo o 

qual estes compartimentos devem ficar isolados do mar pelo tan 

que de lastro. Em 1973 se havia limitado o volume máximo dos 

tanques e a perda hipotêtica máxima no caso de avaria. 

Como no projeto preliminar o objetivo principal 

é a definição mais geral do navio, isto é, do menor conjunto de 

características que definem um navio particular e como a maio- 

ria dos regulamentos das Convenções de Poluição se referem ao 

arranjo dos tanques de carga e de lastro, 5s manobras de embar - 

que e desembarque, ao tratamento do lastro e ã limpeza dos tan 

ques de carga, apenas alguns poucos desses regulamentos pode- 

rão ser verificados nesta etapa do projeto, ou seja, somente 

aqueles que interferem com ou se referem 5 definição das carac - 

teristicas do navio. 

- 

-

A primeira preocupação do projetista deve ser de - 

terminar a quantidade de lastro a ser transportada, para que 

possa verificar se a capacidade volumétrica estimada do compar 

timento de carga é suficiente para transportar a carga e o las 

tro em tanques separados e exclusivos. O regulamento 13 da Con 

venção de 1978 estabelece que o calado a meio navio na condição 

de lastro deve ser no minimo igual ao valor calculado pela ex- 

pressão (41) abaixo: 

Este valor mínimo corresponde ã condição de las - 

tro, sem consumíveis, o que significa que o deslocamento do na e 

vio corresponde ao peso leve e ao peso de lastro, e que em ne- 

nhum instante da viagem em lastro o calado deve ser inferior ao 

valor obtido com a expressão (41). Supondo, por hipótese, que 

o calado de lastro será igual ao mi'nimo e que o coeficiente de 

bloco sofra uma variação pequena deste calado para o de proje- 

to, da ordem de 3%, o deslocamento em lastro pode ser estimado 

pela expressão abaixo: 

O peso de lastro, então, é estimado subtraindo- 

se do valor obtido com a expressão (42) o valor do peso leve. 

O volume de 'lastro é obtido dividindo-se o va 

lor do peso de lastro pelo peso especifico médio da água do 

mar (1,025 ton/m3). 

A convenção também exige que todo navio para 

- 

-

transporte de petrõleo bruto ou derivados seja dotado de pelo 

menos dois tanques de SLOP, um em cada bordo, para armazenar 

os resíduos de lavagem dos tanques de carga e tratamento do 

lastro, e com capacidade minima igual a 1,5% da carga Útil. Exi 

ge ainda que os tanques para transporte de õleo diesel e óleo 

combustivel sejam reservados unicamente para este fim, isto é, 

não carreguem também lastro. 

Desta forma, o volume requerido para o espaço 

de carga é igual ã soma do volume da carga, do volume de las- 

tro, do volume dos tanques de SLOP e dos volumes de Õleo com- 

buçt ível e õleo diesel necessários para fornecerem a autonomia 

desejada, sem considerar as tolerâncias para os gases e para os 

elementos estruturais, podendo ser estimado pela expressão a 

segui r: 

onde 

'lastro + 

PesooC Peso 

VOLREQ = VOLCG + - -- . . + 

' O L C ~ 

'lastro 

'OC 

Yo c 

'OD 

y0 D 

1 . O25 

Y~ C Y~~ 

- OD + 0.015 VOLCG (43) 

= peso da carga/ycarga, é o volume da carga 

= peso de lastro 

= peço de Õleo combustivel 

= peso específico do Õleo combustivel 

= peso do Õleo diesel 

= peso específico do õleo diesel 

O regulamento 13 exige ainda que o calado de las e 

tro seja suficiente para garantir condições seguras de navega- 

bilidade, sem haver a necessidade de lastrar os tanques de car - 

ga; que o trim máximo seja de 1,5% a r6 e que haja imersão to 

-

tal do propulsor. Destes requisitos, somente o que se refere 

5s condições de navegação poderá ser considerado. Na falta de 

um critério de estabilidade mais objetivo que o dos regulamen- 

tos, que não definem o que consideram condições seguras de na- 

vegabilidade, aptou-se pelo mesmo critério utilizado no calado 

de projeto, recalculando o valor do raio metacêntrico para a 

condição de laçtro com a expressão (14). 

Temos então as duas restrições geradas pelas Con - 

venções de Poluição: o volume Ü t i l do espaço de carga, que tem 

que çer maior ou igual ao volume requerido e o raio metacêntri - 

co na condição de lastro, que tem que ser maior ou igual ao 

GM minimo. Os demais regulamentos só podem ser verificados em 

fases mais avançadas do processo de projeto. Entretanto, é pos 

sivel fornecer ao projetista mais algumas informações, que per 

mitam uma análise mais criteriosa dos resultados. Neste senti - 

do, ção estimados os volumes dos tanques de fundo duplo e tan- 

ques de asa, que serão reservados basicamente para carregar las 

tro, combustíveis e produtos não poluentes, de forma a estimar 

os volumes realmente disponiveis, respectivamente, para os tan 

ques de carga e lastro. Esta informação ê muito Ü t i l para a 

anã1 içe do projeto, principalmente porque o problema do lastro 

segregado não é apenas de capacidade, mas tambêm de arranjo dos 

compartimentoç de carga e lastro. 

Para estimar os volumes dos tanques de fundo du - 

plo e de asa, foram assumidas as seguintes hipótese no que se 

refere 5 geometria básica de uma seção tipica dos navios consi - 

- 

-

derados. 

O fundo duplo do tanque central tem a função bã - 

sica de satisfazer aos regulamentos no que tange ao isolamento 

e proteção dos tanques de carga. Sua a1 tura, portanto, deverá 

ser igual ao menor valor entre 2 m e 0.01 B. A boca do tan- 

que central também deve ser maior que a dos navios anteriores 

ãs Convenções e, no caso de navios maiores, pode ser necessária 

uma terceira antepara longitudinal, nao só para reduzir o efei - 

to de superfície livre, mas também por razões estruturais. 

No caso dos míneros-petroleiros, - -- não houve ne- 

nhuma grande modificação na geometria da seção. Apenas a boca 

do porão central cresceu para atender às novas exigências de 

carregar a maior parte do volume de petrõleo, o que anterior- 

mente era feito pelos tanques de asa, que agora são reservados 

basicamente para o lastro. Esta transformação foi uma conse- 

quência direta da necessidade de proteger e isolar os espaços 

destinados 5 carga de petróleo bruto, uma vez que o minêrio nao 

6 poluente e portanto, seria possível considerar um porão re 

3 

servado exclusivamente para a carga de minério como um tanque

de lastro segregado. Na fase de arranjo, geralmente se adotam 

alguns porões centrais para minério e lastro e alguns tanques 

de asa nas extremidade do compartimento de carga para petróleo. 

Esta solução 6 adotada para permiti r uma melhor distribuição de 

carga e lastro e um melhor aproveitamento do espaço de carga. 

O problema se complica sensivelmente para os 

OBOç (ORE/BULK/OIL), tendo em vista a necessidade de proteção 

dos compartimentos de carga pelos tanques de lastro. Os regu- 

lamentos exigem que os tanques de asa tenham no mfnimo 2.0 me- 

tros de boca interna e se estendam ao longo de todo o pontal, 

para que a ãrea de costado seja considerada no cãlculo da ãrea 

protegida. Logo, na configuração tradicional, as ãreas dos 

chapeamentos de costado dos tanques de asa não seriam conside- 

radas. Para superar esta dificuldade, assumiu-se a hipótese de 

que os OBOs serão dotados de tanques de costado de boca minima 

ligando os tanques de asa superior e inferior, que se estende- 

rão ao largo de 60% do comprimento do compartimento de carga a 

meio navio, 30% para a vante e 30% para a r6. Desta forma, a 

soma da ãrea de costado protegida e da área do fundo de todo 

o compartimento de carga será suficiente para satisfazer à exb

gência do regulamento 13E da Convenção de 1978. 

Para a distribuição da carga, assumiu-se que os 

porões centrais carregarão todos os tipos de carga, isto é, mi 

nêrio, petróleo e granéis leves, que os tanques de asa superio 

res transportarão apenas granel leve e lastro, e que os tanques 

de asa inferiores, os tanques de anteparas e uma parte dos tan 

ques de fundo duplo serão reservados exclusivapente para las 

tro. O restante dos tanques de fundo duplo são reservados pa- 

ra a carga dos combustíveis. 

Outro problema introduzido pela Convenção de Po - 

1 u i ção para os OBOs são os tanques de SLOP. Assumiu-se que exis- 

tirão dois tanques, um em cada bordo, divididos por uma antepa 

ra longitudinal, imediatamente após a antepara da praça de mã- 

quinas, nos quais haverá apenas o fundo duplo e os tanques de 

asa inferiores. 

Os demais tipos de navios, isto é, graneleiros 

e 06s (ORE/BULK) não carregam produtos poluentes e, portanto, 

não estão sujeitos aos regulamentos das Convenções de Preven- 

ção da Poluição, apenas aqueles que segregam os tanques de fun - 

do duplo de combustivel dos de lastro. 

- 

- 

- 

- 

-

O mêtodo utilizado para estimativa da potência 

requerida se baseia no procedimento proposto por Silverleaf e 

Dawson 1 i8 1 que tem sido usado com resultados muito bons em tra - 

balhos de projeto preliminar 11 1 , 121 e, no Programa de Enge- 

nharia Oceânica da COPPE, por Riof rio 119 1 , Riofrio e Sphaier 1101 

e Azevedo Jr., Sphaier e Amorim 1211, tambêm com excelentes re - 

su 1 tados. 

A estimativa da potência requerida foi desenvol - 

vida com base nos resultados de testes com modelos realizados 

no atual NMI (~ational Maritime Institute - antigo NPL - Natio - 

na1 Physi cal Laboratories) . Esta estimativa foi desenvolvida 

com base em critêrios para avaliação da efi'ciência hidrodinâmi - 

ca na forma de uma velocidade limite (~oundary speed) e de fa- 

tores de eficiência. 

A velocidade limite representa a máxima veloci- 

dade econõmica de um ponto de vista hidrodinãmico e foi defini - 

da como a velocidade abaixo da qual o coeficiente de resistên- 

cia não apresenta uma variação muito acentuada e acima da qual 

este coeficiente varia acentuadamente. Ela foi definida mate- 

mati'camente a partir das curvas que relacionavam o coeficiente 

de resistência e o coeficiente de Taylor (ou qualquer outro coe - 

ficiente de velocidade) como função do coeficiente de bloco se - 

gundo a expressão abaixo.

A medida de eficiência hidrodinâmica mais simples e cla- 

ra é a potência necessária para propelir um determinado deslocamento a uma 

dada velocidade. Entretanto, a potência requerida pelo propulsor, ou a po - 

tência entregue ao propulsor (DHP), sofre influência do tipo de instalação 

propulsora se ela controla a rotação do propulsor, uma vez que este parâme - 

tro afeta a eficiência do propulsor em ãgua aberta. Portanto, se obteria 

uma medi da de eficiência hidrod i nâmi ca do casco e seus apêndices bem me- 

lhor eliminando a eficiência do propulsor em ãgua aberta, porém mantendo 

fatores que levem em consideração a interação entre o casco (incluindo to- 

dos os apêndices) e os componentes da eficiência propulsiva. 

Este coeficiente foi def i ni do para um compri mento padrão 

(400 ft) em função do coeficiente (K) (coeficiente de velocidade e desloca - 

mento) através da segui nte expressão: 

Para a correção do coeficiente de eficiência hidrodinâmica para outros com - 

primentos, derivou-se uma curva que relaciona H/H400 com o comprimento en- 

tre perpendiculares. Esta curva de correção apresenta precisão compatível 

com os objetivos do projeto prel iminar. 

Para a maioria dos navios a eficiência do propulsor em 

ãgua aberta6 consideravelmente independente daeficiência hidrodinâmica 

do casco, com exceção apenas daqueles onde o diâmetro do propulsor é seve - 

ramente restrito por limitações de calado ou por problemas de fabricação 

(este problema só ocorre para o caso de navios de grande porte) e assume 

valores muito diferentes do diâmetro Ótimo. Para os casos simples a efici - 

ência do propulsor em ãgua aberta depende basicamente da rotação, da velo- 

cidade de avanço e do empuxo requerido, e pode ser fortemente relacionada 

com os coeficientes de forma do casco. Examinando os resultados deensaios

com propulsores realizados no NPL, nos quais o diâmetro dos propulsores tes - 

tados estava prõximo do Ótimo, Silverleaf e Dawson concluiram que era pos- 

sível desenvolver uma estimativa preliminar da eficiência do propulsor em 

água aberta para a velocidade 1 imite em termos do coeficiente de bloco. A 

expressão abaixo foi desenvolvida para uma rotação de 120 RPM. Para rota- 

ções diferentes é apresentada em 1181 uma curva para correção, entretanto, 

para fins de projeto prel iminar podemos considerar esta rotação fixa em 

120 RPM, que para instalações diesel de baixa rotação (que equipam a maio- 

ria dos navios convencionais) pode ser considerado como um valor elevado, 

logo o rendimento do propulsor na condi gão de serviço deverá ser maior do 

que o estimado e portanto estamos fazendo uma simpl i f i cação a favor da se- 

gu rança. 

n,(120) = 0.98 - 0.55 Cs 

Para a estimativa da potência entregue ao propulsor em 

termos da eficiência hidrodinâmica do casco e do rendimento do propulsor 

Silverleaf e Dawson desenvolveram a seguinte expressão: 

SHP = 

1 (1 + x) *23 

TV' rloH "B 

na qual o fator (1 + x) é um coeficiente de precisão do desempenho hidrodi - 

nâmico ligando as potências do modelo e do protõtipo. A significância e a 

utilidade do critérlo de eficiência hidrodinâmica do casco, H, para a esti - 

mativa de potência não 6 afetado pelo método de extrapolação utilizado pa- 

ra determinar o coeficiente de resistência para o navio a partir daquele 

medido para o modelo. 0s valores absolutos de H dependerão, naturalmente, 

do método de obtenção do coeficiente de resistência, porém a estimativa de 

potência não será afetada porque o coeficiente de previsão do desempenho 

hidrodi nâmi ca (1 + x) i rã experimentar uma variação correspondente. Este 

coeficiente é obtido a partida de uma curva desenvolvida com base nos re- 

sultados experimentais do NPL em termos do comprimento.

A potência entregue ao propulsor é determinada através 

de uma curva ajustada a partir de resultados experimentais que relaciona 

V/VB e P/Ps Supondo um rendimento mecânico de 98%, a estimativa da po- 

tênci a requer ida 6 determinada pela segui nte expressão: 

1 (1 +x) ;2 P 

BHP = 0.98 (w noH v ) - 

P~ 

IV.6 - A ESTIMATIVA DO PESO LEVE 

1v.6.1 - A Estimativa do Peso de Aço 

Para estimar o peso de aço, foi utilizado basi- 

camente o trabalho de Hagen, Johnsen e Ovrebo 121, que também foi 

usado por Kupras em 1101, no qual o peso de aço foi relacionado com o módu - 

10 de seção da viga navio e com quatro fatores calculados diferentemente 

para petrolei ros e granelei ros com base nas rela~ões adimensionais L /B 

P P 

e L /D. Oprocedimentopropostoparaaestimativadopesodeaço pode 

P P 

ser resumido pela seguinte expressão: 

O coeficiente K ê um coeficiente de proporcionalidade 

e vale 3,28 para graneleiros e 4,04 para petroleiros. 

O coeficiente c é obtido pela expressão abaixo: 

O coeficiente d representa a 

quando se usa aço de alta tensão total ou par 

redução de peso 

cialmente na cons - 

trução do casco. Quando o material do casco for aço de media 

tensão, este coeficiente assume o valor I; nos demais casos 

ele ê calculado da seguinte maneira:


L~~ 

F~~ 

- é o comprimento onde é utilizado aço de alta ten- 

são na construção do casco 

- é o fator de utilização de aço de alta tensão que 

é igual a: 

- - 

- 5 1 

F~~ 6,+27 

- 62 

F~~ S E + 3 8 

quando for usado aço de alta ten - 

são em todos os elementos ou 

quando o aço de a1 ta tensão for uti - 

lizado apenas nos elementos estru- 

turais de fundo e convês 

- é a tensão de escoamento do aço utilizado 

em kg/mm 2 

Z 6 o mõdulo de seção mínimo da viga navio, que 

pode ser obtido pelas fõrmulas de qualquer Sociedade Classifi- 

cadora. Neste trabalho foi uti 1 izada a mesma Sociedade do tra 

balho original, o Det Norsk Veritas. 

- 4 

onde F=3.0408375+ 0.014826515 L - 0,173469. 10 L 

PP P P 

para L

- 

Os fatores f,, f2, f3 e f4 sao calculados pa 

- 

ra petrolei res e graneleiros de acordo com as expressões abai- 

xo : 

GRANELEIROS PETROLE I ROS 

.= 1 .I04 - 0.016 Lpp/B 

fl 

fl 

= 1.104 - 0.016 L /B 

PP 

(48) 

Uma das razões que levaram ã escolha do trabalho 

de Haggen, Jonhsen e Overbo foi o fato de terem os mesmos con - 

siderado a possibilidade da utilização de aço de alta tensão, 

não só porque este material vem sendo muito utilizado na cons- 

trução de grandes navios mas, principalmente, porque oferece ao 

projetista a oportunidade de analisar as vantagens e desvanta- 

gens da utilização deste material, do ponto de vista mais ge- 

ral do projeto preliminar. 

A maior deficiência do trabalho talvez seja a 

sua faixa relativamente estreita de aplicação para navios de 

50000 t a 300000 t de porte bruto, Os autores analisaram as 

extrapolações e verificaram que, para valores superiores de por 

te bruto até cerca de 500000 t, os resultados se mostraram bas 

tante razoãvei S. Entretanto, para valores inferiores, pri nci - 

palmente para petrolei ros, os resultados tendem a subestimar 

os valores do peço de aço. Ainda assim, os valores obtidos pa 

ra os graneleiros até cerca de 20000 toneladas apresentam pre- 

cisão aceitável . Nos testes verificou-se que, em alguns casos, 

até para valores de 12000 toneladas de porte bruto, conseguiu-se 

-

um desvio na faixa de 5% a 10% para graneleiros. Para petrolei - 

roç, na mesma faixa, os resultados estão muito distorcidos. De - 

cidiu-se, portanto, fornecer ao projetista a possi bi 1 idade de 

uti 1 i zar outro procedimento para estimar o peso de aço de pe- 

troleiros, para que seja possível a solução de problemas para 

navios de pequeno porte. 

O método escolhido foi o desenvolvido no DNV 

(Det Norske Veri tas) que apresenta bons resultados para navios 

de pequeno porte. Entretanto, a sua faixa de val idade é bem 

ampla, indo até os 800000 t de porte bruto, podendo também 

ser uti l izado para navios de médio e grande porte. Este traba 

I ho apresenta uma modelação semel hante ã desenvolvida por Hagen, 

Johssen e Gvrebo, não considerando, porém, a possibi 1 idade de 

aço de alta tensão. 


0.0290 + O. 00235 - A 

para A < 600000 toneladas 

i 00603 - 

para A > 600000 toneladas 

Para o caso de OBOs e minero-petrolei ros, foram 

utilizadas correções para os pesos de aço calculados respecti- 

vamente para granelei ros e petrolei ros. 

-

- PARA OBOs 

P = P 

aço aço 

P =P 

aço aço 

para graneleiros (1.1025 i 0.003 A 1 

100000 

para petroleiros (1.1103 i 0.0028 A -) 

100000 

A fõrmula (53) foi desenvolvida no DNV e compi- 

lada do mesmo trabalho 1231 em que se obteve a fõrmula para pe - 

troleiros. A fõrmula 1541 foi ajustada com base na 1531 e em 

estudos paramétricos para o caso do minero-pet rolei ros. 

O método de Hagen, Johnsen e 0vrebo não conside 

ra os pesos da superestrutura e convés do castelo. O valor cal 

culado pela fórmula (44) corresponde apenas ao aço do casco. 

Para obter o peso total de aço é necessário adicionar os pesos 

da superestrutura e do conves, que podem ser estimados, para 

qualquer tipo de navio, pelas seguintes expressões, propostas 

por Nowacki . 

- PESO DO CASTELO 

. P cast = 0.014 L B 

PP 

- PESO DA SUPERESTRUTURAS 

Psup 

= 160 + 0.00874 L B 

PP 

Os valores fornecidos pela expressão (54) do DNV 

para peso de aço de petroleiros precisam ser corrigidos porque 

já correspondem ao peso total de aço. 

Para o peso de outfit foram utilizadas as fõrmu - 

Ias desenvolvidas por Nowacki para petroleiros e por Kupras pa 

- 

- 

-

a graneleiros. 

- PARA PETROLEIROS 

- PARA GRANELEIROS 

Para OBOs e minero-petroleiros foi utilizada uma 

correção da fõrmula (57), supondo que para estes navios o peso 

de outfit 6 cerca de 5% maior que o valor equivalente para 

petroleiros. 

A última parcela do peso leve a ser estimada é 

o peso da instalação propulsora. Este valor não depende do ti - 

po de navio e sim do tipo de máquina propulsora. A maioria dos 

tipos de navios considerados é equipada com motores diesel de 

baixa rotação. Na faixa dos navios de grande porte, são encon 

trados muitos equipados com turbinas a vapor, sobretudo porque 

só recentemente os fabricantes de motores diesel passaram a ofe 5 

recer unidades com as potências da ordem de 50000 BHP. Entretan - 

to, apÕs a crise do petróleo de 1973 e com o consequente gran- 

de aumento dos preços dos combustíveis, cresceu muito a deman- 

da por motores diesel, basicamente em virtude de dois fatores: 

a redução da velocidade de serviço média, que permite a utili- 

za~ão de instalações propulsoras com menores potências e o con 

sumo especifico ma i s baixo apresentado pelos motores diesel. Ou 

tro fator importante foi o desenvolvimento tecnolõgi co motiva- 

do pelo crescimento da demanda, que permitiu a produção de mo- 

tores menores e a utilização de arranjos com dois motores nos 

- 

-

casos em que a potência necessãria era mais alta que o limite 

disponível para um Único motor. 

Embora atualmente comecem a aparecer alguns na - 

vioç equipados, em arranjos diversos, com motores de m&dia ro- 

tação, que apresentam consumos específicos mais baixos, consi- 

derou-se neste trabalho apenas a alternativa motores-diesel di - 

retos e turbinas a vapor. Para estimar os pesos de cada uma 

destas i nstala~ões propulsoras, foram uti 1 izadas as fõrmulas de 

senvolvidas por Buxton. 

- PARA MOTORES DIESEL DIRETOS: 

- PARA TURBINAS A VAPOR: 

'maq = 278(~ot/1000) 

O .5 

onde Pot 6 a potência requerida da instalação propulsora 

respectivamente medida em BHP e SHP.

V - O - ALGORITMO DE SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA DE PROJETO PRELIMINAR 

- - 

O objetivo bãsico do presente trabalho 6 o de 

desenvolver um modelo matemático de solução para o projeto pre 

liminar e o respectivo programa de computador. Portanto, o pon 

to de vista adotado no tratamento dos algoritmos de programação 

não-linear é fundamentalmente o do projetista. Isto é, o de 

quem estã interessado em apl icar uma ferramenta matemática pa- 

ra obter a melhor solução possível para o seu problema e que 

para isto precisa conhecer e analisar os algoritmos disponiveis 

e escolher aquele cujas características melhor se adaptem as 

condi çõeç do referi do problema. 

Antes de iniciarmos a análise do algoritmo ado- 

tado, julgamos importante ressaltar uma questão fundamental pa - 

ra a análise deste trabalho. A maioria dos algoritmos de pro- 

gramação não-l inear garante a obtenção de uma solução local com 

base em hipõteses raramente encontradas em problemas práticos, 

isto é, a função deve ser continuamente diferenciãvel até a se - 

gunda ordem e frequentemente se fazem hipóteses adicionais de 

convexidade local em torno da solução. Entretanto, mesmo que 

em um problema particular não se possa garantir estas hipóte- 

ses e um algori tmo determinado não seja capaz de produzi r um 

mínimo ou máximo local, se é obtida uma solução com pequeno es 

forço computacional, que é sensivelmente melhor que aquela que 

seria obtida sem a utilização do algoritmo, neste caso, do pon - 

to de vista do projetista, poderemos considerar tal algoritmo 

eficiente. 

O problema do projeto preliminar foi formulado 

- 

- 

-

(capitulo 1 1 1 ) como um problema de programação não-linear com 

restrições de igualdade e desigualdade que pode ser descrito re 

sumidamente da seguinte forma: 

minimizar f(X) 

- 

P 

. com X E R , sujeito as restrições 

para i = 1, 1, ..., m 

para j = 1 , 2, ..., n 

O algoritmo utilizado foi desenvolvido a partir 

da função penalidade de Fletcher 1241 para problemas com res- 

trições de desigualdade. 

Neste capítulo o algoritmo e apresentado, são 

discutidas as suas principais propriedades e demonstrados os 

resultados mais importantes para a análise das suas caracterís 

ticaã de convergência. 

O algoritmo escolhido para a minimização sem res - 

trições executada em cada um dos estágios do processo de otimi 

zação 6 o método de Davidon-Fletcher-Powell, um método quasi- 

Newton que possui excelente estabilidade, cuja utilização é 

sugerida por Fletcher 1241. Este mêtodo é descrito e analiza- 

do em detalhes no capitulo VI. 

V.2 - A FUNCÃO PENALIDADE 

Para resolver problemas exclusivamente com res- 

trições de igualdade, isto é, problemas do tipo: 

min f (X) - X E - 

Sujeito a hi (X) = O i = I , 2$...,m 

(1 

- 

- 

-

de: 

Powell 1251 sugeriu a seguinte função penalida- 

3 

$(!, 2, S) = f(x) + - Oi(hi (X) 

2 

ou em notação matricial 

- - Oi) 

onde S 6 uma matriz diagonal m x m composta pelos elemen- 

tos o. e 6 E R~ . A função penal idade neste caso deve ser 

1 - 

entendida de acordo com a sua forma habitual, isto é, para um 

dado conjunto de parâmetroç 6 - e S é obtido um vetor X(O, - S) 

que é um minirno de @(X, d O, - S) . Existe uma i teração interna de 

forma a garantir que e X(O, e S) -+ X*, onde X* é uma solução do 

problema (2). 

Uma função penalidade bastante conhecida é aque - 

la que se obtém quando O = O . Neste caso a convergência é 

e 

assegurada fazendo o. , para i = 1, 1, ..., m. 

I 

Entretanto, Powel 1 125 1 sugere uma iteração na 

qual não é necessário fazer oi -+ . Ao contrário, a conver- 

gência é assegurada fazendo O +- O*; onde 0* 6 um vetor cue 

e - 

jas coordenadas satisfazem a seguinte relação: 


* 

Ai são os multiplicadores de Lagrange Ótimos para a solução 

X* - do problema (2); enquanto a matriz S se mantém cons - 

tante, ãÓ sendo reajustada quando a taxa de convergência de 

X(O, S) para X* não for suficientemente rápida. 

- - - 

2

Para problemas com restrições de dèsigualdade, 

minimizar f (X) - X E - 

Sujeito a gj(X) > O para j = 1 , 2, . . . , n , Fletcher de - 

senvolveu a partir de (3) ã seguinte função penalidade: 


Analogamente ao caso da função de Powell, quan- 

do 4 = O temos uma função penalidade bastante conhecida, cu- 

ja convergência 6 assegurada fazendo o -+ m . Entretanto, nes 

te caso teremos serias dificuldades porque aparecem disconti- 

nuidades em sal to para as derivadas segundas na fronteira da 

região viãvel, que tendem ao infinito, Este problema tende a 

se agravar porque ocorre justamente nos pontos prõximos a solu - 

- 

ção x* 0 

O efeito da utilização dos parâmetros @ em (6) 

para a solução de problemas de desigualdade pode ser ilustrado 

através de um exemplo bem simples. Considere o problema de uma 

variãvel; minimizar f(X) sujeito g ( ~ ) > O . Se tomamos ini- 

cialmente @ = O e o = 1 , supondo que este Último valor se- 

ja suficiente para assegurar a convergência, o termo penalida- 

de só é efetivo para g(X) < O e o mínimo $, (X, 4, S) está 

j 

(5) 

-

em s(5) = g min < O (veja a figura 1 abaixo). Se, entretanto, 

fizermos a correção @ = @ - g min (de acordo com a sugestão 

de Powell), o termo penalidade 6 efetivo para g < @' , e o m Í 

nimo de estará em uma vizinhança da solução em g(X) = 0. 

l idade: 

Neste trabalho 6 adotada a seguinte função pena - 

desenvolvida a partir das funções de Powell (3) e Fletcher (5) 

para a solução do problema (1). 

No desenvolvimento subsequente assuminos que 

f, g e h pertencem ao conjunto c2 das funções continuamen 

te diferenciãveis ate a 2? ordem. Desta forma, @(x, - -O, - @, S) 

pertence a C 2 , exceto nos pontos onde gj(:) = @j, nos quais 

existe uma disconti nuidade em sal to nas derivadas segundas, que, 

entretanto, 6 l imitada quando S for 1 imitada e, geralmente, 

- 

-

se encontra distante do mínimo e não afeta a convergência (es- 

te fato pode ser observado na figura 1). 

Nas prõximas seções serão adotadas as seguintes 

convenções: V representa o vetor gradiente da função, e no ca 

so de funções vetoriais a matriz Jacobiana; a matriz hessiana 

das derivadas segundas 6 representada pela letra maiscula cor - 

respondente a função. Por exemplo, f(X) - é a função objetivo 

nos problemas (I), (2) e (5), Vf(X) . é o vetor gradiente em 

X e F(X) 6 a matriz hessiana no mesmo ponto. 

e e 

V.3 - RESULTADOS 6TIMOs PARA OS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 

Nesta seção serão desenvolvidos alguns resulta- 

dos importantes para o problema (I), que mostram que a escolha 

Ótima para os multiplicadores X e p(ou O e $) para a fun 

e . - . - 

ção penal idade (7) @(X, e o, 

9, S) é determinada pela solução 

de um problema de maximização sem restrições. 

Serão demonstrados dois teoremas, que a rigor 

const i tuem general izações para o problema (1) dos resu 1 tados 

apresentados por Powel 1 1251 para o problema (2) e Fletcher 1241 

para o problema (5). Na seção 14) será apresentada a estraté- 

gia para a variação dos multiplicadores O e $ que se ba- 

seia nos resultados desenvolvidos nesta seção e, finalmente, 

na seção 5 serão apresentadas a estratégia para a variação de 

S e o algoritmo. 

no capitulo V! I. 

0s resultados obtidos serão discutidos apenas 

Todos os resultados e definições utilizados nas 

demonstrações ou essenciais para a compreensão do desenvolvi- 

-

mento subçequente são apresentados no apêndice I I . 

O primeiro dos teoremas estabelece as condições 

para que uma solução local X* do problema (I), também seja 

um min i mo 1 oca 1 de @(x, - O*, - $*, S) , onde h* = S'O* e y* = - 

S"$* 

(SI e SI1 são as submatrizes de S formadas respectivamente 

pelo elemento o correspondentes as restrições de igualdade 

i 

o correspondentes as restrições de desigualdades e h* e v* 

d' - 

são os multiplicadores de Lagrange Õtimos). 

Seorema 1 : 

- 

Sejam X*, h* e E* uma solução local para o 

problema 1 e os mul ti pl i cadores de Lagrange correspondentes. Su- 

pondo que f, g e h - E c2 e que - X* é um ponto regular das 

restrições (definição 2 do apêndice I I ), se existe S tal que, 

1 

para S > SI, @(x*, O*, o*, S) satisfaz as condições de sufi- 

a 

ciência de 2- ordem (teorema 3 do apêndice I I ), onde O*S' = h* 

- - 

e $*SI1 - = p*, então X* é um mínimo local de @(X, O*, $I*, s). 

Se X* é uma solução do problema (1) e, por hi - 

põtese, um ponto regular, então, de acordo com as condições de 

Kuhn-Tucker (teorema (6) do apêndice I I) 

Podemos defini r o conjunto das restrições ativas 

em - X* como conjunto J = {j: gj(X*) = O}. Como X* ê um pon 3 

., 

to regular (definição 2 do apêndice I I ), os vetores V~.(X*) com 

J

j E J são linearmente independentes, Então, os multiplicado- 

res 'l j * de (7) são tais que 

blema de 

9 

> O para todo j E J e 

'2 

= O para j E J 

Se queremos provar que X* - é uma solução do pro - 

minimizar @(X, O*, - $*, S) 

sem rest r i çÕes, o primeiro passo é mostrar que v@(x*, - o*, $*, 2) = 0, 

que de acordo com o teorema (1) do apêndice II é a condição ne 

cessária para X* ser um minimo de @(x, O*, $*, S). 

- - 

Mas de acordo com (6), 

V@ (x*, - O*, t*, S) = Vf (x*) 

- + vg (x*)~ s (h i (x*) - - O*) + 

onde O 

j 

são os elementos de SI'. 

Como - X* é um ponto das restrições, h(X*) = gj (x*) = O 

para todo ~ E e J portanto.Vh(~*)' S h(X*) 

Logo, com base em (7); 

V@(X*, o*, I*, S) = Vf (X*) - S 'O*Vh - (x*) - 

- - 

- = O = E Vg.(x*)I o. g.(~*) . 

j EJ J - J J- 

j E 

-

~ntão, com base em (7) 

Para completarmos a demonstração precisamos ain 

da mostrar que a hessiana @(X*, o*, I*, S) é positiva defi- 

nida. 

expressão para @ : 

Derivando a expressão (9) obteremos a seguinte 

9(x* , o*, $*, SI = s'v~(x*)~+ - L V~JX*) o. v~.(x*)~ (10) 

j EJ J - J J - 


L* = F(x*) - A* H (X*) - 

- ., - L pj G. (X*) 

i EJ J - 

O Último termo da direita na expressão (10) po- 

T 

de ser escrito, em termos matriciais, como SJ" VgJ (x*) , onde 

VgJ (!*I 6 a matriz formada por Vgj (X*) - e SJH uma submatriz 

de SI1 composta pelos elementos o j' com j E J . 

Tomemos o vetor u com norma unitiiria, isto 6, 

]lu/ = 1 e que possa ser escrito da seguinte maneira: 

2 

onde v 

. 

é ortogonal aos componentes de Vgj (X ) e V~(X ), os 

termos da direita formam uma combinação linear destas matri 

-

zes e A+ = (hT A)-' 

então, 

De acordo com o teorema 7 do apêndice I l , se X* 

e 

6 uma solução do problema (I), então, a matriz L* 6 positiva 

definida no subespaço M' = {y: Vh(X*) y = O , Vgj(X*) - y = O, pa 

ra todo j E J) . Logo, existe a > O tal que, para todo - v E M' 

se fizermos IIL* v~(x*)+~II = b, I~v~(x*) L* v~(x*)+~II = c, llL*vgJ (X*)1l2=d 

2 2 

e IIVgJ(x*) L* ~ ~ ~ ( ~ * = ) e, + ~ podemos 1 1 ~ reescrever a expres- 

são (1 1) : 

como necessariamente não ocorre v = w = z = O, se S; = 0'1 e 

S; = d'1 são escolhidos de tal forma que o; > c + 2b 2 /a e 

o' > c + 2d 2 /a, para tpdo S > S (onde SI é formado por S; e si), 

j 

- 

como 2bd 1 1 ~ 1 1 6 sempre nao negativo, a matriz hessia- 

2 2

na a* = @(X*, O*, +*, S) G positiva definida 

e e 

Uma vez que tenha sido escolhido S que satis- 

faça ao teorema 1, o nosso interesse se concentrar: na determi - 

nação dos mul tipl icadores de Lagrange A* e v* . Neste caso 

a dependência de 0 em S pode ser negligenciada e a anãlise 

- - 

subsequente pode ser desenvolvida apenas em termos de A e v 

- 

ou B e 9 . Por conveniência trabalharemos com os multipl i- 

cadores de Lagrange A e , 

e 

Consideremos inicialmente o problema com restri 

çõeç de igualdade. Para este caso Fletcher demonstrou, com ba 

se nos resultados de Powell 1251, um teorema anãlogo ao teore- 

ma I . Isto é, se - X* 6 uma solução do problema (2) e A* é 

e 

o vetor dos mul tipl icadores de Lagrange correspondentes a X*, - 

então existe um SI tal que para todo S > SI, V$(X*, A*, S) = O 

e @(x*, A*, S) 6 positiva definida. Portanto, considerando 

um S que satisfaça ao teorema, podemos pensar na função pena 

1 idade (3) $ (X, A, S ) como uma função apenas de X e A. Des 

e e 

ta forma reduzimos o problema a determinação dos multiplicado- 

res õtimos A*. 

e 

A equaçao 

define implicitamente uma função x(X) . Isto 6, para cada va- 

1st- de - X poderiamos determinar x(X) através da solução do 

sistema de equações não-lineares (12). Como, de acordo com o 

mesmo teorema anãlogo ao teorema 1, $(x*, - - A*) é positiva de- 

finida, segue-se do teorema da função implícita que existe uma 

2 

vizinhança aberta $2 C R~ em torno de A* na qual x(A) E C e 

- 

- 

- e 

- 

-

a henç i ana $(x ( , ) é positiva defini da para todo h e em R, 

Desta forma, para h E R a solução de (12) 6 equivalente a so - 

lução do problema 

h(X (h)) é igual a: 

min $(x, h). 

Fletcher 1241 mostrou que a matriz Jacobiana de 

dh(x (A))/~x - = vh(x - (A)) $(x (A), h)m1 vh(x (1)) - 

Este resultado mostra que a matriz Jacobiana é 

positiva definida em h* (uma vez que $(x (h*), h*) é positi 

- 

va semidefinida para todo X E R . Portanto, deve-se esperar 

que exista uma função convexa de h em R com gradiente igual 

a h(X - (1)) e com a matriz hessiana igual a expressão (13). 

Fletcher mostrou que esta função é 

e que 

e 

- 

Do teorema análogo ao teorema (1) demonstrado por 

Fletcher 1241, podemos concluir que ~(h*) é uma solução do 

problema (2), logo - X(h*) - = X* e h(x*) - = h(X - (h*)). - Portanto, 

h* é um ponto estacionário de d(h). e Como a função $(x 

- - 

- 

- 

(h), h) 

é convexa e a matriz Hessiana $(x (h*), - h*) é positiva defini 

da, de acordo com as expressões (14) e (16), podemos afirmar 

que d(.A) - 

6 concava e D(A*) é negativa definida. Desta for-

- - 

ma, h* é um máximo local de d(X). Este resultado demonstra 

a afirmação do inicio desta seção de que a determinação dos mul 

tiplicadores 6timos de Lagrange pode ser feita atravês da solu 

- 

Ç ~ O de um problema de maximiza~ão sem restrições. Além disto, 

podemos afi rmar que a solução do problema de encontrar um mrni 

mo em - X de $(!, - h) é interior ao problema de maximização 

de d(X). Isto e, no processo de determinação do mãximo de 

- 

hk+' 

- 

d(h) , as iterações para para determinação de um novo valor 

se baseiam nas informagões obtidas na determinação do mí - 

nimo em X de i(:, ?k). 

Passaremos agora a obtenção de resultados anã10 

5 

gos para problemas com restrições de desigual dade. Fletcher 1241 

demonstrou para estes problemas um teorema anã1 ogo ao teorema 

(1). Isto é, mostrou que existe S tal que, para todo SI > S, 

se - X* é uma solução local para o problema (5) e v* os multipl 

icadores de Lagrange correspondentes, então $, (x*, - P*, S) 

satisfaz as condições de suficiência de 2a ordem (teorema 3 do 

' anexo 1 1 ) e X* é um ponto de mfnimo local de P*, s). 

A equação 

v $, (:, li) w 

define impl ici tamente uma funçáo X(V). - ~ntão, como Jil (~(v*), $*) 

w 

é positiva definida - de acordo com o teorema demonstrado por 

Fletcher 1241 e apresentado no parágrafo anterior - podemos afir - 

mar, com base no teorema da função implícita, que existe uma 

vizinhança f2 C R" em torno de p* na qual :(-)E C' e JI2(:(?) ,@) 

6 positiva definida, onde m2(?, ) = + L (gj(x) 

- - 

j&J 

= O 

- 

-

Como V , 

) não é diferenciãvel, o teorema da função im- 

- e 

pl icita estabelece que ~ ( p ) também não o será. Entretanto, de - 

vido a identidade entre , ) e E), ~ ( e p ) é dife- 

renciãvel, exceto nos pontos p onde pelo menos uma das equa- 

çoes 

é satisfeita. Tais equações definem uma superfície no espaço 

onde ocorre uma discontinuidade em salto para X(h). 

e 

Neste ca - 

so, a função equivalente a d(X) - é 

Fletcher demonstrou que 

onde VgH é a matriz formada pelas restrições que perten e 

gj 

cem ao conjunto M = Ij: gj(X(!)) < 1 e Sg é a matriz for 

mada peloç o com j E M. 

j 

Com estes resultados podemos chegar aos resulta = 

dos Ótimos para os mul tipl icadores de Lagrange para problemas 

com restrições de desigualdade, semelhantes aos obtidos para 

rest ri ç6es de igual dade. Pelo teorema análogo ao teorema (1) ~(p*) - - 

-

é uma solu$ão do problema (5). Logo, X(p*) = X* e, de ator- 

- 

do com (8), 

LI? > O para todo j E J e vi = O para j E J, 

J - 

o que implica que min(gj(y*), p;/o.) = O para todo j. (19) 

J 

Portanto, p* é um ponto estacionário de ~ ( - p . ) Como I$~(x(~), -- p) 

e convexa e a matriz hessiana iV2(x(-*), - y*) ê positiva defini - 

da, e(p) é concava e ~(y*) é negativa definida. Logo, y* 

é um máximo local de e(y) - e chegamos a conclusão esperada de 

que a determinação dos multiplicadores õtimos y* é efetuada 

através da solução do problema sem restrições de encontrar um 

máximo para e(?). 

Obtidos os resultados para problemas com restri - 

çÕes de igualdade e problemas com restrições de desigualdade 

chegamos finalmente aos problemas tratados neste trabalho, is- 

to é, aos problemas com restrições de igualdade e restrições de 

desigualdade. Como veremos a seguir, os resultados õtimos pa- 

ra os mul tipl icadores de Lagrange são uma decorrência direta da 

queleç obtidos para os dois problemas tratados anteriormente. 

A equação 

- - 

define implicitamente uma função x(X, p), isto 6, fixando X 

e E, com O = - X/S1 e e 4 = y/S1', podemos determinar x(X, - p) e 

atravêç da solução do sistema de equações não-lineares (20). De 

acordo com o teorema 1, a matriz hessiana é positiva definida. 

Então, segue-se do teorema da função implicita, que existe uma 

-

vizinhança SZ centrada em (A*, v*) na qual X(X, v) é con- 

tinua e a matriz Ql(x (A*, v*), A, v) 6 positiva definida, 


ciãvel, excets para os multiplicadores 

equação 

j 

que satisfazem a 

Estas equações definem uma superfície em 

onde ocorre uma discontinuidade em saltos. 

podemos conclui r que existe uma função convexa A , 


para a qual 

-. - 

) em SZ,

A matriz hessiana de k(A, y) pode ser derivada de (15) e (17): 

., 

Onde a matriz G(X (h, v)) é formada pelos gra - 

dientes das restrições de igualdade hi(x (A, F)) e das res- 

trições de desigualdade gj(x (A, v)), - com j E M e SR é a 

matriz formada pelos a j' com j E M. 

Com base nestes resultados podemos chegar final - 

mente aos resultados õtimos para os multiplicadores de Lagran- 

ge em problemas com restrições de igualdade e desigualdade. De 

acordo com o teorema (1) X (h*, y*) é uma solução do problema 

(1). Logo, X* = x(x*, - y*) e h ( ~ (A*, v*)) = h (x*) = O. Co - 

mo a expressão (18) nos permite afirmar que mim (g. (x*), y /o.) = O pa 

J - j~ - 

ra j , podemos concluir que (A*, v*) é um ponto extremo de 

K(A, - y). ~orêm, como é convexa e a $matriz hess i ana 

@(X*, h*, )i*) é positiva definida, K(A , y) - é côncava e ~(h*, - y*) 

- - 

é negativa definida. Portanto, (h*, y*) ê um máximo local pa 

- - 

ra K(A, v) e chegamos a conclusão que o problema da determi- 

nação dos multiplicadores de Lagrange õtimos pode ser formula- 

do como um problema de maximização sem restrições. Por conse- 

guinte, o problema da determinação do mínimo de X , 

A, ) ê 

- - e 

um problema interno ao da determinação do máximo de K(X, - - h, y). - 

Estes resultados são, em todos os sentidos, análogos aos apre- 

sentados por Fletcher 124 1 para os problemas respectivamente com 

restriçZes de igualdade e com restrições de dosi-gualdade. 

Finalmente apresentaremos o segundo teorema, o

qual 6 uma decorrência direta daqueles demonstrados por Powell 

12.51 e Fletcher 1261 respectivamente para problemas com restri - 

ções de igualdade e problemas com restrições de desigualdade, 

e que mostram que minimizar a função penalidade @(x, O, 4) é 

equivalente a resolver um problema com restrições que ê uma per - 

turbaçãõ do problema original. Este resultado ê importante por 

que permite que se ganhe intuição para as escolhas dos parâme- 

tros - X e ou O e - 4 e as suas respectivas estratégicas 

- 

de variação, as quais serão discutidas na próxima seçao. 

x(X, JJ) ê um mínimo local do ,problema: minimi- 

- 

ze f(X) sujeito as restrições 

h(X) ., = h(X (A, d e g.(x) > min(gj(~ (3, 1~1, 4.) para todo j 

J- - J 

-- ~ernonçtra~& : 

Das condições de opt imal idade de X(A, v) segue-se que, 

para qualquer ponto X em sua vizinhança, @(x, O, 4) > @(x (A, I), o, 2) 

Logo, 

- - - e 

2 

1 1 - -1.- C o.(g.(x) - O.) > f(x) + 

f(x)-i--c-o.(h.(-~)---O.) 

2 i=l I I- I 2 j=1 J J - J - 

O teorema demonstrado por Powell enfatiza a ne- 

cessidade de escolher - X e tais que hi(x(~, p)) = O pa- 

ra todo i . Assim sendo, se h. (x) > Oi para todo i e 

I - 

- e

2 

g.(X) > mln(gj(X(h, -1, $j) para todo j, então (hi(x) -Oi) > 

J - - 

(hi (X V) 

L 

- - 0) e (1) se g , 

) 4 então (gj (5) - 4j)- = 

o = (gj(x(h? O.) J e (2) - se gj(~ , ) , então 

(gj(XQ? V)) - - Oj)- 5 (gj 0) e 4j)-e 

Portanto, para qualquer 

das condições (1) 

teorema. 

e (2), f (x) > f(x(X, -- v)) o que demonstra o 

V.4 - A ESTRATEGIA PARA VARIAÇÃO DE O e 4 

0s multiplicadores h e são independentes, 

portanto, a obtenção dos multiplicadores Ótimos h* e v* pg 

de ser tradada separadamente. Entretanto, na Última seção ve- 

rificamos que este problema pode ser formulado como um proble- 

ma de maximização sem restrições de K(X, - p). ~orém, analisan - 

do esta função, as suas derivadas e a matriz heçsiana, verifi- 

camos que este problema poderia ser separado e o multiplicador 

- h* poderia ser obtido através da determinação do máximo de 

d(^), (13) enquanto p* encontrado atravês da maximização de 

e(?) (16) . Para a solução destes problemas podemos util izar 

as formulações apresentadas por Fletcher 124 1 . 

As iteraçÕes para obtenção de A* e * podem 

. 

ser escritas respectivamente como 

k k 

Ak+' = x + A h e vk" = vK + A , onde 

- ., - 

k representa â iteração. Seguindo o caminho sugerido no par; - 

grafo anterior poderíamos adotar a fórmula sugerida por Powell 

e Hestiness para o multipl icador X ou O , e a fórmula anãlo- 

- 

ga desenvolvida por Fletcher 124 1 para os multiplicadores ou 4. 

-

Neste caço teríamos: 

Entretanto, a funçao penal idade Q(X, - - A, s') E c2, 

assim como d(A), e e é possivel estabelecer um algoritmo com ba 

se no método de Newton para a obtenção de A*. Neste caso, te 

r iamos 

A - Ak = - D(~(~))-' . V d(Ak) , que de acordo com 

Fletcher 124 1 desenvolveu uma expressão semelhan - 

te para A - Uk e demonstrou que a expressão (22) pode ser de- 

senvolvida a parti r de (24) (expressão (23), obviamente, pode- 

ria tambêm ser obtida a partir da fõrmula desenvolvida para 

A - com base no mêtodo de Newton). 

A vantagem deste procedimento com base no meto- 

do de Newton sobre a interaç6es obtidas a parti r de (22) e (23) 

seria basicamente a convergência mais rápida. Entretanto, o 

rnêtsdo de Newton possui as desvantagens bem conhecidas de re- 

m 

querer o cálculo das derivadas segundas e a inversa0 da matriz 

hesçiana. Porem, Fletcher 1241 afirma, com base nos resulta- 

dos num6ricos obtidos, que, se se utilizar um metodo quase-Newton

que constroi estimativas da inversa da matriz hessiana a cada 

passo, os resultados serão equivalentes, em termos de rapidez 

de convergência, aos obtidos diretamente com o mêtodo de Newton. 

Para o caso do problema com restrições mistas de 

igualdade e desigualdade, se se quiser utilizar um algoritmo 

com base no método de Newton, ele terá que ser desenvolvido di 

retamente a parti r da função k(h, v). Neste caso, fazendo 

f = (h, V), teríamos: 

e e - 

onde o gradiente de k(h, - e 

- - 

(21a) e a matriz hessiana pela (21b). 

v) seria calculado pela expressão 

Esta formulação apresenta, entretanto, a desvan - 

tagem de um grande esforço numérico para a montagem e inversão 

da hessiana k(^, p) . Porém, se for utilizado um método qua- 

se Newton este problema 6 contornado e esta formulação para cor 

reção dos multiplicadores h - e p se torna muito atrativa de 

vido a facilidade de obtenção do gradiente de k(h, 

- v). e 

Fletcher apresenta uma série de resultados num6 - 

ricos que mostram a superioridade dos m&todos quase-Newton pa- 

ra a correção de - h e e 

(ou 

O e e e 

- 

- 

- 

Apesar das vantagens dos métodos quase-New- 

e 

ton, neste trabalho serao uti I izadas as 

- 

(23) de Powel 1 -Hestiness para a correçao 

fõrmulas (22) 

de O e 

e 

e 

em 

função de sua maior simplicidade e de requererem menor 

esforço numérico, 

V.5 - A VARIAÇÂO DA MATRIZ S E O ALGORTTMO DESENVOLVIDO 

Nesta seção trataremos dos meios de garantir a 

convergência através da variação dos elementos de S . A rigor, 

escolhida S de forma a satisfazer o teorema 3 , sob condições 

especiais é possível provar a convergência. Tais condições, en 

tretanto, se baseiam fortemente em hipótese de convexidade pa- 

ra o problema original, o que reduz bastante o seu valor práti 

CO. 

Para ilustrar como S pode ser utilizada para 

forçar a convergência tomemos o seguinte resultado para proble 

mas com restrições de igualdade: se o. ( ) + - e x é fixo, 

I - 

(k) constante 

então hi (k) 4 O e se comporta assintoricamente como h. - -. 

I a. 

I 

Então, uma forma intel igente de util izar a matriz S é fazê-la 

crescer de forma a forçar a convergência de X para uma vizi- 

- - 

nhança de X* onde são vãlidas as hipóteses de convexidade 10 

cal. Uma vez atingida esta região a matriz S pode permanecer 

constante e apenas os multiplicadores X - são variados para for e 

çar a convergência para A * . Entretanto, sempre que tal con- 

e 

vergência não estiver suficientemente rápida a matriz S deve 

ser incrementada. Portanto, a variação de S tem dois objeti 

vos bãsicoç: garantir a condição básica para a validade do teo 

rema 1 e das hipõteses de conexidade local e acelerar a conver 

gência dos multiplicadores X e para os seus valores Ó t i - 

- ., 

- 

- 

- 

- 

- 

-

mos A* e v* . 

As condições adotadas nesta seção se baseiam in - 

teiramente naquelas desenvolvidas por Powell 1251 e Fletcher 1241, 

respectivamente, para os problemas com restrições de igualdade 

e para aqueles com restrições de desigualdade. 

termos de 

Powel 1 sugeriu, que se med i sse a convergência em 

e que se incrementasse a matriz s sempre que K(k-l) , K(k) , K(k-1)/4, 

isto porque Powell só considerava uma iteração completa quando 

se obtinha um valor K~ < K~-', entretanto, esta estratégia obri 

ga a mais de uma minimização da função penalidade para um mes- 

mo valor de - h. Porém, Fletcher 1241 demonstrou que se ganha- 

ria em eficiência quando se incrementasse S e simultaneamen- 

te se corrigisse o valor de X e sugeriu, para problemas com 

restrições de desigualdade a seguinte medida de convergência: 

Para o problema com restrições mistas de igual- 

dade utiliza-se como medida de convergência o maior dos valo 

res obtidos respectivamente com as expressões (25) e (26). Te 

remos então s seguinte algoritmo para a solução deste problema: 

Faça inicialmente K = 0, onde K é o Índice 

que define a iteração, e K (O) = m e escolha os valores ini- 

ciais para 0, 9 e S. 

- 

- 

-

1) Determine o mfnimo X(O, - 9, S ) de @(x, O, 0, S) e os valo- 

- - e 

res correspondentes de ~(xIo, +, s)) e CJ(X(O, 4, S)). 

(k) = rna~jrnin(~.(x(~, m9 s)), gj)I e K (k) = max(K1, 

2 

K2) 

j 

J - 

K(k) < E, onde E é o critério de parada adotado. 

Pare se - 

5) Faça ui = 10 oi para todo i E I e cf = 10 o para todo 

j j 

O algoritmo de minimização sem restrições utili - 

zado em (1) para a determinação de S(O, - @, S) 6 essencial pa 

ra a eficiência global do metodo. Neste trabalho foi escolhi- 

do um método quase-Newton, não sõ devi do a sugestão de Fletcher, 

mas principalmente devido as suas excelentes propriedades de 

convergência. O método adotado foi o de Davidon-Fletcher-Powel I, 

que é descrito em detalhes no próximo capitulo.

VI - O ALGORITMO . -- DE - - MINIMIZAÇÃO 

- - -- - -- SEM - - - 

RESTRIÇÕES - - - 

O método de Davi don-F1 etcher-Powel l faz parte de 

uma família de métodos chamados genericamente de quase-Newton 

que surgiram do estudo de soluções para os principais problemas 

apresentados pelo metodo de Newton,@que pode ser representado 

resumidamente pela equação: 

onde F - (XK) ~ é a inversa da matriz das derivadas segundas da 

funFão objetivo f : E" + E , isto é, a inversa da matriz Hessia- 

na de f em XK, A(zK) é o gradiente desta mesma função no 

ponto XK e -K o escalar que minirniza a função f ao lon 

go da direção definida pelo produto da inversa da Hessiana 

- 1 

F (XK) pelo gradiente A(xK). 

O cãlculo das derivadas segundas e a inversão da 

Matriz Hesçiana são as principais dificuldades apresentadas pe - 

lo método de Newtsn. No cãlculo das derivadas sÔ surgem prg 

blemas quando é necessário calculã-Ias numericamente, porque, 

neste caso teremos um aumento do tempo computacional, gerado pe - 

10 esforço numérico adicional, e o problema da propagação do 

erro. A inversão da Matriz Hessiana consome muito tempo e es- 

tá sujeita a erros numéricos, mesmo quando 6 obtida pela çolu- 

ção de um sistema de equações. 

A maioria dos métodos quase-Newton se baseia na 

mesma idéia fundamental de construir uma sequência de matrizes 

simétricas e posi t ivas-def inidas, aproximações da inversa da 

Matriz Hessiana, que seriam utilizadas para calcular a direção 

de busca do próximo estágio. Idealmente, a aproximação conver 

- 

-

ge para a inversa da Hessiana e o processo se comporta global- 

mente como o método de Newton. 

Quando uma iteração particular de Newton é exe- 

cutada, riao se armazena nenhuma informação sobre o comportame2 

to da fungão em torno do ponto encontrado para implementar fu- 

turas iterações. A sequência de aproximações da inversa da Hes 

siana deve ser tal que guarde informações sobre toda a trajetõ 

ria até s ponto de mínimo. 

A seguir mostraremos como a inversa da matriz 

Hessiana pode ser obtido a partir de informações obtidas com o 

vetor gradiente calculado em vários pontos. 

Seja f uma função em ~"om as segundas de- 

rivadas parciais contrnuaç. Se para dois pontos XK+l , X K de 

finimoç - 

K+ 1 ( x ~ + ~ e ) gK ~ = vf pK = x~+, - -K, X 

então, pelo teorema do valor médio temoç que 

para algum O, com O < O - 1. Se a Hessiana F é constante, 

então, temoç que 

e podemos ver que o valor do gradiente calculado em dois pontos 

Fornece informações sobre a matriz hessiana. Se n direções 

Po 9 P1 3 P2 3 O - . 9 P n q e os respectivos qkls sao conheci - 

- 

(*) F(x~) 6 a matriz Hessiana de f no ponto Xo 

- 

-

dos, então F ê definida univocamente. De fato, fazendo P e 

Q matrizes n x n com colunas pk e qk respectivamente, te- 

remos 

- 1 

F = Q - P (4) 

E natural tentar construir aproximações Sk da 

inversa da matriz Hessiana com base em dados obtidos nos k pri - 

meiros estãgios de um processo descendente, de forma a que, se 

F for constante, a aproximação deverá se consistente com (3) 

para estes estãgios. Especificamente, se F for constante 

sk+l 

mos obtida 

deverã satisfazer a 

- 

'k+i S'i - P i 

O 

- 



(5) 

Apõs n estágios linearmente independente tere - 

Para k < n o problema de construir uma aproxi - 

mação para a inversa da Hessiana admite uma infinidade de solu 

ções, uma vez que o grau de 1 iberdade é maior que as restrições. 

Portanto, qualquer método particular terá que levar em conside - 

ração condições adicionais. 

O mais antigo, e certamente um dos mais inteli- 

gentes, esquemas para construir a inversa da Hessiana foi pro- 

posto originalmente por Davidon e posteriormente desenvolvido 

por Fletcher e Powell. O método possui a importante e desejã-

vel propriedade de gerar simultaneamente para uma função qua 

drãtica as direções do método dos gradientes enquanto constroi 

o inverso da Hessiana. 

O algoritmo do método de Davidon-Fletcher-Powe11 

pode ser descri to da seguinte maneira: 

- PASSO 1 - escolha o ponto inicial X e a aproximação inicial 

o 

so 

para a inversa da Hessiana, para a qual pode 

ser escolhida qualquer matriz çimgtr ica positiva de 

finida, e tome inicialmente o valor zero para k. 

- PASSO 2 - faça cik = - (*> 

Sk gk (7) 

- PASSO 3 - minimize f(zk + cxk d -k ) em relação a ak 2 O e 

- 

obtenha Xk + 1, pk - ak -k 

- PASSO 4 - faça qk = gk+l - Sk e 

(*> 

e Sk+l 

Atualize o valor de k e retorne ao passo 3. 

Davidon sugeriu originalmente o nome de métrica 

variável para o seu processo de construção da inversa da Hes- 

siana e mui tos autores frequentemente se ut i 1 izam deste nome pa 

ra se referi r ao método de Davidon-Fletcher-Powel 1 . 

Vejamos então as razões para a escolha do nome 

de mgtriça ~ariável. Considere uma transformação de variáveis 

- 

-

T, X +- TX, onde T ê uma matriz completa n x n , que ajuda- 

riaa reduzira excentricidade de uma função. No caso particu- 

lar da minimização de uma forma quadrática, xT A X + xT B + C, tal 

2 

transformação serviria para reduzir a excentricidade da parte 

1 T T 

quadrãt ica, - X T A T X no novo sistema de coordenadas. 

2 

Se a matriz A 6 positiva definida, sempre exis - 

T 

tirã T tal que T A T = I , onde I êamatriz identidade, caso 

em que não existe excentricidade. Por exemplo, a forma quadrã - 

t ica Q(X) = 5x; + 5x2 - 8x1 x, pode ser escrita como 

2 

se apl i carmos a transformação [I:], Q será 

Sem a excentricidade, o gradiente em qualquer pon 

to do espaço sempre passará pelo mínimo, ou seja, quando a fun 

ção for transformada em esferas ou hiperesferas, o mêtodo da 

descida mais íngrime convergi rã numa única i teração. 

Seria interessante, entretanto, que pudêssemos 

trabalhar com a função original e definir para ela um operador 

semelhante ao gradiente, mas produzindo um vetor que sempre pas - 

se pelo mínimo. Considere uma transformação T com a proprie 

T 

dade definida acima, T AT = I, onde I é a matriz identida- 

- 

- 

-

- 1 

de. Se pós multiplicarmos por T e prê multiplicarmos por 

T esta relação obteremos: 

- 1 

o que demonstra que T TT = A . 

- 1 

No método de Newton o vetor desejado 6 S = - A Vf 

T 

r - T T Vf, uma vez que a matriz Hessiana de uma forma quadrã- 

tica a própria matriz A , ou seja, A E F . 

- 1 

Se o valor exato de F não estiver disponível 

ese se dispuser de alguma aproximação de T ou TTT, quefaz 

uma boa remoção de excentricidade, embora não seja perfeita, pg 

demos usar um processo iterativo da forma 

Um outro modo de pensar na matriz T TT é como 

uma métrica na medida de distância num espaço vetorial. Isto 6, 

como uma generalização do conceito de comprimento de um vetor, 

que em sua forma usual é definida em relação ã matriz identida 

de, ou seja: 

Podemos então definir o comprimento de um vetor 

X em relação a uma matriz métrica H da seguinte forma: 

-

desde que a matriz métrica seja simêtrica e positiva definida e 

desta forma possamos escrever que 

xTH X > O para todo X # O 

e o conceito de comprimento de um vetor seja matematicamente coe - 

rente. Desta forma, como a matriz Sk do método de Davidon- 

Fletcher-Powell serã sempre positiva definida (este resultado 

será demonstrado a seguir), ela pode ser considerada como uma 

métrica variável, reajustada a cada passo pela equagão (9), pa 

ra a medida de comprimento do vetor gradiente. 

Passaremos agora a demonstração de que se Sk for 

positiva-definida Sk+, também o será. Tomemos então qualquer 

vetor X c E . Pré-multipl icando ambos os termos de (9) p0.r xT 

e pós-multiplicando por X obteremos a seguinte expressão: 

ver a expressão (10) como 

mas 

1 1 

Definindo a = skh X e b=S /2 q podemos reescrg

Como Xk+l 6 o minimo de f ao longo da dire- 

ção definida por pk , este vetor é ortogonal ao gradiente da 

função no ponto Xk+l e o seu produto é nulo, então 

T T 

Pk qk - Pk Sk 9 mas por definição Pk = - a k S k g k 

Substituindo (12) em (13) teremos 

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz podemos afir - 

mar que o primeiro termo da expressão (13) será sempre não-ne- 

getivo. Como a matriz Sk 6 positiva definida por hipõtese e 

> O o segundo termo serã também maior ou igual a zero. Des 

ak - - 

ta forma, para demonstrar que a matriz Sk+l é positiva-defi- 

nida basta mostrar que os termos da equação (13) não se anulam 

simultaneamente. 

O primeiro termo de (13) sõ se anula se a e b 

forem proporcionais, o que, de acordo com a definição de a e 

b , equivale a dizer que X é proporcional a qk, isto é, X = Bq,. 

T 

Neste caso, temos que pk X = Bpk qk . Mas, de acordo com (12) 

Comoosescalares ak e 6 sãodiferentes de 

zero por definição, a matriz Sk é positiva definida e os

T 

vetores gradientes sÓ se anulam na solução do problema, p X se 

k 

rã sempre diferente de zero. Logo os termos da expreçsão (13) 

não se anulam simultaneamente e 

T 

X Sk+, X > O para todo X # 0 , 

o que demonstra que, se Sk for positiva definida, Sk+l tam - 

bém o serã. 

E importante ressaltar que na demonstração ante - 

rior o fato de a ser escolhido como minimo ao longo de 

k dk le 

T 

vou a importante conclusão de que p q > O , o que poder i a 1 e- 

var a deduçao de que a matriz Sk+f só seria positiva-defini- 

da, e consequentemente que o algoritmo só convergiria, no caso 

de ak produzir precisamente o mínimo ao longo de dk . Entre - 

tanto, não é dificil mostrar que o algorítmo continuaria a pro 

duzir uma sequência descrente mesmo quando ak não for exata- 

mente o minimo. Neste caso, basta garanti r que o produto 

seja sempre maior que zero. 

- 

T 

Pk qk 

Apesar do problema da determinação de a o a1 

k 

goritmo de Davidon-Fletcher-Powell possui uma estabilidade mui 

to boa, devido principalmente ao fato da matriz Sk carregar to 

da a história da trajetória percorrida numa matriz completa, que 

é cuidadosamente refinada a cada iteração, ao passo que no mé- 

todo dos gradientes conjugados, por exemplo, toda a informação 

da trajetaria contida num passo é transmitida ao seguinte atra 

vés de um vetor. Uma forma de contornar o problema da preci- 

são da determinação de a seria sõ reajustar a matriz Sk quan 

k 

T 

do o produto pk qk for maior que zero. 

- 

- 

- 

- 

-

A seguir demonstraremos que para funções quadrá - 

ticaç o método de Davidon-Fletcher-Powell produz direções con- 

jugadas e que a matriz Sk converge eppó n i terações para o 

inverso da Hessiana, isto é, 

- 1 

S = F . 

n 

Inicialmente demonstraremos por indução que pa- 

ra funções quadrãticas com a Hessiana F positiva-definida e 

constante o método de Davidon-Fletcher-Powell produz 

~emons tração --. 

tir de (3), que 

e çk+l Pi = Pi para O - 

Para funções quadrãt icas podemos escrever, a par - 

Por definição 

Pk Pk 

= Sk + - - sk qk q; sk 

Sk+l T T 

Pk qk qk 'k qk 

Então 

Logo 

I

Como a demonstração é por indução precisamos mos - 

trar que (14) e (15) são válidas para k = O, e supondo verda- 

dei raã para k - 1 demonstrar que também valem para k . A par 

e 

tit-de (17) podemos ver facilmenteque (14) e (15) são verda- 

deiras para k = O . 

Desenvolvendo a expressão teremos : 

Como Pi gi+l = O , uma vez que 'i+l é o míni - 

mo de f ao longo de pi , e a equação (14) é vá1 ida para 

i - < k-1, então 

Mas como a expressão (15) também 6 vil ida para 

todo i < k-i , T 

- podemos reescrever pi gk da seguinte forma: 

Por definição pk = - ci S g e cik # O , logo 

k k k 

o que demonstra que a expressão (14) é verdadeira para 

consequentemente para todo i - < k . 

k , e

Para completar a demonstração falta apenas pro- 

var que a expressão (15) também é verdadei ra para k . Por de- 

finição 

pós-multiplicando ambos os termos da expressão por F pi 

mos: 

como 

T 

Pi 

tere - 

T 

pk F pi = O para todo O - i < k e, pela expressão (18). 

Sk gk = O , 

Mas a expressão (15) 6 vã1 ida para i = k-1 . Logo, 

e =k+1 F Pi = Pi 

monst rar. 

para todo O - de- 

A expressão (14) nos mostra que o método de Da- 

vidon-Fletcher-Powel1 produz direções de busca F ortogonais, 

e, como a função f é rninimizada çucessivamente ao longo des- 

tas direções, elas também são conjugadas. 

A expressão nos mostra que po, pl, p2, ... pk são

autovetores correspondentes ao autovalor unitário para a matriz 

F 

Sk+l . Estes autovetores são 1 i nearmente independentes, uma 

- 1 

vez que são F srtogonaiç, e portanto S n = F . 

Para o caso de funções não quadrãticas o método 

de Davidón-Fletcher-Powell oferece uma combinação de vantagens 

que o tormam extremamente atrativo. Inicialmente, ele um me - 

todo de primeira ordem e, portanto, requer informações apenas 

do gradiente. Em segundo lugar, como as matrizes Sk geradas 

durante o processo são sempre positivas-definidas, as direções 

de busca serão sempre direções descendentes. Finalmente, como 

para problemas quadrãticos a matriz Sk converge para a inver 

sa da Hessiana, na pior das hipóteses, no enésimo estágio, isto 

é, 

- 1 

Sn = F , é de se esperar que para o caso geral ela con - 

vergi rã para a inversa da Hessiana na solução do problema e, 

portanto, a convergência será çuperl inear. 

ANALISE DE CONVERGÊNCIA 

O método de Davidon-Fletcher-Powell 6 bastante 

poderoso e estável, entretanto, não ê possÍve1 provar que seja 

um processo globalmente convergente. Porém, podemos recorrer 

a uma análise aproximada para determinar a sua efetividade. 

A convergência do método depende fundamentalmen - 

te, como jã vimos, de que as aproximações Sk do inverso da 

Heçsiana se mantenham positivas-definidas ao longo de todo o 

processo. Por sua vez, a positividade da nova aproximação cal - 

culada a cada passo dependerã da precisão da minimização unidi - 

mensisnal, isto 6, do cálculo preciso de ak . Portanto, a pre 

cisão e a estabilidade do método não dependem basicamente da 

- 

-

forma da função f ( ~ ) e para evitar problemas de convergência 

e importante evitar de reajustar a matriz Sk com dados sbti- 

dos em aproxima~ões grossei ras de ak . 

tuir a matriz 

Existem várias maneiras de evitar de se substi- 

Sk 

por novas aproximaçÕes da inversa da Hessia 

na que não sejam positivas-definidas. Umas dessas maneiras já 

foi mencionada anteriormente e consiste basicamente na seguin- 

te estratégia: a matriz 

Sk 

deverá ser substituída por uma no - 

va aproximação calculada pela expressão (9) quando o produto 

T 

pk qk 

fosse maior que zero, o que garantiria que a nova dire- 

ção de busca seria uma direção descendente. Uma outra solução 

seria só terminar o processo de minimização unidimensional quan- 

T 

do o produto gk+l Sk gk fosse suficientemente pequeno, o que 

garantiria, pelo menos teoricamente, a precisão de a k ' 

- 

Esta 

solução, entretanto, pode se tornar excessivamente demorada e 

requer um número excessivo de cãlculos de a (e consequente- 

k 

mente da função objetivo) para pontos distantes da solução do 

problema. Uma outra a1 ternativa, dentro desta mesma filosofia, 

seria só reajustar a matriz 

T 

Sk quando o produto g S g fos 

k+l k k - 

se suficientemente pequeno, mantendo a matriz do Ültimo estágio 

quando a precisão de ak não fosse satisfatória; Neste caso, 

entretanto, estarÍamos correndo o risco de perder Ótimas oportu 

nidades para reajustar a matriz Sk . Uma forma de superar es- 

te problema seria usar uma tolerância moderada para o produto 

T 

gk+l Sk gk , limitando desta forma o nümero de cãlculos de ak, 

e manter a matriz 

Sk 

do Gitimo estágio se a precisão deseja- 

da não for alcançada em um número determinado de tentativas. 

Apesar da estabilidade do método de Davidon- 

Fletcher-Powell não depender fundamentalmente da forma da fun- 

-

ção objetivo, em problemas com funções excessivamente excêntri - 

tas e distorcidas podem ocorrer dificuldades de ordem numérica 

que tornem a ma t r i z Sk ocasionalmente indisposta e mau condi- 

- 

cionada. Neste caso, a nova direção de busca poderia nao ser 

uma direção descendente e a solução seria reinicializar o pro- 

cesso, isto 6 , adotar para. Skil a aproximação inicial S ou 

O 

qualquer outra matriz simétrica positiva definida. A prática 

tem mostrado que a estratégia de reinicializar a matriz Sk a 

cada n ou n+l estágios, onde n é o número de variãveis 1 i 

- 

vres, traz resultados muito bons, mesmo para funções bem com- 

portadas, uma vez que a convergência global do processo é ga- 

rantida pela presença de um primeiro passo descendente a cada 

ciclo. Porém, este processo de reinicialização também apresen - 

ta a pequena desvantagem de estarmos nos descartando das infor 

mações sobre a trajetória contidas em Sk , o que pode afetar 

a velocidade de convergência. Para problemas de grande porte 

teríamos uma outra dificuldade. Como o nÜmero de variáveis é 

grande e o método deve convergir antes do n-ésimo estágio, os 

problemas numericos de mau condicionamento da matriz Sk tam- 

bem devem surgir antes da reinicialização de Sk. Logo, o ci- 

clo de reinicialização deve ser recalibrado. 

Outro problema numêrico que o método de Davidon- 

Fletcher-Powell pode apresentar se refere a estimativa de auto - 

valores de SkQ. Este problema pode surgir desde a iteração 

inicial se os autovalores de SoQ forem todos bem maiores que 

a unidade, uma vez que o método, essencialmente, move estes au - 

tovalores, um por vez, para a unidade, o que pode produzi r, en 

tretanto, uma estrutura desfavorãvel da razão de autovalores a 

cada passo para 1 K < n . Este fenômeno pode ser atribuido 

- - 

- 

-

ao fato do método ser extremamente sensivel aos fatores de es- 

cala de f ( ~ ) 

e X - . Em particular, se multiplicarmos a apro- 

ximaçao inicial S por uma constante, todo o processo será 

O 

' alterado. 

Uma forma eficiente de superar este problema se - 

ria a de multiplicar a cada passo a matriz Sk por um fator de 

escala de tal forma que os autovalores de SkF se distribuam 

em torno da unidade. Este resultado poderia ser demonstrado 

sem grandes dificuldades, porém, como a demonstração não é es- 

sencial para o desenvolvimento do texto e para o objetivo atual 

de d i ç cut i r a conve rgênci a do método de Davidon-Fletcher-Powel l , 

ela será deixada para o interessado, que também poderã procurã- 

la em 1251. 

Para o caço ideal de funções quadrãticas com cá1 - 

culo de ak rigorosamente preciso, uma mudança de escala a ni 

gor só seria necessária para a aproximação inicial .SO , uma vez 

que a uni dade sempre seri a um dos autovalores de J F para K > 0. 

k 

Para o caso geral de funções não quadráticaç, entretanto, pode 

ser muito importante escalonar a cada passo a matriz Sk para 

evitar problemas numericos. Esta mudança de escala pode ser 

feita incluindo-se um fator de escala jk na expressão (9) pa 

ra a atualização da matriz Sk da seguinte forma: 

T 

Pk Pk , com jk ' O . 

) Yk' f -- 

A dificuldade neste caço seria a escolha dos fa - 

teres de escala yk. Luemberger 1251, entretanto, nos mos- 

- 

-

t r a que 

é um fator de escala bastante adequado. 

Para finalizar, gostariamos de ressaltar que em 

aplicações de engenharia dificilmente se encontram funções mui - 

to distorcidãs e excêntricas, o que torna o método de Davidon- 

Fletcher-Powell extremamente atraente. No problema do Projeto 

Preliminar, a Única dificuldade adicional foi o cãlculo das de - 

ri-vadas numericamente, entretanto, como a estabilidade do méto - 

do está ligada essencialmente ao cálculo preciso de ak e o er 

ro inerente no cãlculo aproximado do gradiente é bem pequeno e 

não se transmite aos passos posteriores, não se verificou ne- 

nhuma queda sensível no desempenho do metodo e na precisão dos 

resultados. 

-

Vll - RESULTADOS E -- C ONCLUS~ES 

- - 

No capítulo I I I o problema de projeto preliminar 

foi formulado como um problema de programasão não-linear. Para 

resolvê-lo numericamente desenvolveu-se o modelo matemático des - 

crito no capítulo IV. A seguir, serão apresentados e discuti- 

dos os resultados dos testes, onde não houve a preocupação de 

resolver qualquer problema prãt ico particular e o objetivo prin - 

cipal era o de avaliar aç potencialidades do referido modelo. 

Portanto, as condições consideradas são típicas do transporte 

de longo curso e cabotagem de grangis l Íquidos e çõl idos. 

0s resul tados anal isados foram obtidos com o pro - 

grama descrito no apêndice 4. Este programa foi construido nu - 

ma estrutura em blocos, o que permitiu que as subrotinas fos- 

sem sendo editadas e testadas independentemente. Entretanto, 

serão apresentados apenas os testes com a rotina de minimiza- 

ção sem restrições, em funSão de sua destacada importância pa- 

ra a obtenção dos resultados Õtimos. A rotina que executa o 

algoritmo descrito no capitulo V, foi exaustivamente testada e 

os resultados estão apresentados em 121 1 . As demais rotinas po - 

dem ser aval iadas di retamente a parti r dos resul tados apresen- 

tados para os problemas-teste. 

V11.2 - OS TESTES COM A ROTINA DE MINIMIZACÃO SEM REsTRIÇÕES 

No capitulo V foram apresentadas as 

natureza teórica para a escolha do método de Davidon-Fletches- 

Powell. Naturalmente, tal escolha tambêm se baseou nos resul- 

tados, numéricos descri tos na bibliografia consultada 124 1 , 126 1

e 1271. Os, resultados apresentados a seguir tem os objetivos 

de demonstrar que a rotina desenvolvida com base na formulação 

do capítulo VI possui realmente as caracteristicas esperadas 

de estabil i,dade de convergênci:a, e de dar uma idéia do seu de- 

sempenho em termos de aval lações da função objetivo. Em função 

destes objetivos, não são necessários testes intensivos e os 

resultados das tabelas VII.1 e V11.2 se referem a função de 

Rosembrock, cuja expressão anal ít ica 6 a seguinte: 

F(x,, x2) = 10x; - 20x5 -t- 10x~+x; - 2x1 +5.0 

1 2 

; 

que possui um mínimo global em (1 ,l), que corresponde a ~(1, 1) = 4.0, 

e que foi escolhida devido a sua simplicidade e a grande fre - 

quência com que aparece na bibliografia utilizada. 

Na tabela Vlll.1 são apresentados os resultados 

obtidos em testes com 10 pontos iniciais, corridos com a mes- 

- 6 

ma tolerância de 10 para a função objetivo e para a busca 

unidimensional. Nestes testes, assim como no programa de pro- 

jeto prel iminar, as coordenadas do vetor gradiente foram calcu - 

ladaç pelo método das diferenças finitaç, com incremento igual 

a 1 Para efeito de comparação foram rodados algúns tes- 

tes, cujos resultados são apresentados na tabela V1 1 .2, com a1 - 

guns dos pontos da tabela VI I .I e com as mesmas tolerâncias, mas 

com as coordenadas do vetor gradiente calculadas analiticamen- 

te. Em ambas as tabelas estão indicados além dos pontos ini - 

cial e õtimo, o valor da função objetivo no ponto õtimo e o 

número de vezes que esta função é calculada durante o processo 

de busca, Entretanto, 6 preciso ressaltar que na tabela VII.l 

o número de cálculos da função objetivo inclui as avaliações

necessárias ao cálculo do gradiente. Logo, ao comparar os re- 

sultados das duas tabelas & necessário considerar que para o 

cálculo numêrico do gradiente, a cada ikeração, a função obje- 

tivo & avali'ada duas vezes, o que não ocorre quando o gradien- 

te é calculado analiticamente. Os tempos de processamento não 

foram incluidos nas tabelas porque não servem como parâmetro de 

comparação, uma vez que as corridas foram efetuadas em instan- 

tes em que o computador Burroughs 6700 do NCE/UFRJ apresentava 

configurações de memória e utilização bastante diferentes. Po 

demos informar no entanto, que os tempos de processamento va 

riaram entre um minimo de 0.6 segundo e um máximo de 5.0 se- 

gundos, com uma média em torno de 1.5 segundos. 

RESUL 

TABELA VII.l 

NF = n? de Cãlculos da Função Objetivo. 

N I TAS 

Os resultados das tabelas VII.l e V1 1.2 demons- 

tram que o cálculo do gradiente por diferenças finitas não pre - 

judica a eficiência do algori tmo, ao contrãrio, torna-o mais rã- 

pido e mais preciso, e evidenciam a importância da escolha do 

ponto inicial, ou seja, mesmo para pontos bem próximos, como 

- 

-

TABELA V1 1.2 

RESULTADOS OBTIDOS COM O GRADIENTE CALCULADO ANALITICAMEN 

por exemplo os pontos 1 e 2 da tabela VI I. 1, o esforço numéri- 

co para determinar o ponto õtimo, avaliado pelo numero de cál- 

culos da função objetivo, pode ser bastante diferente. Portan - 

to, podemos concluir que a rotina de minimização sem restrições 

apresenta as caracteristicas esperadas de precisão e estabi 1 i- 

dade e demonstra um desempenho comparável ãqueles descritos na 

bi bl iograf ia consultada. 

V11.3 - OS TESTES COM O PROGRAMA 

Foram efetuados testes para os 4 tipos de navios 

com que a atual versão do programa trabalha. Em cada um des- 

tes testes se utilizou as opções para restrições de igualdade 

e desigualdade mais adequadas, de forma a que o conjunto dos 

testes compusesse um quadro realistico das possibilidades con- 

cretas do modelo. Mais uma vez, queremos lembrar que o objeti 

vo dos testes não é o de resolver qualquer problema prático par 

ttcular, nem o de definir resultados gerais em termos de proje - 

to preliminar, entretanto, na medida do possível, se procurou 

utilizar as condições típicas encontradas no transporte de lon - 

- 

-

go curso e cabotagem de granéis 1 iquidos e só1 idos que servem 

ao pafs, e, durante a análise dos resultados, se procurou res- 

sal tar os resultados mais importantes em termos de arqui tetura 

naval. 

VII.3.1 - O Problema Teste para Petroleiros - 

O primeiro problema apresentado trata do proje- 

to preliminar de um navio petroleiro para transportar anualmen - 

te 2500000 ton de carga entre dois portos distando 6500 mi- 

lhas maritimas. 

Na solução do problema foram consideradas as se - 

guintes condições: taxa de atratividade = 20%; taxa de impos- 

tos média anual = 45%; vida econômica do navio = 20 anos; cus- 

to do homem hora = U$9,00; custo da tonelada de Óleo combusti- 

vel = US250,OO; custo da tonelada de Óleo diesel = U$350,00; cus - 

to da tonelada de Óleo lubrificante = U$700,00; custo por tri- 

pulante ano incluindo custos sociais = U$30000,00 e custo da 

tonelada do aço uti 1 izado na construção do casco = U$500,00. As 

demais informações utilizadas pelo programa estão descritas na 

tabela V11.3, que G , na realidade, uma cópia da listagem dos 

dados de entrada para um dos casos testados, 

No processo de otimização foram considerados os 

segui.ntes critérios de parada: tolerância para o processo glo- 

bal = 0.001; para a minimização sem restrições = 0.0001 e pa 

ra bus.ca unidimensional = 0.00001. Considerou-se ainda um nú- 

mero máximo de iteraçÕes igual 10 e utilizou-se um incremen- 

to no cãlculo do gradiente por diferenças finitas igual a 

0.000001.

7 

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 

NÜCL 

I 

2 

- 

r, 

n 

> 

f 

> 

3 

> 

0 

. 

D 

7 

D 

-i 

3 

Q 

J . 

'f 

- 

b 

- -4 

- 

L) 

n - 

C 

D 

q 

7 

3 

7 

3 

* 

II 

U 

D 

1 

n 

J 

'7 

n 

D 

2 

-i 

1 

Y 

7 

I 

I 

li. 

a 

1 - I1 

A. 

3 

3 

Y . 

E . r. 

A 

E 

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 

NÜCLEO DE COhlPUTA(;AO ELETRÕNICA

Inicialmente, rodamos uma série de testes com 

as seis variáveis livres e sem as restrições referentes as Nor - 

mas de Poluição da IMO de 1978, cujos resultados são apresen- 

tados na tabela V11.4. Em seguida, escolhemos a combinação de 

Carga Paga e velocidade de serviço mais eficiente e rodamos mais 

uma série de testes fixando o valor obtido para a Carga Paga 

como restrição de igualdade e da velocidade de serviço como pa - 

râmetro de projeto. Estes resultados são apresentados na tabe 

la VI 1.5, 

O próximo passo foi resolver o problema conside - 

rando as restrições impostas pelos regulamentos da Convenção 

de Prevenção da Poluição Marítima por Õleo de 1978. Para re- 

solver este problema foi necessário complementar a formulação 

descrita no item 4.4 do capitulo IV, que trata do cálculo des- 

tas restrições, uma vez que, inicialmente, foram considerados 

apenas os problemas em que o requisito era a carga paga. Para 

o problema em questão a restrição de volume requerido para o 

compartimento de carga, calculada pela expressão (43) do capi- 

tu10 IV com base no valor requerido para a carga paga, nao po- 

de ser calculada uma vez que não se conhece a priori o valor 

Ótimo deste requisito. A solução adotada foi calcular a capa- 

cidade de carga efetiva a partir do volume disponivel para o 

transporte de petróleo, que é obtido abatendo-se do volume do 

compartimento de carga, os volumes necessários para os tanques 

de SLOP e para os tanques de lastro segregado. 

O volume requerido para os tanques de lastro se - 

gregado é obtido a partir do peso de lastro, que por sua vez é 

calculado com base na expressão (42). Entretanto, nem todo o 

lastro é acomodado em tanques segregados do compartimento de 

-

carga. Uma parcela significativa utiliza os tanques do fundo 

duplo. Como a convenção exige que os tanques de Óleo combustí 

vel do fundo duplo também sejam segregados, o volume necessã 

rio para transportá-lo deve ser abatido do volume disponivel do 

fundo duplo. Ao contrário dos tanques de lastro segregado, o 

volume requerido para os tanques de SLOP depende diretamente 

da quantidade de petróleo a ser transportado. 0s regulamentos 

da Convenção de Prevenção da Poluição Marit ima por Óleo de 1978 

exigem que estes tanques sejam suficientes para conter no mÍni - 

mo 3% da carga nominal máxima. Como aproximação, serã conside 

rado neste trabalho que o volume dos tanques de SLOP é igual 

a 3% da diferença entre o volume do compartimento de carga, o 

volume do fundo duplo e do volume dos tanques de lastro segre- 

gado. Logo, podemos descrever o cãlculo do volume disponível 

para o transporte de petróleo pela seguinte expressão: 

Desta forma, o peso de petróleo efetivamente transportado por 

viagem pode ser obtido multiplicando-se o volume disponivel pe - 

10 peso especifico do petróleo carregado. Deve-se levar em con 

sideração, entretanto, que petroleiros não podem andar com os 

tanques de carga integralmente cheios, reservando um pequeno v2 

lume para os gases. Logo, a carga de petróleo transportado por 

viagem obtida pela expressão abaixo: 

CTV Pet = 0.97 

Logo nos primeiros testes, porém, surgiu um pro - 

- 

- 

-

lema com esta formulação. A carga de petróleo efetivamente 

transportada, calculada a parti r do volume di sponivel, era uti - 

lizada apenas no cálculo da capacidade anual de carga. Os de- 

mais cãlculos consideravam ainda a capacidade de carga como a 

diferença entre o porte bruto e os consumÍveis, que correspon- 

dia a uma condição de operação, e consequentemente a um calado 

de operação, que não seria jamais uti 1 izada, onde o navio trans 

portaria alêm da carga em petróleo, todo o lastro corresponden 

te aos tanques segregados fora do fundo-duplo. Este problema 

foi resolvido adotando-se uma restrição para o deslocamento, que 

foi chamada de deslocamentooperacional e corresponde a soma 

do peso de petróleo efetivamente carregado, do peso leve e do 

peso de consumivels. Inicialmente pensou-se em utilizar uma 

restri ção de igualdade, entretanto, os testes demonstraram que 

uma res,trição de desigualdade cumpri ria os objetivos desejados 

sem difi.cu1 tar a convergência. 

A 2 A operacional , onde (2 > 

A operacional = P consumíveis -I- P petrõleo + PL (3 

Os resultados dos testes com as restrições refe 

rentes as normas de Poluição da Convenção de 1978 são apresen- 

tados na tabela V11.6. Finalmente, na tabela V11.7 sao apre- 

sentados os Ültimos resultados referentes a este problema, que 

correspondem a testes realizados fixan-do-se os valores da car- 

ga paga Ótima e da velocidade de serviço Õtima obtidos da tabe - 

la V11.6 respectivamente como restrição de igualdade e parâme- 

tro de projeto. 

- 

-

As tabelas V11.8 e V11.9 apresentam cópias da 

saida do programa para os melhores resultados das tabelas V1 1 .4 

e V11 -6. 

da as seguintes restrições: 

Todos os testes para pet rolei ros consideraram ain - 

Os coeficientes das expres.sões (5), (6), (7) e 

(8)- foram ajustados com base em informações obtidas em 1291, 

1301, 133 1 e 1321 e assumiram os seguintes valores: 

- para a expressão 5 : K, = 75000.0 e a] = 0.85 ; 

- para a expressão 6 : P = 4000 ; 

nTout 

- para a expressão 7 : K2 = 300000.00 e a2 = 0.85 ; 

- e finalmente para aexpressão 8 : K =340000.0, Kq= 30000.0 , 

3

TABELA V11.4 

TESTE 1 2 3 4 

- -

TABELA V11.5 

I I I 

L 

CAC 

( ) + EPSF = 0.001

TABELA V1 1.6 

TESTE 1 2 3 

I I - I I 

I I - I _ 

bop 1 367119.4 1 329637.4 1 366359.2 

I I I 

Tnece I 20.8391 19.9321 20.985 1 

I I I 

- - 

VOL PETI 397451.5 1 347166.0 1 360545.81 

VOL LASI 108886.7 1 99916.7 / 106845.8 1 

- - 

TFR 20.46 20.48 20.99 

CAC 25436891 5 2499595.1 2499784.5 -

TABELA V1 1.7 

P B 292269.2 292336.9 292634.5 292593. 0 292062.6 

CP 287237.9 287479.4 287853.7 287668.8 287600.6 

Aope 335038 335436.9 339809.9 337369.9 338609.3 

Tnec - 

G M ~ ~ ~ ~ 

- 

Caq 64366980.99 64807684.84 6971 6698.23 66952379.89 683 1471 0.27 

Cop 

TFR 

2721 5903.54 27261 095.95 2745571 5.94 2732201 O. 63 27349939.70 

I 19.591 20.30 20.081

IVERSIDADE FEDERAI- DO RIO DE JANEIRO 

NÚCLEO DE COMPUTAÇAO ELETRONICA 

UNWERSIDADE FEDERAL D( 3 RIO ' DE JANEIRO 

NÚCLEO DE COMPUTAÇA O ELETRONICA

L 

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L9

cont i~nuação

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 

DE COMPUTAÇAO ELETRÕNICA 

-I 

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO MIO.- DE JANEIRO 

NUCLEO DE COMPUTAÇAO ELETRÕNICA

UNIVERSIDADE 

NÚCLEO

D3 

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 

NUCLEO DE COMPUTAÇAO ELETRONICA


NUCLEO DE CDMPUTAÇAO ELETRONICA 

- -

V11.3.2 - Análise - -- dos Resultados - 

Ana1 i sando-se os resul tados da tabela V'I 1 .h, ve - 

rifica-se que todos os pontos encontram-se dentro de uma mesma 

vizinhança. Assim sendo, o objetivo principal em termos de ar 

quitetura naval, que, como foi ressaltado nos capitulas III e 

IV, se constitui exatamente na determinação desta vizinhançado 

ponto õti.mo, foi alcançado. Visualiza-se mais facilmente este 

fato se tomarmos como critério de comparação caracteristicas mais 

gerais que as dimensões principais, como por exemplo o desloca - 

mento, a carga paga e até mesmo a potência requerida da insta- 

lação propulsora. Neste caso, verifica-se que mesmo os pontos 

1 e 5, que foram obtidos a partir de aproximações iniciais mais 

grosseiras, se encontram na vizinhança do õtimo. Outra obser- 

vação importante em termos de convergência é que todos os pon- 

tos da tabela se encontram numa região onde apenas a restrição 

de igualdade está ativa. Neste sentido os resultados também 

se mostraram excelentes porque os erros na capacidade anual de 

carga em relação ao valor da restrição foram muito pequenos e 

mesmo para o ponto 1, que apresentou um erro de 2.105%, os va- 

lores obtidos são compativeis com o nivel de precisão e confia- 

bilidade do projeto preliminar. Para os demais pontos este er - 

ro ficou numa faixa entre 0.01% e 0.035%. 

As pequenas diferenças veri f i cadas nas caracte- 

risticas principais refletem as dificuldades numéricas de se 

obter o ponto Ótimo e se devem a forma desfavorável da superfí - 

cie definida pela função transformada. Entretanto, os pontos 

obtidos definem claramente uma tendência para um navio com ca- 

racteristicaç principais em torno dos seguintes valores: 

-

L 335.01-11, B = 55.50, D = 27.50, T = 20.90 m, CB = 0.84 e velocida- 

PP 

de de serviço igual a 15.2 nós e, e podemos conclui r que a com 

binação Ótima de capacidade de carga paga e velocidade de ser- 

viço para transportar as 2500000 toneladas de petróleo foi de- 

finida com CP = 289000.00 e V = 15.2 nós. 

S 

As relações adimensionais obtidas para os navios 

da tabela V11.4 se mostraram coerentes com a tendência atual 

para valores de L/B e V S / r mais baixos. A velocidade de 

PP 

serviço de 15.2 é um pouco mais elevada que a velocidade me- 

dia em que os petroleiros operam atualmente. Isto se deve em 

parte ao 1 imite inferior adotado para a relação V /c de 0.45. 

s PP 

Porém, para os melhores resultados essa relação ficou em 0.46, 

o que mostra que a influência do limite adotado não foi assim 

tão definitiva e que em condições como a do problema em ques- 

tão velocidades em torno de 15.0 podem ser economicamente vis- 

veis. Finalmente, é importante ressaltar que todas as estima- 

tivas se mostraram coerentes com os valores esperados. 

O objetivo dos testes, cujos resultados são apre - 

sentados na tabela V11.5, é o de demonstrar que a superfície 

resultante do problema com menos variáveis e com uma restrição 

de igualdade ligada diretamente a capacidade de carga do navio 

é mais suave. Consequentemente, o esforço numérico necessário 

a obtenção do ponto Ótimo é menor e a convergência mais preci- 

sa. Desta forma, é possível refinar a solução obtida na tabe- 

la VI 1.4. 

Os resultados demonstram as mesmas tendências 

observadas para o caso anterior e definem uma vizinhança da so - 

l ução 6t ima. Entretanto, como consequênci a do menor esforço nu

mérico e da convergência mais fãcil a dispersão em torno do me - 

Ihor resultado & bem menor. Este fato pode ser observado mais 

faci lmente se considerarmos as dimensões principai s com preci - 

são de apenas uma decimal e o coeficiente de bloco com três de - 

cimais. Neste caso, a boca varia apenas entre 56.0 e 55.5 pa - 

ra as quatro melhores aproximações apresentando uma d i spersão 

máxima de 0.90%. O ponta1 para estes quatro pontos assume o 

mesmo valor de 26.80 m, o mesmo ocorrendo para o calado com o 

valor de 21.0 m. Para o coeficiente de bloco observa-se uma 

dispersão um pouco maior com dois pontos assumindo o valor de 

0.849 e os outros dois de 0.847 e de 0.846, ainda assim mui - 

to pequena em termos relativos, 0.35%, e inteiramente compatí- 

vel com os objetivos do projeto preliminar. O maior desvio fi - 

cou com o comprimento entre perpendiculares, ainda assim um 

desvio pequeno, principalmente se considerarmos apenas os três 

melhores resultados, para os quais o desvio máximo & 1.38%. En - 

tretanto, deve-se considerar que o comprimento & uma das carac - 

teríst icas de maior peso na determi nação dos resultados Õtimos, 

o que pode ser constatado comparando-se os resultados das tabe - 

las V1'1.4 e V11.5, quando se verifica que o comprimento foi a 

característica que mais variou, sendo portanto, a principal res - 

ponsãvel pela redução de 2,25% nova1 o r 

dataxa d e f retere- 

querida que passou de U$18.55/ton para U$18.14/ton. O pon- 

tal também experimentou uma redução significativa, da ordem de 

1.49% para QS dois melhores resultados, ainda assim foi menor 

que a apresentada pelo comprimento que foi de 3.81%. 

A análise da convergência, analisada apenas do 

ponto de vista do erro apresentado pela capacidade de carga em 

relação ao valor da restrição, apresentou resultados interes-

santes. A mel hor aproxbmação apresentou um erro muito pequeno, 

de 0.0052%, bemmenor que0 da melhor aproximação da tabela 

V11.4, que foi da ordem de 0.03%. Além disto, o maior erro 

(de 0.192%) também foi bem inferior ao erro de 2.105% apresen 

tado pelo ponto (1) da tabela V11.4. O resultado que aparente 

mente mais se distancia da vizinhança do Ótimo definida pelos 

3 melhores pontos da tabela V11.5, apresenta, entretanto um er - 

ro muito pequeno na carga paga, de cerca de 0.072%. Porém, o 

erro médio apresentado pelos melhores resultados é maior que o 

verificado na tabela V1 1.4. 

A tendência verif icada nos resultados dos testes 

apresentados na tabela V11.4 para baixos valores da relação 

Lpp/B, se repetiu nos resultados tabela V1 1 .5, e até 

mesmo se acentuou, uma vez que para a melhor aproximação 

desta tabela a relação L/B é igual a 5.76 (ponto I ) , enquan - 

to que para o mesmo ponto da tabela V11.4 o valor de L/B é de 

6.08 e o menor valor desta relação para os resultados desta ta - 

Nesta ultima série de testes foi corrido nova- 

mente o ponto inicial (I), o que apresentou a melhor aproxima- 

Ç ~ O do ponto Ótimo, para um valor um pouco menor da tolerância 

de parada para a minimização sem restrições. 

O valor utilizado para esta tolerância foi de 

I O - ~ , enquqnto as demai s permaneceram i na1 terados. Os resulta - 

dos obtidos correspondem ao ponto (6) da tabela V11.5, e mos- 

tram que não vale a pena uti 1 i zar uma tolerância menor, uma vez 

que o valor da função de mérito aumentou, assim como o erro na 

carga paga e o esforço numérico (convergiu em 4 iteraçÕes, en- 

- 4 

quanto, que para a tolerância de 10 o processo convergiu em 

- 

-

2 iteraçÕeç). A única vantagem foi que a pequena violação de 

4 cm da restrição de calado verificada no ponto (I), não ocor- 

re no ponto (6). 

Serão analisados a seguir os resultados das ta- 

- 

belas V11.6 e V11.7, que correspondem aos casos em que sao con - 

si deradas as rest ri ções referentes aos regul amentos da Conven- 

ção para Prevenção da Poluição Maritima por Óleo de 1978 da 

IMO. Assim como para os casos anteriores serã considerado ini - 

cialmente o problema geral enunciado ao inicio desta seção, com 

uma restrição de igualdade para a capacidade anual de carga de 

2500000 toneladas, cujos resultados são apresentados na tabela 

V11.6. e,em seguida, tomando a melhor combinação de carga paga 

e velocidade de serviço será considerado o problema com apenas 

cinco variáveis 1 i vres e com o valor da carga paga fixado como 

restrição de igualdade para a carga paga. 

Realmente a introdução das restrições relativas 

as normas de poluição tornaram a superf Ície definida sensivel- 

mente mais desfavorável. Muitos dos pontos testados não con- 

vergi.ram, isto é, o algoritmo não conseguiu encontrar uma apro 

ximação do ponto Ótimo a partir da aproximação inicial forneci 

da. Muitos destes problemas se relacionaram a problemas inter 

nos do programa, que não chegaram a ser sanados satisfatoria- 

mente, entretanto, a maioria se deve a problemas relacionados 

a forma da Punção transformada. Durante os testes foi rodado 

um exemplo com um 1 i mite inferior para a relação V S / s de 

0.40. Os resultados para este teste correspondem ao ponto 1 

da tabela V11.6. 0s demais pontos foram obtidos com os mesmos 

valores utilizados anteriormente. 

A primeira característica que ressalta da tabe- 

- 

- 

-

la ê que as três aproximações apresentadas não correspondem a 

aproximações de um mesmo ponto Ótimo. Entretanto, sempre pode - 

mos analisar os resultados e escolher o melhor. Se esta solu- 

- 

çao não 6 a melhor do ponto de vista matemático, atende intei- 

ramente aos objetivos do projeto preliminar. 

Comparando o mel hor resul tado da tabela V1 1.6 com 

o ponto correspondente da tabela V11.4, verifica-se que o com- 

primento entre perpendiculares, o ponta1 e a velocidade de ser - 

viço, experimentaram uma grande variação, enquanto o coeficien 

te de bloco e o calado permaneceram nas mesmas faixas e a boca 

variou pouco. Estas diferenças se devem basicamente a dois fa - 

tores: ao 1 

imite mais baixo para a relação V S / K e a neces 

P P - 

sidade de criar um volume para o lastro segregado. A adoção de 

de um limite mais baixo para V S / r permitiu que a velocida 

PP 

- 

de de serviço caisse e consequentemente o deslocamente e capa- 

cidade de carga crescessem. Entretanto, 6 necessário ressal- 

tar que a diferença nas taxas de frete requerido entre os pon- 

tos ( 3 ) e (2) 6 muito pequena, de cerca 0.098% e estes dois 

pontos refletem tendências diferentes, sendo que o ponto (2) se 

mostrou mais próximo dos resultados da tabela V11.4. Por outro 

lado, a tendência para maiores capacidades de carga e velocida 

des de serviso mais baixas 6 mais coerente com a tendência atual 

de projeto do navio. O crescimento do comprimento entre per 

pendiculares e do pontal se deve a necessidade de aumentar o 

volume do compartimento de carga para acomodar os tanques de 

lastro segregado, sem alterar, entretanto, a capacidade de car - 

ga. Isto explica as relações L /B elevadas para o tipo de 

P P 

navio e principalmente para os deslocamentos dos navios sele- 

cionados. 

-

Finalmente, & importante ressaltar que a conver - 

gência para cada um dos pontos da tabela V11.6 pode ser consi- 

derada muito boa, uma vez que para as aproximações obtidas ape - 

nas a restrição de igualdade estava ativa e a diferença entre 

o valor da capacidade anual de carga e o valor desta restrição 

foram muito pequenas, de 1.76% para o ponto 1, 0.01 1% para o 

ponto 2 e 0.0086% para o ponto 3. Apesar da diferença para 

o (1) ser a maior, neste caso, isto poderia até ser considera- 

do como uma pequena vantagem porque esta diferença representa 

uma reserva, uma vez que o valor da capacidade anual de carga 

é maior que o requerido, e poderia ser utilizada para o las- 

tro segregado, ou para uma redução da velocidade de serviço, ou 

mesmo como uma margem de segurança para o projetista. 

Para facilitar a comparação com os pontos da ta - 

bela V1 1.5, para este caso, a combinação de carga paga e velo- 

cidade de serviço escolhida não foi a do melhor resultado, mas 

a do ponto 3 com 288000 ton e 15.5 nós, praticamente a mes- 

ma uti.1 i:zada para o caso sem as restrições relativas as normas 

de poluição. 

A anãlise dos resultados da tabela V11.8 demons - 

tram que os problemas de convergência são sensivelmente meno- 

res que aqueles verificados para o caso anterior, relativo a 

restrição de igualdade para a capacidade anual de carga. Além 

disto, durante os testes não ocorreu n'enhum caso de abortamen- 

to do processo, o que ressalta a redução da dificuldade de con - 

vergência. Entretanto, os pontos da tabela definem claramente 

duas tendênci'as: a primeira, definida pelos pontos 1 e 2, com 

as relações L /B mais baixas, em torno de 6.0, e com res- 

PP 

triçÕes V S / c = 0.47 e a segunda, definida pelos pontos 3, 

PP

4 e 5, com as relações L/B mais altas e com V /r = 0.46. 

s PP ' 

Porém, a tendência definida pelos pontos 1 e 2 está mais bem 

determinada, tanto em termos do valor da taxa de frete requeri - 

da, quanto nos valores assumidos pelas caracteristicas princi- 

pais. 

Para todos os pontos a Ünica restrição ativa é 

a restrição de igualdade para a carga paga, sendo que as dife- 

renças entre o valor adotado para esta restrição e os valores 

calculados para as aproximações descritas na tabela V11.7 sao 

muito pequenas variando entre 0.26% para o ponto 1 e 0.051% pa 

ra o ponto 3. Portanto, mais uma vez flca patente a redução da 

dificuldade de convergência, não sõ pela redução do erro mãxi- 

mo, mas pri ncipalmente pela maior homogeneidade dos resultados. 

Ana1 i sando-se os resul tados em termos de projeto prel imi nar, 

pode-se veri ficar uma redução sensível no comprimento entre per 

pendiculareç para os pontos 1 e 2 em comparações com o valor 

desta caracterfstica para o ponto 3 da tabela V1 1 .6 (da ordem 

de 8.74%), e um crescimento proporcional do pontal (cerca de 

7.94%). Considerando-se a redução de US1.46 da taxa de fre- 

te requerida (que corresponde a um valor relativo de 7.48%), 

fica demonstrado que a solução mais eficiente para resolver os 

problemas de acomodar o lastro segregado, sem aumentar a capa- 

cidade de carga do navio, ê aumentar o pontal e não o compri- 

mento entre perpendiculares. 

Comparando-se os pontos 1 e 2 com os resultados 

da tabela V11.5, verifica-se que eles se aproximam bastante da - 

queles pontos, principalmente dos pontos 1 e 2. É claro que, 

em função das conclusões anteriores, seria de se esperar que o 

comprimento entre perpendiculares e o pontal apresentassem va- 

-

lores um pouco maiores para o caso que considera as restrições 

referentes as normas de poluição, por&m as demais característi - 

tas apresentam praticamente os mesmos valores. 

Ficou mais uma vez demonstrado que as soluçÕes 

com menores valores de L /B se constituem sempre nas mais 

P P 

eficientes. 

Finalmente, é importante ressaltar que pratica- 

mente todas as soluções apresentadas nas tabelas podem ser con - 

sideradas boas e poderiam ser adotadas, uma vez que a diferen- 

ça entre elas se encontra dentro do nível de confiança do pro- 

jeto preliminar. Desta forma, fica claro que a decisão final 

sempre pertence ao projetista, e que modelos como o descrito 

neste trabalho tem que, necessariamente, ser considerados como 

uma ferramenta poderosa para auxiliã-lo na obtenção da melhor 

solução possível para o seu problema de projeto. 

Estes testes foram executados apenas para mos- 

trar as possibilidades do programa, assim sendo não foram roda - 

dos tantos exemplos como para o caso de petroleiros. O proble - 

ma formulado para os testes considera o caso do projeto de um 

minero-pekrole-i-r-o par-a-&r-anspor-t-ar-anua-lmente 1250000 ton de 

nim&rio de ferro e 1250000 ton de petróleo numa rota quadran - 

gular em que são feitas duas viagens em lastro respectivamente 

de 950 milhas e 2000 milhas, e duas viagens em carga, a pri- 

meira com minério de 5500 milhas e a segunda com petrõleo de 

7500 milhas. Para estes testes o programa foi rodado com uma 

restrigão de igualdade para a capacidade anual de carga igual 

a 2500000 ton e com os seguintes valores para as restrições

de desigualdade opcionai s: 

As tolerâncias uti 1 izadas foram de 2.10'~ para a convergên- 

- rt - 4 

cia global, 10 para a minimização sem restrições e 10 

para a busca unidimensional. 

O tratamento das restrições referentes as nor- 

mas da Convenção para Prevenção da Poluição Maritima por bieo 

de 1978 exigiu a modificação desta parte do modelo descrita no 

capitulo 4, em primeiro lugar porque inicialmente tinha-se pen - 

sado apenas no problema com restrições de igualdade para a car - 

ga paga, e finalmente, porque os primei ros testes demonstraram 

a existência de certas particularidades referentes ao projeto 

de minero-petroleiros que não haviam ainda sido percebidas, co 

mo por exemplo no cãlculo da carga transportada por viagem, que 

teria que ser calculada com base no volume disponivel para o 

transporte de pet rõleo, para a etapa correspondente da vi agem, 

e com base na capacidade de carga para a etapa com minério de 

ferro. Entretanto, quando o volume disponivel fosse suficien- 

te para transportar uma quantidade de petróleo maior ou ' igual 

a carga paga, apenas este valor deveria ser considerado no cá1 - 

-

culo da capacidade anual de carga. 

Como foi citado na capitulo IV, em geral se re- 

serva um porão central a meio navio para a carga de minério e 

lastro, assumiu-se por hipótese que este porão terá 15% do vo 

1 ume do porão central . 

Os regulamentos permitem que seja carregado pe- 

tróleo nos tanques laterais, desde que os volumes máximos e a 

perda hipotêtica em caso de avaria estejam de acordo com as nor - 

mas. Esta verificação, entretanto, só pode ser realizada no 

projeto básico, durante a fase de compartimentação. Porém, as 

sumiu-se por hipótese que 40% do volume dos tanques laterais 

será util izado para a carga de petrõleo. 

A convenção recomenda que os dois tanques de SLOP 

sejam vizinhos e corram de bordo a bordo do navio. No modelo 

adotou-se a hi-pótese de que esta recomendação será atendida. 

Desta forma, temos os seguintes volumes no compartimento de car - 

ga: 

- volume inicial disponível para o transporte de petróleo 

'OLd i s 

= 0.85 * VOLTC -I- 0.40 * (VOL - VOLTC - VOLFD) 

- volume requerido para os tanques de SLOP 

= 0. o3 V0Ldi 

V o L s ~ ~ ~ 

- comprimento dos tanques de SLOP 

L~~~~ = V o L /(B ~ * ~ D * ~ 0.95) ~ 

- volume do porão central 

- 

" O L ~ c - 'OL~c * ( L ~ o ~ ~ L o ~ ~ ~ p ) / L p ~ ~ ~ ~ 

- volume dos tanques laterais 

VOLTL = VOL - V o L - ~ VOLTC 

~ ~ ~ 

-

- volume disponivel para o transporte de petróleo 

= 0.85 * VOLTc + 0.40 * VOLTL 

V o L ~ ~ ~ 

- volume disponivel para a carga de minério 

" O L ~ I N = VOLTc 

- volume disponivel para lastro segregado 

v o L ~ ~ s 

Poc 

= VOLFD - - + 0.15 * VOLTc + 0.60 * VOLTL 

Yo C 

la segulnte expressão: 

A carga transportada por viagem é calculada pe- 

> CP -+ faça CGpET -t CP 

se C G ~ ~ ~ 

CTV = CP -I- CGpET 

serão agora analisados os resultados descritos 

na tabela VIC.10. Para este problema não foram corridos exem- 

plos sem considerar as normas de poluição. Uma copia da lista 

gem para o melhor resultado da tabela V11.10 é apresentada na 

tabela Vl'i .ll. 

Para os coeficientes das expressões (5), (6), 

(7) e (8) do capítulo IV, com base nas informações de 128 1 e 

1321, foram ajustados os seguintes valores: 

- expressão 5 - K1 = 165000.0 e a, = 0.85 ; 

- expressão 6 - K~~ OU^ 

= 2500.0 ; 

- expressão 7 - K2 = 300000 e a2 = 0.85 ; 

-

TABELA V1l.10

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ,R10 DE JANEIRO 

NÜCLEO DE COMPUT~~ÇAO ELETRÕNICA 

UNIVERSIDADE FEDERAL DO Ri0 DE JANEIi?O 

NUCLEO DE COhlPUlAÇEd3 ELETRÕNICA 

- 

1 D 

2 r". 

P 1 

0, I 

:I 

< 

V) 

\ 

C 

m 

r 

Y 

n 

r

= UNIVERÇ!DADE 


NUCLEO DE COMPUTAÇAO ELETR6NICA 

t~d

- expressão 8 - K = 34000 e 

3 

K4 = 50000 

a3 = 0.90 e a4 = 0.75. 

Analisando os resultados da tabela V1l.10 cons- 

tatamos mais uma vez a dificuldade introduzida pelas restrições 

das normas de poluição para a convergência do processo. Real - 

mente, não 6 possivel considerar os três pontos da tabela como 

aproximações de um mesmo ponto ótimo. No entanto, em termos de 

projeto estes pontos são bem razoáveis, mesmo consistindo de 

aproxi'maçÕes de três soluções locais diferentes. O melhor re- 

sultado mostra as tendências esperadas, isto g, uma relação 

L /B, bem baixa, cerca de 5.93, uma relação V , tambêm 

PP PP 

baixa, assim como a velocidade de serviço. A convergência tam 

bem mostra resultados excelentes. Para todos os pontos ape- 

nas a restrição de igualdade estava ativa e a diferença entre 

o valor desta caracteristica e o valor calculado também ficou 

muito pequena, variando entre 0.035% e 0.055%. 

Vi 1.6 - OS TESTES PARA GRANELEIROS 

Assim como no caso anterior para minero-petro- 

lei ros, os resultados apresentados nesta seção tem objetivo prin - 

cipal de demonstrar as possibilidades do modelo, assim sendo, 

não houve a preocupação de refinar os resultados obtidos. 

O problema formulado para os testes consiste no 

projeto de um granelei ro com capacidade v01 umétrica de 120000m 3 

para operar numa rota que serve a dois portos distando 6500 mi 

lhas. Em ambas as etapas da viagem o navio navega a plena car 

ga e o grão mais leve tem peso específico de 0.65 ton/m 3 . 

- 

- 

-

0s coeficientes das expressões (5), (6), (7) e 

(8) do capítulo IV tambêm foram ajustados com base nas informa - 

ções obtidas em 1291 e 1301 e asumiram os seguintes valores: 

- expressão 5 - K1 = 145000.00 e a = 0.85 ; 

1 

- expressão 6 - 

'm~ out 

= 1720.00 ; 

- expressão 7 - K2 = 250000.00 e a2 = 0.85 ; 

- expressão 8 - K3 = 365000.00 , K4 = 45200 ; 

Os resultados são apresentados na tabela V11.12 e foram utili- 

zadas na sua obtenção as mesmas tolerâncias que para o caso de 

mínero-petrolei ros, e os seguintes valores para as restrições 

opcionais: 

T - 18.0 

B 5 50.0 

fator de estiva > - 1.54 

Todos os pontos da tabela V11.12 podem ser considerados como 

aproximações de um mesmo ponto ótimo, o que mostra que para es - 

te caso a superfície definida pela funcão transformada é razoa - 

velmente bem comportada, uma vez que não foi detectada a exis-

tência de outros minimos locais. Esta afirmação é reforçada 

quando se considera que algumas aproximações iniciais utiliza- 

das estavam bem distantes do ponto Õtimo. 

A tabela mostra ainda alguns resultados muito in - 

teressantes; por exemplo, apesar de bem comportada a superficie 

mostra possuir uma curvatura razoavelmente acentuada na vizi- 

nhança do ponto Õtimo, uma vez que apesar da proximidade dos 

pontos, principalmente os pontos 3 e 4, a diferença na taxa de 

frete requerida é bem significativa, mesmo para aqueles dois 

pontos. Outro aspecto muito interessante é que apesar de as 

dimensões principais serem praticamente as mesmas para todas as 

aproximações (apenas o calado para o ponto 2 fugiu um pouco), 

a velocidade oscilou bastante, acompanhando a variação da fun - 

ção de mérito, o que mostra que foi a responsãvel por esta os- 

cilação, Desta forma, para o caso do problema considerado, fi - 

ca evidenciado que a variação da velocidade de serviço não in- 

fluenciou na escolha das dimensões principais Õtimas e portan- 

to, caso se conhecesse a priori o valor deste parâmetro a velo - 

cidade de serviço poderia ter sido fixada, o que certamente re - 

duziria sensivelmente o esforço numérico na determinação dos 

resultados Ótimos. 

Todos os pontos obtidos se encontram numa região 

onde apenas a restrição de igualdade estã ativa. A precisão na 

determinação do volume do espaço de carga em relação ao valor 

desta restrição tambsm se mostrou excelente, variando entre um 

eixo máximo de 0.45% e um erro mínimo de 0.072%. 

Mais uma vez se evidenciou que baixos valores da 

relação L /B conduzem aos melhores resultados. Para este 

PP 

problema as duas melhores aproximações do ponto õtimo possuem

TABELA V11.12 

GRANELEIRO 

Cop 11690987.60(11414471.46 11202705.45 11362916.48 

- .- - - 

TFR' -TJ- 47-50 40.37 40.94

. DO RIO DE JANEIRO 

TAPiO ELETRONICA 

I 

UNIVEIISIDADE FEDERAL 80 RIO DE JANE!RO 

NUCLEO DE COMPUTAÇÃO ELETROt!lCA 

-

JANEIRO 

NÚCLEO DE COMPU

azão L /B igual a 5.59, bem prõximo, portanto, do limite 

PP 

inferior adotado de 5.50. Também a relação vs/JLpp 

7 

conve r- 

giu para valores prõximos ao limite inferior, sendo que o pon- 

to 3, assume exatamente o valor mínimo de 0.45. Como o com- 

primento & praticamente o mesmo para todos os pontos da tabela, 

o que provocou a variação na relação V /c foi a diferença 

s PP 

nos valores assumidos pela velocidade de serviço para as várias 

- 

aproximaçoes do ponto ótimo apresentadas na tabela V1 1.10. 

V1 1 .7 - OS TESTES PARA OBOs ("ORE-BULK-O I L") 

- , 

Assim como para os dois anteriores estes testes 

foram efetuados apenas com o objetivo de demonstrar as possibi 

1 idades do programa e de ajustar a parte do modelo referente ao 

cãlculo das restrições relativas as normas da Convenção para 

Prevenção da Poluição Maritima de 1978. Estes ajuste foram ne 

cessário em função das mesmas razoes que levaram a modificação 

do modelo para petroleiros e minero-petrolei ros, isto é, resol 

ver problemas, com restrições de igualdade para a capacidade 

anual de carga e considerar as particularidades relativas ao 

projeto de OBOS. 

As modificações efetuadas consistem basi camente 

das mesmas soluções já discutidas para os casos de minero-petro 

leiroç e petroleiros, isto é, a carga transportada por viagem 

6 calculada com base nos volumes disponiveis para granéis le 

ves e para petróleo, e considerando a capacidade de carga para 

o minerio. Assumiu-se ainda a hipótese adicional de que o 

transporte de petróleo utilizará apenas 85% do volume dispo- 

nível dos porses centrais, ficando, assim, os demais 15% pa- 

ra granêis leves, minêrio e lastro, uma vez que, não transpor- 

- 

- 

-

tando produtos poluentes, podem ser considerados como tanques 

de lastro segregado. Assim sendo, os diversos volumes do com- 

partimento de carga são calculados pelas expressões abaixo: 

- volume disponível para a carga de petrõleo 

v o L I ~ s = 0.85 * VOL - v o L ~ ~ ~ 

- volume requerido para os tanques de SLOP 

- volume útil para o transporte de petrõleo 

- volume disponivel para o lastro segregado 

VOLLAS = VOLTAS + VOLTAI + VOLTLT + VOLFD - - + 0.15 * VOL ; 

yo C 

- volume disponível para o transporte de granéis leves 

V O L = ~ VOL ~ ~ - V o L + ~ V~ O ~ L ~ ; ~ ~ ~ 

- volume disponivel para o transporte de minério 

VOLMiN = VOL - VOLSLOP . 

O cálculo da carga transportada por viagem fica, então, da se- 

guinte manei ra: 

se C G - > CP ~ ~ + ~ CGpET -t CP 

CTV = CP + CGGRA + C G ~ ~ ~

O problema formulado para os testes consiste no 

projeto de um navio OBO com capacidade de transportar 120000 to- 

neladas de carga em uma rota triangular, transportando na pri- 

meira etapa minério de ferro numa viagem de 7000 milhas mari- 

timas, na segunda etapa granel leve num percurso de 3500 milhas 

e finalmente transportando petróleo numa viagem de 6000.0 mi- 

lhas. Foram adotadas as mesmas tolerâncias que para o caso an - 

terior de graneleiros e para as restrições opcionais foram consi- 

derados os seguintes valores: 

Os rnd i ces das expressões (5) , (6) , (7) e (8) do 

capitulo IV foram ajustados com base nas informações das mes 

mas publicações 129) e 1301 e assumiram os seguintes valores: 

- expressão 5 - K, = 155000.0 e al = 0.85 ; 

- expressão 6 - 'm~ out 

= 2800.0 ; 

- expressão 7 - K2 = 270000.0 e a2 = 0.85 ; 

- expressão 8 - K = 340000.0 

3 

, K4 = 50000.0 ; 

a3 = 0.90 e a4 = 0.75 

-

Analisando os resultados da tabela V11.14 veri- 

fica-se que, apesar de prõximos, os pontos apresentados não pg 

dem ser considerados como aproximações de um mesmo ponto õtimo. 

Entretanto, a convergência em cada um deles pode ser considera - 

da muito boa, uma vez que apenas a restrição de igualdade se 

encontrava ativa e a diferença entre o valor da carga paga e o 

valor desta restrição é muito pequena, de 0,24% para o ponto 

3 , 0.78% para o ponto 2 e 0.32% para o ponto 3. Isto indi 

ca, portanto, que os 3 pontos devem se constituir em aproxima- 

ções de soluçÕes locais diferentes, o que evidencia, mais uma 

vez, que a superficie definida pela função transformada em pro - 

blemas onde se consideram as normas de poluição é mal comporta 

da e em geral possui vários mínimos locais, o que dificulta sen - 

sivelmente a busca do ponto Õtimo. 

Em termos de projeto preliminar, mais uma vez 

se manifestou a tendência para baixos valores da relação L /B. 

PP 

Apesar do ponto 2 não possuir o valor mais baixo da taxadefre 

te requeri'da, a diferença no valor da função de mérito para os 

pontos 2 e 3 é muito pequena. Portanto, levando-se em conside 

ração as dificuldades impostas pelas normas de poluição e o ní 

vel de confiança das estimativas no projeto preliminar, o pon- 

to 2 poderia perfeitamente ser escolhido como solução para o 

problema proposto, principalmente se considerarmos que este pon - 

to apresenta ainda menores valores para a potência requerida e 

para o deslocamento. 

- 

- 

- 

-

TABELA V11.14 - OBO !3 

TESTE 1 2 3

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO . 

NIJCLEO DE COMPU 1IU;ÃO ELETRONICA 

---i--r- 

UNIVERSIDADE FEDERAL DO nru aE JANEIRO 

NUCLEO DE COMPUTAÇÃO EI ETRÕNICA 

Ti 

8. 

L-I 

b 

6) 

w 

x 

GI 

71

UNIVERSIDADE FEDERAL R0 RIO DE JANEIRO 

NYCLEO DE COMPUTAÇAO ELETRÕNICA

V 1 1 .8 - C ON C LUSO ES GERAIS E SUGESTÕES PARA CONT I NUAÇÃO DO TRABALHO 

Em primeiro lugar gostariamos de registrar que, 

apesar de comentarmos apenas os resultados obtidos com os qua- 

tro problemas teste. o programa vem sendo utilizado nos Ülti - 

mos 3 anos nos trabalhos da disciplina de Projeto do Navio I I 

do Departamento de Engenharia Naval da UFRJ. ~orém, por moti- 

vos diversos não foi possivel descrever e analisar os resulta- 

dos obtidos durante esta fase. Apesar disto, algumas das afir - 

mações e conclusÕes que seguem tem por base a experiência adqui - 

durante este periodo. 

Em termos gerais podemos afirmar que o programa 

desenvolvido neste trabalho, mesmo com as pequenas deficiências 

que ainda apresenta, é uma poderosa ferramenta para auxiliar o 

projetista a selecionar a melhor solução para o seu problema par - 

titular de projeto preliminar. Como jã ressaltamos anterior- 

mente, os resultados obtidos dependerão da habilidade com que 

esta ferramenta for utilizada e do sentimento que projetista 

tiver do modelo com que está trabalhando. Isto é, não é possi - 

vel substitui r a experiência, o bom senso e conhecimento do pro - 

jetista, tanto em termos de arquitetura naval, como em relação 

aos metodos numêri cos de programação não-1 i near utilizados, por 

um modelo totalmente automãtico. 

A experiência com a utilização do programa mos- 

trou que a superficie definida pela função transformada em ge- 

ral possui várias soluções locais. Portanto, em termos de ar- 

quitetura naval a solução é procurar a melhor destas soluçÕes. 

Neste sentido, os resultados apresentados evidenciaram a impor - 

tância da seleção do ponto inicial.

Durante algum tempo esta dificuldade inerente a 

defi-nTção da superfície da função transformada se confundiu com 

problemas de convergência apresentados pelo algoritmo de busca 

sem restrições, principalmente de eçcalonamento de variáveis, 

que trataremos a seguir. Por enquanto, gostariamos de ressal- 

tar que o modelo de custos adotado, desenvolvido a parti r do 

trabal.ho de Benfor 14 1 , apresentou resultados satisfat6rios, mes 

mo sendo o principal responsãvel pelos problemas relativos a so- 

luções, locais discutidas anteriormente. Apesar disto, a pri- 

meira sugestão que teriamos para a continuação do trabalho se - 

ria a de desenvolver o modelo de custo utilizando dados reais 

e relacionados com a indüstria brasileira de construção naval, 

para estabelecer uma nova formulação para o cãlculo do custo de 

aquisição atravês de um ajustamento estatístico que fornecesse 

novas estimativas para as várias parcelas do custo de constru- 

- 

çao. Portanto, a avaliação que fazemos é de que a estrutura do 

modelo, relacionando o custo de construção como função do peso 

de aço, do peso de outfit e da potência instalada, ainda 6 a 

melhor solução. Porém, a forma das estimativas pode ser signi 

f i c at ivamente me1 horada. Finalmente, é importante ressaltar que 

julgamos o desenvolvimento proposto importante, principalmente, 

para aplicações práticas do modelo, porém, em termos apenas de 

escolha da melhor solução do projeto preliminar, do ponto de 

vista exclusivo do projetista, o modelo descri to neste traba- 

lho 6 inteiramente satisfatõrio. 

Durante a discussão dos resultados apresentados 

na seção anterior pouco se falou sobre os problemas de ajusta- 

mento do algoritmo de busca sem restrição. Isto se deve basi- 

camente a dois fatores, em primeiro lugar porque não temos pos -

si bi 1 idade de apresentar qualquer resul tado desta fase de tes- 

te do programa e, finalmente, porque os problemas apresentados 

não foram de grande vulto, uma vez que todas as referências con - 

sultadas alertaram para a sensi bi 1 idade do algoritmo a proble- 

mas de escalonamento de variáveis. Portanto, como as caracte- 

ristlcas principais possuem ordem de grandeza sensivelmente di - 

ferentes, desde o principio tomamos a decisão de trabalhar com 

algumas variáveis escalonadas por constantes pré-fixadas. Ini - 

clalmente, divldiu-se o comprimento por 10 e multiplicou-se 

o coef ici.ente de bloco pelo mesmo valor. Porém, após vãrios tes 

teç, verificou-se que o escalonamento adotado não era suficien 

te e passou-se, então, a buscar as constantes mais adequadas, 

chegando-se após alguns testes a configuração atual, onde, o 

comprimento 6 dividido por 50, a boca, o calado e opontal são 

divididos por 10, a velocidade de serviço é dividida por 5 e 

o coeficiente de bloco 6 multiplicado por 10. 

Durante todos os testes do programa os procedi- 

mentos utilizados para as várias estimativas sempre se mostra- 

ram coerentes com os objetivos do projeto preliminar, que é ba - 

sicamente o de avaliar as diferenças relativas entre as várias 

soluções examinadas. Ainda assim, tanto as estimativas de pe- 

so leve, quanto as de potgncia requerida e de volume disponível 

do compartimento de carga, apresentaram, na imensa maiori a dos 

casos, valores compativeis com os esperados. Para alguns ca- 

sos, notadamente para aqueles na faixa de extrapolação das es- 

t imati.vas, os. resultados mostraram uma certa tendência para va 

lores subestimados para os casoç de extrapolação nas faixas in 

feriores e superestimados nas faixas superiores. Entretanto, 

em quase todos estes problemas, tais extrapolações não compro- 

- 

- 

- 

-

meteram a escolha dos resultados Õtimos, uma vez que as dife- 

renças relativas entre os pontos examinados continuavam a ser 

retratadas de forma real Íst i ca. 

Finalmente, pensamos que as possibilidades de 

desenvolvimentos para o modelo que proporcionem grandes saltos 

de qualidade se encontram praticamente esgotadas, Isto 6, os 

trabalhos que podem ainda ser feitos, como por exemplo a modi- 

ficação sugerida para a formulação das estimativas do custo de 

aquisição, s.e constituem mais como uma ampliação do modelo, no 

sentido de se melhorar a precisão e a confiabilidade dos resul - 

dos e ampliar a sua aplicabilidade. Neste sentido, é possível 

introduzir rotinas para tratar problemas de projeto de navios 

de carga-geral , 1 i ners e porta-contentores. Porém, para que 

se consiga um avanço significativo na anil ise do projeto prel - i 

minar, é necessário mudar a filosofia do sistema, passando-se 

a um nÍvel mais baixo de abstração, onde se possa analisar in- 

tegradamente as três etapas do projeto básico definidas no ca- 

pítulo I (o projeto do casco, o projeto estrutural e o arranjo 

geral), avaliando todas as interações entre aquelas três eta- 

pas de uma forma unitária. 

Para desenvolver um modelo como este, teríamos 

que pensar no problema do projeto preliminar como um problema 

de programação não-linear de grande porte, com uma estrutura de 

hierarquia de variáveis, onde teriamos num primeiro nivel, as 

variáveis mais gerais que afetassem a todos os sistemas, no ca - 

so seriam as seis características principais (L B, D, T, CB, Vs) , 

PP' 

num segundo nÍvel aquelas que influenciassem a mais de um sis- 

tema e finalmente, num Último nivel as variáveis de definição 

de cada si'çtema.

Sugerimos como aproximação inicial que se consi - 

dere para o projeto de linhas a definição da curva de ãreas sec 

cionais, uti 1 izando-se para isto, alem das seis caracteristicas 

principais, a posição longitudinal do centro de carena e o coe - 

ficiente prismãtico, que seriam variãveis do nivel intermediá- 

rio uma vez que afetam a definição dos compartimentos de carga. 

Para o projeto estrutural sugerimos que se considere o dimen- 

sionamento da estrutura a meio navio, tomando como base as re- 

gras de Sociedade Classificadoras. Teriamos para este si ste- 

ma, variáveis no nivel intermediário, como os espaçamentos de 

reforços transversais e longi tudinais, e variãvei s de definição 

como as dimensões dos elementos estruturais. Finalmente, para 

a etapa de projeto de arranjo geral, seriam considerados a de- 

fini.&:~ dos compartimentos de carga e de uma condição típica de 

carregamento e a seleção da máquina propulsora. 

Em princípio, as vantagens básicas desta aborda - 

gem, além das já citadas, seriam a possibilidade de se traba- 

lhar com estimativas de peso leve e potência requerida signifi - 

cativamente mais precisas, de se poder fazer uma'avaliação da 

estabi.lidade em bases muito mais confiávei.~, de poder avaliar 

concretamente e diretamente a influência da escolha das carac- 

terísticas principais sobre a eficiênciadeçrru~;urae,-n-sl- - 

mente, de se começar o projeto com um nível de detalhamento bas 

tante superior ao atual. 

Trabalhos na direção proposta já estão sendo de - 

senvolvidos, como por exemplo o de dagoda 1331, e pensamos ser 

este o caminho para o desenvolvimento futuro da concepção de 

projeto prel iminar adotada neste trabalho e definida no capí- 

tulo I.

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APÊNDICE I 

UM PEQUENO RESUMO DOS PRINCIPAIS CONCEITOS DE 

A matemática financeira é um çub conjunto da En - 

genharia EconÔmi ca, que estuda modelos para anã1 i se de proble- 

mas de seleção de opções de investimentos que envolvem quantias 

monetárias movimentadas em diferentes instantes de tempo. Este 

Último detalhe é muito importante. Quantias monetãrias q ue 

ocorrem em diferentes instantes de tempo não podem ser compara 

das diretamente, em virtude da existência de juros. Este será 

o primeiro dos conceitos que passaremos a definir. 

Apesar de existir muita discussão sobre a defi- 

nição precisa do conceito economico de juro, podemos entendê- 

10 como a remuneração pelo uso do capital emprestado ou aplica = 

do em determinado investimento. Os juros podem ser simples ou 

compostos. No sistema de juros simples, apenas o capital em- 

pregado ou emprestado, chamado de principal , rende juros. Atual 

mente este sistema tem apl icação muito restrita. No sistema de 

juros compostoç não sõ o capital, mas também os juros rendem ju 

ros. Praticamente todas as aplicações financeiras de capital 

atualmente têm os juros contabi 1 izados segundo este sistema. Pa - 

ra i l ustrar a diferença, tomemos o exemplo abaixo, da aplicação 

de Cr$ 3000,OO a taxa de juros de 10% ao ano durante 5 anos 

segundo os sistemas de juros simples e juros compostos. 

JUROS SIMPLES 

JUROS COMPOSTOS 

.iNICIO 

1000.00 

FINAL DO I? ANO 

JUROS I C.A 

100,00~1100,00 100,00~1200,00 100,00~1~00,00 100,00~1400,00 100.00~1500.00 

I I I I I I I I I I 1 

1000.00 

100.00 

1100,00 

FINAL DO 20 ANO 

JUROS I C.A 

110,OO 


JUROS I C.A 


JUROS I C.A 


JUROS I C.A 

1210,Oo 121.00 1331.00 133,Io 1464,oo 146,4~ 1610.51 

-

No sistema de juros simples, o capital rendeu 

Cr$ 500,OO e no de juros compostos Cr$ 6UO,5l. ai a maior 

utilização, ou melhor, a utilização quase que exclusiva do sis 

tema de juros compostos. 

~eriodos de capital ização são os periodos em que 

os juros são efetivamente contabilizados. Mo caso do exemplo 

anterior, o periodo de capitalização é de 1 ano. 

Fluxo de caixa é uma representação gráfica para 

investimentos, na qual os periodos de capitalização são repre- 

sentados no eixo horizontal e as quantias monetãrias são repre 

sentadas como setas orientadas para cima ou para baixo, confor 

me a convenção adotada. Geralmente se consideram quantias po- 

sitivas ou receitas para cima e quantias negativas ou despesas 

para baixo. As escalas para os periodos de tempo e para os va 

lares devem ser sempre representadas no gráfico. Nos fluxos de 

caixa sempre se considera a convenção de f i m de periodo, isto 

6, todas as quantias monetárias que ocorrem em um determinado 

período são lançadas ao fim deste periodo. Tomemos, para i lus - 

trar, o exemplo anterior da aplicação de Cr$ 1000,OO a taxa de 

juros de 10% ao ano a juros simples e juros compostos. 

A A 1. " 

) ~ 000.00 

Obs.: em ambos os casos temos o exemplo de amortização integral 

no Último periodo, isto é, o principal é pago integral- 

mente no 50 periodo. 

100 to0 

v iopo .o0 Y ~ooa.o(j 

160.00 ll0@0 

121.00 A 

- 

- 

-

A necessidade de comparar fluxos de caixa, que 

representam investimentos que envolvem diferentes quantias mo- 

netãrias movimentadas em diferentes instantes de tempo, asso- 

ciada ã existência de juros, nos leva a procurar estabelecer um 

critério de comparação que compati bi 1 i ze as diferenças, trans- 

formando os fluxos de caixa em valores homogêneos que possam 

ser comparados. O principio da "Equivalência", que estabelece 

que o valor atual de um fluxo de caixa a uma dada taxa de ju- 

ros é a quantia hoje equivalente ao fluxo de caixa em questão, 

nos fornece este critério. Embora o principio da equivalência 

não estabeleca a forma de determinar o valor atual, já temos 

todos os elementos para calculã-10. Assim sendo, consideremos 

inicialmente o capital P que será aplicado a taxa de juros i 

durante n períodos de capitalização. Qual será o montante 

do capital gerado por esta aplicação? 

Ana l i semos então o i nves t i men t o período a período: 

ao final do l? ano P + i P = ~ ( + 1 i); ao final do 20 o mon- 

tante será P(l + i) + P(1 + i) = P(1 + i)2; ao f i m do 30 

~ ( e 1 i)2 + P(1 + i)2 i = P(l + i)2(1 + i) = ~ ( + 1 i)3. Logo, 

teremos ao f i m do enésimo período o montante 

s = P(I + i)" 

Com esta fõrmula, sempre poderemos calcular o 

montante gerado pela aplicação do capital P , conhecidas a ta E 

xa de juros e o período de aplicação. Entretanto, também pode 

mos efetuar a operação inversa, isto é, calcular o capital que 

gerou o montante S , conhecidas a taxa de juros e o período 

de aplicaçio. Logo, o capital P será igual a:

o 1. z 3...r\-1 

l---l-d 

0 

1 

1 2 3. .. n-i 

Estas duas fórmulas representam as seguintes ci - 

s = P(I + i)" 

P = 

s 

(I + i)" 

o que levou os especialistas a batizar a relação (1 + i)n de fa - 

tor de acumulação de capital para um pagamento simples e a re- 

lação 1 1 

+ i de fator de valor atual de um pagamento sim - 

pleç. Com esta última relação, jã somos capazes de calcular o 

valor etual de qualquer fluxo de caixa. Para ilustrar tomemos 

o investimento abaixo: 

cujo valor atual a taxa de juros i serã igual a: 

VA = P + C 

1 

FvA'(I, 1) + C2 FVA'(~, 2) + C3 FVA'(~, 3) + C4 FVA'(I, 5) + 

C FVA~(~, 6) + C FvA' (i, 7) + C8 FVA' (i, 8) + C9 FVA'(I, 9) - 

6 7 

R, FVA'(~, 2) - R2 FVA'(~, 4) - R3 FVA'(~, 6) - 

R4 FVA'(~, 8) - R5 FVA1(i, 10)

onde ~vA'(1, n) = -- 1 

- -- ê o fator de valor atual. 

(1 + i)" 

Neste exemplo, como estamos analisando um prg 

blema onde a maioria das quantias representam custos (setas ori- 

entadas para baixo), adotamos arbitrariamente a convenção de 

representar as receitas por valores negativos. 

Frequentemente encontramos problemas onde os cus - 

tos ou as receitas são uniformes e existe uma série de aplica- 

ções f i nancei ras que nos forneceriam bons exemplos. Em anã1 i se 

de projetos, 6 uma prática bastante disseminada a consideração 

de custos e receitas médios ao longo da vida útil do investi - 

mento. Logo, seria interessante analisar as fórmulas anterio- 

res e averiguar a possibilidade da existência de fatores seme- 

lhantes para estes casos. Consideremos inicialmente o seguin- 

te fluxo de caixa: 

Com as fõrmulas (1) e (2) , poderíamos calcu - 

lar tanto o montante gerado ao f i m de n periodos, isto é, o 

valor equivalente ao fluxo de caixa no instante n, quanto o 

valor atual, isto é, o valor hoje equivalente ao fluxo de cai- 

xa em questão. Comecemos então pelo valor atual.

O termo entre colchetes é equivalente à soma dos 

n termos de uma PG de razão 1/(1 + i ) , cujo termo inicial 

é 1 + i . Ora, sabemos que 

é a expressão desta soma. Logo, substituindo os 

respondentes na fõrmul a anterior temos: 

(3) 

valores cor 

O termo entre colchetes é conhecido como fator 

de valor atual para uma série uniforme 

Examinemos agora o caso do montante gerado por 

esta série uniforme, isto é, do valor a ela equivalente no ins 

tante n . 

2 

I + (I + i) + (I + i) + ... + (1 + + (I + i)"')

Temos, então, no termo entre colchetes, a expres - 

são dos n prtmeiros termos de uma PG cuja raiz ê 1 e a 

razão (1 + i). Substituindo estes valores na fõrrnula (3) te- 

remos obtido a expressão do fator de acumulação de capital pa- 

ra uma série uniforme. 

0s inversos destes dois fatores são, respectiva - 

mente, o fator de recuperação do capital e o fator de formação 

do capital, com os quais podemos calcular a série uniforme que 

será gerada pelo capital P e a série uniforme que gerará o 

montante S. 

problemas: 

Em termos esquemãticos, resolvemos os seguintes 

FFC (.i, n) = 

FRC(i, n) 

(i + i)" 

= - i- - - 

(1. + i)" - 1 

i 

- . 

(i + i)" j 

~ntão, jã temos os elementos para comparar qual - 

quer fluxo de caixa, isto é, qualquer investimento. Formalmen-

te, çõ definimos como critério de comparaçzo o "valor atual", 

mas 6 intuitivo que com os fatores acima poderramos definir ou - 

tros. Entretanto, antes de apresentarmos estes outros crité- 

rios de escolha, temos que definir ainda alguns conceitos. 

Uma definição muito importante é a de taxa nomi 

na1 e taxa efetiva porque os investimentos têm que ser analisa - 

dos segundo a taxa efetiva, isto é, a taxa segundo a qual o ca 

pita1 efetivamente cresce. Frequentemente as taxas de juros 

são apresentadas sob a forma de taxa nominal, principalmente em 

empréstimos e financiamentos, que são aquelas taxas em que o 

período em que os juros são contabilizadoç 6 diferente do pe- 

ríodo de capitalização. Por exemplo, 24% ao ano contabiliza- 

dos mensalmente. O prazo de apl icação do capital ê um ano, mas 

os juros são capitalizados mensalmente a taxa de 2% e, como os 

juros são compostos, podemos conclui r que a taxa efetiva cor- 

respondente à taxa nominal de 24% ao ano pode ser obtida pelo 

principio da equivalência, isto é, 

Portanto, a taxa efetiva de 26,8% corresponde à 

taxa nominal de 24% ao ano capitalizado mensalmente. Temos en - 

tão a seguinte relação: 


iE é a taxa efetiva e i = in/n 

in ê a taxa nominal. 

-

O principio da ~quivalência estabelece a equiva - 

lência a uma dada taxa de juros. A pergunta que caberia neste 

ponto seria a de qual 6 o valor desta taxa e como é estabeleci - 

da em problemas de seleção de ihvestimentos. 

Existe uma série de aplicações financeiras segu - 

ras de rendimento conhecido. Como ao aplicar o seu capital em 

um determinado investimento o investidor perde a oportunidade 

de aplica-lo nestes outros, corriqueiros e de pouco risco, é 

desejável que tal investimento apresente remuneração superior 

ã destes outros. Logo, a taxa de juros com que os critérios de 

comparação são calculados nos problemas de seleção de investi- 

mentos, isto é, a taxa de atratividade, deve ser pelo menos 

igual à destas aplicações de pouco risco e rendimento conheci- 

dos. Obviamente, a possibilidade de investir varia muito de 

investidor para investidor. Logo, a taxa de atratividade tam- 

bém irá variar, e a sua fixação também depende de fatores sub- 

jetivos, tais como riscos, incertezas e a vontade do investi- 

dor de obter maior remuneração pelo capital investido, que po- 

derá levar o investidor a fixar-se em valores mais altos. 

Para encerrar este breve resumo de matemática f - i 

nanceira, vamos apresentar os metodos de seleção de investimen 

toS. 

O método do valor atual é uma consequência dire 

- - - - --- - - 

ta do principio da equivalência. Nele são calculados os valo- 

res atuais a taxa de atratividade de todos os fluxos de caixa 

e, por comparação direta, escolhido o melhor, que será aquele 

que apresentar o maior valor em problemas onde custos e recei- 

tas são conhecidos, e o menor no caso de apenas os custos esta 

rem sendo examinados.

No método do "custo anual médio" todos os flu- 

xos de caixa são transformados em fluxos uniformes como o se- 

guinte; 

O i 2 3 4 5 6 v.,., - n-i 

I r 

v '1' 

onde os valores de R representam o custo anual médio um pro- 

blema típico de anã1 ise apenas dos custos. Num problema no qual 

a receita tambêm fosse conhecida, este método poderia do mesmo 

modo ser aplicado, caso em que o fluxo uniforme R representa 

ria a receita liquida média anual. O valor de R podeserobti 

do, conhecidos os custos de capital e de operação, através da 

manipulação adequada destes valores e dos diversos fatores apre- 

sentados acima. Por exemplo, supondo que conhecêssemos o cus- 

to de capital P, o custo operacional médio anual C e o va- 

lor residual (valor de revenda) de um determinado investimento, 

o valor de R seria obtido através da seguinte expressão: 

onde i é a taxa de atratividade e n é a vida econômica do 

investimento. 

I 1 

Y I Y V r 

Finalmente, temos o "método --- - da taxa de retorno", - --- - -. - - 

no qual, como demonstra o seu próprio nome, o rendimento pelo 

capital aplicado é calculado para cada fluxo de caixa. 

Ao contrãris dos outros dois, este método só po 

de ser empregado na solução de problemas onde custos e recei- 

tas são conhecidos e nele a taxa de atratividade é utilizada 

R 

- 

-

apenaç para selecionar os rendimentos não atrativos, isto 6, de 

rendimento inferior ã taxa de atratividade. 

A titulo de observação, 6 bom lembrar que, nes- 

te tipo de problema, com receitas e custos conhecidos, valores 

negativos do custo anual médio ou do valor atual não represen- 

tam prejuízo, mas indicam apenaç que a remuneração do investi- 

mento ê inferior ã taxa de atratividade. Esta conclusão decor - 

re diretamente do principio da Equivalência, que estabelece a 

equivalência a uma dada taxa de juros, no caso a taxa de atra- 

tividade. 

No método da taxa de retorno procuramos duas ta - 

xas de juros, com valores inteiros e çucessivoç, de forma a 

obtermos dois valores de sinais trocados para o valor atual do 

fluxo de caixa em questão, com os quais podemos obter, por in- 

terpolaçso linear, o valor da taxa de retorno de cada investi- 

mento. 

Todos estes métodos são equivalentes, isto é, 

quando aplicados corretamente devem levar ao mesmo resultado e 

devem ser escolhidos de acordo com as condições da cada proble - 

ma e a conveniência do analista.

serão apresentados a segui r todos os resultados 

utilizados nas demonstrações dos teoremas 1 e 2 do capítulo V. 

0s dois primeiros resul tados descrevem as condi 

a 

ções de necessidade de la e 2- ordem para um ponto extremo X* 

ser um mínimo local de um problema sem restrições, ambas as de 

monstrações podem ser encontradas em 1261. 

Teorema 1 

junto R , então: 

Teorema 2 

-- 

Se X* E E é um minimo local de f sobre o con- 

Seja f continuamente diferenciãvel até a 2: 

ordem (f E c2), se X* é um ponto interior de R e simulta- 

neamente um mínimo relativo de f sobre E , então 

- e 

para todo d não nulo de E , o que equivale a dizer que a ma 

- 

triz heççiana F(x*) ê positiva semidefinida. 

A seguir são apresentadas as condições de sufi- 

ciência de 2a ordem, cuja demonstração também pode ser encon- 

trada em 126 1 . 

- 

-

ponto interior X* , 

Seja f E c2 uma função em i2 C E ~ , se para um 

6 positiva definida então, X* é um minimo local de f sobre 

52. 

Se ã hipótese de que f seja continuamente di- 

a 

ferenciãvel até a 2- ordem, se acrescentasse a de que ela tam- 

bêm fosse convexa num conjunto convexo R , o resultado deste teo - 

rema poderia ser general izado e X* seria um mínimo global. 

A demonstração deste resultado também pode ser encontrada em 

1261- 

- ~efini~ão - 1 , 

Um ponto X* - da superfície S, definida impli- 

citamente por h(X) = 0 , é dito regular se os vetores vhl(x*), 

Vhi (x*) - , . . . , Vhn (E*) são l inearmente independentes. 

Teorema 4 

- 

Em um ponto regular X* da çuperf fcie S def i 

nida implicitamente por h ( ~ ) = O , o plano tangente a S em 

X* - ê igual a 

- 

A demonstração deste teorema tambêm pode ser en 

-

contrada em 1261. A seguir são apresentados dois resultados 

essenciais para a demonstração dos teoremas do capitulo V, cu- 

ja prova pode ser encontrada em 1281, ou em qualquer texto bã- 

sico de cãlculo vetorial. 

Seja f : ~ " + -+ ~ uma funtão continuamente 

diferenciável. Supondo que para algum X de R" e 

-0 L de 

Rrn. 

2. yo) tem uma inversa 

8~ 

Então, existe uma fungão g:Rn -+ Rm conti- 

nuamente diferenciável definida em algumavizinhança V de X 

-0 

tal que g(Xo) = yo e f(X, - g ( - ~ ) ) = 0 , para todo - X E V. 

Seja X* - um ponto extremo local de f restrito 

a superfice S definida implicitamente por h(X) = O . Então, 

- 

assumindo que X* é um ponto regular de S , existe um multi- 

- - 

pl icador A* E E~ tal que o gradiente do lagrangeano (x, h*) = 

f(X) - - h* h ( ~ ) em X* è nulo, isto é, 

-

Seja X* - um ponto das restriçoes, isto é, um 

- - 

ponto satisfazendo a h(X*) = O e g(X*) > O , e J o conjun 

e e - 

to das restrições ativas definido por J = {j :gj(X*) = O}. En 

e - 

- 

tão, se os vetores Vhi (x*) e Vgj (X*), respectivamente para 

i = I , 2 . n e J E J, são linearmente independentes, X* 

é um ponto regular das restrições. 

A seguir serão apresentadas as condições de ne- 

cessidade de.la e 2a e as condições de suficiência de 2: ordem 

para problemas com restrições mistas de igualdade e desigualda - 

de, que são tambêm conhecidas como condições de Kuhn-Tucher. As 

dern~nstra~ões destes resultados podem ser encontradas em 1261. 

Teorema: CONDIÇ~ES DE KUHN-TUCKER DE 12 ORDEM 

Seja - X* um minimo relativo para f(X) - sujeito a 

~ntão, assumindo que X* 

e 6 um ponto regular das restrições, 

existe um vetor A E Em e um vetor y E EP com p - 

> O tal que

?'orema .. --.- 7: CONDIÇÃO DE KUHN-TUCKER DE 2' ORDEM 

Supondo que f, g e h sejam continuamente di - 

ferenciãvel até a 

a 

2- ordem e que X* é um ponto regular das 

restrições, se X* é um mínimo local de f(X) sujeito a 

então existem multiplicadores X E Em e - 

E 

EP tais que as 

a 

condições de Kuhn-Tucker de 1- ordem sejam satisfeitas e a hes 

siana do langrangeano 

é positiva definida no subespaço tangente das restrições ati - 

vas em X* definido por 

M' = {y: V h(x*)y = 0, V g.(X*)y = 0, para todo j E J} 

J - - 

Seja f, g e h continuamente diferenciãveis 

até a 2a ordem. Se existem multiplicadores X* E E~ e v* E E P 

-

L(x*, A*, v*) = - F(x*) - - A H(x*) - v* G(x*) 

e - 

é positiva definida no subespaço M' (teorema 7), então X* é 

um min imo local est r i t o de f (x*) sujeito as restrições _h(X*) = O 

e g(~*) - > 0, isto é, é uma solução do problema 1. 

coç sobre dualidade local. 

A seguir, serão introduzidos os conceitos bãsi- 

Se . X* é uma solução local para o problema 2 

- e 

então, pelo teorema 5 V f(x*) - A* V h(X*) = O e de acordo 

com as condições necessária de 2a ordem (ver Luemberger 1261 ca 

pitulo) a hessiana L(X*, . - h*) do lagrangeano L(X, A*) = f(X)-h* - h(X) 

- 

- é 

positiva semidefinida. Entretanto, se assumirmos por hipótese 

que f(X) é conexa numa vizinhança de X*, poderemos afirmar 

que L(x*, X*) é positiva definida em todo o espaço E". Esta 

hipótese é conhecida xomo "Hipótese da Conexidade Local" e nos 

permite afirmar que X* também é uma solução local do proble- 

ma 

min f ( - ~ - ) A* h(X) 

um vez que v(x*) - e L(X*) satisfazem as condições de sufi- 

a 

ciência de la e 2- ordem. Além disto, se - X está suficientemente 

próximo de - A*, então o problema 

min f(X) - - h h(X) 

e 

também terá uma solução X próxima de X*. Portanto, com ba- 

se no teorema da função impl Ícita podemos afirmar que a equa-

terá uma solução X - próxima a X* sempre que h - estiver suficientemente 

prõximo a h*. - 

Logo, localmente existe uma correspondência uni - 

vota entre X .e h através da solução do problema 

min f(X) - - h(x) - , 

relação esta que é continuamente diferenciãvel 

~efini~ão - 3 -. 

Seja X* uma solução local para o problema 2. 

Numa vizinhança de h* podemos definir uma função dual pela 

equaçao 

6(h) - = mínimo ( f ( - ~ ) - - X h(~)) - 

onde deve ser entendido que o mínimo X é tomado localmente nu 

ma vizinhança de - X*. 

Esta definição pode ser general izada para o pro 

blema 1 e teremos numa vizinhança de A* e F* 

O próximo teorema estabelece a equivalência en- 

tre o problema prima1 e o problema dual, isto é, entre um pro- 

blema restrito em X - e um problema sem restrições em A . Em 

sua demonstração, que pode ser encontrada em 1261, são utiliza 

- 

-

dos dois reçu 1 tados importante (demonstrados por Luernberger 1261) 

que apresentamos a seguir como Lemas. 

Lama - .- 1 : A função dual A tem gradiente 

V 6(A) - = - h(X(h)) 

Lema: A matriz hessiana da função dual é igual a 

A(A) . = - V h(X(h)) L - ~ (~(h)) V h(X(h)lT . 

Nestes 2 lemas X(X) ê a solução do problema 

min f(X) . - - A h(X) . 

Neste caso, a função dual pode ser escri ta da seguinte maneira: 

Taorema 9 

6(h) . = f(x(^)) - - h h(~(h)) - 

. 

Suponha que X* seja uma solução local para o 

problema (2) e que h* . seja o vetor correspondente dos multi- 

pl icadores de Lagrange e r* = f (X*). Suponha, além disto, que 

. 

X* seja um ponto regular da superfície S definida implicita 

mente por h(X*) = O e que a hessiana L(X*, . A*) do Lagrangea 

no seja positiva definida. Então, o problema dual 

rnaximizar 6(A) . 

tem uma solução local h* com r* e X* como valores cor- 

. . 

=

espondentes a este ponto na definição de &(A). - 

Este teorema pode ser general izado para proble- 

mas com restrições de igualdade e desigualdade, tomando na ex- 

pressão para a definição da função dual , A* - e v* como OS mul - 

tiplicadores de Lagrange Ótimos e assumindo que - X* é um pon- 

to regular das restrições (de acordo com a definição 2).

O Programa foi desenvolvido a partir de uma es- 

trutura modulado, em que as diversas subrot inas foram desenvol - 

vidas e testadas independentemente, com o objetivo de tornã-10 

aberto a ampliações e desenvolvimento futuros e foi escrito em 

FORTRAN IV-GH. 

A estrutura do programa é apresentada no diagra - 

ma de blocos da Figura 1, que mostra a hierarquia das diversas 

suhrotinas, as quai's serão descritas resumidamente a seguir. 

. - - ERI - NCIML - 

PROGRAMA 

O programa principal apenas seleciona uma das 

três opções disponiveis ao usuário: cãlculo da função de méri- 

to e demais estimativas para um ou vários conjuntos de caracte 

rísticas principais, variação paramétrica para anãlise de sen- 

sibilidade das características principais e estudo de otimiza- 

ção para determição do melhor conjunto de variáveis de projeto. 

No programa principal, de acordo com a opção se - 

lecionada 6 chamada uma das três subrotinas: CALCU, ESTPAR, PROJET. 

Apenas no caso de variação paramêt ri ca são 1 idos e impressos pa 

ra verificação os dados necessãrios. Para os outros dois ca- 

sos são lidos apenas os dados referentes a seleção da opção de 

sejada e do ou dos conjuntos de caracteristicas principais, pa 

ra os quais serão calculados o valor da funçáo de mérito e de- 

mais estimativas no caso da CALCU, ou que serão os pontos ini- 

ciais para o estudo de otimização no caso da PROJET.

(1) SUBROTINA CALCU 

Esta rotina é utilizada apenas quando o usuãrio 

deseja calcular a estimativa da função de mérito e caracteris- 

ticaç operacionaiç para um ou vãrios conjuntos de caracteristi - 

tas principais. Nesta rotina não é efetuado nenhum tipo de cãl 

culo, ela apenas chama a rotina para leitura dos dados neces- 

sários e seleciona as subrotinas e' funções necessário aos cál- 

culos das estimativas em questão para o tipo'de navio definido 

pelo usuário (petroleiro, minero-petrolei ro, granelei ro e mine 

ro-petro-graneleiro) e finalmente aciona a rotina que imprime 

os resul tados. 

- DADOS 1 

Subrotinas e funções chamadas: 

- POWER 

- BLTA, BLTB ou BLTB~O 

- VOLPET, VOLORE, VOLGRA 

- PESOPT, PESDNV, PESORE, PESOGR ou PESOBO 

- OPERAC 

- CAQ PET, CAZ ORE, CAQ GRA ou CAQ OBO 

- CUSOPE 

- IMPRIM 

(2) SUBROT I NA ESTPAR 

L- -- 

- 

Esta rotina foi desenvolvida para efetuar a va- 

riação çi.stemãtica do conjunto de características principais se - 

lecionado pelo usuãrio, isto é, a varjação paramétrica pode ser 

realizada sõ com algumas das características principais, de 

acordo com a escolha do usuário. Executa aind,a, a seleção dos 

-

conjuntos que não violaram nenhuma restrição e os ordena em or - 

dem crescente de acordo com o valor da função de mérito. A ro - 

tina tambêm i.mprime os conjuntos não viãveis, informando qual 

ou quais restrições foram violadas. 

Para o cálculo das estimativas da função de mé- 

rito e caracteristica operacional esta rotina faz a mesma ope- 

ração de seleção efetuada pela CALCU, isto é, aciona as roti- 

nas adequadas ao tipo de navio definido pelo usuãrio. 

Finalmente, antes de retornar o controle para o 

programa principal, imprime os resultados obtidos com a varia- 

ção paramêtrica. Logo, com excesção da IMPRIM, esta rotina cha - 

ma as mesmas subrotinas e Funções utilizadas na CALCU. 

(-3) SUBROTINA PROJET - 

Esta rotina inicia e controla o processo de de- 

termi.nação da solução ótima. Nela são definidos o conjunto de 

vari-ãvei s Independentes e o conjunto de restrições se1 eciona- 

das pelo usuãrio, isto porque o programa pode trabalhar com qual - 

quer conjunto das seis caracteristicas principais (Lpp, Boca, 

Calado, Pontal, Coeficiente de Bloco e Velocidade de Serviço) 

como vari'áveis l ivres f ixandos as demais como parâmetros de pro - 

jeto e existem 17 restrições que o usuãrio pode selecionar de 

acordo com as condições do seu problema. Esta rotina determi- 

na o ponto inici.al para o processo de otimização a partir do 

ponto (ou dos pontos) base 1 ido no programa principal e de acor - 

do com o conjunto de variáveis l ivres selecionado pelo usuãrio. 

0s dados relacionados com o cãlculo das estima- 

tivas da função de mérito e das características operacionais são

lidos na rotina DADOS 1 e os referentes ao processo de otimiza 

3 

ção na DADOS 2, ambas cha'madas nesta subrotina, que aciona ain 

da a subrotinas OTIMIZ e a IMPRIM. 

(4) SUBROTI NA DADOS 1 

-- - - -- - 

Esta subrotina foi escrita apenas para ler e im 

primi r para verificação os dados necessários aos cãlculos das 

estimativas da função de merito e características operacionais. 

Entretanto, como alguns dos itens do custo operacional não de- 

pendem das variáveis de projeto e, portanto, permanecem cons 

tantes durante todo o processo de otimização (por exemplo o cus 

to com tripulação depende apenas do número de tripulantes que 

não é variável de projeto e & lido nesta subrotina) e a autono - 

mi:a, que é a distância a ser percorri-da sem reabastecimento de 

combustiveis, s6 depende das distâncias a serem navegadas em 

cada uma das etapas da viagem completa e dos portos onde irá 

se efetuar este reabasteclmento, estes valores , isto é, os 

itens do custo operacional e a autonomia, são calculados nesta 

subrotina. 

(5) SUBROTLNA DADOS 2 

-- -- 

Esta subrotina foi isenta apenas para ler e im- 

primi r para verlf icação os dados necessários ao processo de oti 

mi.zação e é chamada apenas pela rotina OTIMIZ. 

(6) SUBROTINA OTIMIZ 

- -- 

Esta subrot ina foi desenvolvida para controlar 

e executar parcialmente a busca do ponto 6timo segundo o mêto- 

do da FUNÇÃO LAGRANGEANA AUMENTADA. 

- 

- 

-

Nesta subrotina e efetuado o reajustamento dos 

multiplicadores de lagran'ge e do multiplicador R K ' verificada 

a convergência global do processo e chamada a subrotina DAVIDO 

para a determinação do minimo sem restrições para cada uma das 

superfícies de resposta. Além disto é efetuado o calculo do 

valor da função transformada no ponto inicial, para o qual 6 

chamada a função LAGRAN. 

(7) SUBROTINA - DAVIDO -- 

Esta subrotina foi escrita para coordenar a bus - 

ca do ponto mÍnimo sem restrições para uma dada superfície de 

resposta pelo método de Davidon-Fletcher-Powel 1. Ela apenas ve - 

rifica a convergência e chama outras subrotinas que efetuam os 

cálculos necessários a determinação daquele ponto. 

Esta rotina 6 acionada pela OTIMIZ e chama em 

- 

duas etapas dtstintas a subrotina GRAD. A primeira no proces- 

so de i'nicial i.zação da aproximação inicial da inversa da Hessia 

na, no qual também é acionada a subrotina INIDFP, e posterior- 

mente durante a determinação da nova aproximação desta matriz, 

quando também 6 chamada a subrotina - DAFLPO. Finalmente, a de- 

- 

terminação do mínimo ao longo de cada direção de busca 6 efe- 

tuada na subrotina - 

MINUNI. 

(8) SUBROTINA DERIVA 

- 

Efetua o cãlculo do vetor gradiente segundo o 

método das diferenças finitas, durante o qual aciona várias ve - 

zes a função LAGRAN para a determinação do valor da função trans 

= 

formada. Esta subrotina é chamada apenas na DAVIDO. .- . 

-

(9) SUBROTINA INIDFP 

- - - 

Esta subrotina foi escrita para executar a ini- 

cializaçao da aproximação da inversa da matriz Hessiana e da 

diresão de busca, quando é acionada pela subrotina - 

DAVIDO. En - 

tretanto, eventualmente 6 necessário reinicializar esta matriz 

e a direção de busca. Neste caso esta rotina é chamada pela 

DAFLPO. 

(10) SUBROTINA MI NUNI 

Esta subrotina efetua a busca do mínimo ao lon- 

go da direção definida inicialmente na subrotina INIDFP, e pos 

teriormente na DAFLPO. Na determi.na~ão deste ponto ela utili- 

za o método da interpelação quadrática e aciona a função LAGRAN 

para calcular o valor da função transformada. 

SUBRQT I.NA DAFLPO 

- - P 

Efetua ao f l m de cada rte-ração o cãlculo da no- 

va aproxi.mação da inversa da matriz Hessiana e da nova direção 

de busca. Quando for necessário esta matri'z e a di reção de bus - 

ca correspondente são reinicializadás através da chamada da 

subrotina INIDFP. 

Esta subrotina utiliza duas outras para cálcu- 

los auxiliares, a - PROD e a -- MATRIZ, que efetuam respectivamente 

-- 

o produto de uma matriz por um vetor e de um vetor pelo seu 

transposto. 

Esta subrotina função é uma das mais importan- 

-

tes do programa. Ela foi desenvolvida para calcular o valor 

da função de mérito para um dado conjunto de características 

principais e o valor correspondente da função transformada. Pa 

ra executar estes cãlculos ela transforma o conjunto de variã- 

veis livres que recebe das rotinas que efetuam o processo de 

otirnização em um conjunto de caracteristicas principais, com 

os quais pode calcular as estimativas necessárias ao cãlculo do 

valor da taxa de frete requerida e dos valores das restrições, 

os quais serão uti 1 izados na determinação do valor da função 

transformada. Para o cálculo destas estimativas, esta função 

aciona as subrotinas correspondentes de acordo com o tipo de 

navio em questão. 0s valores das restrições também são calcu- 

lados em uma subrotina acionada por esta função. Como podemos 

observar no diagrama de blocos resumido da Figura V1 1.2, quan- 

do s programa retorna o controle desta subrotina, a RESTRI, pa 

-- 

ra a função LAGRAN, todos os valores necessários ao cãlculo do 

valor da função transformada jã estão disponiveis. 

Esta função 6 chamada apenas pela OTIMIZ, pela 

MINUNf e pela GRAD, Na primeira chamada esta função e aciona- 

da para o cálculo do valor da fu~ção transformada para o ponto 

ini-cial, pela MINUNI durante a determinação do minimo ao longo 

da direção de busca e, finalmente, a subrotina GRAD a aciona du - 

rante a determinação do vetor gradiente pelo metodo das dife 

renças f i n i tas. 

(33) FUNÇãO -- POWER 

Esta função foi desenvolvida para efetuar o cãl - 

cuio da estimativa da potência requerida para a instalação pro w 

pulsora de acordo com o procedimento proposto por S i lverleaf E 

- 

-

( POWER 1 4 B LTA 4 

FEGURA 2 

LAGRAN 

.I. I t 

il( Pl 

PESOPT 

OPERAC 

-LY 

CAQORE

Dawson 1131. Este valor é tranferido atravgs do nome dafunção 

que é utilizada para todos os tipos de navios. 

(14) FUNCTION 

- BLTA, BLTB E BLTB~O 

-- - P 

Esta função foi escri ta para a determinação da 

estimativa da borda livre minima para navios tipo A, cujo va- 

lor é trans.ferido através do nome da função. 

As funções - BLTB e BLTB6O - fazem a mesma coisa pa 

.- - 

ra navi.os do ti.po B e do tipo B-60. 

(15) FUNCTION VOLPET. VOLORE. VOLGRA 

Nestas funções são cal culadaç as estimativas dos 

volumes dos compartimentos de carga respectivamente para petro 

1ei.t-o (VOLPET) , minero-petroleiros (YOLORE) e graneleiros e OBOS 

(VOLGRA). 

Na rotina para minero-petrolei ros são estimados 

tambêm o volume dos porões centrais e do fundo-duplo destes com - 

Para o caso de granelei ros e OBO a rotina VOLGRA 

s 

calcula tambêm a estimativa dos volumes dos tanques de asa in- 

ferior e superior e do fundo duplo. 

(36) FUNÇfiO PESOPT, - PESODNU, PESORE, PESOGR, - PESOBO - . 

Estas rotinas foram escritas para calcular a es - 

timativa de peso leve respectivamente para petroleiros (PESOPT 

e PESODNV) , mfnero-pet rolei ros (PESORE) granelei ros (PESOGR) e 

. 

O B O ~ (PESOBO~) 

-

Os procedimentos de cálculo para as rotinas PESOPT 

e PESOCR se baseiam no trabalho de Hagen, Ovrebo e Johsem 1211, 

enquanto as rotinas para mínero-petroleiros e 0BOS utilizam os 

mesmos procedimentos das duas anteriores corrigidos de acordo 

com os coeficientes obtidos em 1221. 

A rotina PESODNV apresenta uma estimativa de pe - 

- 

so leve para petroleiros desenvolvida pelo DNV 1221 e deve ser 

usada particularmente nos problemas de navios de pequeno porte 

(abaixo de 50000 ton de porte bruto). A opção por esta rotina 

ou pela PESOPT é feita pelo usuário enquanto as demais são se- 

lecionadas automaticamente pelo programa de acordo com o tipo 

de navio. 

(17) SUBROTI NA OPERAC 

-. 

Nesta subrot i na são calculadas as estimativas de 

uma s&'rie de características operacionais e parâmetros necessá - 

rios aos cálculos das vãrias parcelas do custo operacional e 

da taxa de frete requerido, tais como: o porte bruto, o total 

de consumiveis (combustiveis, lubrificante, água doce e potá- 

vel, etc.), a capacidade de carga paga, a quantidade de carga 

transportada anualmente, a duração de uma viagem redonda, o nG 

mero de viagens realizadas por ano e o fator de estiva máximo, 

Nesta rotina também são estimados os valores do raio rnetacên- 

trico e dos seus valores máximo e mínimo (estabili'dade inicial). 

(-18) -. FUNCTI.ON - - CAQ PET, CAQ ORE, CAQ GRA, CAQ OBO 

Estas rotinas foram escritas para estimar os cus. - 

tos de aqui:si:~;ão respectivamente para Petrolei ros (CAQ PET), m j 

nero-petrolei ros (cAQ ORE), granelei ros (CAQ GRA) , OBO (cAQ OBO) 

s

e se baseiam no procedimento descrito no capítulo IV. 

(19) SUBROTINA 

- - - CUSOPE 

Nesta subrotina são estimadas as diversas parce - 

las do custo operacional de acordo com o procedimento descrito 

no capftulo IV. 

(20) SUBROTINA LASSEG 

Esta rotina foi escrita para efetuar o cãlculo 

das estimativas referentes as normas da convenção de prevenção 

da Polui.ção Marítima de 1978 da IMCO, tais como peso e volume 

necessári:~ de lastro, volume necessari'o para a carga, volume re - 

querido dos tanques de SLOP, estabilidade na condição de las- 

tro, etc. 

SUBROTINA - RESTRI 

das as restrições. 

(22) SUBROTINA IMPRIM 

Nesta subrotina são calculados os valores de to - 

Imprime os resultados finais, tanto para a opção 

de cálculo das estimativas para um ou vários conjuntos de ca- 

racterísticas principais, quanto para a opção de otimizaçáo.

Fernando Antonio Sampaio de Amorim TESE SUBMETIDA AO ...

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