4. Teorema de Green

Seja F o campo vectorial dado por
F = (y 2 , x).
Aplicando o Teorema de Green, obtemos:
2
∂F2 ∂F1
F · dr =
− dydx =
Γ
A ∂x ∂y
0
2
0
2
= y − y 2
2
2
dx = −2 dx = −4.
0
0
**
0
1 − 2y dy dx
Seja A a região limitada pelas parábolas y = x 2 e y = −x 2 + 2 para x > 0.
Seja F = (F1, F2) o campo vectorial
.
. .
.
.
.
. .
F = (xy, x).
Pelo Teorema de Green, temos
F · dr =
1 − x dxdy =
Γ
=
A
1
0
4 x
=
2
y − xy
−x 2 +2
x 2
dx =
− 2
3 x3 − x 2 + 2x
**
1 −x2 +2
0 x2 1
1
0
0
.
= 5
6 .
1 − x dy dx
2x 3 − 2x 2 − 2x + 2 dx
Caso A1 e A2 sejam duas regiões do plano, tal como ilustra a figura seguinte, onde
se possa aplicar o Teorema de Green, vamos ver que a fórmula (1) do Teorema de Green
vale ainda para a união A = A1 ∪ A2.
5