TÉCNICAS HEURÍSTICAS PARA OPTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA

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Técnicas Heurísticas para Optimização Combinatória Jorge P. J. Santos BREVE INTRODUÇÃO À COMPLEXIDADE COMPUTACIONAL Problema P Tamanho de uma instância n Algoritmo A (codificada em binário) TEMPO Nº de operações elementares (somas, comparações, …) “Worst Case” 10n 3 + 5n 2 (pior dos casos) “rate of growth” O(n 3 ) (taxa de crescimento) [bons] Algoritmos Polinomiais Algoritmos exponenciais [Maus] O(n 3 ) O(n ln n) O(2 n ) Classificação dos algoritmos - “recognition problems” - as classes P e N P - problemas NP-completos - problemas FÁCEIS e DIFÍCEIS 19 Técnicas Heurísticas para Optimização Combinatória Jorge P. J. Santos Crescimento de funções polinomiais e exponenciais Função Valores aproximados n 10 100 1 000 n ln n 33 664 9 966 n 3 1 000 1 000 000 10 9 10 6 n 8 10 14 10 22 10 30 2 n 1 024 1.27×10 30 1.05×10 301 n log n 2 099 1.93×10 13 7.89×10 29 n! 3 628 800 10 158 4×10 2567 Os algoritmos polinomiais aproveitam melhor a tecnologia Função Tamanho do problema resolvido num dia 20 Idem num computador dez vezes mais rápido n 10 12 10 13 n ln n 0.948×10 11 0.87×10 12 n 2 10 6 3.16×10 6 n 3 10 4 2.15×10 4 10 8 n 4 10 18 2 n 40 43 10 n 12 13 n log n 79 95 n! 14 15 Fonte: Papadimitriou and Steiglitz, 1982
Técnicas Heurísticas para Optimização Combinatória Jorge P. J. Santos Análise do “Worst Case” → garantia absoluta → independente do COMPUTADOR da IMPLEMENTAÇÃO das “INSTÂNCIAS” PARTICULARES → medida muito conservadora (PESSIMISTA) → retrata “mal” a PERFORMANCE EFECTIVA de um algoritmo Análise Probabilística → assume hipóteses sobre a distribuição probabilística dos INPUTS e deriva resultados analíticos sobre a distribuição dos OUPUTS → geração de “instâncias” aleatórias (SIMULAÇÃO) PROGRAMAÇÃO LINEAR - LP SIMPLEX Dantzig 1947 ELIPSOÍDE Khachian 1979 MÉTODOS PROJECTIVOS Karmarkar 1984 21 Técnicas Heurísticas para Optimização Combinatória Jorge P. J. Santos Alguns problemas fáceis → Transportes → Afectação → Árvore Geradora de Custo Mínimo → Caminho Mais Curto → Fluxo Máximo → Fluxo de Custo Mínimo → Programação Linear Alguns problemas difíceis → Mochila 0-1 → Mochila Inteiro → Caixeiro Viajante → Localização Sem/Com capacidades → Cobertura de Conjuntos → Partição de Conjuntos → Empacotamento de Conjuntos → Programação Inteira Binária → Programação Inteira → Programação Inteira Mista 22
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