A interligação da matemática com a história - Universidade Estadual ...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
COORDENAÇÃO DO CURSO DE MATEMÁTICA – UNIDADE DE DOURADOS
ROBSON FANTINATO CAJU
A interligação da matemática com a história Árabe
Orientação
Prof. Dr. Marcelo Sales Batarce
Dourados – MS
2010
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
COORDENAÇÃO DO CURSO DE MATEMÁTICA – UNIDADE DE DOURADOS
A interligação da matemática com a história Árabe
ROBSON FANTINATO CAJU
Trabalho de Conclusão de
Curso apresentado à
Coordenação do Curso de
Matemática da Universidade
Estadual de Mato Grosso do
Sul, como requisito parcial para
obtenção de título de
Licenciado em Matemática.
Orientação: Prof. Dr. Marcelo Sales Batarce
Dourados - MS
2010
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Ficha catalográfica elaborada pelo serviço de biblioteca e
documentação da UEMS
C139i Caju, Robson Fantinato
A interligação da matemática com a história árabe/ Robson
Fantinato Caju. Dourados: UEMS, 2010.
51p. ; 30cm..
TCC (Trabalho de Conclusão de Curso ( Matemática) –
Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul, 2010.
Orientador: Prof. Dr. Marcelo Sales Batarce.
1.Matemática 2. História 3. Educação 4. Malba Tahan. I.Título.
CDD 20.ed. 510
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Robson Fantinato Caju
A interligação da matemática
com a história Árabe.
Aprovada em: 10 /12 / 2010
Folha de Aprovação
Banca Examinadora
Prof. Dr. Marcelo Sales Batarce [Orientador]
Instituição: UEMS. Assinatura:_______________________________________
Prof. Dra.Loudes Stefanello
Instituição: UEMS. Assinatura_______________________________________
Prof. Dr. Dr. Lucélio Ferreira Simião
Instituição: UEMS. Assinatura_______________________________________
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Trabalho de conclusão de curso
apresentado à comissão de Graduação da
Universidade Estadual do Mato Grosso do
sul, como parte das exigências para
obtenção do titulo de graduado em
licenciatura.
Área: Historia da Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Marcelo Sales Batarce

Dedicatória
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Dedico este trabalho aos meus pais
João Zacarias caju e a Rosa Fantinato
Mariano Caju, que marcaram minha
história e minhas buscas, acreditando
em meus ideais e mostrando-me o
caminho da humildade e esperança.

Agradecimentos
Em cada trecho deste caminho e desta procura intensa, pessoas
revelaram-se grandes amigos, companheiros e sábios em suas palavras e
ações. Em especial, o meu muito obrigado:
ao professor Batarce, que de forma singular, entrou em meu barco de
idéias e esperanças, me conduzindo e me acompanhando em um caminho
distante sobre a cultura árabe;
a Odíla Fantinato e Maria Pureza Caju , que me incentivaram a nunca
desistir de meus sonhos.
as companheiras de turma Vanessa, Jessica, Tiake, Jonas, Maristela,
Maria luzimar, Claudia, Eloíza, Edilene, Vanessa s., Valdir e outros que
sempre me ajudaram a desenvolver meu trabalho com idéias e pesquisa de
material.
e nunca esquecendo de Deus, que sabia de toda minha trajetória e de
minhas pretensões .
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―O que conhecemos de nós mesmos não é senão superfície. A profundidade
permanece-nos em grande parte oculta. Só Deus a conhece. Quem procura a
verdade procura Deus, ainda que não o saiba.‖
EDITH STEIN

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CAJU, R. F. A interligação da matemática com a história
Árabe. 2010. Tese (Graduação) - Universidade Estadual do Mato
Grosso do Sul, Dourados, 2010.
RESUMO
Este trabalho foi desenvolvido em uma pesquisa bibliográfica sobre o
surgimento do Império Árabe que teve a sua constituição apartir da origem do
Islamismo, sendo uma sociedade foi fundada pelo profeta Maomé. Foi após a
morte do profeta Maomé, que a Arábia foi unificada. A partir desta união,
impulsionada pela doutrina religiosa islamita, foi iniciada a expansão do império
árabe. Além de contarem com a noção do zero, inexistente nos algarismos
romanos utilizados até então, contavam com dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 e 9), proporcionando uma escrita muito mais simples dos números do que os
sete símbolos romanos (I, V, X, L, C, D e M). Foi à grafia própria dos árabes
ocidentais que atingira os povos cristãos da Europa medieval a partir da
Espanha, antes de dar origem aos algarismos que hoje conhecemos. Uma
demonstração integral da universalidade do Islão e da fraternidade e igualdade
entre os muçulmanos é a resposta ao chamado de Deus, os muçulmanos de
todas as idades, de todas as classes e profissões, vindas de todas as partes do
mundo, reúnem-se em Meca. Desta forma quando se deparam diante da
formas de numeração e dos métodos de cálculo que vieram da Índia, os árabes
souberam apreciar suas vantagens, reconhecendo a sua superioridade e
adotá-los em sua vida. No século XI, a atividade dos tradutores e dos
compiladores de obras árabes, gregas ou hindus floresceu na Espanha
desenvolvendo um grande papel para o surgimento de grandes escritores. Esta
querela durou vários séculos e, mesmo após a evidente vitória dos algoristas, o
uso do ábaco continuou. No século XVIII ele ainda era ensinado. No mundo
ocidental somente após a Revolução Francesa marcou-se o fim deste capítulo
na história dos contadores mecânicos. A história diz que foi exatamente por
causa do peso dos contadores que estes foram abolidos das escolas e
administrações públicas. Abu Abd Allah Muhammad ibn Musa AL-Khowarizmi
foi um matemático árabe que era originário de Khowarezm, a região a sul do

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mar Aral, na altura da Pérsia ocupada pelos Árabes. Foi um dos primeiros
matemáticos a trabalhar na Casa da Sabedoria, Seu livro que eternizou seu
nome é o livro do cálculo Algébrico e confrontação, que não somente deu o
nome de Álgebra a esta ciência, em seu significado moderno, mas abriu uma
nova era da matemática. Através do título de seu livro mais importante, Al-jabr
Wa‘l muqabalah, Al Khawarizmi nos deu uma palavra ainda mais familiar, do
titulo desse livro veio o termo álgebra, anos mais tarde a Europa aprendeu o
ramo da matemática que tem esse nome. A tradução latina do livro ―Álgebra‖
de AL-Khowarizmi se inicia com uma breve explanação introdutória do principio
posicional para números e daí passa à resolução, em seus seis capítulos
curtos, dos seis tipos de equações formadas com a três espécies de
quantidades: raízes, quadrados e números.Leva inevitavelmente a concluso de
que a álgebra árabe tinha muito em comum com a geometria grega; no
entanto, a primeira parte, aritmética, da álgebra de al-Khowarizmi
evidentemente é estranha ao pensamento grego. Já noção de número e suas
extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da
humanidade.
Palavras chaves: Matemática, história, educação, e álgebra.

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CASHEW, R. F . The connection of mathematics with
Arabian history. 2010. of completion of course work
(Undergraduate) - University of Mato Grosso do Sul, Dourados,
2010.
ABSTRACT
This study was conducted in a bibliographic research on the emergence of the
Arab Empire which had its constitution apartir the origin of Islam, being a
society was founded by the prophet Muhammad. It was after the death of the
Prophet Muhammad, Arabia was unified. From this union, driven by Islamic
religious doctrine, began the expansion of the Arab empire. In addition to
providing the concept of zero, zero in Roman numerals used until then, had ten
symbols (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9), providing a much simpler writing of
numbers of the seven Roman symbols (I, V, X, L, C, D and M). Was itself the
spelling of the Arabs that had befallen the Western Christian peoples of Europe
from medieval Spain, before giving rise to the figures we know today. A full
demonstration of the universality of Islam and brotherhood and equality among
Muslims is the answer to the call of God, Muslims of all ages, from all walks of
life, coming from all over the world gather in Mecca . Thus when presented
before the numbering forms and methods of calculation which came from India,
the Arabs were able to enjoy its advantages, recognizing its superiority and
adopt them in your life. In the eleventh century, the activity of translators and
compilers of works Arabs, Greeks and Hindus flourished in Spain developing a
large role in the emergence of great writers. This quarrel lasted for several
centuries and even after the apparent victory of the algor, the continued use of
the abacus. In the eighteenth century it was still taught. In the Western world
only after the French Revolution was marked the end of this chapter in the
history of mechanical counters. The story says it was exactly because of the
weight of these counters have been abolished from schools and public
administrations. Abu Abd Allah Muhammad ibn Musa Al-Khowarizmi was an
Arab mathematician who was from Khowarezm, the region south of the Aral
Sea, at the height of Persia occupied by Arabs. One of the first mathematicians

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to work in the House of Wisdom, his book that his name is immortalized in the
book Algebraic calculation and confrontation, which not only gave the name of
this algebra to science in its modern meaning, but opened a new era of Math.
Through the title of his most important book, Al-Jabr wa'l muqabalah, Al
Khawarizm gave us a word more familiar, the title of this book came the term
algebra, years later Europe learned the branch of mathematics that takes its
name . The Latin translation of "Algebra" AL-Khowarizmi begins with a brief
introductory explanation of the principle for positional numbers and then passes
the resolution, in its six short chapters, the six types of equations formed with
three kinds of quantities: root , squares and números.Leva inevitably to
conclusions that Arabic algebra had much in common with Greek geometry,
however, the first part, arithmetic, algebra al-Khowarizmi obviously is alien to
Greek thought. Since the concept of number and its extraordinary
generalizations are intimately related to the history of mankind.
Keywords: mathematics, history, education, and algebra.

SUMÁRIO
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DEDICATÓRIA....................................................................................................V
AGRADECIMENTOS.........................................................................................VI
RESUMO..........................................................................................................VIII
ABSTRACT.........................................................................................................X
1. INTRODUÇÃO...............................................................................................13
2. A HISTÓRIA ÁRABE.....................................................................................23
2.1 - COMO A HISTÓRIA ÁRABE SE DESENVOLVEU...................................23
3. A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ÁRABE.....................................................28
3.1-SURGIMENTOS DO ALGARISMO-ARÁBICO................................28
3.2 - ABACISTAS X ALGORISTAS...................................................................34
3.3 - UM PROFETA MATEMÁTICO - AL-KHOWARIZMI..................................36
3.4 - EQUAÇÕES QUADRÁTICAS E A GEOMETRIA......................................39
3.5 - PROBLEMAS ALGÉBRICOS....................................................................42
3.6 - NUMERAIS ARÁBICOS E A TRIGONOMETRIA......................................43
CONCLUSÃO....................................................................................................50
REFERÊNCIAS.................................................................................................51

1. INTRODUÇÃO
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Neste trabalho apresento um estudo bibliográfico no qual analiso pontos
importantes da ciência árabe. Comecemos por antecipar alguns tópicos sobre a
história árabe e sobre o que ela trouxe de contribuição para a educação
matemática.
A matemática árabe começou com a tradução dos Siddanthas hindus
por Al-Fazari e culminou com o surgimento de uma figura de grande
importância: Muhammad Ibn Musa AL-Khowarizmi. Por volta de 825 A.C, o
escritor Al-Khwarizmi escreveu vários tratados sobre matemática e astronomia.
Esses tratados explicavam o sistema de numeração hindu.
A Europa ficou conhecendo esse sistema graças a uma cópia latina do
século XII, visto que o original árabe se perdeu. A astronomia de Al-Khowarizmi
era um resumo dos Siddanthas, o qual mostrava uma influência grega nos
textos sânscritos. Os árabes tiveram um papel muito importante na história da
matemática, pois traduziram, fielmente, os clássicos gregos (Apolônio,
Arquimedes, Euclides, Ptolomeu e outros). Esses clássicos estariam perdidos
para nós sem os árabes, visto o fechamento da escola de Atenas por
Justiniano.
Outro matemático brilhante foi Omar Khayyam. Ele escreveu uma
álgebra que continha uma investigação sistemática de equações cúbicas,
utilizando a interseção de duas seções cônicas. Jemshid Al-Kashi, matemático
Persa resolveu equações cúbicas por iteração e por métodos trigonométricos, e
também pelo método conhecido hoje como método de Horner, utilizado para se
calcular os polinômios. Esse método tem forte influência chinesa, o que nos faz
pensar que a matemática chinesa da dinastia Sung havia penetrado
profundamente no mundo islâmico.
Convém ressaltar, também, que os muçulmanos, ao expandir o
islamismo, cometeram um dos maiores crimes contra a humanidade. Após a
queda de Alexandria frente aos muçulmanos, o califa mandou queimar todos os
manuscritos encontrados na biblioteca de Alexandria (cerca de 600.000 a.C)
argumentando que: se constam do alcorão não precisam ser guardados e se
não constam são inúteis. Conta à lenda que os escritos alimentaram as

caldeiras dos banhos durante seis meses.
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É preciso lembrar, também, o papel das cruzadas. Com as cruzadas, a
Europa cristã teve, novamente, contato com a matemática grega, traduzida
para o árabe. Isso veio influenciar muito a Europa medieval e serviu como fonte
para o desenvolvimento da sua matemática durante a idade média. Nesse
período houve um líder religioso chamado Maomé, que durante a primeira
parte da sua vida era um mercador e realizou extensas viagens no contexto do
seu trabalho. Segundo a doutrina islâmica, em 610 a.C. ele ouve a voz do
arcanjo Gabriel enquanto medita no Monte Hirã. Ele aprende os ensinamentos
que vieram compor o Alcorão, que lhe teriam sido revelado por Deus. As
pregações de Maomé sensibilizam os mais pobres e desagradam às classes
dominantes de Meca.
A cidade de Meca (pronunciado mɛkə, também chamado Makka é a
terceira maior cidade da Arábia Saudita, considerada o local mais sagrado de
reunião da religião islâmica. A tradição islâmica atribui o início de Meca aos
descendentes de Ismael. No século VII, o profeta islâmico Maomé proclamou o
Islamismo na cidade, então um importante centro comercial, e a cidade
desempenhou um papel importante na história inicial do Islã.
Como legados tecnológicos do mundo Islâmico Medieval, podemos
enumerar principalmente duas coisas: os algarismos arábicos e a pólvora.
Aliás, na História da Humanidade, ao lado do fogo e da roda, a pólvora é a
invenção mais revolucionária de todos os tempos. É importante lembras que a
pólvora não foi propriamente uma invenção árabe e sim chinesa. Aos árabes
coube, portanto, seu aperfeiçoamento.
Durante toda sua história, a ciência chinesa sofreu com vários
problemas, que impediram sua continuidade e aprimoramento. Em 213 a.C. o
imperador da China mandou queimar os livros existentes. Mesmo que algumas
cópias tenham sido salvas, a perda foi irreparável. No século XX, Mao-Tsé-
Tung, com sua ―Revolução Cultural‖ também promoveu uma queima
generalizada de livros, considerados ―subversivos‖.
Provavelmente houve contato cultural entre Índia e China e entre a
China e o ocidente. Muitos dizem que houve influência Babilônica na
matemática chinesa, apesar de que a China não utilizava frações
sexagesimais. O sistema de numeração chinês era decimal, porém com

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notações diferentes das conhecidas na época. Eles utilizavam o sistema de
―barras‖ (I, II, III, IIII, T). Não podemos precisar a idade desse sistema de
numeração, porém sabe-se que ele é anterior ao sistema de notação
posicional. Essa notação em barras não era simplesmente utilizada em placas
de calcular (escrita). Barras de bambu, marfim ou de ferro eram carregadas em
sacolas pelos administradores para que os cálculos fossem efetuados. Esse
método era mais simples e rápido do que o cálculo realizado com ábaco,
soroban ou suan phan.
Os chineses conheciam as operações sobre frações comuns, utilizando
o m.d.c. Trabalhavam com números negativos por meio de duas coleções de
barras (vermelha para os coeficientes positiva e preta para os negativos),
porém não aceitava números negativos como solução de uma equação. A
matemática chinesa é tão diferente da de outros povos da mesma época que
seu desenvolvimento ocorreu de forma independente. Lui Hui, no terceiro
século, determinou um valor para PI utilizando, primeiro um polígono regular
com 96 lados (3,14) e depois utilizando um polígono regular com 3072 lados (3
14159).
Sabe-se que a partir da idade média na Europa, a matemática chinesa
não tinha realizações que se comparassem às européias e do oriente próximo.
Possivelmente, a China absorvia mais matemática do que enviava.
Possivelmente, também, as ciências chinesas e hindus sofreram influências
mútuas durante o primeiro milênio de nossa era.
Já na metade do século IX, os árabes se tornaram especialistas em
cálculo e passaram a manejar os números elevados com mais facilidade ainda,
na medida em que os algarismos e métodos de origem hindu facilitavam a
prática de todas as operações aritméticas. Os hindus criaram métodos de
cálculos que são feitos por apenas nove sinais. A referência a nove, e não dez
símbolos significam que o passo mais importante dado pelos hindus para
formar o seu sistema de numeração a invenção do zero, que ainda o Ocidente
não conhecia, tudo isso ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram
necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a
introdução do décimo sinal o zero o sistema de numeração tal qual o
conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que você

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aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram
bastante. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábico.
A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia,
um ovo de ganso, redondo - ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram
necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a
introdução do décimo sinal - o zero - o sistema de numeração tal qual o
conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que você
aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram
bastante.
Os algarismos tiveram no início uma forma bastante próxima da grafia
hindu de origem, mas, com o tempo e passado alguns séculos, os árabes
fizeram evoluir os métodos hindus. Assim, quando se viram diante da formas
de numeração e dos métodos de cálculo que vieram da Índia, os árabes
souberam apreciar suas vantagens, reconhecendo sua superioridade e os
adotaram em sua vida. Ao contrario, os cristãos que viviam na Europa tão
presa a seus sistemas arcaicos e atrasada ficaram duvidosos diante das
novidades, sendo necessário que o estudioso Al-Khowarizmi começasse a
compreender esse novo cálculo matemático como o ―algoritmo‖, tão falado na
época, sendo denominado como cálculo escrito, se tornando definitivo e total
em todas as regiões da Europa.
No século XI, a atividade dos tradutores e dos compiladores de obras
árabes, gregas ou hindus floresceu na Espanha, desenvolvendo um grande
papel para o surgimento de grandes escritores. Lentamente, esse período dos
séculos XII e XIII trouxe ao conhecimento da Europa as obras de Al-
Khowarizmi e de muitos outros que fizeram o mundo e as pessoas crescerem
intelectual e psicologicamente. Com muitas viagens, Al-Khowarizmi acabou
encontrando na região árabe os mestres da matemática árabe que lhe
explicaram a fundo seu grandioso sistema numérico, as regras do cálculo
algébrico e os princípios fundamentais da geometria.
A querela entre ―abacistas‖ (defensores dos números romanos e do
cálculo em ábaco de fichas) e os ―algoristas‖ (defensores do cálculo por
algarismos de origem hindu) durou vários séculos. Mesmo após a vitória dos
novos métodos, o uso do ábaco ainda permaneceu. Foi por causa do peso que
o uso do ábaco foi abolido das escolas e administrações.

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Quando ocorreram as Cruzadas, com as trocas de culturas e
informações com a cultura muçulmana, as guerras por elas implementadas
tentaram introduzir o catolicismo no meio da sociedade árabe. Por sua vez,
uma grande parte do clero aprendeu o cálculo pelo modo de AL-Khowarizmi,
desenhando os números na areia sem recorrer às colunas do ábaco.
Abu Abd Allah Muhammad ibn Musa AL-Khowarizmi foi um matemático,
astrônomo, astrólogo, geógrafo e autor persa, que nasceu em torno de 780 d.C
e morreu por volta do ano 850 d.C. Sua família era originária de Khowarezm,
região ao sul do mar Aral, na altura da Pérsia ocupada pelos Árabes
(atualmente parte do Uzbequistão). Foi um dos primeiros matemáticos a
trabalhar na Casa da Sabedoria, em Baghdad, durante o reinado do califa AL-
Mamum (813-833 d.C).
O livro que eternizou seu nome é o Kitab Al Mukhtassar Fi Hissab Al
Jabr Wal Mukabala (livro do cálculo Algébrico e confrontação), que não
somente deu o nome de Álgebra a essa ciência, em seu significado moderno,
como também abriu uma nova era da matemática. É verdade que em dois
aspectos a obra de AL-Khowarizmi representa um retrocesso com relação à de
Diofante, por tratar de elementos mais elementares alem de não utilizar
qualquer tipo de simbolismo apresentando assim uma álgebra totalmente
retórica, mas por outro lado estava mais próximo da álgebra elementar de hoje
pois continua uma exposição direta e elementar de resoluções de equações,
priciplamente do 2° grau. Para alguns, naquela época Diofante é considerado
o pai da álgebra, principalmente devido a sua inovação com as notações,
sendo o primeiro a usar símbolos na resolução dos problemas algébricos. Os
detalhes da vida desse matemático grego são completamente desconhecidos,
havendo-se conservado suas obras que, transmitidas pelos eruditos árabes,
chegaram à Europa graças a sua tradução para o latim, no século XVI.
Sabe-se que viveu na Idade de Prata (250-350 a. C) da Universidade de
Alexandria, e que sua principal obra foi um grande tratado chamado Arithmetica
(250-275 a.C), um clássico da ciência alexandrina sobre teoria dos números,
numa publicação em 13 livros, dos quais sete desapareceram, sem dúvida a
maior obra da Antigüidade sobre o tema. Um tratado caracterizado pelo alto
grau de habilidade matemática e de engenhosidade, desvinculado da

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matemática grega convencional e voltado para a resolução exata de equações
determinadas e, enfaticamente, de indeterminadas.
Os problemas desenvolvidos por Diofanto eram feito através de
símbolos, como utilizamos hoje também. Para compreendermos melhor como
era feito, vamos comparar os símbolos matemáticos criados por Diofanto com
os que utilizamos atualmente.
• A conhecida incógnita (valor desconhecido) era representada por um símbolo
semelhante ao x.
• O sinal + para simbolizar a soma não existia.
• A subtração era simbolizada pela letra M que significava menos.
• Unidade era abreviada por u (considerada termo independente).
• O símbolo = que significa igualdade, por Diofanto essa igualdade era
representada por: é igual a.
• Quanto ao lado de x estiver o número 1, isso significaria que o coeficiente da
incógnita é a unidade.
• Se 1 não fosse o número que acompanhasse a incógnita, ele representaria
esse outro número por xx.
As potencias já existiam pra Diofanto e a sua representação era feita da
seguinte forma: Q de ao quadrado; C de ao cubo; QQ de ao quadrado e
quadrado; QC de ao quadrado e cubo. Com a queda do Império Romano foi
destruído muitos centros de estudos, assim o estudo e as pesquisas
matemáticas estacionaram, ou seja, a simbologia de Diofanto não saiu do
estagio inicial. Os estudos sobre a matemática (aritmética) voltaram no ano
650, mas agora sobre o domínio do império árabe, seguidores de Maomé.
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas,
encontra-se no homem o sentido do calculo. Também, observadores
competentes dos costumes dos animais opinam que muitos pássaros têm o
sentido do número. Dessas pequenas idéias de números devemos mostrar
algumas formas de cálculos utilizados pelo mundo árabe na história que ainda
hoje são utilizadas.
Após uma leitura sobre o mundo árabe e sua história, percebemos que o
livro ―O Homem que Calculava‖ tinha tudo a ver com a história matemática
árabe, abrangendo os domínios da educação, da matemática, da cultura e da
filosofia orientais, especialmente no mundo árabe e o da narrativa tradicional.

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Após alguns comentários sobre o tema e sobre as idéias do livro iremos
destacar as características de Júlio César de Mello e Souza maravilhosa obra.
A história da matemática se encontra em um lugar de destaque nessa obra de
Malba Tahan.Com base no mestrado da professora Coppe (2001), o exímio
contador de histórias, o escritor árabe Malba Tahan nasceu em 1885 na aldeia
de Muzalit, Península Arábica, perto da cidade de Meca, um dos lugares santos
da religião muçulmana, o islamismo.
A convite do emir Abd el-Azziz ben Ibrahim, assumiu o cargo de
queimação (prefeito) da cidade árabe de El-Medina. Estudou no Cairo e em
Constantinopla. Aos 27 anos, recebeu grande herança do pai e iniciou uma
longa viagem pelo Japão, Rússia e Índia. Morreu em 1921, lutando pela
libertação de uma tribo na Arábia Central.
A melhor prova de que Malba Tahan foi um magnífico criador de enredos
é a própria biografia de Malba Tahan. Na verdade, esse personagem das
areias do deserto nunca existiu. Foi inventando por outro Malba Tahan, que de
certo modo também não existiu efetivamente: tratava-se apenas do nome de
fantasia, o pseudônimo, sob o qual assinava suas obras o genial professor,
educador, pedagogo, escritor e conferencista brasileiro Júlio César de Mello e
Souza. Na vida real, Júlio nunca viu uma caravana atravessar um deserto.
As areias mais quentes que pisou foram as das praias do Rio de
Janeiro, onde nasceu em 6 de maio de 1895. Júlio César era assim, um tipo
possuído por incontrolável imaginação. Precisava apenas inventar um
pseudônimo, mas aproveitava a ocasião e criava um personagem inteiro.
Malba Tahan e Júlio César formaram uma dupla de criação que produziu
69 livros de contos e 51 de Matemática. Mais de dois milhões de exemplares já
foram vendidos. A obra mais famosa, ‗O Homem que Calculava‘, está na 38e
edição. Com o seu pseudônimo, Júlio César propunha problemas de Aritmética
e Álgebra com a mesma leveza e encanto dos contos das Mil e Uma Noites.
Com sua identidade real, foi um criativo e ousado professor, que estava muito
além do ensino exclusivamente teórico e expositivo da sua época, do qual foi
um feroz crítico. "O professor de Matemática em geral é um sádico", acusava.
"Ele sente prazer em complicar tudo." Um sucesso feito de trabalho duro,
lances de esperteza e muita imaginação.

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Um dos maiores incentivadores da carreira de Júlio César de Mello e
Souza foi o seu pai, João de Deus de Mello e Souza. Ou, explicando melhor, a
modesta mesada que seu pai lhe dava nos tempos de colégio. Funcionário do
Ministério da Justiça e com uma escadinha de oito filhos para criar, João de
Deus não podia fazer milagres. O dinheiro era contado. Para comprar uma
barra de chocolate, por exemplo, o jovem Júlio César economizava na
condução durante o final de semana.
Mais velho Júlio César aprendeu a lidar com o descrédito. Quando tinha
23 anos, e era colaborador do jornal carioca O lmparcial, entregou a um editor
cinco contos que escrevera. A papelada ficou jogada vários dias sobre uma
mesa da redação. Sem fazer nenhum comentário, Júlio César pegou o trabalho
de volta. No dia seguinte, reapareceu no jornal. Trazia os mesmos contos, mas
com outra autoria. Em vez de J.C. de Mello e Souza, assinava R.S. Slade, um
fictício escritor americano. Entregou os contos novamente ao editor, dizendo
que acabara de traduzi-los e que faziam grande sucesso em Nova York. O
primeiro deles, A Vingança do Judeu, foi publicado já no dia seguinte e na
primeira página.
Júlio César aprendeu a lição e decidiu que iria virar Malba Tahan. Nos
sete anos seguintes, mergulhou nos estudos sobre a cultura e a língua árabes.
Em 1925, decidiu que estava preparado. Procurou o dono do jornal carioca ‗A
Noite‘, Irineu Marinho, fundador da empresa que se tornaria as atuais
Organizações Globo. Marinho gostou da idéia. ‗Contos de Mil e Uma Noites‘ foi
o primeiro de uma série de escritos de Malba Tahan para o jornal. Detalhista,
Júlio César providenciou até mesmo um tradutor fictício. Tahan viveu sem se
dar conta do patrimônio cultural que construíra. Em um depoimento ao Museu
da Imagem e do Som, declarou-se profundamente arrependido de não ter
seguido a carreira militar, como queria seu pai.
Desde menino, Júlio César de Mello e Souza tinha suas manias.
Algumas completamente malucas, como manter uma coleção de sapos vivos.
Quando vivia em Que luz, às margens do Rio Paraíba do Sul, Júlio César
chegou a juntar 50 sapos no quintal da sua casa. Um dos animais, o
Monsenhor, costumava acompanhá-lo, aos saltos, por suas andanças na
região. Adulto, o professor Júlio César continuou a coleção, dessa vez com
exemplares de madeira, louça, metal, jade e cristal.

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Outras preocupações eram bem mais sérias. Ele sempre se entregou de
corpo e alma à causa das vítimas da lepra, os hansenianos. De cabeça aberta
e sem preconceitos, Júlio César de Mello e Souza editou durante 10 anos a
revista Damião, que pregava o reajustamento social desses Doentes.
A dedicação de Júlio César era tão grande que, no seu testamento,
pediu que lessem, à beira do seu túmulo, uma última mensagem de
solidariedade aos hansenianos. O gênio da Matemática foi um desastre
completo nos números quando era o aluno Júlio César de Mello e Souza, do
Colégio Pedro II, no Rio. Nessa época, seu boletim registrou em vermelho uma
nota dois, em uma sabatina de Álgebra, e raspou no cinco, em uma prova de
Aritmética. Júlio César foi professor de História, Geografia e Física até dedicar-
se à Matemática.
O livro homem que calculava, de autoria do professor Júlio César narra
as aventuras e proezas matemáticas do matemático persa, fictício, criado pelo
autor, que retrata a vida de Beremiz Samir, personagem central de eventos que
se desenrolam nos éculo XIII. O livro apresenta de forma romanceada alguns
problemas, quebra-cabeças e curiosidades da matemática. Em certa passagem
narra, inclusive, uma das lendas da origem do jogo de xadrez. Ao longo da
leitura também se vai conhecendo alguns costumes da cultura Islã.
Beremiz Samir é o protagonista principal da história contada neste livro.
Vivemos em tempos difíceis pra uns e nem tanto pra outros. Durante toda sua
viagem o viajante Beremiz apresenta alguns desafios que se refere à resolução
de problemas como: o problema dos 35 camelos, o problemas dos olhos azuis,
o das pérolas do Rajá, o dos quatro quatros, os problemas de oitos pães e
muitos outros, que foram selecionados pelos conhecimentos matemáticos,
considerando ser sempre a melhor solução aos olhos de Allah.
Não devemos esquecer que o objetivo da matemática não é só resolver
e criar problemas, mas também desenvolver em nós uma grande inteligência e
raciocínio, para perceber um dos melhores caminhos para levar o homem a
sentir o poder do seu pensamento e a magia do seu espírito.
A obra refere-se às contribuições dos árabes e dos hindus para o
conhecimento e o desenvolvimento matemático, afirmando que a matemática
representa uma forma de linguagem, que no dia-a-dia nos tornar mais
necessária aprender, no mundo em que vivemos.

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Podemos dizer que ao longo da narrativa, de Malba Tahan, há várias
biografias de matemáticos famosos, muitas situações que vão contemplar a
construção do conhecimento matemático nas antigas civilizações,
apresentando assim a matemática como uma ciência que se constituiu como
produto cultural da humanidade.
A dimensão histórica se apresenta pelo fato de Malba Tahan situar a
cultura, os costumes, a moral e as crenças da cultura árabe. Foi um caso raro
de professor que ficou quase tão famoso quanto um craque do futebol. Em
classe, lembrava um ator empenhado em cativar a platéia. Escolheu a mais
temida das disciplinas, a Matemática. Criou uma didática própria e divertida,
até hoje viva e respeitada. Ainda está para nascer outro igual.

2. A HISTÓRIA ÁRABE
2.1 - COMO A HISTÓRIA ÁRABE SE DESENVOLVEU
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Após a leitura do livro ―O profeta Maomé‖ do autor Rogerson, iniciemos
este trabalho falando do surgimento do Império Árabe que teve a sua
constituição apartir da origem do Islamismo, a sociedade do islamismo foi
fundada pelo profeta Maomé, nasceu na cidade de Meca no ano de 570 a.C.,
filho de uma família de comerciantes que passou grande parte da juventude
viajando com os pais conhecendo muitas regiões e países, percebendo então
as diferentes culturas e religiões. Durante a primeira parte da sua vida foi um
mercador que realizou extensas viagens no contexto do seu trabalho. Tinha por
hábito retirar-se para orar e meditar.
Em 610, quando Maomé tinha quarenta anos, estava realizando um dos
retiros espirituais numa das cavernas do Monte Hira, e foi visitado pelo anjo
Gabriel, que lhe ordenou que recitasse uns versos enviados por Deus, e
comunicou que Deus o havia escolhido como o último profeta enviado à
humanidade. A partir desse momento, começa sua fase de pregação da
doutrina monoteísta.
Podemos perceber que a divindade, nas religiões monoteístas, é
onipotente, onisciente e onipresente, não deixando de lado nenhum dos
aspectos da vida terrena. Aprendemos que na espiritualidade islâmica, o bem
mais importante em um só Deus, que é considerado todo-poderoso, sendo
ícone moral para os adeptos de religiões monoteístas, exigindo dos fiéis
observâncias de normas de rígidas condutas que são consideradas puras em
seu meio.
Primeiramente, a nova religião encontrou uma grande resistência e
oposição. Antes de Maomé, as tribos árabes seguiam uma religião politeísta
(do grego: Poli, muitos, Théos, deus: muitos deuses), com a existência de
vários deuses tribais. Maomé começou a ser perseguido e teve que migrar para
a cidade de Medina no ano de 622 a.C.
Em Medina o profeta fez uma importante reforma social (comunidade
muçulmana), constituindo alianças e unindo as tribos locais. Muitos se

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converteram e, sob o comando político, religioso e militar de Maomé,
conquistaram Meca. Por volta de 627 a.C Maomé tinha unido Medina sob o
Islão, com o desaparecimento dos seus inimigos internos. Os beduínos, após
um período de batalhas e negociações, tornaram-se aliados de Maomé e
aceitaram a sua religião.
Depois de muito contacto com a cidade e com os muçulmanos, alguns
converteram-se gradualmente. Por esta altura, as revelações que
supostamente tinham visitado Maomé, chegaram ao fim. Ele regressou então a
Meca para tomar posse da Caaba. Maomé colocou os cidadãos de Meca sobre
pressão económica, destinada primeiramente a ganhar a adesão deles ao
Islão.Em Março de 628 a.C, ele partiu para a "peregrinação" a Meca, com 1600
militares que o acompanhavam.
Os naturais de Meca no entanto, puseram travo ao avanço destas forças
nos limites do seu território, em Al-Hudaybiyah. Alguns dias depois, os de Meca
fizeram um tratado com Maomé. Com negociação e o consentimento dos mais
velhos Coraixitas, ele fez uma peregrinação à Kaaba, desarmado. As
hostilidades iriam ter um fim e os muçulmanos iriam conseguir a permissão
para fazer a peregrinação a Meca no próximo ano. O casamento de Maomé
com Habiba, filha de seu antigo inimigo Abu Sufyan, cimentou ainda mais o
tratado.
Após um certo período, o acordo extinguiu-se e a guerra rebentou. Em
Novembro de 629 a.C, aliados de Meca atacaram um aliado de Maomé, o que
levou Maomé a romper o tratado de Al-Hudaybiyah. Após planeamento secreto,
Maomé marchou sobre Meca em Janeiro de 630 a.C com 10.000 combatentes.
Não houve derramamento de sangue. Abu Sufyan e outros líderes de Meca
submeteram-se formalmente. Maomé prometeu uma anistia geral (com
algumas pessoas especificamente excluídas).
Apesar de ele não os ter forçado, muitos habitantes de Meca
converteram-se ao islão. Em Meca, Maomé destruiu os ídolos na Kaaba e em
outros pequenos santuários. Em Medina, Maomé é bem acolhido e
reconhecido como líder religioso. Consegue unificar e estabelecer a paz entre
as tribos árabes e implantando a religião muçulmana que passa a ser aceita e
começa a se expandir pela península Arábica.

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Depois da morte do profeta, que não deixou sucessores, ocorreram
divergências, mas o Islã continuou se expandindo. Conquistou a Pérsia,
Bizâncio, a Península Ibérica, o Norte da África, entre outras regiões. Por fim, o
Islã passou a controlar as principais rotas mediterrânicas.
O Alcorão ou Corão é um livro sagrado que reúne as revelações que o
profeta Maomé recebeu do anjo Gabriel. Este livro é dividido em 114 capítulos,
que contêm muitos ensinamentos, colocando em destaque: onipotência de
Deus (Alá), importância de praticar a bondade, generosidade e justiça no
relacionamento social. O Alcorão também coloca nos seus registros as
tradições religiosas, passagens do Antigo Testamento judaico e cristão. Os
muçulmanos acreditavam na vida após a morte e no Juízo Final, com a
ressurreição de todos os mortos.
A outra fonte religiosa dos muçulmanos é a Suna que reúne os dizeres e
feitos do profeta Maomé. Existem alguns lugares muito importantes para os
muçulmanos, mas são três que são marcados em seus corações: A cidade de
Meca, onde fica a pedra negra, também conhecida como Caaba. A cidade de
Medina, local onde Maomé construiu a primeira Mesquita (templo religioso dos
muçulmanos) e a cidade de Jerusalém, cidade onde o profeta subiu ao céu e
foi ao paraíso para encontrar com Moises. O Islamismo é divido em dois grupos
principais: sunitas e xiitas.
Os sunitas formam o maior ramo do Islão, ao qual no ano de 2006
pertenciam 84% do total dos muçulmanos. A maioria dos sunitas acredita que o
nome deriva da palavra Suna (Sunna), que se refere aos preceitos
estabelecidos no século VIII baseados nos ensinamentos de Maomé e dos
quatro califas ortodoxos. Alguns afirmam, porém, que o termo deriva de uma
palavra que significa "um caminho moderado", referindo-se à ideia de que o
sunismo toma uma posição mais neutra do que aquelas que têm sido
percebidas como mais extremadas, como é o caso dos xiitas e dos caridjitas.
Os sunitas baseiam a sua religião no Alcorão e na Suna, como está registrada
nos livros de hadith.
As coleções hadith de Sahih Bukhari e Sahih Muslim são consideradas
pelos sunitas como as coleções mais importantes. Para além destes dois livros,
os sunitas reconhecem quatro outros livros hadith de autenticidade credível
(apesar de não tão alta como os de Bukhari e de Muslim), todos juntos eles

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constituem os chamados "Seis Livros" ou também referenciados como Kutubi-
Sittah.
Ja os xiitas (em árabe ةي برع لا, Shiat Ali, "partido de Ali") são o segundo
maior ramo de crentes do Islão, constituindo 16% do total dos muçulmanos. Os
xiitas consideram Ali, o genro e primo do profeta Maomé, como o seu sucessor
legítimo e consideram ilegítimos os três califas sunitas que assumiram a
liderança da comunidade muçulmana após a morte de Maomé.
O Islão xiita contemporâneo pode ser subdividido em três ramos
principais: os xiitas dos Doze Imãs( é o pregador no culto islâmica e também
designa os principais líderes religiosos do Islão que sucederam ao profeta Maomé), os
ismaelitas e os zaiditas. Todos estes grupos estão de acordo em relação à
legitimidade dos quatro primeiros Imãs. Porém, discordam em relação ao
quinto: a maioria do xiitas acredita que o neto de Hussein, Muhammad al-
Baquir era o imã legítimo, enquanto que outros seguem o irmão de al-Baquir,
Zayd, sendo por isso conhecidos como zaiditas.
O xiismo zaidita (ou dos partidários do quinto imã) foi sempre minoritário
e encontra-se hoje praticamente limitado ao Iémen. Os xiitas que não
reconheceram Zayd como Imã permaneceram unidos durante algum tempo. O
sexto imã, Jafar al-Sadiq, foi um grande erudito que é tido em consideração
pelos teólogos sunitas. A principal escola xiita de lei religiosa recebe o nome de
"Jafari" por sua causa.
Após a morte de Jafar al-Sadiq, em 765 a.C, ocorre uma cisão no grupo:
uns reconheciam como imã o filho mais velho de al-Sadiq, Ismail (morto em
765), enquanto que para outros o imã era o filho mais novo, Musa (morto em
799). O último grupo continuou a seguir uma cadeia de imãs até ao décimo
segundo, Muhammad al-Mahdi (falecido em 874). Ficaram conhecidos como os
xiita dos Doze, enquanto que os primeiros como ismailitas; o termo xiita é
geralmente usado hoje em dia como sinónimo dos xiitas dos Doze (ou
duodecimâmicos), uma vez que são os xiitas maioritários.
Para os ismailitas, Ismail nomeou o seu filho Muhammad ibn Ismael
como seu sucessor, tendo a linha sucessória dos imãs continuado com ele e
com os seus descendentes. Os ismailitas tornaram-se poderosos no século X
no Norte da África, onde fundam na Tunísia a dinastia dos fatímidas (909-1171)
que em 969 conquista o Egipto (onde fundam a Universidade de Al-Azhar) e a

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Síria. O persa Muhammad al-Darazi declarou que o quarto califa fatímida, al-
Hákim, era Deus, dando origem à religião drusa.
O ismailismo dividiu-se ainda em outros grupos, que orbitavam em torno
de dois irmãos, Nizar (m. 1095) e AL-Mustacli (m. 1101). Os governantes
fatímidas apoiam al-Mustacli e os seguidores de Nizar foram obrigados a fugir,
fixando-se nas montanhas da Síria e da Pérsia.
Os partidários da causa nizari organizam-se num movimento conhecido
como Fidáiyya ("a gente do sacrifício") ou ainda Ta´limiyya ("da doutrinação"), a
que os seus inimigos (entre os quais se encontravam os Cruzados) deram o
nome de Hashishiyya ("assassinos"), devido ao facto dos seus membros serem
consumidores de haxixe.Os Hashishiyya ficaram conhecidos por uma série de
assassinatos políticos. No século XIX, o rei da Pérsia deu o título de Aga Khan
ao imã de uma das subseitas dos ismailitas nizaris, os Qasimshahitas.
Actualmente, a maioria dos ismailitas encontra-se neste grupo.
No século XIX Siyyid Ali Muhammad provoca uma divisão no seio da
comunidade xiita dos Dozes Imãs, ao proclamar-se como manifestação de
Deus, tomando o nome de Báb, "Porta", porque acreditava ter contacto directo
com o décimo segundo imã que tinha desaparecido em 874. Fuzilado em 1850,
um dos seus discípulos, conhecido como Bahá'u'lláh, fundou a Fé Bahá'í, hoje
em dia considerada uma religião independente do islão.
De acordo com os xiitas dos Dozes Imãs, os doze descendentes de Ali
detêm um estatuto especial; eles são inferiores ao profeta, mas superiores ao
comum dos mortais. Eles são vistos como sucessores directos corporais e
espirituais do profeta, infalíveis, inspirados divinamente e escolhidos por Deus.
De acordo com os sunitas, a autoridade espiritual pertence a toda
comunidade. Antes disso, a Arábia era composta por povos semitas que, até o
século VII, viviam em diferentes tribos. Apesar de falarem a mesma língua,
estes povos possuíam diferentes estilos de vida e de crenças. Os beduínos
eram novos nômades e levavam uma vida difícil no deserto, utilizando como
meio de sobrevivência o camelo, animal do qual retiravam seu alimento (leite e
carne) e vestimentas (feitas com o pêlo). Com suas caravanas, praticavam o
comércio de vários produtos pelas cidades da região. Já as tribos coraixitas,
habitavam a região litorânea e viviam do comércio fixo.
Foi após a morte do profeta Maomé, em 632 a.C, que a Arábia foi

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unificada. A partir desta união, impulsionada pela doutrina religiosa islamita, foi
iniciada a expansão do império árabe. Os árabes foram liderados por um califa,
espécie de chefe político, militar e religioso.

3. A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ÁRABE
3.1- SURGIMENTOS DO ALGARISMO-ARÁBICO
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Não se pode negar que muitos gênios, na maioria das vezes, nos irritam
com seus pensamentos e teorias, pois isso se deve ao fato que suas idéias
estão além da nossa limitada compreensão, além de que, seus pensamentos e
visões de linhas arrojadas decifram com maestria questões ligados à ciência,
religião e a condição da natureza humana, mexendo muito com o sentimento
do ser humano.
Quem nunca em sua vida se deteve por alguns instantes a ler sobre os
pensamentos de alguns gênios como: Leonardo Da Vinci, Galileu Galilei, Jesus
Cristo, Gandhi, Al karismi e muitos outros. É baseado nesses grandes gênios,
que muitos livros, tratados, documentários e filmes foram realizados para
eternizar suas idéias e conceitos sobre os mais variados assuntos,
beneficiando as gerações passadas, presentes e futuras da humanidade.
Segundo Boyer (1996), o Mundo Árabe é uma região rica em cultura e
tradições. O império arábico-muçulmano realizou grandes inovações, re-
introduzindo na Europa os textos Gregos que haviam sido esquecidos. Além
disso, a criação dos chamados algarismos arábicos revolucionou a matemática
e é seguramente a forma mais perfeita de representação numérica já
inventada.
Além de contarem com a noção do zero, inexistente nos algarismos
romanos utilizados até então, contavam com dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 e 9), proporcionando uma escrita muito mais simples dos números do que os
sete símbolos romanos (I, V, X, L, C, D e M). Tais algarismos foram, na
verdade, criados pelos hindus e aperfeiçoados pelos árabes. Foi à grafia
própria dos árabes ocidentais que atingira os povos cristãos da Europa
medieval a partir da Espanha, antes de dar origem aos algarismos que hoje
conhecemos. Como os árabes atingiram nessa época um nível científico e
cultural superior aos dos povos ocidentais, estes significados acabaram
recebendo nas gerações consecutivas a denominação de algarismos arábicos.
Algumas tecnologias foram desenvolvida com as idas peregrinações a

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Meca, se tornaram mais fáceis se aprender novos cálculos matemáticos, pois
era obrigatório pelo menos uma vez na vida, para qualquer muçulmano,
homem ou mulher, que for mental, financeira e fisicamente apto, sendo que o
peregrino tem de ter possibilidades financeiras para cobrir os gastos pessoais e
familiares, pagar as suas dívidas ou pelos menos aprovisionar as mesmas, até
a peregrinação acabar. É proibido ao crente contrair uma dívida para poder
cumprir com este preceito, pondo em risco a sobrevivência da família.
Durante a Peregrinação o tema predominante é a paz, e a oração com
Deus e com a própria alma, paz com seus semelhantes. É estritamente
proibido perturbar a paz de qualquer pessoa ou criatura, seja de que maneira
for. Uma demonstração integral da universalidade do Islão e da fraternidade e
igualdade entre os muçulmanos é a resposta ao chamado de Deus, os
muçulmanos de todas as idades, de todas as classes e profissões, vindas de
todas as partes do mundo, reúnem-se em Meca.
Os árabes conheceram a aritmética hindu graças às facilidades de
relação com esse povo. Logo acabaram ganhando também todos os países
irmãos do Magreb (região africana que abrange Marrocos, Sahara Ocidental,
Argélia e Tunísia (Pequeno Magreb ou Magreb Central), e também a
Mauritânia e a Líbia (Grande Magreb).
Até então, percebemos que os calculadores árabes ocidentais haviam
aprendido os métodos arcaicos que os hindus traziam da sua experiência em
cálculos. Contudo, já na metade do século IX, os árabes se tornaram
especialistas em ―cálculo na areia‖ e passaram a manejar os números elevados
com mais facilidade ainda, na medida em que os algarismos e métodos de
origem hindu facilitavam a prática de todas as operações aritméticas.
Os algarismos tiveram no início uma forma bastante próxima da grafia
hindu de origem, mas passado alguns séculos, eles fizeram evoluir os métodos
hindus assumindo pouco a pouco sua escrita arábica já nos países mouros,
diferente da escrita hindu de seus primos do Oriente próximo.
Os árabes ocidentais os denominaram algarismos ―ghobar‖, palavra que
significa ―poeira‖, simplesmente por causa da poeira fina com a qual os
calculadores costumavam salpicar suas tábuas para traçar os algarismos e
efetuar deste modo todo tipo de operações.
Desta forma quando se deparam diante da formas de numeração e dos

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métodos de cálculo que vieram da Índia, os árabes souberam apreciar suas
vantagens, reconhecendo a sua superioridade e adotá-los em sua vida. Com a
queda do Império Romano, até o final da Idade Média a forma de se ensinar na
Europa foi muito rudimentar, os privilegiados que recebia algum tipo de ensino
aprendiam inicialmente a ler e escrever, para ver se tinha capacidade de
ensinar outras pessoas.
Após este primeiro passo começavam a aprender a gramática, a
dialética, a retórica e às vezes a teoria musical. Em seguida recebiam aulas
muito básicas de astronomia e geometria. Ao mesmo tempo, lhes ensinavam a
contar nos dedos e a escrever e ler os algarismos romanos, e nada mais, já
que a iniciação à arte do cálculo não chegava a fazer parte do programa, então
só estudava quem queria e alguns curiosos.
Os estudiosos que estavam sendo conduzido ás práticas nas operações
aritméticas, mesmo os mais aplicados, que se dedicavam aos estudos não
estavam preparados nessa época para alcançar o conhecimento dos árabes,
pois eram cálculos muitos difíceis.
Nesta época as pessoas já tinham um grande respeito voltado aos
calculadores, pois já se demonstrava a que ponto as técnicas de calcular eram
de fato difíceis. Em outras palavras, os números arábicos um, dois, três e
quatro foram baseados em traços que formam ângulos, assim:
a)O número um tem um ângulo,
b)O número dois tem dois ângulos aditivos,
c)O número três tem três ângulos aditivos,
d) O número quatro tem quatro ângulos aditivos.
Teoricamente, devido à escrita cursiva, o número quatro teria sido
modificado e fechado, facilitando a sua caligrafia e futura tipografia, tornando-o
diferente, por exemplo, do símbolo da cruz. Já o número zero, era
representado por um circulo, indicando a ausência de ângulos.As origens da
álgebra ou operacoes ordinarias se encontram na antiga Babilônia, cujos
matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado, com o qual
puderam fazer cálculos algébricos.

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Com esse sistema eles foram capazes de aplicar fórmulas e calcular
soluções para incógnitas para uma classe de problemas que, hoje, seriam
resolvidos como equações lineares, equações quadráticas e equações
indeterminadas.
Por outro lado, a maioria dos matemáticos egípcios desta era e a maioria
dos matemáticos indianos, gregos e chineses do primeiro milénio a.C.
normalmente resolviam estas equações por métodos geométricos, como
descrito no Papiro Rhind, Sulba Sutras, Elementos de Euclides e Os Nove
Capítulos da Arte Matemática.
Os estudos geométricos dos gregos, consolidado nos Elementos, deram
a base para a generalização de fórmulas, indo além da solução de problemas
particulares para sistemas gerais para especificar e resolver equações. O nome
"álgebra" surgiu do nome de um tratado escrito por Al-Khowarizmi, um
matemático nascido na Pérsia por volta de 800 d.C. em Khwarizmi, atualmente
no Uzbequistão, e que viveu em Bagdá na corte do califa Al Manum.
Abu Abd Allah Muḥammad ibn Musa Al-Khowarizmī é considerado o
fundador da álgebra como a conhecemos hoje. Seu trabalho intitulado: Al-Jabr
wa-al-Muqabilah, isto é O livro sumário sobre cálculos por transposição e
redução era um trabalho extremamente didático e com o objetivo de ensinar
soluções para os problemas matemáticos cotidianos de então. A palavra Al-jabr
da qual álgebra foi derivada significa reunião, conexão ou complementação.
A palavra Al-jabr significa, ao pé da letra, a reunião de partes quebradas.
Foi traduzida para o latim quase quatro séculos depois, com o título Ludus
Algebrae et Almucgrabalaeque. Na data de 1140, Robert de Chester traduziu o
título árabe para o latim, como Liber Algebrae et almucabala. No século XVI é
encontrado em inglês como Algiebar and Almachabel, e em várias outras
formas, mas foi finalmente encurtado para Álgebra. As palavras significam
"restauração e oposição". No Kholâsat Al-Hisâb ("Essência da Aritmética"),
Behâ Eddin (cerca de 1600 d.C.) escreve: "o membro que é afetado por um
sinal de menos será aumentado e o mesmo adicionado ao outro membro, isto
sendo álgebra; os termos homogêneos e iguais serão então cancelados, isto
sendo al-muqâbala".
Os mouros levaram a palavra al-jabr para a Espanha, um algebrista
sendo um restaurador ou alguém que conserta ossos quebrados. Por isso,

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Miguel de Cervantes em Dom Quixote (II, cap. 15) é feita menção a "um
algebrista que atendeu ao infeliz Sansão". Em certo tempo não era raro ver
sobre a entrada de uma barbearia as palavras "Algebrista y Sangrador" (Smith,
Vol. 2, páginas 389-90).
O uso mais antigo da palavra álgebra no inglês em seu sentido
matemático foi por Robert Recorde no The Pathwaie to Knowledge ("O
Caminho para o Conhecimento") em 1551: "também a regra da falsa posição,
que traz exemplos não somente comuns, mas alguns pertinentes à regra da
Álgebra".
A expressão "uma álgebra" também é encontrada em 1849 no
Trigonometry and Double Algebra ("Trigonometria e Dupla Álgebra") de
Augustus de Morgan: A linguagem ordinária tem métodos de assinalamento
instantâneo de significado a termos contraditórios: e assim ela tem analogias
mais fortes com uma álgebra (se houvesse uma tal coisa) na qual estão pré-
organizadas regras para explicar novos símbolos contraditórios à medida que
surgem, do que em uma álgebra na qual uma única instância deles demanda
uma imediata revisão de todo o dicionário.
Começou a ser usada na Europa para designar os sistemas de
equações com uma ou mais incógnitas a partir do século XI. Na época da baixa
Idade Média existe uma verdadeira recusa eclesiástica e um endurecimento
por parte das castas de calculadores profissionais, recusa que será mantida em
vários lugares até o século XV. Na verdade, a Igreja não pretendia favorecer
uma democratização do cálculo, que ocasionaria seguramente a perda de seu
monopólio em matéria de ensino e, em conseqüência, a perda de poder.
Os cálculos continuam exclusivo dos especialistas, que pertenciam
quase todos ao clero. Desse modo, os algarismos arábicos ainda ficam
proibidos por algum tempo. Os amadores do cálculo moderno são obrigados a
usá-los escondidos, como se fosse um código secreto. Os países europeus
estavam em uma situação de atraso nas formas de aprender calcular,
permanecendo parcialmente a mesma por vários períodos consecutivos,
através da baixa Idade Média e Renascimento, até os séculos XVII e XVIII.
Como se desenvolveram muitas disputas na terra santa foi preciso esperar o
final das Cruzadas.
Depois de tudo isso, ocorreu um grande abandono das formas

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precedentes e um retorno às grafias de origem, para uma estabilização
progressiva dos algarismos denominados arábicos. A querela entre ―abacistas‖
(defensores dos números romanos e do cálculo em ábaco de fichas) e os
―algoristas‖ (defensores do cálculo por algarismos de origem hindu) durou
vários séculos.
Mesmo após a vitória dos novos métodos, o uso do ábaco ainda
permaneceu. No século XVIII, ele ainda era ensinado, e por prudência as
pessoas ainda verificavam todos os cálculos feitos por escrito, refazendo-os no
ábaco (de fichas). Foi preciso a Revolução Francesa para resolver a questão e
para tornar claro que o ―o cálculo por meio dos algarismos tem sobre o cálculo
por meio de fichas na tábua de contar as mesmas vantagens que um pedestre
livre e sem carga tem sobre um pedestre muito carregado‖. Pois foi por causa
do peso que o uso do ábaco foi abolido das escolas e administrações.
A partir de então, o cálculo e a ciência moderna puderam desenvolver-se
sem entraves. Eles acabavam de abater para sempre seu temível e resistente
inimigo. Quando ocorreram as Cruzadas com as trocas de culturas e
informações com a cultura muçulmana, estas guerras tentaram introduzir no
meio da sociedade suas culturas, sendo assim uma grande parte do clero das
Cruzadas aprendeu o cálculo pelo modo de AL-Khowarizmi, desenhando os
números na areia sem recorrer às colunas do ábaco. Surgindo assim, os
primeiros algoristas europeus.
3.2- ABACISTAS X ALGORISTAS
No século XI, a atividade dos tradutores e dos compiladores de obras
árabes, gregas ou hindus floresceu na Espanha desenvolvendo um grande
papel para o surgimento de grandes escritores. A troca de cultura entre os dois
mundos passaram a ser cada vez mais freqüentes fazendo assim troca de
informações, cultura e até experiências de vida.
Lentamente este período dos séculos XII e XIII, trouxe ao conhecimento
da Europa, Al-Khowarizmi, e de muitos outros que fizeram o mundo e as
pessoas crescerem intelectualmente. As novas técnicas foram muito bem
vistas nas formas de ensinamento e desenvolvimento de pesquisa, assim,

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difundidas por toda Europa. Este movimento teve seu auge, no início do século
XIII, graças à influência e persistência de um grande matemático italiano:
Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, que com sua curiosidade e
criatividade visitou a África muçulmana e conheceu o Oriente.
Após muitas viagens ele acabou encontrando os mestres árabes, que
lhe explicaram a fundo seu grandioso sistema numérico, as regras do cálculo
algébrico e os princípios fundamentais da geometria. Após um período de
aprendizagem e conhecimento iniciou pesquisas naquela área, redigindo-se em
1202 um admirável tratado de probabilidade em algarismos que viria a se
transformar no breviário de todos os defensores do algarismo, contribuindo em
grande parte também para a difusão e o desenvolvimento da álgebra. Esse
tratado vem a nos explicar todas as regras do cálculo por algarismos na areia,
com certeza para evitar a ira daqueles que detinham então o monopólio do
domínio numérico e que valorizavam antes de tudo o cálculo no ábaco de
fichas.
Em todo caso, a partir desse momento os entusiastas do cálculo
moderno se tornaram cada vez mais numerosos. Era o início do movimento de
democratização da matemática na Europa. No entanto, a resistência às novas
técnicas ainda era muito forte, os calculadores que praticavam as operações no
ábaco queriam conservar para si os segredos dessa arte: preocupados em
preservar seu monopólio, não queriam ouvir falar desses métodos
revolucionários que colocavam as operações ao alcance de todos.
Existia também uma razão de ordem ideológica para a resistência à
numeração indo-árabe. Desde o renascimento do saber na Europa, a Igreja
assumiu de fato o controle da ciência e da filosofia, exigindo que sua evolução
se submetesse estritamente à fé absoluta em seus dogmas e que seu estudo
se harmonizasse inteiramente com a teologia. Em vez de liberar o espírito
curioso, este saber o aprisionou por muitos séculos e está na origem de
inúmeras tragédias. Do mesmo modo, determinadas autoridades eclesiásticas
espalharam o boato de que, sendo tão fácil e tão engenhoso, o cálculo ao
modo árabe devia ter algo de mágico ou até de demoníaco: ―tinha que ser
coisa do demônio!‖.
Nos séculos XIII e XIV foi adquirida a aparência definitiva que hoje
conhecemos e utilizamos na matemática. Dentre os anos de 1095 d.c a 1270

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d.c, aproximadamente, os poderosos príncipes e cavaleiros cristãos tentaram
impor pela espada as suas tradições e religião aos infiéis do Oriente. Neste
período a Itália já se encontrava em contato com os árabes e bizantinos,
estando assim aberta para novas aprendizagens. Suas escolas tinham se
especializado em operações complexas, já as universidades francesas e
alemãs só se preocupavam em ensinar e aprender, nos séculos XIV e XV, as
operações ordinárias.
Esta querela durou vários séculos e, mesmo após a evidente vitória dos
algoristas, o uso do ábaco continuou. No século XVIII ele ainda era ensinado.
No mundo ocidental somente após a Revolução Francesa marcou-se o fim
deste capítulo na história dos contadores mecânicos. A história diz que foi
exatamente por causa do peso dos contadores que estes foram abolidos das
escolas e administrações públicas. Estes contadores eram enormes carteiras
onde sentam os alunos (as) nas escolas.
3.3 - UM PROFETA MATEMÁTICO - AL-KHOWARIZMI
Abu Abd Allah Muhammad ibn Musa AL-Khowarizmi foi um matemático,
astrônomo, astrólogo, geógrafo, árabe que nasceu em torno de 780 d.C e
morreu por volta do ano 850 d.C. A sua família, era originária de Khowarezm, a
região a sul do mar Aral, na altura da Pérsia ocupada pelos Árabes (atualmente
parte do Uzbequistão). Foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar na Casa
da Sabedoria, em Baghdad, durante o reinado do califa al-Mamum (813-833).
Seu livro que eternizou seu nome é o Kitab Al Mukhtassar Fi Hissab Al
Jabr Wal Mukabala (livro do cálculo Algébrico e confrontação), que não
somente deu o nome de Álgebra a esta ciência, em seu significado moderno,
mas abriu uma nova era da matemática. Al Khowarizmi estabeleceu seis tipos
de equações algébricas que ele mesmo solucionou em seu livro. O nome de Al
Khawarizmi, em espanhol guarismo, que ao passar para o francês se tornou
logarithme, deu origem ao termo moderno Logaritmo.
Al Khawarizmi foi o primeiro a escrever sobre a álgebra, depois dele veio
Abu Kamil Shuja Ibn Aslam, muitos outros seguiram seus passos, seu livro
sobre os seis problemas de álgebra é um dos melhores sobre este assunto,

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muitos autores da Andaluzia fizeram bons comentários sobre o seu livro, sendo
um dos melhores exemplos o de Al Qurashi.
Enfim, grandes matemáticos do oriente muçulmano aumentaram o
número de equações de seis para vinte, para todas acharam soluções
fundadas em sólidas demonstrações geométricas. A incógnita nas equações
algébricas era denominada pelos matemáticos muçulmanos como xay (coisa),
notadamente na álgebra de Ômar Khayyam, que ao ser transcrita xay pelos
espanhóis, deu origem ao X da álgebra moderna.
Outra obra de Al Khowarizmi que exerceu grande influência é a
introdução do cálculo hindu no mundo islâmico, o que posteriormente foi
ampliado e aprofundado por outros matemáticos muçulmanos que o seguiram.
Deve-se também a Al Khowarizmi um tratado de geometria, tábuas
astronômicas e outros trabalhos em geografia, como o seu livro Suratul Ardh
(imagem da Terra).
Kitab Al Mukhtassar Fi Hissab Al Jabr Wal Mukabala é um livro de
matemática escrito por Al-Khowarizmi aproximadamente no ano 830, que
descreve o método de Al-Khowarizmi resolver equações lineares e quadráticas
que consistem em primeiro reduzir a equação para uma de seis formas padrão
(onde b e c são inteiros positivos):
• quadrado igual a uma raiz (ax² = bx)
• quadrado igual a um número (ax² = c)
• raiz igual a um número (bx = c)
• quadrado e raiz igual a um número (ax² + bx = c)
• quadrado e número igual a uma raiz (ax² + c = bx)
• raiz e número igual a um quadrado (bx + c = ax²)
Dividindo o coeficiente do número ao quadrado e usando as operações
al-gabr (Árabe: رب ج لا ―restauração‖) e al-muqābala ("balanceamento").
Al-gabr é o processo de remover números negativos, números ao
quadrado e raízes por meio da adição da mesma quantidade para cada lado da
equação. Por exemplo, x² = 40x - 4x² é reduzida para 5x² = 40x.
• Al-muqabala é o processo de trazer quantidades do mesmo tipo para o
mesmo lado da equação. Por exemplo, x² + 14 = x + 5 é reduzida para x² + 9 =
x. Através do título de seu livro mais importante, Al-jabr Wa‘l muqabalah, Al
Khawarizmi nos deu uma palavra ainda mais familiar, do titulo desse livro veio

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o termo álgebra, anos mais tarde a Europa aprendeu o ramo da matemática
que tem esse nome.
Diofante é às vezes chamado o ―Pai da álgebra‖no período em que
viveu, mas podemos perceber que este título pertence mais a AL-Khowarizmi.
O primeiro é de nível muito mais elementar que o que se encontra nos
problemas de Diofante e, segundo, a álgebra de AL-Khowarizmi é inteiramente
expressa em palavras representação passou a ser expressa pela razão de dois
números naturais. Mesmo os números são escritos em palavras em vez de
símbolos. É muito improvável que AL-Khowarizmi conhecesse a obra de
Diofante, e deve ter conhecido ao menos as partes da astronomia e
computação de Brahmagupta.
Brahmagupta (Bhinmal, Rajasthan, 589–668) foi um matemático e
astrônomo da Índia. Morou a maior parte de sua vida em Bhillamala (atual
Bhinmal) no império de Harsha. Como resultado, Brahmagupta é
frequentemente referido como Bhillamalacarya, "o professor de Bhillamala
Bhinmal". Ele foi o líder do observatório astronômico em Ujjain, e durante seu
período lá escreveu quatro textos sobre matemática e astronomia:
Brahmasphutasiddhanta, Cadamekela, Durkeamynarda e Khandakhadyaka.
A aritmética usada atualmente espalhou-se pela Índia e Arábia e então
para a Europa. Inicialmente, era conhecida como Al Hind em língua árabe e De
Numero Indorum (método dos indianos) em latim. E tornou-se a aritmética em
uso substituindo os numerais romanos e os métodos baseados em ábaco. A
adição, subtracão, divisão e outras operações fundamentais usando numerais
árabes apareceram em Brahmasputha Siddhanta.
Seu trabalho teve impacto significativo nas construções matemáticas.
Brahmagupta popularizou o conceito do zero, e definiu regras para a aritmética
com números negativos e com o zero, que são próximas ao entendimento atual
da matemática moderna. A maior divergência é que Brahmagupta tentou definir
a divisão por zero, uma situação considerada inexistente na matemática
moderna. Sua definição de zero como um número era acurada exceto que ele
considerava 0/0 igual a 0, sendo que considera-se atualmente que essa
quantidade não pode ser definida.Em 628, Brahmagupta forneceu a primeira
solução geral para a equação quadrática:

ax 2 + bx = c
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No entanto, nem AL-Khowarizmi nem outros estudiosos árabes usaram
os números negativos. Assim, Al-jabr esta mais próxima da álgebra elementar
de hoje que as obras de Diofante e de Brahmagupta, pois o livro não se ocupa
de problemas difíceis de análise indeterminada, mas contem uma exposição
direta da resolução de equações especialmente de segundo grau.
Os hindus eram fortes em associação e analogias, em intuição e faro
artístico e imaginativo, ao passo que os árabes tinham mente mais pratica e
terra a terra na sua abordagem matemática.
3.4 - EQUAÇÕES QUADRÁTICAS E A GEOMETRIA
A tradução latina do livro ―Álgebra‖de AL-Khowarizmi se inicia com uma
breve explanação introdutória do principio posicional para números e daí passa
à resolução, em seus seis capítulos curtos, dos seis tipos de equações
formadas com a três espécies de quantidades: raízes, quadrados e números.
O capítulo um, em três parágrafos curtos, abrange o caso de quadrados
iguais a raízes, expresso em notação moderna como x² = 5x, x² / 3 = 4 e 5x =
10x dando as resposta x = 5, x = 12 e x = 2 respectivamente. (A raiz x = 0 não
era conhecida). O capítulo dois abrange o caso de quadrados iguais a números
e o capitulo três resolve o caso de raízes iguais a números, sempre com três
ilustrações por capitulo para os casos em que o coeficiente do termo variável é
igual ou maior que, ou menor que um.
Os capítulos quatro, cinco e seis são mais interessantes, pois abrangem
sucessivamente os três casos clássicos de equação quadráticas com três
termos: quadrados e raízes iguais a números, quadrados e números iguais a
raízes, e raízes e números iguais a quadrados. As soluções são dadas por
regras ―culinárias‖ para ―completar o quadrado‖ aplicado a exemplos
específicos.
O capítulo quatro, por exemplo, ainda contêm as três ilustrações x² + 10x = 39,
2x² + 10x = 48 e (1/2) x² + 5x = 28. Em cada caso só é dada resposta positiva.
No capitulo cinco só usado um exemplo — x² +21 = 10x — mas ambas as

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raízes, 3 e 7. Aqui AL-Khowarizmi chama a atenção para o fato de que o que
chamamos de discriminante deve ser positivo.
No capitulo seis novamente o autor usa um só exemplo — 3x+4 = x² —
pois quando o coeficiente de x² não for à unidade, o autor nos lembra de dividir
primeiro por esse coeficiente. Mais uma vez os passos para completar o
quadrado são meticulosamente indicados, sem justificação, o processo sendo
equivalente à solução x =1 ½ + (1 ½)² +4. Também aqui só uma raiz é dada,
porque a outra é negativa.
Na obra Al-Kitāb al-muhtasar fī hisāb al-ğabr wa-l-muqābala (Obra breve
sobre a álgebra e almucabala), depois de ter explicado exclusivamente por
palavras a resolução das equações do segundo grau, Al-Khwārizmī afirma a
necessidade de demonstrar geometricamente os resultados discutidos
anteriormente. Relativamente à equação quadrados mais raízes igual a
números, escolheu como exemplo x 2 +10x=39. A completação do quadrado é
feita da seguinte forma:
a) Lado do quadrado do centro = x
b) Lado de cada um dos quadrados dos cantos = 2,5
c) Lado do quadrado maior = x + 2,5 + 2,5 = x + 5
d) Lados do rectângulo: x e 2,5
e) Área do quadrado do centro = x 2
f) Área de cada um dos quadrados menores = 2,5 2 = 6,25
g) Área dos quatro quadrados menores = 4.(6,25) = 25
h) Área do quadrado maior = (x+5) 2
i) Área de cada rectângulo = 2,5x
j) Área dos quatro rectângulos = 10x

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O primeiro termo da equação é igual a e) + j), donde e) + j) =39. Se a
este número somarmos a área dos quatro quadrados dos cantos, g), obtemos
39+25=64. Este número corresponderá então à área do quadrado maior, cujo
lado terá de ser a raiz de 64, ou seja 8. Se a este número subtrairmos 2,5 duas
vezes, obtemos 3 que será o valor de x. Outra demonstração da mesma
equação é:
a) Lado do quadrado do centro = x
b) Lado do quadrado do canto superior = 5
c) Lado do quadrado maior = x + 5
d) Lados do rectângulo: x e 5
e) Área do quadrado do centro = x 2
f) Área do quadrado do canto superior = 5 2 = 25
g) Área do quadrado maior = (x+5) 2
h) Área de cada rectângulo = 5xi)
Área dos dois rectângulos = 10xA área do quadrado original mais a área
de dois rectângulos será x 2 + 5x + 5x = x 2 + 10x, o que será igual a 39, visto ser
o primeiro termo da equação. A área do quadrado maior será então 39 + 5 2 =
39 +25 = 64, logo o lado do quadrado maior é 8 e portanto x terá de ser igual a
três.

3.5 – PROBLEMAS ALGÉBRICOS
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Leva inevitavelmente à concluso de que a álgebra árabe tinha muito em
comum com a geometria grega; no entanto, a primeira parte, aritmética, da
álgebra de al-Khowarizmi evidentemente é estranha ao pensamento grego. O
que aparentemente aconteceu em Bagdá foi exatamente o que seria de se
esperar num centro intelectual cosmopolita.
Os sábios árabes tinham uma grande admiração pela astronomia,
matemática, medicina e filosofia gregas, assuntos que dominavam o melhor
que podiam. No entanto, não podiam deixar de observar que, como tinha dito o
Bispo Nestoriano Sebokt, quando, em 662 ele, pela primeira vez, chamou a
atenção para os nove maravilhosos dígitos hindus, ―há também outros que
sabem alguma coisa‖.
É provável que AL-Khowarizmi fosse um exemplo típico do árabe que
seria tão freqüentemente observado em outros casos. Seu sistema de
numeração muito provavelmente vinha da Índia, sua sistemática resolução de
equações pode ter sido desenvolvida na Mesopotâmia, e o quadro geométrico
lógico para suas soluções evidentemente vinha da Grécia.
A Álgebra de AL-Khowarizmi conta mais que a resolução material que
ocupa a primeira metade. Há, por exemplo, regras para operações com
expressões binominais, inclusive produtos como (10+2)(10-1) e (10+x)(10-x).
Embora os árabes rejeitassem as raízes negativas e grandezas negativas,
conheciam as regras que governavam o que chamamos números com sinal.
Há também provas geométricas alternativas de alguns dos seis casos de
equações do autor.
Finalmente, a Álgebra contém uma ampla variedade de problemas
ilustrando os seis capítulos ou casos. AL-Khowarizmi pede a divisão de dez em
duas partes de modo que ―a soma dos produtos obtidos multiplicam cada parte
por si mesma seja igual a cinqüenta e oito‖.
A versão árabe existente, ao contrário da latina, contém também uma
extensa discussão de problemas de herança, como o seguinte: Um homem
morre deixando dois filhos e legando um terço de seu capital a um estranho.
Deixa dez dirhems de propriedades e uma divida de dez dirhems sobre um

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filho. A resposta não é o que se espera, pois o estranho só recebe cinco
dirhems.
Segundo a lei árabe, um filho que deve à herança de seu pai uma
quantia maior que a sua parte conserva toda a soma que deve, uma sendo
considerada como sua parcela na propriedade e o resto como doação de seu
pai. Até certo ponto parecem ter sido as complicadas leis que regiam a herança
a encorajar o estudo da álgebra na Arábia.
3.6 - NUMERAIS ARÁBICOS E A TRIGONOMETRIA
Por algumas vezes já comentamos que os árabes absorviam bem rápido
a cultura de vizinhos que conquistavam. Devemos ainda olhar e notar também
que dentro das suas fronteiras do império árabe viviam povos de origens
étnicas muito variadas: sírios, gregos, egípcios, persas, turcos e muitos outros.
Na matemática árabe tais diferenças culturais ocasionalmente se
tornavam evidentes, como nas obras de Abu‘l Wefa (940-988) e al-Karkhi em
1029. Em algumas de suas obras usavam numerais hindus, que tinham
chegado à Arábia através do Sindhind astronômico, em outras eles adotavam o
tipo grego de numeração alfabética (naturalmente com equivalentes árabes
para as letras gregas).
É mais provável que as variantes resultassem de mudanças graduais,
que se verificam no espaço e no tempo, pois os numerais arábicos de hoje são
muito diferentes dos numerais Devanagari (ou ―divinos‖) ainda em uso na Índia.
Afinal, são os primeiros que regem o sistema de numeração que importam e
não as formas especificas dos numerais.
Nossos numerais são freqüentemente conhecidos como arábicos,
apesar do pouco se parecerem com os em uso agora no Egito, Iraque, Síria,
Arábia, Iran e outros países de cultura islâmica. No entanto, os princípios
governando os numerais arábicos presumivelmente vieram da Índia, por isso é
melhor chamar nosso sistema de hindu ou indo-árabico.
Já noção de número e suas extraordinárias generalizações estão
intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está
impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem

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formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, leva conscientemente os
juízos aritméticos.
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas,
encontra-se no homem o sentido do número. Essa faculdade lhe permite
reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos,
ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido
retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel
intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um
fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente
humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar
do número.
Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes
dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém
quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro
provavelmente abandonará o ninho se faltar dois ovos. De alguma forma
inexplicável, ele pode distinguir dois de três.
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho
na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas
em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho,
colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre
quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram
na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou
enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído.
O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro
homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e
depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o
trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem
mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade
numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la.
Contudo, também no homem isso é verdade.
Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao
qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido

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do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de
contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa
estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta
resultaram decepcionantes.
Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído
pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido
tátil é ainda mais limitado. Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma
notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram
ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase
completamente desprovidos de toda noção de número.
Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras
numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão tão
desvinculadas que se pode duvidar que tais indígenas lhes atribuam um
sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados
estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias
apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa ‗thrice‘, do
mesmo modo que a palavra latina ― os tres‖ ter possui dois sentidos: três vezes
e muito. Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais
além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito). Como nasceu
o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu
simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente
do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental
das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação
matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de
alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa
concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não
teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal.
Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a
completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava
destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é
a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e

lógica de número sem recorrer à contagem.
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Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o
das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar
se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm,
qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e
ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual
número.
Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala,
sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas. Esse conhecimento
é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que
recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a
cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um
ou ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz
precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas
ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de
madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse
procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que
significa pedra.
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer
corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder
a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão
natural: 1,2,3... A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e
diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o
último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é
um conjunto finito.
Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de
matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um, mas por zero, e
escreveria 0,1,2,3,4... A criação de um símbolo para representar o "nada"
constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa
criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da fosse cristã)
e foi devida às exigências da numeração escrita.
O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como
também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou

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multiplicação em números romanos. E, no entanto, antes ainda dos romanos,
tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores
matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos
eles.
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca
só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos
distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo
incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição
do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e
fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de
um dado conjunto fica reduzida à seleção, entre os conjuntos modelos, daquele
que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as
folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os
dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem
dos números se encontram em vários idiomas primitivos. É claro que uma vez
criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava
originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua
vez a ser um modelo ou um símbolo.
À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da
linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi
substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos
iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber
a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de
vários milhões de anos a aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os
números foram perdidos, com a possível exceção de cinco (que em várias
línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que,
enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de
sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos
lingüísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento
sofreram uma metamorfose completa.
OO sentido de número, em sua significação primitiva e no seu papel

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intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, mas que exige um
fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente
humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar
do número.
Assim como na numeração havia competição entre os sistemas de
origens gregas e indianas, também nos cálculos astronômicos houve, a
princípio, na Arábia, dois tipos de trigonometria — a geometria grega das
cordas, como é encontrada no Almajesto, e as tabelas hindus de senos,
derivadas dos Sindhind. Aqui também o conflito com triunfo do sistema hindu, e
quase toda a trigonometria árabe finalmente se baseou na função seno. Na
verdade foram também através dos árabes, não diretamente dos hindus, que
essa trigonometria do seno chegou a Europa. A astronomia de al-Battani (cerca
de 850-929), conhecido na Europa como albategnius, serviu como o veículo
primário de transmissão, embora Thabit ibn Qurra pareça ter usado senos um
pouco antes.
Aqui estamos em contato mais imediato com a trigonometria moderna,
pois a função tangente dos árabes, ao contrario da função seno hindu, em
geral era dada para um circulo unitário. Ainda mais, com Abu‘l-wefa a
trigonometria assume uma forma mais sistemática em que são provados
teoremas tais como as fórmulas para ângulo duplo ou metade. Embora a
função seno hindu tenha ultrapassado a corda grega, foi, no entanto, o de
Ptolomeu que motivou o arranjo lógico de resultados trigonométricos.
A lei dos senos em sua essência era conhecida por Ptolomeu e está
contida por implicação na obra de Brahmagupta, mas freqüentemente atribuída
a Abul‘l-Wefa por causa de sua formulação clara da lei para triângulos
esféricos, também tabela de tangentes e usou todas as seis funções
trigonométricas comuns, bem como relação entre elas, mas seu uso das novas
funções não parece ter tido muitos seguidores no período medieval. Tenta-se
às vezes atribuir à função tangente, cotangente, secante e cossecante, mas
isto não pode ser feito com qualquer segurança.
Na Índia e na Arábia houve teoria geral dos comprimentos das sombras,
relativas de uma unidade de comprimento, para altitudes solares variáveis. Não
havia uma unidade de comprimento padrão embora um palmo ou altura de um
homem fosse freqüentemente adotado.

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A sombra horizontal, para uma barra vertical de comprimento dado, era
o que chamamos a cotangente do ângulo de elevação do Sol. A ―sobra
reversa‖ — isto é, a sombra lançada numa parede vertical por uma barra que
se projeta da parede horizontalmente — era o que chamamos tangente de
elevação do Sol. A ―hipotenusa da sombra‖ — isto é, distancia da ponta da
barra ponta da sombra — era o equivalente de nossa função co-secante, e a
―hipotenusa da sombra reversa‖ desempenhava o papel da nossa secante.
Essa tradição, quanto à sombra, parece ter estado bem estabelecida na Ásia
pelo tempo de Thabit ibn Qurra, mas raramente eram tabulados valores da
hipotenusa (secante ou cossecante).
A matemática árabe pode ser dividida em quatro partes:
• Aritmética, derivada presumivelmente da Índia e baseada no princípio
posicional.
• Álgebra que, embora viesse de fontes gregas, hindus e babilônicas,
tomou nas mãos do mulçumanos uma forma caracteristicamente nova e
sistemática.
• Trigonometria, cuja substância vinha principalmente da Grécia, mas à
qual os árabes acrescentaram a forma hindu e novas funções e fórmulas.
• Geometria, que vinha da Grécia, mas para a qual os árabes contribuíram
com generalização aqui e ali.
Muitos dizem que os árabes fizeram pouco mais que pôr a ciência grega
em ―conservação a frio‖ à espera que a Europa esteja preparada para aceitá-la.
Após esta pequena exposição, este capítulo mostrou que, pelo menos no caso
da matemática, a tradição transmitida ao mundo latino nos séculos doze e treze
era mais rica do que a que os iletrados conquistadores árabes encontravam no
século sete, mostrando assim um melhoramento e trazendo um maior
crescimento da história cultural árabe sendo transmitida para o mundo.

CONCLUSÃO
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A partir da análise e reflexão iniciais proporcionadas por esta pesquisa,
iremos constatar neste trabalho pontos importantes sobre a história da
matemática árabe, que vem nos colocar formulas matemáticas e equações que
nos facilitam nossos cálculos ate os dias de hoje.
A matemática árabe mostrou com grande importância o surgimento de
AL-Khowarizmi, explicando o sistema de numeração hindu. Os árabes tiveram
um papel muito importante na história da matemática, pois traduziram,
fielmente, os clássicos gregos.
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas,
encontra-se no homem o sentido do calculo. Pode perceber que nestas
pequenas idéias de números foi mostrar algumas formas de cálculos utilizados
pelo mundo árabe na história que ainda hoje são utilizadas.
Não devemos esquecer que o objetivo da matemática não é só resolver e criar
problemas, mas também desenvolver em nós uma grande inteligência e
raciocínio, para perceber um dos melhores caminhos para levar o homem a
sentir o poder do seu pensamento e a magia do seu espírito.
A obra refere-se às contribuições dos árabes e dos hindus para o
conhecimento e o desenvolvimento matemático, afirmando que a matemática
representa uma forma de linguagem, que no dia-a-dia nos tornar mais
necessário aprender, no mundo em que vivemos.
A relação estabelecida entre a história árabe de ―O Homem que
Calculava‖ e a didática da matemática que se encontra, na obra de Malba
Tahan simboliza o discurso pedagógico deste autor. Nesse sentido, esta
retomada incita a consideração de que a obra explica a vida de seu criador e
dá pista para se desvendar o processo de sua criação, mostrando-nos o
verdadeiro sentido de ensinar.

REFERÊNCIAS
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fenomenológico (versão mimeo, em português, da conferência apresentada no
ICME de Sevilha). (1996).
TAHAN, M. Edição 55. O Homem que Calculava. Editora: Record.(1983)
BOYER, C. B. História da matemática. 2 edição. Editora: Edgard Blucher Ltda.
(1996).
GUEDJ, D. O Teorema do Papagaio. Editora: Schwarcz Ltda. (1999).
ROGERSON, B. O Profeta Maomé - Uma Biografia -Editora Record. (2004).
BRANDÃO, C. R.Educação Popular. São Paulo. Brasiliense S.A. ( 1985)
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e terra S/a. (2002)
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ensino da matemática, Ano de Obtenção: Mestrado em Educação Matemática
2001.