Matemática B 735 - Guia do Estudante

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO
Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março
Prova Escrita de Matemática B
11.º/12.º Anos de Escolaridade
Prova 735/1.ª Fase
11 Páginas
Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.
2009
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, excepto nas respostas
que impliquem a elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que
podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a seguir, passados a tinta.
Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que for
necessário.
Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca,
aquilo que pretende que não seja classificado.
Escreva, de forma legível, a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respectivas
respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser identificadas são classificadas com
zero pontos.
Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um
mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.
Prova 735 • Página 1/ 11

Em todas as respostas, indique todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à calculadora, apresente todos os elementos recolhidos
na sua utilização. Mais precisamente:
• sempre que recorrer às capacidades gráficas da calculadora, apresente o(s) gráfico(s) obtido(s), bem
como as coordenadas de pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por exemplo,
coordenadas de pontos de intersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);
• sempre que recorrer a uma tabela obtida na calculadora, apresente todas as linhas da tabela relevantes
para a resolução do problema proposto;
• sempre que recorrer a estatísticas obtidas na calculadora (média, desvio padrão, coeficiente de
correlação, declive e ordenada na origem de uma recta de regressão, etc.), apresente a(s) lista(s) que
introduziu na calculadora para a(s) obter.
A prova inclui, na página 11, um Formulário.
As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
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GRUPO I
O Stomachion, também conhecido como Caixa de Arquimedes, é um puzzle geométrico cuja invenção é
atribuída a Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.). É constituído por 14 peças poligonais que formam um
quadrado como o representado na figura 1.
Fig. 1
A figura 2 representa, sobreposto a uma malha
quadriculada, um Stomachion com 12 unidades de lado.
Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são vértices da
malha.
F
y
A
G
Fixando um referencial ortogonal e monométrico, de
origem D, como se sugere na figura 2, o ponto A tem
coordenadas (0, 6).
D
B
x
1. Determine as coordenadas do ponto simétrico de C,
relativamente ao eixo das abcissas.
C
1 unidade
2. Uma das propriedades do Stomachion é a seguinte: o
quociente entre a área de cada peça e a área total do
Stomachion é sempre um número racional.
E
H
Mostre que essa propriedade se verifica com a peça
representada, na figura 2, pelo quadrilátero sombreado
[ABCD ].
Fig. 2
Sugestão: Na sua resposta pode percorrer, sucessivamente, as seguintes etapas:
• determine a área do quadrado [EFGH ];
• determine a área da peça sombreada;
• determine o quociente entre a área da peça sombreada e a área do quadrado;
• justifique que o quociente obtido é um número racional.
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GRUPO II
Numa determinada região, existe um parque natural no qual vivem diferentes espécies de animais, cada uma
no seu habitat.
Uma empresa pretende instalar uma unidade fabril nessa região, a sul do parque natural, e, para tal, aguarda
decisão das entidades responsáveis. Para apoio dessa decisão, foi elaborado um estudo de impacto
ambiental.
1. De acordo com esse estudo, prevê-se que o nível de concentração diário de um poluente, em partes por
milhão (p.p.m.), originado pelo escoamento de águas residuais, siga uma distribuição normal, N (8, 2),
de média µ = 8 e desvio padrão σ = 2.
O estudo refere que o nível de concentração desse poluente não deverá exceder o equilíbrio ecológico
aceitável de 10 p.p.m.
Determine a probabilidade de, num certo dia, o nível de concentração do poluente exceder esse valor.
Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.
2. O estudo de impacto ambiental inclui dados de uma prospecção geotérmica realizada no parque natural
por técnicos do Serviço de Geofísica. Os dados mostram que, a maiores profundidades, correspondem
temperaturas mais elevadas.
Com base nesses dados, obteve-se a equação y = 0,0290x + 18,36, que define a recta de regressão
de y sobre x, com 0 ≤ x ≤ 350, designando x a profundidade, em metros, e y a temperatura,
em graus Celsius.
Estime o valor da temperatura a 100 m de profundidade, de acordo com a equação da recta de
regressão apresentada.
Apresente o resultado, em graus Celsius, com duas casas decimais.
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3. Uma águia, ao efectuar um voo planado à procura de alimento, avistou uma lebre no fundo do vale do
parque natural. O fundo do vale é uma área plana. De imediato, a águia iniciou um voo picado, a grande
velocidade, em direcção à presa, capturando-a em poucos segundos. Após a captura, transportou a lebre
para o cimo de um penhasco, terminando aí o seu voo.
O momento da captura corresponde ao instante em que a águia atingiu, no seu voo, a distância mínima
ao fundo do vale.
Admita que a distância, h , em metros, a que a águia se encontra do fundo do vale, t segundos após o
início do voo picado, é dada, aproximadamente, por
4 3 2
ht ()=− 0, 125t + 2, 5t −12, 9t − 11 , t+ 94, 8 com t∈ ⎡ 0; 9,
6⎤
⎣⎢ ⎦ ⎥
3.1. Determine o valor da taxa de variação média de h no intervalo [0; 3]
Apresente o resultado com aproximação às décimas.
Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos.
3.2. Na figura 3, que não está à escala, apresenta-se um esboço do gráfico de f , função que dá, em
metros por segundo, a taxa de variação instantânea de h no instante t .
Admita que a taxa de variação instantânea de h se anula no instante t = 5,4.
Descreva o que aconteceu no instante t = 5,4, no contexto da situação referida, justificando a
ocorrência através da relação existente entre a monotonia de h e o sinal da respectiva taxa de
variação instantânea.
f
0
5,4
9,6
t
Fig. 3
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4. No parque natural, foram plantadas, num certo momento, duas árvores, uma da espécie P e outra da
espécie C.
Admita que as alturas, em metros, da árvore da espécie P e da árvore da espécie C, x anos depois de
terem sido plantadas, são dadas, aproximadamente, por P(x ) e C(x ):
Espécie P :
10
P( x)= +
−
1 125 , e
023 , x
Espécie C :
6
C( x)= +
−
1 29 , e
012 , x
Com base nas funções apresentadas, alguém afirmou que:
I) quando as árvores foram plantadas, a árvore da espécie P tinha menos 1,1 m de altura do que a
árvore da espécie C ;
II)
foram necessários mais do que oito anos para que a árvore da espécie P ficasse mais alta que a
árvore da espécie C ;
III) com o decorrer do tempo, a diferença entre as alturas das duas árvores tenderá a igualar
os 4m.
Elabore uma pequena composição na qual refira se cada uma das afirmações, I), II) e III), está,
ou não, correcta, explicitando, para cada caso, uma razão que fundamente a sua resposta.
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GRUPO III
A BRUGÁS é uma empresa que processa uma variedade de gás usada na confecção de um produto para
aquecimento. Este produto é classificado em dois tipos: PPremium e PRegular.
Em cada semana, a BRUGÁS recebe 24 m 3 de gás e dispõe de 45 horas para os processar.
Por motivos técnicos, as variedades de gás não podem ser processadas em simultâneo.
A produção de cada tonelada de PPremium:
• requer 3m 3 de gás;
• demora 5 horas;
• gera um lucro de 1600 euros.
A produção de cada tonelada de PRegular :
• requer 2m 3 de gás;
• demora 5 horas;
• gera um lucro de 1200 euros.
Devido a problemas relacionados com o armazenamento, a empresa só pode produzir até 5 toneladas de
PRegular.
Represente por x o número de toneladas de PPremium produzidas, semanalmente, pela empresa
BRUGÁS.
Represente por y o número de toneladas de PRegular produzidas, semanalmente, pela empresa
BRUGÁS.
Quantas toneladas de PPremium e de PRegular devem ser produzidas, semanalmente, pela empresa
BRUGÁS, para que o lucro semanal seja máximo?
Na sua resposta, percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:
• indique a função objectivo;
• indique as restrições do problema;
• represente, graficamente, a região admissível, referente ao sistema de restrições;
• calcule os valores das variáveis para os quais é máxima a função objectivo.
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GRUPO IV
Numa feira de agricultura, o Sr. Pedro, negociante de cavalos, pedia por um cavalo puro-sangue a quantia de
4 000 000 de euros. O Sr. João estava muito interessado em comprar o cavalo, mas considerava o preço
muito elevado.
O Sr. Pedro propôs-lhe, então, o seguinte negócio:
«O cavalo tem 4 ferraduras, e cada uma delas tem 8 cravos. O Sr. João dá-me um cêntimo pelo
primeiro cravo da ferradura da pata dianteira esquerda; dois cêntimos pelo segundo cravo da
mesma ferradura, e assim sucessivamente, duplicando sempre, até ao oitavo cravo dessa ferradura,
pelo qual me dá 1,28 euros.»
«Repare: pelos oito cravos da ferradura desta pata, o Sr. João paga-me 2,55 euros. Barata a feira!
Continuemos para os outros cravos. Pelo primeiro cravo da pata dianteira direita, o Sr. João dá-me
2,56 euros, isto é, o dobro do valor do oitavo cravo da pata dianteira esquerda, e assim
sucessivamente, duplicando sempre, até se terem esgotado os 32 cravos das ferraduras do cavalo.»
«O sr. João aceita pagar-me, por este cavalo, a quantia total do valor dos cravos das ferraduras?»
1. Verifique que o valor total dos cravos da ferradura da pata dianteira esquerda é de 2,55 euros, tal como
o Sr. Pedro refere.
2. Mostre que, de acordo com a proposta do Sr. Pedro, o valor a pagar pelo cavalo é superior a
4 000 000 de euros.
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GRUPO V
Na figura 4, ilustra-se um método simples para determinar o raio da
Terra. Este método consiste em medir o ângulo α , ângulo de
depressão do horizonte, a partir de um ponto de altitude elevada, do
qual se avista o mar.
Relativamente a esta figura, que não está à escala, considere que:
A
a
R
)
)
B
a
R
h
• B representa o ponto de observação;
C
• C designa o centro da Terra;
• α é a amplitude, em graus, do ângulo de depressão do horizonte,
(0º < α < 90º);
• h é a altitude do lugar, em quilómetros;
• o triângulo [ABC ] é rectângulo em A;
Fig. 4
• R é o raio da Terra, em quilómetros;
• BC = R + h .
h cos α
1. Mostre que R = . 1− cos α
Sugestão: Comece por determinar cos α no triângulo [ABC ] e, de seguida, resolva a equação obtida em
ordem a R .
2. Eratóstenes (276-195 a.C.), por volta do ano 230 a.C.,
calculou, por um processo diferente e de grande simplicidade,
o raio da Terra.
Admita que o valor calculado por Eratóstenes foi de 6316 km.
O Rodrigo calculou o raio da Terra pelo método acima descrito.
Utilizando um teodolito, obteve, a partir do cume da ilha do
Pico, α = 1,5564º.
A altitude do Pico é 2,35 km.
Fig. 5
Determine a diferença entre os valores obtidos pelos dois métodos.
Apresente o resultado arredondado às unidades.
h cos α
Sugestão: Comece por calcular o valor obtido pelo Rodrigo, usando a igualdade R = . 1− cos α
FIM
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COTAÇÕES
GRUPO I .....................................................................................................................................
30 pontos
1. ............................................................................................................................. 10 pontos
2. ............................................................................................................................. 20 pontos
GRUPO II ....................................................................................................................................
80 pontos
1. ............................................................................................................................. 15 pontos
2. ............................................................................................................................ 15 pontos
3. ............................................................................................................................ 30 pontos
3.1. ............................................................................................... 15 pontos
3.2. ............................................................................................... 15 pontos
4. ............................................................................................................................ 20 pontos
GRUPO III ...................................................................................................................................
20 pontos
GRUPO IV ...................................................................................................................................
30 pontos
1. ............................................................................................................................. 15 pontos
2. ............................................................................................................................. 15 pontos
GRUPO V ....................................................................................................................................
40 pontos
1. ............................................................................................................................. 20 pontos
2. ............................................................................................................................. 20 pontos
_____________
TOTAL ..............................................................
200 pontos
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Formulário
Comprimento de um arco
de circunferência
α r (α – amplitude, em radianos,
do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de figuras planas
Losango:
———————————————
Diagonal maior × Diagonal menor
2
Trapézio:
———————————
Base maior + Base menor
× Altura
2
Polígono regular:
Semiperímetro × Apótema
Sector circular:
——
α r 2
(α – amplitude, em radianos, do
2
ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone:
π rg (r – raio da base; g – geratriz)
Área de uma superfície esférica:
4 π r 2 (r – raio)
Progressões
Soma dos n primeiros termos de uma
Progressão aritmética:
Progressão geométrica: u 1 ×
Probabilidades e Estatística
× n
Se X é uma variável aleatória discreta, de
valores x i com probabilidades p i , então
• média de X:
• µ = x p + ... + x p
1 1 n n
• desvio padrão de X:
• σ = ( x − µ ) p + ... + ( x −µ )
2
p
1
2
1
u 1 + u n
———–
2
Se X é uma variável aleatória normal, de média µ e
desvio padrão σ, então:
P( µ − σ < X < µ + σ) ≈ 0,
6827
P( µ −2 σ < X < µ + 2σ) ≈ 0,
9545
•
P( µ −3 σ < X < µ + 3σ) ≈ 0, 9973
n
1– r n
———–
1 – r
n
Área lateral de um cilindro recto:
2 π rg (r – raio da base; g – geratriz)
Volumes
Pirâmide:
1—
3
× Área da base × Altura
Cone:
1—
3
× Área da base × Altura
Esfera:
4
— 3
π r 3 (r – raio)
Cilindro: Área da base × Altura
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EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO
Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março
Prova Escrita de Matemática B
11.º/12.º Anos de Escolaridade
Prova 735/1.ª Fase
11 Páginas
Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.
2009
COTAÇÕES
GRUPO I ...................................................................................................................
30 pontos
1. ....................................................................................................... 10 pontos
2. ....................................................................................................... 20 pontos
GRUPO II ..................................................................................................................
80 pontos
1. ....................................................................................................... 15 pontos
2. ...................................................................................................... 15 pontos
3. ...................................................................................................... 30 pontos
3.1. ......................................................................... 15 pontos
3.2. ......................................................................... 15 pontos
4. ...................................................................................................... 20 pontos
GRUPO III .................................................................................................................
20 pontos
GRUPO IV .................................................................................................................
30 pontos
1. ....................................................................................................... 15 pontos
2. ....................................................................................................... 15 pontos
GRUPO V ..................................................................................................................
40 pontos
1. ....................................................................................................... 20 pontos
2. ....................................................................................................... 20 pontos ______________
TOTAL .........................................
200 pontos
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A classificação da prova deve respeitar integralmente
os critérios gerais e específicos a seguir apresentados
CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO
A classificação a atribuir a cada item é obrigatoriamente:
– um número inteiro;
– um dos valores resultantes da aplicação dos critérios gerais e específicos de classificação e previstos na
respectiva grelha de classificação.
As respostas que se revelem ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com
zero pontos. No entanto, em caso de omissão ou de engano na identificação de um item, o mesmo pode ser
classificado se, pela resposta apresentada, for possível identificá-lo inequivocamente.
Se o examinando responder a um mesmo item mais do que uma vez, não eliminando inequivocamente a(s)
resposta(s) que não deseja que seja(m) classificada(s), deve ser apenas considerada a resposta que surgir
em primeiro lugar.
Os critérios de classificação destes itens apresentam-se organizados por etapas e/ou por níveis de
desempenho. A cada nível de desempenho e a cada etapa corresponde uma dada pontuação.
Nos itens que apresentam critérios específicos de classificação organizados por níveis de desempenho é
atribuída, a cada um desses níveis, uma única pontuação. No caso de, ponderados todos os dados contidos
nos descritores, permanecerem dúvidas quanto ao nível a atribuir, deve optar-se pelo nível mais elevado
de entre os dois tidos em consideração. É classificada com zero pontos qualquer resposta que não atinja o
nível 1 de desempenho no domínio específico da disciplina.
Nos itens de resposta aberta com cotação igual ou superior a 20 pontos que impliquem a produção de um texto,
a classificação a atribuir traduz a avaliação simultânea das competências específicas da disciplina e das
competências de comunicação em língua portuguesa.
A avaliação das competências de comunicação escrita em língua portuguesa contribui para valorizar a
classificação atribuída ao desempenho no domínio das competências específicas da disciplina. Esta
valorização é cerca de 10% da cotação do item e faz-se de acordo com os níveis de desempenho descritos no
quadro seguinte.
Nível
Descritor
3
2
1
Composição bem estruturada, sem erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, ou
com erros esporádicos, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de
sentido.
Composição razoavelmente estruturada, com alguns erros de sintaxe, de pontuação e/ou
ortografia, cuja gravidade não implique perda de inteligibildade e/ou de sentido.
Composição sem estruturação aparente, com a presença de erros graves de sintaxe,
pontuação e/ou de ortografia, cuja gravidade implique perda frequente de inteligibilidade
e/ou de sentido.
Prova 735 • Página C/2/ 11

No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio específico da disciplina, a
classificação a atribuir é zero pontos.
Neste caso, não é classificado o desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa.
No quadro seguinte, apresentam-se os critérios de classificação a aplicar em situações não descritas
anteriormente.
Situação
1. Classificação de um item cujo critério se apresenta
organizado por etapas.
Classificação
A cotação indicada para cada etapa é a classificação
máxima que lhe é atribuível.
A classificação da resposta resulta da soma das
classificações das diferentes etapas, à qual,
eventualmente, se subtraem um ou dois pontos, de acordo
com o previsto na situação 12.
2. Classificação de uma etapa dividida em passos. A cotação indicada para cada passo é a classificação
máxima que lhe é atribuível.
A classificação da etapa resulta da soma das classificações
dos diferentes passos.
3. Classificação de um item ou de uma etapa cujo critério
se apresenta organizado por níveis de desempenho.
A resposta é enquadrada numa das descrições apresentadas.
À classificação correspondente subtrai-se, eventualmente,
um ponto, de acordo com o previsto nas situações 7, 8
e/ou 16.
4. Utilização de processos de resolução não previstos no
critério específico de classificação.
É aceite e classificado qualquer processo de resolução
cientificamente correcto.
O critério específico deve ser adaptado ao processo de
resolução apresentado, mediante distribuição da cotação
do item pelas etapas* percorridas pelo examinando. Esta
adaptação do critério deve ser utilizada em todos os
processos de resolução análogos.
5. Apresentação apenas do resultado final, embora a
resolução do item exija cálculos e/ou justificações.
Deve ser atribuída a classificação de zero pontos.
6. Ausência de apresentação explícita de uma dada etapa. Se a resolução apresentada permite perceber, inequivocamente,
que a etapa foi percorrida, a mesma é classificada
com a cotação total para ela prevista.
7. Transposição incorrecta de dados do enunciado. Se o grau de dificuldade da resolução não diminuir, é
subtraído um ponto à classificação da etapa.
Se o grau de dificuldade da resolução da etapa diminuir, a
classificação máxima a atribuir a essa etapa deve ser a
parte inteira da metade da cotação prevista.
8. Ocorrência de um erro ocasional num cálculo. É subtraído um ponto à classificação da etapa em que o
erro ocorre.
9. Ocorrência de um erro que revela desconhecimento de
conceitos, de regras ou de propriedades.
A classificação máxima a atribuir nessa etapa deve ser a
parte inteira de metade da cotação prevista.
Prova 735 • Página C/3/ 11

Situação
Classificação
10. Ocorrência de um erro na resolução de uma etapa. A etapa é classificada de acordo com o erro cometido.
As etapas subsequentes são classificadas de acordo com os
efeitos do erro cometido:
– se o grau de dificuldade das etapas subsequentes não
diminuir, estas são classificadas de acordo com os
critérios específicos de classificação;
– se o grau de dificuldade das etapas subsequentes
diminuir, a classificação máxima a atribuir a cada uma
delas deve ser a parte inteira de metade da cotação
prevista.
11. Resolução incompleta de uma etapa. Se à resolução da etapa faltar apenas o passo final, é
subtraído um ponto à classificação da etapa; caso contrário
a classificação máxima a atribuir deve ser a parte inteira de
metade da cotação prevista.
12. Apresentação de cálculos intermédios com um número
de casas decimais diferente do solicitado e/ou
apresentação de um arredondamento incorrecto.
13. A apresentação do resultado final não respeita a forma
solicitada. [Exemplo: é pedido o resultado em centímetros,
e o examinando apresenta-o em metros.]
14. Omissão da unidade de medida na apresentação do
resultado final [por exemplo, «15» em vez de «15
metros».]
15. Apresentação do resultado final com um número de
casas decimais diferente do solicitado, e/ou
apresentação do resultado final incorrectamente
arredondado.
16. Utilização de simbologias ou de expressões inequivocamente
incorrectas do ponto de vista formal.
É subtraído um ponto à classificação total da resposta.
É subtraído um ponto à classificação da etapa correspondente
à apresentação do resultado final.
A etapa relativa à apresentação do resultado final é
classificada com a cotação total para ela prevista.
É subtraído um ponto à classificação da etapa
correspondente à apresentação do resultado final.
É subtraído um ponto à classificação total da resposta,
excepto:
– se as incorrecções ocorrerem apenas em etapas já
classificadas com zero pontos;
– nos casos de uso do símbolo de igualdade quando, em
rigor, deveria ter sido usado o símbolo de igualdade
aproximada.
* Em situações em que o critério é aplicável tanto a etapas como a passos, utiliza-se apenas o termo «etapas», por razões de
simplificação da apresentação.
Prova 735 • Página C/4/ 11

CRITÉRIOS ESPECÍFICOS DE CLASSIFICAÇÃO
GRUPO I
1. .................................................................................................................................................... 10 pontos
A resposta a este item deve ser classificada de acordo com os seguintes níveis de
desempenho.
Determina as coordenadas do ponto simétrico de C , relativamente ao eixo
das abcissas, (2, 2) ........................................................................................ 10 pontos
Determina as coordenadas do ponto simétrico de C , relativamente ao eixo
das ordenadas, (–2, –2)
Ou
Determina as coordenadas do ponto simétrico de C , relativamente à origem do
referencial, (–2, 2) .........................................................................................
Apresenta as coordenadas do ponto C e não determina as coordenadas do
ponto simétrico de C , ou determina-as incorrectamente, de forma não prevista
nos descritores anteriores ................................................................................
Outras situações ..............................................................................................
5 pontos
2 pontos
0 pontos
2. .................................................................................................................................................... 20 pontos
Determina a área de [EFGH ] ... (144) ................................................................. 2 pontos
Determina a área de [ABCD ] ... (12) .................................................................. 8 pontos
A área de [ABCD ] pode ser determinada por, pelo menos, dois processos.
1.º Processo:
Determinar a área de [ABCD ] como a soma das áreas de [BDC ] e
[DAB ]:
Determinar a área de [BDC ] .........................................................
Determinar a área de [DAB ] .........................................................
Determinar a soma das áreas ........................................................
3 pontos
3 pontos
2 pontos
2.º Processo:
Determinar a área de [ABCD ], inscrevendo-o num polígono de maior área:
Determinar a área do polígono em que [ABCD ] está inscrito ..... 3 pontos
Determinar a área não ocupada por [ABCD ] nesse polígono ...... 3 pontos
Determinar a diferença entre as duas áreas ................................... 2 pontos
⎛
⎞
Determina o quociente pedido 1 ou equivalente
(ver nota)...........................
⎜12
⎝
⎟⎠
8 pontos
Justifica que o número obtido é racional .................................................................. 2 pontos
Nota: Se o examinando responder 12, ou equivalente, esta etapa deve ser classificada com 6 pontos.
Prova 735 • Página C/5/ 11

GRUPO II
1. .................................................................................................................................................... 15 pontos
A resposta a este item deve ser classificada de acordo com os seguintes
níveis de desempenho.
Determina o valor de P(X > 10) ≈ 16% ..........................................................
Determina o valor de P(X > 12) ........................................................................
Determina o valor de P(X < 10) ......................................................................
Determina o valor de P(6 < X < 10) .................................................................
Determina o valor de P(X < 12) ..........................................................................
Determina o valor de P(4 < X < 12) .................................................................
Determina o valor de P(2 < X < 14) .................................................................
Outras situações ......................................................................................................
15 pontos
12 pontos
12 pontos
9 pontos
7 pontos
6 pontos
3 pontos
0 pontos
2. .................................................................................................................................................... 15 pontos
Substitui x por 100 na equação ............................................................................
Calcula o valor de y ................................................................................................
Apresenta o resultado pedido ... (21, 26) ...............................................................
5 pontos
8 pontos
2 pontos
3. .................................................................................................................................................... 30 pontos
3.1. .......................................................................................................................... 15 pontos
Escreve a expressão h() 3−h()
0 (ou equivalente) (ver nota) ... 5 pontos
3−0
Indica h (3) = 32,775 ................................................................. 3 pontos
Indica h (0) = 94,8 ......................................................................
Conclui que tvm h [0; 3] ≈ – 20,7 .................................................
hb () − ha ()
Nota: Se o examinando se limitar a escrever a expressão
etapa deve ser classificada com 2 pontos.
b − a
3 pontos
4 pontos
(ou equivalente), esta
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3.2. .......................................................................................................................... 15 pontos
Descrição correcta, no contexto da situação, do que aconteceu
no instante t = 5,4 (ver nota) .................................................... 6 pontos
Nota: Exemplo de resposta: «o instante t = 5,4 é aquele em que a águia captura a presa.»
Se o examinando se limitar a referir que o instante é aquele em que a águia atinge, no seu
voo, a distância mínima ao solo, devem ser atribuídos, nesta etapa, quatro pontos.
Justificação ....................................................................................
9 pontos
A justificação apresentada deve ser classificada de acordo com os
seguintes níveis de desempenho (ver nota):
– refere que a taxa de variação instantânea no instante
t = 5,4 muda de sinal negativo para sinal positivo, e
conclui que a função h atinge um mínimo nesse instante
(ver nota).
.................................................................................. 9 pontos
– refere que a taxa de variação instantânea no instante
t = 5,4 muda de sinal, e conclui que a função h atinge um
mínimo nesse instante.
.................................................................................. 6 pontos
– refere que a taxa de variação instantânea no instante
t = 5,4 muda de sinal positivo para sinal negativo, e
conclui que a função h atinge um máximo nesse instante.
.................................................................................. 4 pontos
– refere que a taxa de variação instantânea no instante
t = 5,4 muda o sinal negativo para sinal positivo, e não
conclui que a função h atinge um mínimo nesse instante.
.................................................................................. 2 pontos
– Outras situações ..................................................... 0 pontos
Nota: A relação entre o sinal da taxa de variação e a monotonia da função pode ser apresentada
através de um quadro.
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4. .................................................................................................................................................... 20 pontos
Apresenta-se, a seguir, um exemplo de resposta:
«A afirmação I) é falsa, porque, quando foram plantadas, as árvores das espécies P e C
tinham, respectivamente, 0,74 m e 1,54 m, aproximadamente, pelo que a diferença entre as
alturas das duas árvores era de 0,8 m e não de 1,1m.
A afirmação II) é falsa, porque a abcissa do ponto de intersecção dos gráficos das duas
funções tem um valor aproximado de 6,3 anos e é a partir desse instante que a árvore da
espécie P fica mais alta do que a árvore da espécie C.
A afirmação III) é verdadeira, pois, atendendo às expressões apresentadas, conclui-se que
o gráfico da função P tem uma assimptota horizontal de equação y = 10 e que o gráfico da
função C tem uma assimptota horizontal de equação y = 6. No contexto do problema,
conclui-se que, com o decorrer do tempo, a altura da árvore da espécie P tenderá para
10 m, e a da espécie C para 6 m, pelo que a diferença de alturas tenderá para 4m.»
Como o exemplo ilustra, a composição deve abordar os seguintes tópicos:
• uma razão que mostre que a afirmação I) é falsa;
• uma razão que mostre que a afirmação II) é falsa;
• uma razão que mostre que a afirmação III) é verdadeira (ver nota).
Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classificado este item, de acordo com os níveis
de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa descritos nos
critérios gerais e com os níveis de desempenho no domínio específico da disciplina.
Descritores do nível de desempenho
no domínio específico da disciplina
Descritores do nível de desempenho no domínio
da comunicação escrita em língua portuguesa
Níveis*
1 2 3
3 A composição aborda, correctamente, os três tópicos. 18 19 20
Níveis**
2 A composição aborda, correctamente, apenas dois tópicos. 12 13 14
1 A composição aborda, correctamente, apenas um tópico. 6 7 8
** Descritores apresentados nos critérios gerais.
** Apenas podem ser atribuídas classificações correspondentes a um dos valores constantes do
quadro. Não há lugar a classificações intermédias.
No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio específico da disciplina, a
classificação a atribuir é de zero pontos. Neste caso, não é classificado o desempenho no domínio
da comunicação escrita em língua portuguesa.
Nota: Relativamente ao terceiro tópico da composição, a simples utilização de uma tabela não
prova, por si, que a diferença de alturas entre as duas árvores tenda para 4 m.
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GRUPO III
........................................................................................................................................................ 20 pontos
Indica a função objectivo (L(x, y) = 1600x + 1200y) ....................................
Indica as restrições ..................................................................................................
1 pontos
8 pontos
3x + 2y ≤ 24 ..............................................................................
5x + 5y ≤ 45 ..............................................................................
y ≤ 5 ............................................................................................
x ≥ 0 .............................................................................................
y ≥ 0 ............................................................................................
2 pontos
2 pontos
2 pontos
1 pontos
1 pontos
Representa graficamente a região admissível .........................................................
6 pontos
Representa correctamente 3x + 2y = 24 .................................
Representa correctamente 5x + 5y = 45 .................................
Representa correctamente y = 5 ................................................
Assinala o polígono .......................................................................
2 pontos
2 pontos
1 pontos
1 pontos
Calcula o valor da função objectivo em cada um dos vértices da região
admissível ou implementa o método gráfico ............................................................
Conclui que devem ser produzidas 6 toneladas de PPremium e 3 toneladas de
PRegular ................................................................................................................
3 pontos
2 pontos
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GRUPO IV
1. .................................................................................................................................................... 15 pontos
Regista os valores dos 3 cravos da pata dianteira esquerda (1.º, 2.º e 8.º), referidos
no enunciado .............................................................................................................
3 pontos
Calcula o valor de cada um dos 5 cravos restantes (2 pontos por cada um) .........
Calcula a soma .........................................................................................................
10 pontos
2 pontos
2. .................................................................................................................................................... 15 pontos
Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos.
1.º Processo:
Reconhecer que se trata de uma progressão geométrica de razão igual a 2 e primeiro
termo igual a 0,01 euros (ou 1 cêntimo) ........................................................................
Aplicar correctamente a fórmula da soma dos primeiros n termos de uma
progressão geométrica .............................................................................................
Concluir que é superior a 4 000 000 de euros .........................................................
7 pontos
5 pontos
3 pontos
2.º Processo:
Construir uma tabela dos termos da sequência das somas ............................................ 12 pontos
Concluir que é superior a 4 000 000 de euros .........................................................
3 pontos
Nota: Se o examinando construir apenas uma tabela dos termos da progressão geométrica, esta etapa
deve ser classificada com 5 pontos.
3.º Processo:
Calcular o valor do 30.º termo (ou do 31.º, ou do 32.º) ................................................. 12 pontos
Concluir que é superior a 4 000 000 de euros .........................................................
3 pontos
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GRUPO V
1. .................................................................................................................................................... 20 pontos
Estabelece cos
R
R h
................................................................................... 5 pontos
Resolve a equação em ordem a R .......................................................................... 13 pontos
De cos R
R h
obtém R cos α + h cos α = R ............... 5 pontos
De R cos α + h cos α = R obtém R (cos α –1) = –h cos α .. 5 pontos
−h
cos α
De R (cos α –1) = –h cos α obtém R =
.................
cos α −1
3 pontos
⎛ h cos α ⎞
Conclui que R =
................................................................................ ⎜ 1−cos
α
⎝
⎠⎟
2 pontos
α = +
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2. .................................................................................................................................................... 20 pontos
h cos α
Substitui na expressão R = os valores pertinentes .............................. 10 pontos
1− cos α
h = 2,35 km ................................................................................. 5 pontos
α = 1,5564º ..................................................................................
5 pontos
Calcula o valor de R ... (6367 km)..........................................................................
5 pontos
Indica a diferença dos valores obtidos pelos dois métodos
(6367 – 6316) ou (6316 – 6367) ....................................................................... 3 pontos
Apresenta o resultado pedido (51 ou – 51) ............................................................
2 pontos