TÉCNICAS HEURÍSTICAS PARA OPTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA

Técnicas Heurísticas para Optimização Combinatória Jorge P. J. Santos
3 Problema do Fluxo Máximo
Definição do Problema
Este problema consiste em determinar o fluxo máximo que pode ser
enviado de um nó inicial s para um nó terminal t num grafo da forma
2
6
5
9 3 7
3
4
t
1 3 14 6
7
8
s
2 3
4
1
3
7
3
capacidade
do arco (i,j)
Formulação Matemática do Problema
Parâmetros
N = {1,2,3,4,5,6,7,8} representa o conjunto de nós
A = {(1,2),(1,4),(2,3),(2,5),(3,6),(4,3),(4,7),(5,3),(5,8),(6,5),(6,7),(6,8),(7,8)}
representa o conjunto de arcos
uij ((i,j)∈A) representa a capacidade do arco (i,j)
Variáveis:
xij ((i,j)∈A) representa a quantidade de fluxo que atravessa o arco (i,j)
f representa o fluxo a enviar do nó s para o nó t
Função objectivo
maximize z = f
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Técnicas Heurísticas para Optimização Combinatória Jorge P. J. Santos
Restrições
1. A quantidade de fluxo que sai do nó s é igual a f
x12 + x14 = f ⇔ ∑ xsj
− ∑ x js = f
j:
( s,
j)
∈ A j:
( j,
s)
∈A
2. A quantidade de fluxo que entra no nó t é igual a f
x58 + x68 + x78 = f ⇔ ∑ xtj
− ∑ x jt = − f
j:
( t,
j)
∈ A j:
( j,
t)
∈A
3. A quantidade de fluxo que sai do nó i menos a quantidade de fluxo
que entra no mesmo nó é igual a zero
x23 + x25 − x12 = 0
x36 − x23 − x43 − x53 = 0
x43 + x47 − x14 = 0
x53 + x58 − x25 − x65 = 0
x65 + x67 + x68 − x36 = 0
x78 − x47 − x67 = 0
⇔ ∑ x ij − ∑ x ji = 0 (i≠s,t)
j:
( i,
j)
∈A j:
( j,
i)
∈A
4. A quantidade de fluxo que atravessa o arco (i,j) não pode ultrapassar
a sua capacidade nem ser negativo
Programa Linear
0 ≤ x ij ≤ u ij , (i,j)∈A
maximize z = f
sujeito a
⎧ f
⎪
∑ xij
− ∑ x ji = ⎨ 0
j:
( i,
j)
∈A j:
( j,
i)
∈A
⎪
⎩−
f
se
se
se
i = s
i ≠ s,
t
i = t
0 ≤ x ij ≤ u ij , (i,j)∈A
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