TÉCNICAS HEURÍSTICAS PARA OPTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA

Técnicas Heurísticas para Optimização Combinatória Jorge P. J. Santos
4 Problema do Fluxo de Custo Mínimo
Definição do Problema
Este problema consiste em determinar a forma como deve ser distribuído o
fluxo num grafo de modo a que os requerimentos sejam satisfeitos
Formulação Matemática do Problema
Parâmetros
N = {1,2,3,4,5,6,7,8} representa o conjunto de nós
A = {(1,2),(1,4),(2,4),(2,5),(3,2),(3,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,7),(5,8),(7,6),(7,8)}
representa o conjunto de arcos
cij ((i,j)∈A) representa o custo unitário de atravessar o arco (i,j)
bi (i∈N) representa o requerimento do nó i
Variáveis:
[45]
[45]
3
1
[20] 2
3
3
xij ((i,j)∈A) representa a quantidade de fluxo que atravessa o arco (i,j)
Função objectivo
8
2
1
4
[0]
4
3
5
[0]
2
minimize z =
( ) ∑ c ij xij
i,
j ∈A
7
7
5
6
6
7
8
1
4
[−50]
[−20]
[−40]
Requerimento
do nó i
Custo unitário de
atravessar o arco (i,j)
Técnicas Heurísticas para Optimização Combinatória Jorge P. J. Santos
Restrições
1. A quantidade de fluxo que sai do nó i menos a quantidade de fluxo
que entra no mesmo nó é igual ao requerimento desse mesmo nó
x 12 + x 14 = 45
x 24 + x 25 − x 12 − x 32 = 20
x 32 + x 35 = 45
x 46 + x 47 − x 14 − x 24 − x 54 = 0
x 54 + x 57 + x 58 − x 25 − x 35 = 0
− x 46 − x 76 = −50
x 76 + x 78 − x 47 − x 57 = −20
− x 58 − x 78 = −40
8
⇔ ∑ x ij − ∑ x ji = bi
j:
( i,
j)
∈ A j:
( j,
i)
∈A
(i∈N)
2. A quantidade de fluxo que atravessa o arco (i,j) não pode ser
negativo
Programa Linear
minimize z =
( ) ∑ c ij xij
i,
j ∈A
x ij ≥ 0, (i,j)∈A
sujeito a ∑ x ij − ∑ x ji = bi
j:
( i,
j)
∈ A j:
( j,
i)
∈A
x ij ≥ 0, (i,j)∈A
(i∈N)