EM ONDAS LONG1TLrE)ICNAIS REGUEARES - Engenharia Naval ...

' TRICA DE NAVIOS PESQUEIROS
EM ONDAS LONG1TLrE)ICNAIS REGUEARES
Lenin Juan Carlos Valerio Mena
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA cOORDENACÃC) DOS
PROGWIAS DE PÓS-GRCU)UA~,ÃO DE ENGENHARIA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PAXTE DOS
REQUIsIToS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇAO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENH-ARIA OCEÂNICR
Aprovada por:
~rof! Cnrlos Antonio Levi
i"
da nçeição, Ph. D.
/
Prof. Antonio CLlos Femandes, Ph. D.
RI8 DE JANEIRO, RJ - BRASIL
AGOSTO DE 1994

VALERIO M. , LENIN J. C.
Estabilidade Parametrica de Navios Pesqueiros em Ondas
Longitudinais Regulares (Rio de Janeiro) 1994.
VI& 61 p. 29.7 cm (COPPE/UFRJ, M. Sc. Engenharia Oceânica,
1994).
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE
1. Estabilidade Dinâmica de Navios. I. COPPE/UFRJ II.
Título (série).

Em especial ao professor Marcelo de heida Santos Neves, pelo seu estímulo e a sua
valiosa orientagão.
Aos professores do Programa de Engenharia Oceânica da COPPE, pelos ensinamentos,
e aos meus colegas pela amizade e apoio.
financeiro.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientíko e Tecnológíco, pelo suporte

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para
obten~ão do grau de Mestre em Ciências @I. Sc.)
ESTABILTDADE PARAMÉTRICA DE NAMOS PESQUEIROS
EM ONDAS LONGITUDmAIS REGULARES
Leiiin Juan Carlos Valerio Mena
Agosto, 1994
Orientador: MARCELO DE ALMEIDA SANTOS NEVES, Ph. D.
Programa: ENGENHARIA OCEÃMCA
A estabilidade de navios pesqueiros em ondas longitudinais regulares é estudada.
Apresenta-se um método analítico para o cálculo dos parâmetros que governam a
estabilidade do movimento de balango. A taxa de transfericia de energia dos movámentos
do plano vertical para o movimento de balanpo é expressa em função da forma do casco,
seus movitnentos e as características da onda.
A excitaqão paramitrica do movimento de balango e os coeficientes hidrodhâmkos
são calcuIados analiticamente e os Emites de estabilidade de dois navios, imito similares nas
características principais, mas com popas diferentes, são calculados, mostrando substanciais
diferenqas na estabilidade dinâmica.

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partia1 Nfillment of the requirements
for the degree of Master of Sciençe (M. Sc.)
P-TRIC STABLLITY QF FISKING VESSELS IN
LONGITUDLNBL REG- WAVES
Lexh Juan Carlos Valeria Nleiia
Thesis Supervisar: MARCELO DE AIMEIDA SANTOS NEVES, Ph. D.
Departament: OCEAN ENGFNE.ERING
Stability of fishing vessels in longitudinal regular waves is investigated. An analytical
method of calculation of the parametem govemirig the roíi motion is presented. The rate of
energy transfer fiom the vertical motions to the roíi motim is expressed as a function of huii
form, ship motions and wave characteristics.
Parametric excitation of rol1 motion and hydroáynaixk coeflicients are evaluated
anaiyticdly, and limíts of statnlity for twr, vessek of very sidar rnain characteristics, but with
different sterns, are calculated, showing substantial differences in iheir dynarnical stability.

Cnphla I
Introdução.. ................................................................................................................. Q1
CapituIu 11
r .
Formulação Matematica.. .......................................................................................... .O9
II. 1.1. Equaqões lineares dos ínoWnentos.. ................................................................... ..O3
II. 1.2. Coeficientes hidrodinâinicos, foqas e momentos .................................................. .12
II. 1.3. Resposta do sistema linear.. .................................................................................. 14
w .
II.2. Equagão de rolt nao-linear.. .................................................................................... -15
II. 2.1. Detemllnação dos coeficientes não-lineares.. ........................................................ -16
11.2.1.1 Coeficientes de amortecimento ............................................................................ 16
.............................................................................
m
II. 2.1.2. Coeficientes de restauraqao.. -18
Cap&Ju 111
Estabilidade da equação do movimenta ..................................................................... ..21
r.
IlI. 1. Equaqao de Mathieu.. ............................................................................................ .21
, . .........................................................................................
lII.2. Limites de estabhdade.. -22
~L@&!X~Q 117
.................................................................................................
Testes experimentais.. -25

CqMo V
Análise dos resultados .............................................................................................. 28
V . 1 . Decaimento de roil ............................................................................................... 28
. * r .
V.Z. Exc1tac;ao parametma ......................................................................................... -29
V.3. O movimento de roll ............................................................................................ -32
cíip&#1!0 ?!I
Conclusões ................................................................................................................ 44
Vi . 1 . hoi-tecítnento de roll ........................................................................................ 45
n .
VI.2. Altura melacentIlca transversal ........................................................................... -45
U . VI, 3 . Restaura~ao
Ap2ndts.g A
I .
hárostatica 45
.....................................................................................
Coeficientes de restauração hidrosthtica de segunda ordem em r011 ...................... 50
Apêacdice B
Expoentes característicos da equação de Mathieu ................................................... 56

Por mais de um século o estudo do comportamento no mar de navios e sistemas
oceânicos vem motivando um grande interesse por parte de cientistas, matemáticos,
arquitetos e engenheiros navais. Nessa ásea do conhecimento técnico, a eficiência muitas
vezes é um fator que compromete a vida humana e põe em risco o patrim8nio econômico.
Cabe então ao projetista naval converter os conceitos básicos, idiias e objetivos do armador
em um navio ou veículo oceânico que satisfaça a um variado grupo de requisitos, muitas
vezes antag6nicos, entre eficiência e seguranga.
O problema de garantir uma estabilidade adequada tem sido abordado de forma
"evolucionária", utilizando a experiência de serviço de navios construidos como a principal
base de Ilifonna~ões, e de forma "determinística", procurando def-i, prever e quantificar o
comportamento do navio e a sua interação com o mar.
No sentido "evolucionário", talvez a contribuição mais importante tenha sido a tese de
doutoramento de RahoZa (1939), que deu origem a discussões e novas aproximaqões que
convergiram para os atuais critkrios de estabilidade estabelecidos pela Organização Marítima
Internacional (I.M.0). O estudo de Rahola foi baseado no resultado oficial de 34 inqu6rítos
de naufrágios. Nesse estudo foram analisadas as características de restauração hidrostática
dos navios acidentados e essas foram comparadas com as dos navios em srvigo,
estabelecendo-se valores mínimos de momentos de restauração para garantir a segurança
contra emborcamentos.

É sabido que os atuais critérios de estabilídade não são completamente satisfatórios
para navios operando em condição leve e em especial para navios menores de 24 metros
(Morra1 [I, 21, F3ií-d e Odabasi 131). Esse dado de reafidade, somado à pobreza da base
conceitual dos atuais critérios, tem requerido novos estiados visando o emprego de métodos
"determinísticos" no projeto de navios. Devido As limitapões do modelo linear (Kor\rín-
Kroukovsky [4], Salvesen, Tuck e Faltinsen [SI, Inghs [6]) como elemento de análise da
estabilidade dos movimentos, diferentes tipos de abordagem têm sido empregados, na
investigação da influência de variadas não-linearidades.
Estudos experimentais em tanques de provas ou em águas abertas têm sido realizados
visando verificar resultados obtidos na análise teórica (PPrez, [7], Pérez e Sanguinetti 181)
dou para a identificapão de formas de emborcamento (Pauhg et al. [9], Cohen e Blound
[10], Rutgersson e Ottosson [ll], Yanakoshi et al. [12]).
Experimentos realizados com modelos rádio-controlados por Paulling et ai. [9] entre
os anos 1972 e 1975, na Baia de São Francisco, permitiram identifícar três modos primários
de emborcamento, todos relacionados com o desempenho do navio em ondas, incluindo
incidências pela popa, definidos como;
- perda simples de estabilidade
- "broaching"
- instabilidade paramktrica
O primeiro modo é associado com a presença da crista da onda na região de meia-nau
do navio. O momento de restaurapão sofre então modificapões importantes que implicam em
uma redução de estabilidade (Paulling [13]). Se esta corifiguraqiío perdura por um têmpo
suficientêmente longo, pode-se produzir o emborcamento do navia Esta codiguraqão
usualmente ocorre em mar de popa e em alta velocidade. Neste caso o problema pode ser
bem estudado como um problema essenciahenie esiáiico [22j.

O " hma~~g" C ~airsado pela instabilidade direcional do navio quando acelerado ao
descer (ou surfar) a superficie da onda (ver. Rutgersson e Ottosson [l 11, Motora et al. [14]).
Este fenômeno é causado pela perda de eficiência do leme devido à velocidade orbital das
partículas fluidas do escoamento das ondas incidentes pela popa, pelo trhado e pela própria
acelerqão longitudinal, produzindo uma guinada brusca, tipicamente não-linear, que
combinada com a ação da onda, provoca o emborcamento do navio. Como no modo de
emborcamento anterior, usualmente o "broaching" ocorre com mar de popa e em velocidade;
nesse caso, a frequência de encontro do navio com a onda tende a zero.
A instabilidade paramétrica deriva da variapão periódica do momento de restauraqão
como resultado da modificac$o da forma submersa produzida pelas ondas, principalmente
quando o navio pega ondas longitudinais ou oblíquas pela popa. Este tipo de fenomeno dj
origem a uma excitação interna do sistêma navio-onda que para alguns valores de fiequência
induz hgulos de roíll que aumentam progressivamente. Dependendo da amplitude da
excitação interna, pode provocar o emborcamento do navio em poucas oscilaqões (ver Pérez
r731-
Outros tipos de instabilidades foram detectados na análise teórica através da inodelac$o
do movimento de roll utilizando restauração não-linear (equaqão de Du&g). Nos trabalhos
de Cardo et al. [15, 16, 171, por exemplo, foram introduzidas não-línearidades de terceira
elou quinta ordem na restauração, encontrando-se zonas instáveis na ressonância principal e
ressonâncias sub-harm6nicas e &a-harmônicas para grandes ângulos de rol, sendo de
interesse principalmente na análise da estabilidade de rol1 em mar de través.
Dos tipos de instabilidades com ondas de popa comentados anteriormente, a
instabilidade paramétrica é um modo particularmente perigoso, pois o navio pode ser
-- -
lNeste texto usaremos as denominapões em inglês dos movimentos do navio, surge, sway e heave para as
translações de avanço, desvio e afundamento; e roll, pitch e yaw para as rotações de jogo, arfagern e guinada,
respectivamente.

exçitado internamente e entrar em ressonância em ondas comparativamente pequenas, como
mostrado por Pérez et al.[l&]. Estudos têm sido desenvolvidos com a finalidade de
determinar situaqões que induzem ressonância paramétrica. Esses estudos surgem como
aprofundamento das teorias de comportamento de navios no mar, desenvolvidas
essencialmente nas ú1timas décadas.
Paulling e Rosemberg [I!?], em 1959, apresentaram uma formulação para o estudo da
excitação paramktrica baseada em equações não-lineares de movimento do navio
empregando três graus de liberdade; heave, pitch e roll. Nesse estudo foi feita uma
aproxima@o de segunda ordem na restauração, sem amortecimento. Estudaram-se os
acoplamentos heave-roll e pitch-rull produzidos pelas forqas hidrostaticas em ágaas calmas. A
análise determinou frequências instáveis quando a frequência de excitação é igual ou &as
vezes o valor da frequência natural de roll. Os testes experimentais conflrinaram
instabilidades no acoplamento heave-roll. Nesses testes o movimento de heave é forçado,
enquanto o navio oscila em rol livremente.
Em 1961, Paulling [20] publicou um estudo de estabilidade em ondas longitudinais.
Nesse estudo, apresentou uma metodologia para a determinação dos momentos de
restauraqão em ondas, demostrando que em certos casos a estabiudade pode ser reduzida
drasticamente. Os resultados teóricos obtidos foram comparados com dados das medições do
momento de restauração versus ângulo de rol experimentais, confírmando os resultados
teóricos. Hamamoto e Nomoto [22], em 1982, apresentaram métodos práticos para o cjilculo
do momento de restauração do navio em ondas longitudinais, baseados na hipótese de
Froude-KPylov com ou sem o efeito da velocidade orbital das particulas. Os resultados
obtidos experimentalmente mostraram concordhcia com os cálculos teóricos e pouca
vantagem na inclusão do efeito de pressão dinâmica da onda.

Aproximapões numéricas caracterizadas pela incorporapão de novos parâmetros, ou
introdução de outros efeitos vêm sendo desenvolvidas nos ÚltVnos anos tentando descrever o
comportamento do navio em condic;ões ciiticas de navegapão.
Uma simula$ío numérica no domínio do têmpo dos movimentos, em seis graus de
liberdade, do navio em ondas senoidais regulares foi usada por Elsifnillawy e hdilier num
estudo publicado em 1986 [24] para identificar situações perigosas que podem emborcar o
navio. A aproximação básica da simulação envolve o cálculo dos coeficientes da equação de
mouímento para cada tempo em concordância com a exata posigão do navio na onda, usando
a teoria das faixas. Nesta simulação se consideram também efeitos viscosos no
amortecimento de roli.
Um autro modelo numéico foi apresentado por de Kat 9; PauIling 1251 em 1989, para
determinar grandes amplitudes de movimento do navio sujeito a severas condições de mar,
incluindo situaqões que podem levar ao emborcamento. As 17árias componentes das fqas
que ocorrem em movimentos de grandes amplitudes foram trahdas, e a sensibilidade da
resposta em roli foi andisada. Particular aienqão foi dada às simulapões em ondas
longitudinais e oblíquas pela popa. A aproximação foi separada no problema potencial e no
problema viscoso, superpondo, posteriormente, as várias contribuipões de forqa. O problema
potencial é baseado na teoria linear, com exceção da integração da pressão da onda incidente
dada pelas forças de Froude-Krylov, que é feita na superficie molhada instantânea do navio.
As forças adicionais viscosas devidas ao movimento relativo do navio e o fluido são
modeladas empiri~arnente.
Em 1993 uma fomulaqão numérica para a simulação da dinâmica do navio avançando
em ondas longitudinais foi publicada por Fang e Lee [26]. Nessa formulação as simulações
numéricas são feitas considerando a elevagão da onda resultante não só da onda incidente
mas também as ondas de difração e radiação. O trabalho descreve uma técnica de simulação
no têmpo baseada na teoria das faixas descrita na ref. [27]. Os coeficientes hidrodinâmicos,

forqas de excitagão e forcas de restauraqão das equaqões acopladas de heave e pitch são
dependentes do têmpo, devido à variação de calado do navio avançando em ondas.
Bloki [21] investigou a excitação paramCtrica no domúiio da frequência em mar regular
e irregular, asswnindo três graus de liberdade como sendo mais significativos, heave, pitch e
roll. Nessa aproximaqão foram considerados acoplamentos do tipo hidrostático na
restauraqão até segunda ordem em águas calmas e amortecimento não-linear. Baseado em
resultados para ondas regulares, deriva-se uma distribuipão de probabilidade de
emborcamento em onda irregulares.
Skomedal[23], em 1982, analisa a influência da excitaqão paramétrica na estabilidade
utilizando a equação de roií desacoplada com variação periódica da restauração. A amplitude
de variação da restauraqão é considerada como sendo funqão da fiequência e seu vd~r
obtido numericamente para posições instantâneas do navio na onda durante um ciclo.
Outros modelos para a análise da estabilidade no domínio da frequência vêm sendo
desenvohidos desde 1985 por Neves eit al. [28, 29, 301. Nesses trabalhos as modelações
consideram acoplamentos hidrostáticos com seis graus de liberdade, obtendo seis equações
de Mathieu acopladas, onde os coeficientes de restaurapão hidrostática são obtidos ate
segunda ordem em águas chas. O sistema de equações de Mathieu acopladas resultante da
modela@o apresenta instabilidades para frequências combinadas de heave e pitch (ver Salas,
[301)-
No presente trabalho uma nova formulação para a análise da estabilidade pmm6trica
no domínio da frequência é feita, dando importânsia ao efeito da passagem da onda. Nesta
formulação utiliza-se a equapão de roll desacoplada com amortecimento quadrático,
restauraqão cúbica e variaqão periádica do momento restaurador. A amplitude de variaqão da
restaura$io é obtida analiticamente considerando a variqão dos parâmetros que determinam
a altura metacêntrica transversal devido aos movimentos de heam e pibh e à eievaqão da

onda. O modelo considera velocidade de avanpo nula e é restrito a ondas longitudinais, mas
pode ser facilmente estendido para incorporar velocidade de avanqo.
Baseado nesse modelo, é feita ma anáíise da influência das formas de navios
pesqueiros na estabílidade parmitrica. Dois modelos são analisados, os mesmos cascos
anteriormente testados por Morra1 [1] e Pdez [7]. Os navios são de características principais
muito similares mas a forma da popa é dxerente. O primeiro naviu % denominado TS, e é o
típico pesqueiro de popa espelhada. O segundo navio, denominado RS, é um navio
convencional de popa arredondada. Os planos de balizas dos navios são mostrados na Fig.
1.1.
A equagão de movimento é apresentada no capitulo II, onde se descrevem efeitos não-
lineares e as simplificap6es feitas na formula@o do modelo matk3mjctíco. Os coefici~ntpx não-
lineares de amortecimento e hidrostáticos da equação de movimento são também descritos
neste capítulo.
ha I&: 25.93
LPP (IA): 22.09
Boca Ia): 6.86
Ponta1 (a>: 3.35
Calado a meia nau h?: 2.43
Daslr~caststrto [tons) : 1W.6
No capítulo Ií é analisada a estabilidade do movimento de rol1 e sua sensibilidade às
condiqões de carregamento e apendices.

No capitulo N descrevêm-se, de modo, geral os testes experimentais dos dois navios,
realizados em tanque de provas [7, 8, 181, envohendo decaimento de rol e excita~ão
paramttrica para velocidade de avanço nula.
A analise dos resultados é feita no capítulo V. O amortecimento obtido
experimentalmente é comparado com o amortecimento derivado da formulapão semi-
empírica proposta por Hhneno [3 11, e os testes experimentais de ressanin~ia pãramdtrilca sk comparados com shu1aqõe.s numdricas. As zonas eslilveis e instáveis do diagrama de
estabiliciade obtido numericamente são comprovadas com os resultados experimentais.
Finalmente, no capítulo VI são apresentadas as conclus0es obtidas neste estudo, em
relapão ao amortecimento e à restauraqão hidrostutica .

Formulação analítica
O objetivo desta fonnulação é obter uma aproximação analítica, no dominio da
frequência, do comportamento do navio (intacto) em ondas longitudinais regulares para
velocidade de avanço nula. De inicio, é assumido que as ondas que incidem no navio são
tratáveis pda teoria linear, não são consideradas cargas de "slafnming", e o efeito de água no
convés é desprezado.
II. 1 Equagões lineares dos movimentos
Dois sistêmas coordenados são considerados para obter as equaqões de movimento do
navio; o sistema Oxyz (não inercial) fixo no navio, e o sistema OXoYoZo (inercial), que
coincide com o sistema Oxyz quando o navio esth na posi@o de equilibrio estávei, como
mostrado na Fig. f[. 1;
Fig. 11.1 Sistê~tras coosdemdos
O ponto G representa a posigão do centro de gravidade. O navio é assumido como
sendo um corpo rígido. As equações do movimento são mtão derivadas A3 segunda lei de
Newton, pela conserva@o de momentum linear,

onde:
M -matriz de massa do navio
V -vetar velocidade linear
I -matriz de inércias de massa
C2 -vetor velocidade andar
rg
-vetar posição do centro de gravidííde em rek%qão ao sístêma oxyz
m -massa do navio
F, -vetor de forças exteims
M, -vetar de momentos externos
Admitindo que a rotaçao assumida pelo navio é resultado das rotações em ym, pitcl? e
roll sequencialmente, como mostrado na Fig. II.2, as velocidades angialares projetadas nos
eixos do sistêma Oxyz são dadas por:

Fig. 11.2 Rotação do sistêma coordenado Oxyz
Na análise dos movimentos do navio em ondas longitudinais foram considerados três
movimentos como sendo mais signiticatitros, com as seguintes ordens de grandeza:
heave z = O(E)
pitch O= O(E)
e para os outros movimentos:
surge x=o(&)
sway y=0(2)
Desta maneira, o segundo grupo de movimentos é de pequena hnportiincia diante do
primeiro, e pode ser desprezado. Uma hipótese similar pode ser feita para as velocidades e
aceleragões. As equagões linearizadas do corpo rígido para os tr6s moWmentos considerados
(heave, pitch e roíí), com respeito ao sistêma Oxyz podem ser expressadas como:

onde :
m -massa do navio
I,
I,?
Z,
-in&cia de massa em relaqão ao eixo x
-inércia de massa em relação ao eixo y
-força externa resultante em heave
Kar -momento externo resultante em roll
Me,, -momento externo resultante em pitch
11.1.2 Coeficientes hidrodinâmicos, forças e momentos
As forqas e os momentos externos nas equa@es (1) e (2) representam as a@es fluidas,
as quak têm componentes hidrodinâmicas devidas aos movimentos do corpo, devidas às
forqas induzidas no casco do navio pela a~ão das ondas, e outras componentes, tais como
a~ão do leme, vento, etc. Usualmente, e com base na teoria linear, assume-se que as forças e
os momentos externos atuando no navio podem ser expressos como a soma de dois efeitos;
um devido aos movimentos do navio, e a outra parcela, devido às ondas incidentes, expressa
como uma hngão explícita do têmpo, na forma:
K,(t)= O.
Em ondas longitudinais, a agão das ondas em roíi é nuia, ou seja, pode-se tomar

Assumllzdo que em torno da posição de equilíbrio inicial as ações devidas ao
movimento do corpo são funções diferenciaveis, estas sIo expandidas em siries de Taylor na
forma:
onde Zo, Ko e Mo, representam as forças e momentos na posiqão de equiíibrio, e são iguais
a zero. No sistêma linear são omitidos os termos de segunda ordem e superiores da expansão.
bso possibilita a decomposição das funções 2, K e AI na forma;
As derivadas de primeira ordem destas funç6es calculadas em torno da posição de
equiiíbiio são os coeficientes hidrodinfimi~os das equaqões lineares de inoimento, eq. (10),
(11) e (12), e detennham as formas clhsicas das equações de comportamento no mar em
heave, roa e pitch. As equações de heave e pitch são mutuamente acopladas, e a de roU
aparece independente das anteriores.

onde por exemplo;
11.1.3. Resposta do sistêma linear
Nesta aproximação, a avaliação dos coeficientes de massa adicionada (Aij) e
amottecllnento (Bo) , e as forgas e momentos de excitaqão dos movimentos no plano vertical
e obtida utilizando a teoria das faixas descrita por Salvesen, Tuck e Faltinsen [5]. As Figs.
11.3 e Ii.4 mostram as funções de transferencia dos movimentos de heave e pitch em ondas
iongitudhzis e com velocidade nula para os dois cascos descritos no capituío I. Como
consequência da sirnilitude dos cascos, as respostas lineares no plano vertical são
aproximadamente iguais.
Fig. 11.3 Função de transfe~Encia no modo Heave

Os coeficientes de massa adicionada e amortecimento potencial da equagão de roll são
calculados utilizando o método tsidimemional desci-ito por Ingiis [d].
11.2 A equação de roll não linear
Devido L Iímitczções da teoria linear no sentido de só ofeseçes soluções hairnônicus
simples das equagões do movimento, outros ef'etos são incoiporados nesta aproximação. As
forças viscosas presentes no amoi-tecitnento de roil são tratadas separa&zmente do problema
potencial, através de uma modelação semi-mph-ica 1311. Na restaura@o é incorporado um
efeito não-linear de terceira ordem, bem como um tamo de excitação parnmétiica. Assim, o
modelo utilizado para ondas longitudinais, ao invés de ser representado pela eqiaagão (121,
será:
(IX +44) ?+D(~)+M,(@,z,Q,G) =o
onde o momento de amortecimento é assumido como sendo:

O momento de restauração é derivado assumindo que os movimentos verticais devido
às ondas de pequena amplitude são pequenos, tal que o deslocamento vertical relativo do
navio pode ser assumido como sendo a soma de três efeitos, o movimento de heave (z), o
movimento de pitch (0) e o perfil da onda (c). O momento de restiiuração de rol2 é
assumido como sendo :
onde:
-coeficiente de roli devido a SOE
-coeficiente de reshuraqão de roll devido a heave
'coeficiente de restauração de roií devido a pitch
C44r -coeficiente de restauração de roií devido à passagem da onda
-
6 -amplitude da onda
11.2.1 Determinação dos coeficientes não-lineares
II.2,1,1 Coeficientes de amortecimento
A h de incorporar efeitos viscosos presentes no momento de amortecimento, uülizou-
se o método proposto por Ikeda, descrito por Himeno na referência [31], que leva em
consideração os efeitos de fricção e vorticidade do casco do navio, e os efeitos das bobas.
Os coeficientes de amortecimento são detedados através de regressão linear da
curva de amortecimento em função da amplitude, no domínio da fkequhia. A rela~ão entre
os coeficientes de amortecipnento e os coeficientes da regressão num&ica é determinada pela
linearização equivalente do movimento n5o linear [32]. A Fig. II.5 mostra a curva de
amortecimento do navio TS para um dado valor de fiequêmia.

sendo :
PYavit? TS (GM : '1.08 rn)
w : 1.22 (ris)
com balino
Fig. 11.5 Curva de amortecimento em fimçb áa amplitude do movimento de roll.
Segundo a lineai.íz,~ção equivalente, a cuiw de amortecimento pode ser expressa como
o& os valores de 4 e b2 na equação(l6) deteminam os valores dos coefi~ientes da
equaqão (14). As curvas de amortecimento em fúnqão da amplitude são obtidas segundo a
formuiação de Himeno [3 11, para cada fkquência. A fomulação considera as cornpone;ntes
do amostecimento como sendo;
onde;
Bw
be(#)=~Er+~F +h+ RBK +BE
-componente devido h ondas (potencial)
BF -componente devido à fricção
BL -çomponente devido ao lifi (nula para velosidade de auanp nula)
BBK -componente devido à bolha
BE -componente devido à produção de ~kktices no casco
A Fig. 11.6 mostra a9 cuivas de amortecimento Iúiear dos ri1víos TS e RS, em função
da fi.equ&icia.

.-- '-
4- Ikado Bem b~lirirj
+ Ika& sem br.i!lna -.-
4- lkeda com bolina ,--*- -./t
Ike.& com D~llt?~ /
, /'
Fig. 11.6 Curvas de amortecimento linear dos navios TS e RS
Os resultados num6iJcos indicam que o navio TS é mais amortecido do que o navio RS
na mesma condição de carregamento com e sem bolina.
11.2.1.2 Coeficientes de restauração
Os soeficientes de restauração de primeira e segunda ordem foram obtidos por
expansão em séries de Taylm da fiinqão que descreve o momento de restauração para
pequenos ângulos de rolí do navio em onh, levando em consideração trgs efeitos, como
assinalado anteríomiente; a derivaqiio dos coeficientes pode ser encontrada no apêndice A
deste texto. Os valores dos coeficientes são dados por:
onde;

2 2
10,~ sen(w x)& - zg bO (x) sen(w x)&
8 8
L
Das equações acima pode-se deduzir que para baixas frequências o efeito da passagem
da onda tende a anular o efeito do movimento de heave sobre a excitação paramétrica; isto
pode ser comprovado nas expressões acha de Si e S2, que definem o coeficiente devido à
passagem da onda, obtendo-se S no limite quando a fiequênciíí tende a zero. Para
fiequências póximas a zero os teimos em oss se no tendem a um, enquanto que os teimos em
,I ., A, ,., N,, rcIn\ ,.,.,-.-,.- . A-.. ,I-
sciE tc~iUeEi â zeiu, 5izikUü COZi @ie c: VillVlGS Clu Gcl'qau \L", w*XLl'G'Ll-sG CIUS Uit
equação (18). Desta foirna, se o navio em baixas fiequktcias acompanha o movimento da
onda, os efeitos do movimento de heave e &i passagem da onda tendem a anular-se.
O coeficiente não linear cúbico foi determinado por regressão polinomid da curva de
braço restaurador, utilizando o método dos mínimos quadrados. No cálculo foi considerada
uma função cúbica ímpar. O coeficiente linear foi hdo en relaç5o ao valor da altura
metacêntiica, enquanto que o coeficiente cúbico foi deteirninado rriifumizando-se a distância
aos pontos áa cuwa. A Fig. II.7 mostra como exemplo o ajuste da curva de braço restaurador
do navio TS para um valor de altura metacêntiica de 0.50 m. Nessa figura, C1 é o
coeficiente linear fixado, e C3 é o coeficiente cúbico obtido pelo ajuste.

Fig. 11.7 Ajuste ria cima de restauração do navio TS
A tabela (II. 1) abaixo mostra os valores dos coeficientes cúbicos de restauração
obtidos para os difkrentes valores de altura metacêntrica transversal conqiderados.
VALORES DE C444 /A para. #I,tM = 30*
Navio TS
-
GM 0.32 0.35 0.48 0.54 0.85
C444 / A -0.8772 -0.8821 -0.9035 -0.9134 -0.9644
-
GM 0.27
CM /A -0.6971
Navio RS
Tabela 11.1 Coeficientes de restauração cubica

IIL1 Equagão de Mathieu
Estabilidade da equaqrío do movimento de roZ1
A estabilidade da equação do movimento de roíi é estudada através da equagão de
Mathieu (Eq. 22). Esta equaqão, ainda que não tenha solugões exatas canhecidas, seu
comportamento pode ser analisado através do diagrama de Mathieu, o qual pode ser obtida,
por exemplo, utilizando-se o método das perturbaqões [33]. A equaqão variaciona1 linear da
equação do movimento (Eq. 13) pode ser levada à forma da equação de Mathieu amortecida
através das seguintes transfomagües:
onde é a amplitude de excitação paramétrica e contém contribuições devido aos efeitos de
heave, pitch e passagem da on4 ou seja;
a = -z c os~
+ xBcosp5 +

111.2. Limites de estabilidade
Os limites de estabilidade correspondentes à equagão (22) podem ser determinados, e o
efeito do amortecimento sobre cada região pode ser obtido. Mó apêndice B deste texto são
apresentadas as expressões que definem os limites, obtidos por expansão da equagão de
Mathieu pelo método das perturbações. A Fig. 11.1 mostra ct efeito de três dveis de
amortecimento diferentes, p= O, ;L= 0.035 e p= 0.070, sobre três curvas limites
correspondentes às primeiras três regioes de ressonância paramétrica.
Fig. 111.1 Diagrama de Mathieu, para três níveis de amorteciinento.
Na Fig. m.3. pode ser obsenvado que as regiões são aíètadas de forma diferente pelos
díferentes níveis de amortecimento. A primeira região (w = 2wn) praticamente hão é afetada,
enqua~to que as o~tr;ts regiões são progressivamente mais afetadas pelo amortecimento.
Como consequhcia disso, a terceira re@o de ressonância paramétrica praticamente
desaparece para pequenos valores de amortecimento. Devido às características da curva de
amortecimento de roll (ver Fig.lI.6 ), os lunites de estabdidacle da equação de Mathieu são
tamb6m afetados pela fiequ2ncia natural. A Fig. m.2 mostra os limites de estabilidade nas
regiões de ressonância paramktrica w = 2wn e w = qz, para dois valores de altura

- -
metacêntrica transversal, GM = 0.35~ e GM = 0.85m, para o navio TS, mostrando que o
aumento na altura metacêntrica transversal produz uma redugão das áreas de instabilidade.
1
DIAGRAMA DE MATHI ELI
NAVIO TS
Fig. 111.2. Diagrama de Mathieu pua o navio TS
O nível de amortecipnento na primeira zona é muito miior do que na segiln6~ zona de
instamdade. As Areas de instabilidade podem ser também reduzidas com a ititrodu@o de
apêndices, tais como bohs ou estabilimdores. A Fig. Iíí.3 mostra irma forma prática de
apresentar o diagrama de estabilidade, obsei-vmdo-se a redução da área de instabilidade com
a inclusão de bolinas. Nessa figura, a ordenada é a amplitude da on61, em metros, e â abcissa
é a fequência da onda.

Muvio TS (GM ,851nj
: 0 nos
ondus pela proa
sem bolina
co rn bolino (exp.)

Testes expeiiinenitais
Os testes experimentais foram realizados por Perez et al. [7,8,18] no Canal de Przcebas
da Unhwsidad Azcstral de Chile. O tanque de experimentação dispõe de um gerador de
ondas tipo flap. Detaíhes sobre as características do tanque, assh como da preparação dos
modelos podem ser encontradas em [7].
Os modelos foram construídos na escala 1:30. Os experimentos foram realizados com
velocidade de avanço nula e ondas incidhdo pela proa. Nesses experimentos a distribuição de
pesos, amplitude de ondas e frequencia foram variadas com os seguintes intuítos:
a) Realizar testes de decaimento de roll para diferentes frequências
b) Investigar a sensibilidade de dois cascos de formas similares à ùistabilizaqão
paramétrica na primeira e segunda região de instabilidade do diagrama de Mathieu.
Infelizmente, os testes de decaimento de roll foram reaiizados com ângulos iniciais
máximos - & 12.2 13 gmBj xv;tlot.es de &n,m&s de rol que não pemiit2m a identificação dos
efeitos nio-lineares com precisão.
Para investigar a infíuência do aumento do amortecimento no processo de
estabilização, cada modelo foi testado com e sem bolhas.
As bolinas são id2nticas para os dois cascos, fixas ao longo dos dois terços do
comprimento, na região central do corpo das embarcações, na curvatura do bojo, com uma
largura constante de 15 cm (na escala do protótipo).

Fig. N.1.
Os resultados dos testes de decaimento de roll para os dois navios são apresentados na
Resultados dos testes de decaimento
Fig. IV. 1 Resultados dos testes de decaimento de rol1
Os coeficientes de amortecimento foram obtidos pelo método de Froude [32], mas
considerando-se só o temo linear, devido a que os testes foram realizados envdvendo
pequenos ângulos iniciais, o que dificulta a identificaqão do temo não linear. A tabela IV.l
mostra as condic#es de carregamento dos dois navios nos testes de decaimento de roll.
TESTES DE DECAIMENTO DE ROLL (ESCALA REM,)
Navio TS Navio RS
- -
Condições G'M (4 w, (ds) GM (m) w, (r/s)
1 com boha 1 .O8 1.22 1.92 1.53
2 Ir 0.75 1 .O4 1.13 1 .23
3 " " 0.94 1.14 0.71 0.98
4 " " 0.57 0.88 0.42 0.73
5 " " 0.39 0.79

1 Sem bolha 1.08 1.22 1.92 1.66
2 li 0.75 1 .O4 1.13 1.27
3 " " 0.94 1.14 0.71 1 .O1
4 " " 0.57 0.88 0.42 4.79
5 " 'I 0.39 0.79
Tabela IV. 1 Condições para os testes de decaimento de roll
O procedimento para os testes de ressonância paramétrica foi colocar o modelo
longitudinhente no tanque de experifnenta~ão, com a proa dírecíonada para o extremo do
tanque onde são geradas as ondas. Os deslocamentos angulares foram gravactos com o
modelo oscilando livremente. As condigões de teste são resufnidas na tabela IV.2.
TESTES DE EXCITA@ PARPLMÉTRICA
Navio TS
Navio RS
Tabela IV. 1 Condições para os testes de ressonância paramétrica

Capitulo V
V. 1 Decaimento de rol1
Análise dos resultados
Tanto na fomulagão semi-empírica descrita no capítulo llI, quanto nos testes
experimentais descritos no capítulo IV, observa-se que os valores de amortecimento do navio
TS são maiores quando comparados com os do navio RS, estando ambos sem bolina. Com
bolina o navio TS é mais amortecido para valores de frequencia acima de 1.25 (r/s).
Os resultados da Fig. IV. 1 não podem ser exatamente comparados com os valores da
Fig. It.6, mas podem ser extraídas as seguintes conclusões;
a) O amortecimento para o navío RS sem bolina é bem descrito pelo mdtodo de Ikeda.
b) Para o navio TS sem bolina, o inétodo de Ikeda produz valores de amortecimento
levi2mente inferi0rg.s aos obtidos experimentalmente.
c) O método de Ikeda subestima o efeito no amortecimento da introdução de bolhas
em ambos os modelos.
Nas Figs. V.l e V.2 são plotadas as curvas do momento de amortecimento semi-
empínico (não-linear), e experimental (linear), em funcão do têmpo, para os navios TS e RS
com uma amplitude de oscila@o de 10 graus. Observa-se em ambos os casos que os valores
alcançados pelos coeficientes experimentais aproximam-se dos valores alcançados pelos
coeficientes seiní-empíricos.

Y
E
Nuvio TS (Gv 1.0EIri1)
w : 1,22 (r/s)
urnp.: 10 (graus)
E -sem bulinns
-- linõnr
=.C& nao- lineat-
-
8
o
-2 -a.m
V.2 Excitação paramétrica
Fig. V. 1 Momentos de mortecimento em roll para o navio TS
Fig. V.2 Momentos de amortecimento em roll para o navio RS
A excitagão paramétrica do navio TS é maior quando comparada com o navio RS,
para a faa de frequências considerada. A Fig. V.3 mostra as curvas de amplitude de
excitagão paramétrica dos dois navios, para diferentes fiequências e amplitude de onda igual
a um tnetro (escala real).

Fig. V.3 Amplitude de excitação paramétrica
A Fig. V.4 mostra a influência do movimento de heave, passagem da onda e o
movimento de pitch para o navio TS. Para pequenas fi-equências, menores do que 1 ds, o
efeito do movimento de heave é cancelado pelo efeito da passagem áa onda, e a excitacão
paramétrica é dominada pela. influ2ncia do movimento de pitch.
Fig. V.4 Componentes da excitação param6trica
Pode ser observado (Ver Fig.11. ) que para a faixa de baixas fiequências, as respostas
lineares em pitch para os dois navios si40 praticamente iguais, podendo-se deduzir por análise
comparativa que os diferentes níveis de ex~itapão param&iica encontrados para os dois
navios são devidos às diferenças na forma da popa. De fato, como pode ser observado na

Fig. V.3 Amplitude de excitação paramétrica.
A Fig. V.$ mostra a influGncia do movimento de heave, passagem da onda e o
movimento de pitch para o navio TS. Para pequenas fiequências, menores do que 1 sls, o
efito do movimento de heave é cancelado pelo efeito da passagem da onda, e a excitacão
paramétii~a é doininada pela infiuência do movimento de pítch.
Fig. V.4 Componentes da excitação parmétrica
Pode ser observado (Ver Fig.lI. ) que para a faka de baixas frequências, as respostas
lineares em pitch para os dois navios são praticamente iguais, podendo-se deduzir por análise
comparativa que os diferentes níveis de excitação paramétrica encontrados para os dois
navios são devidos às diferenças na forma da popa. De fato, como pode ser observado na

Fig. V. 5, existe uma acentuada distribuição não-shnétrica da derivada vestical na linha d'água
do navio TS, resultando em um elevado valor para o coeficiente de restriwação Cd4@ , como
descrito na equa~ão (16). Este coeficiente de restauração de segunda ordem é tr6s vezes
maior para o navio TS do que para o navio RS, para uma altura metacêntrica de 0.85 metros.
2.w -
buliras
4.b
Fig V.5 Distribuição lorigituctind da derivada vertical e boca
O navio RS, tendo uma disti.ibuição longitudinal de desivadi vei-tical mais "suave", é
menos exposto à excitagão interna em roll. Para altas frequências, os movimentos verticais
são levhente diferentes para os dois navios, mostrando que as gsandes difwenps na
excitaqão paramétrica são essencialmente geométricas.
Um outro aspecto que surge da analise é que o máximo da amplitude de excitação
paraméhica não coincide com a fiequência natural de pitch.
V.3. O movimento de rol1
Um algoiitmo de integsação baseado no metodo de Runge-Kuth de qua~ti ordem foi
uP;lizud~ para ri integsagiio numérica da equação (13). Integrações numéricas são comparadas
com resultados experimentais nas Figs. V.6, V.7 e V.8, para diférentes codguraç6es de

onda e condições de carregamento, A sintonia nas três figuras é em toino de w= 2w,.
Nessas figuras todos os movimnentos são instáveis.
-
Fig. V. 6. Comparação da integração numérica com experimento para o navio RS, GM = 0.27m
Fig. V. 7. Comparação da integiação numérica com experimento para o navio TS, GM = 0.3%

-
Fig. V. 8. Comparação da integraçiio numérica com experimento para o navio TS, GIM = 0 .85~~
Nas simulações num6ricas obseivou-se uma boa apsoximaqão com os &idos
expesímentais nas frequências consideradas, iticluhdo ondas altas induzindo grandes ângulos
de roll, como mostrado na Fig. V.6; isto é uma boa suipesa, poiq o modelo mathiítico
empregado neste estudo é relativamente simples.
Considerando que o modelo matêmático empregado representa adequadamente a
dinâmica envofvida nos experimentos, um grupo de figuras (Fig. V.9 até V.14) foram
preparadas com o propósito de auxiliar na interpsetat;i~ão dos resultados experimentais. Nessas
figuras, os grificos do dmlocamento angular de roll no domínio do tempo antecedem ao
diagrama de Ivíathieu, onde são apresentadas as condições testadas.
A Fig. V.9 (a) mostra um caso de instabilidade do navio TS, com bohq em uma
-
fi-equência próxima a w = 2wn, com GM = 0.321~. Em seis ciclos o navio alcança ângulos
de roll de aproximadamente 40 graus. Uma condiqão muito perigosa, com red iGco de
emborcamento. Para induzir uma instaIriliz,q5o intensa no navio RS foi necessáiio r ede a
-
sua altura metacêntrica tranmersd para G&f = 0.27~~ e retirar as bohas. A instabilidade
resultante psecisou de mais de 8 ciclos para alcançar um ângulo de roa da ordem de 28 grau,,.

Este resultado é dado na Fig. V.10 (a), e demonstra que o navio TS é mais instável em ondas
longitudinais do que o navio RS.
Comparando a Fig. V. 10 (a) com a Fig. V. 1 l(b), pode-se observar que os dois navios
alcançam agro,Yimadamente 30 graus, mas o navio TS alcança essa inclhagão em 6 ciclos,
enquanto que o naMo RS demora 10 ciclos para alcançar a mesma amplitude de movimento.
Nesta comparaqão ambos os navios estão sem bolhas, e para esses valores de frequh~ias o
navio TS é mais amortecido do que o navio RS. A altura metacentrica é menor e a altura da
onda maior.
O ponto 2 na Fig. VlO(c) é localizado numa região esthvel. A altura da onda é grande
(h, = 2.01~)~ mas como mostra a Fig.VlO(b), não ocone amplificação do movknento de roll.
A influihcia do aumento do amortecimento pode ser observada comparando a
Fig.V.9@) com a Fig.V. 1 l(b). Na Fig.V.9(b) o navio TS é testado som boíina,
-
GM= 0.32~ e & = 2.4m. O movimento de roll alcança uma amplitude de
aproximadamente 32 graus em 9 ciclos. Na Fig.Vll(b) o mesmo navio, sem bolina, mas com
uma altura metacêr~t~ica trammsal maior e uma altura de onda menor (Iz, = 0.9m) alcança
30 graus em apenas 6 ciclos. A introdução de bolinas contribui para reduzir a distância no
diagrama de Mathieu dos pontos plotados 5 curva limite; assim, decresce a intensidade da
ressonância.
Outra çomparação interessante é entre a Fig.Vl1 (b) e a Fig.V13(b). Esses casos
correspondem ao navio TS sem boíína, excitado por ondas de alturas equivalentes, mas a
altura rnetac&trica em ambos os casos é muito diferente. A frequencia da onda na
-
Fig.V13(b) é alta (w = 2.08 r/@, correspondente a uma grande amplitude de excitapão
-
paramétrica (ver Fig.V.3), mas com uma altura metacentrica grande (GM = 0.85m). O
movimento instável resultante é menos intenso do que o movimento mostrado Fig.Vl l(b).
&to é provocado gela diminuição da área de instabilidade do diagrama. Devido ao aumento

da altura metacêntrica transversal, a condigão do navio no teste fica mais perto do limite.
Como consequência do valor da altura metacêntrica transversal na Fig.V.13, os liinites de
estabilidade são relativamente altos, especialmente para a zona w = w,, como mostrado na
Fig.V.l3(c). As ondas testadas na Fig.V.l3(c) são de urna deckidade muito forte,
(F, = A/ 14.8). Isto é comparável com a declividade da oncla gerada no teste da FigV.g(a),
(F, = A./14.1).
Claramente, o fator que determina a intensidade da instabilidade paramétrica de um
sistema amortecido com excitagão interna pode ser assumido como sendo a distância do
ponto plotado A curva limite de estabilidade no diagrama de Mathieu amortecido; esta
distancia defme a amplifica@o do movimento. Este resultado é confirmado em todos os
testes realizados, com a plotagem dos pontos baseado no modelo matêmático proposto aqui.
Isto também é aplicável aos pontos 1 e 2 plotados na Fig.V14(e), representativos dos
movimentos mostrados nas Fig.V14(a) e V. 14(b), respectivamente. Essas duas condiqljes
têm uma amplitude de excitqão paramétrica grande (q=0.55 e q4.72, respectivamente),
maiores que os apresentados nas Figs.VlO(c), V12(c) e V13(c). Não obstante, a
amplificaç50 do movimento não é significativa, devido a que a área de instabilidade em
w = w, é estreita e os pontos estzo muito perto da curva limite. A onda na Fi.g.V.l4(b) tem
uma declividade razoavelmente forte (F, = A/ 26.2), o que pressupõe a ocorrência de
ressonâncias pouco significativas na zona w = w,.

( a?
.---.
--
O
LT
40 >-*-ri rin~rrri rrnn irrrnmr~trm r-rn m-nrnmm* n
sm =.DO 7o.w mm N.QO m,uq riom 1so.w 130.~0 tma~ I W . ~
NAVIO TS (Gh4 .32rn)
i
DIAGRAMA DE M
NAVIO TS
ondas pela pl-o
cum bulii-~u
U = O k n
-
Fig.V.9(c) Navio TS com bolina, GM = 0.32m
/ TH EU

O 'nck
ondas pela proa
sern bbulinu
undus pela proa
sern bolirro
tl = O kil
2: W==1.9'7Wn
Fig.V.10 (c). Navio RS sem boíina,W = 0 .27~~
n

(a) NAVIO TS (GM ,SLtm)
Fig.V. 1 1 (c). navio TS sem boha, GM = 0.3 5m

Q
NAVIO TS (GM .48rn)
W :1.54 (r/s]
Wn : .77 (i- s
hw :I .S4 (m)
peja pruu
sem bolinci
: Q nos
(b) NAVIO TS (GM -48rn)
-
Fig.V. 12 (c). Navio TS sem bolina, GM = O. Lf8m

Fig. V. 13 (c). Navio TS sem bolina, GM = 0.8%

C1 : O 'nos
ondas pela proa
sem holino
(C) NAVIO TC; (GM .54m)
AO.QO -
1-1 : O nos
j Chdas pela proa
sem balinaç

(d? NAVIO TS CGM .54i-11)
Wn : .95
B0.m -
4 ondas uelu LWOQ
-
Fig. V. 14(e) . Navio TS sem bolha, GM = 0.54m

Conclusões
O modo de emborcamento por instabilidade paramétrica do movimento de roa fica
mais uma vez evidenciado como sendo uma situagão de risco real de emborcamento para
navios de pequenas dimens0es. A primeira zona de instabilidade do diagrama de Mathieu
(w = 2w,) evidencia-se como potencialmente mais perigosa. Já a segunda zona (w = w,) não
inciiix ressnn2ncia.q r------- naramétricaa --- fnutesj -- da& a estreita banda de frequências que ocupa.
Apro-a@es numiricas razoavelmente boas foram obtictas, considerando a
simplicidade do modelo matCmático empregado, ficando ciaro que a consideraqão 8a
passagem da onda é fwndamental para uma melhor concordância entre testes experimentais e
simula@es num6ricas. A análise da variaqão da forma devido aos movimentos verticais
relativos entre o navio e a superficie livre , produz infonnagão de grande relevância no
estudo do comportamento de navios pesqueiros em condiqões de excitaqão paramitrica,
conforme discutido no itêm V1.3, adiante. Dois navios de respostas lineares similares podem
ter comportamentos muito diferentes, o que pode ser observado quando consideram-se
termos de segunda ordem na restauragão, como no caso dos navios TS e RS estudados neste
trabalho. Da análise de estabilidade paramétrica dos navios TS e RS pode-se concluír que os
fatores mais importantes que afetam a estabilidade paramétrica são o amortecimento de roll,
a aitura metacêntrica transversal, e os coeficientes de restauragão dependentes da geumetria
do navio.

VI, 1. Amortecimento de rol1
A influ6ncia do amortecimento sobre a estabilidade dinamica mostrou-se positiva. O
aumento no nível de amortecimento reduz as zonas de instabilidade no diagrama de Mathieu,
principalmente na segunda e terceira zonas de instabilidade, sendo que esta última
praticamente desaparece só pelo efeito do amotecimento do casco do navio.
O dimensionamento das bolhas 6 um fator que deve ser criteriosamente comiderado
na avaliação da estabilidade dinâmica deste tipo de embarcação, pois tem influência direta
sobre o amortecifnento de roll e consequentêmente sobre os limites de estabilidade.
VI.2 Altura metacêntrica tranwersal.
Constatou-se no diagrama de Mathieu que as zonas de estabitidade são reduzidas com
o aumento da altura metac8ntrica transversal; isto devido às características das curvas de
antortecimento. As zonas de instabilidade mudam em relação à frequência natural de roll,
posicionando, para altos valores de altura metacêntrica, as zonas instáveis em kquências em
que a amplitude de excitação paramétrica é maior, mas os resultados mostraram que o nível
da excitagão paramétrica diminui significativamente com o aumento da altura metac~ntrica,
favorecendo a estabilidade dinânúca do navio.
As instabilidades detectadas com valores de altura metacêntrica maiores são menos
intensas quando comparadas com instabilidades dete~tadas no mesmo navio com altura
metacêntrica menor, e excitado por ondas com declividade equivalente.
VI.3 Restauraçiío hidrostática
A forna do casco acima da linha d'água mostra-se como um fator determinante na
estabilidade dinâmica do navio excitado pararnetricamente. Navios com grande variaqão nas
formas de proa e popa s%o mais afetados do que navios simétricos. A distribuiqão
longitudinal assimétfica da derivada vertical é um fator que contribui diretamente para
aumentar a amplitude da excitaqão interna que afeta o navio em ondas longitudinais, pois

determina a magnitude dos vaíores dos coeficientes de restauraqão de segunda ordem Este
inconveniente, próprio dos navios pesqueiros com popa espelhada, não descarta este tipo de
navio como opçã~ de projeto de formas, do ponto de vista da estabilidade dinâfnica. Para
compensar a vulnerabiíidade deste tipo de navio à excitação paramétrica, recomenda-se
projetj-10s para condiqões de operação em que a distribuição dos pesos a bordo garanta um
valor de altura irtetacêntrica transversal bem acha do critério da Organização Marítima
-
Internacional (GM= 0.351~1, assim como uma área de bolinas maior que em navios
tradicionais.
No que diz respeito a aspectos não incluídos no presente trabalho, inas que
segurament~ necessitam ser incorporados no futuro, podem ser destacados: modificagão da
formulação do problema para a inclusão do efeito de velocidade de avanço, grandes
amplitudes de movimento e ekíto da passagem das ondas em obliquidade . A nível de
engenharia, estudos sistêmáticos de níveis de reduqão de areas de insbbilização com o
aumento da área das bolinas.

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Coefi

Fig. A.l mostra uma baliza do navio e seu deslocamento vertical relativo, onde q é a
elevação da superficie livre.
Fig. A. 1 IrariaçTío da boca com o deslocamento relativo vertical.
A boca seccional pode ser aproximda m funçiio da derivada vertical do perfil da
baliza, calculada na linha d'água, como sendo:
logo o momento de restaura@o de roii em onáas longitudinais fica caracte~izadlo por:
onde :
Mb = zbv
As variações da inércia, centrbide e volume submeixo são dadas por:

onde as integrais são realizadas ao longo do comprimento da embarcagão.
Tomando apenas os termos lineares das equagões A.5, A.6 e A.7, o momento de
restâuragão hidrostática pode ser aproximado por:
onde C44 # é O termo de restauração em águas calmas.
Assumindo que os movimentos verticais devido às ondas de pequena amplitude são
pequenos, o deslocamento vertical relativo é assumido como a soma do efeito devido ao
movimento de heave (21, o movimento de pitch (8 ) e o efeito da passagem da onda (6 ).
Desta maneira, a componente devido ao heave pode ser expressa como:
ou então:
onde:
KHE~ = c44, 4
(A. 11)
(A. 10)
z = z, cos(wt - B) (A. 12)
Analogamente, a componente da excita930 paramétrica devido ao movimento de pitch
pode ser expressa como sendo:
onde:
xr,, =C,,Q#
(A. 13)
(A. 14)

8 = 8, cos(wt - p5)
e a componente devido à passagem da onda pode ser expressa ~omo sendo:
ou então:
4-
1
L
2
8 g
2 2
Kxe = @p gj(T bo (x) I, - zg0 (x))(uis(-x) coswt + sen("x) sen wt) A) #
sendo:
2
sen wt j(+: (x) -zgbo (x)) sen("s) h)#
8
L
CddC = pg Scos(wt - p)
(A. 17)
(A. 15)
(A. 16)
(A. 18)
(A. 19)
Pode-se observar que em baixas frequências os termos em seno tendem a zero,
enquanto que os termos em cosseno tendem a um, pois se o navio em baixas frequencias
acompanha. o movimento dz onda, o efeito de heave sobre a. excitqlo paramétrica tende a.
anular-se com o efdío da passagem da onda, ou seja, para
então:
2 2
w+O= sen("x)-+O ; cos(c)-+ 1
g g
53

Desde que os movimentos verticais são movimentos harmônicos clefa~ados entre eles, a
soma dos efeitos deve consideras suas amplitudes e fases. A Fig. A.2 mostra que o
deslocamento relativo, para pequenos ângulos de pitch do navio, pode ser aproximado por:
- 2
q= -z+ x8+ 6 cos("x - wt)
g
Fig. 3.2 Deslocamento veiticd relativo
Assumindo que os movimentos de heave e pitch são desacoplados do movimento de
SOU, eles podem ser assumidos como movimentos haimônicos shples com frequência igual à
fi-equência de encontro das onáas. Assim, a amplitude de excitaqão paramétrica composta
pela soma dos três efeitos, pode ser aproxima& como :
(A. 21)

onde:
q=acoswt +b senwf
onde ~3 e pg são as fases dos inovímentos de resposta íinear em heave e pitch,
respectivamente.

Expoentes característicos da equaçiio de Mathieu
A equação de Mathieu pode ser escrita como:
onde os parâmetros a e g são números reais. A equqão de Mathieu é um caso pa-ti~ular do
tipo linear de segunda ordem çom coeficientes periódicos, assim a "Teonía de FloquetW[33] é
aplicável. Uma solução particular da equação pode ser escrita como:
onde ,u é o expoente caracteristico dependente dos parâmetros a e q, e &t) é um função
peiiódiça com período TT ou SE= A solução geral da equagão @. 1) pode-se expressar como:
onde A e B são constantes arbitrárias. A solugão da equapão @.I) é assumida eskivel se
permanece limitada quando z tende ao infinito, caso contrário é assumida como sendo
instável,
Desde que &t) é uma funFão periódica em t, a estabiliáade cia solugão depende de p.
O expoente caracteiistico p pode ser considerado real ou imaginiíiio, mas niio complexo
[33]. Assim, urna solução do tipo dado em (B.3) é instável se p é real e é estável se y é
imaginário.

Funções de Mathieu
Quando a solu@o é periódica com período n ou Sn, ir, dita neutra, e é considerada
um caso especial das soluções estáveis. Estas soluções são chamadas por definíção Funções
de Mathieu. e podem ser obtidas por expansão da equaqão (B.1) utilizando o método das
perturbac;ões, como feito por Nayfeh [33], Hooft [34], Abramovitz e Segun [35] ou
Mclachan [36], por exemplo.
Para valores de q diferentes de zero, as isnq6es de Mathieu são denotadas aquí por
C, ( 5 q) e S,,( z, q) ; estas funções definem os limites de estabilidade da equação (33.1) nas
zonas de instabilidade da equapão de Mathieu dadas por a = n 2 , onde n = 1,2,3.. . .
As funFões de Mathieu e os limites de estabilidade da equação (B.l), obtidos pelo
método das perturbações, são dados nas equações (3.4) e (B.5).
2 1
Sel(r,q)= sen z +qsen3z +p (sen3r -k3sen5r )+
q
3 (-sen3z 1
3
+-sm5z 4 +Esen7z 1
)+
9
q 4 (--sen3z 11
9
+-sen5z 1
6
+-sen7z 1
12
+-sen9z 1
180
)+ ...

Sg3(qq)=sen3.c -q(senz --sen5z 1
2
)+q 2 (-senz +-sen7z 1
10
)-
q 3 (-senz 1 --sen5z 7
2 40
--sen9z 1
90
)+
q
4
(sen z +-sen5z
1
4
+-sen7r
17
360
+-senllz
1
1260
)+ ...
Essa curvas caracte;rísticas áividem o plano em regiões de estaididade e insta~dade.

Sn!riçíks nas regiões instaveis
A estabilidade do equilíbrio em sistemas não-lineares pode ser investigada através do
cálculo do expoente caracteristico de uma solução instável. O metodo de Whittake~ C331 6
prático para encontrar soluções estáveis qirandu Iql é pequeno.
Utíiizando o mktodo de Whíttaker procura-se a solu@o associada com a primeira
regiao instável. Se os parâmetros a e q satisfazem os limites de estabiüdade, definidos pe'las
relações (ver Eq. B.5)
a solução da equação @.I), de acordo com as equações (B.3), tem a f om das equações
(B.6) e (B.7):
Para gerar soluções quasí-periódicas nas zonas instáveis, assume-se uma soluçiio na
forma da equação @.2), onde:
4 (t) = sen(t - cr) + a3 cos(3t - o) + b3 sen(3t - ci)
+u~~0~(5t-o)+h~sen(5f-~)+...

sendo cr um novo parâmetro que assume valores entre O e - n/ 2 para as solugões instáveis.
Como Q , q e jtl são funções de o, pode-se assumir que , para pequenos valores de (ql, na
primeira região instável :
onde f e g são funções de 0- Substituhdo a equação (B.2) na equaqão @.I) 05iem-se:
Substituindo as equações (B.8) e (B.9) na equagão (B.1) e equacionando para a
mesma potência de q , obtém-se:
3
p= 4q sen 0- 12q senso+.. .
2 3
a= l+ 8qcos2o-+ q (-16+ 8cos40)-8q cos2a+ ...
Analogamente, a solução associada à segunda região de instatriliúade, para a,:! e Q, fica
sendo:

Para a terceira região de instabiiidade, entre a,3 e ad, obtém-se:
Eliininando o parâmetro o nas equaçães (B.11), p.13) e (B.15), obtém-se as
equações para a estabilidade do equilíbrio da equação (5.9) para a e em funqb de q, na
forma: