LÓGICA COMBINACIONAL - Wuala

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA
GERÊNCIA EDUCACIONAL DE ELETRÔNICA
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM SISTEMAS DIGITAIS
LÓGICA COMBINACIONAL
Prof. Wilson B. Zapelini, Dr.
FLORIANÓPOLIS
2003

SUMÁRIO
Página
1 Lógica 2
1.1 Introdução 2
1.2 Principais características da lógica formal 2
1.3 O silogismo 5
1.4 Lógicas não clássicas 7
1.5 A dualidade do pensamento 8
1.6 A multiplicidade do pensamento 8
2. Álgebra booleana 9
2.1 Introdução - princípios 9
2.2 Funções e portas (Gates) lógicas 10
2.3 Descrição booleana de circuitos lógicos e de chaveamento 15
2.4 Implementação de circuitos a partir expressões booleanas 16
2.5 Representação booleana através da tabela da verdade 17
3. Minimização de Expressões 19
3.1 Método algébrico 19
3.2 Método do diagrama de Veitch-Karnaugh 21
3.3 Método de Quine-McCluskey 26
4. Solução de problemas por lógica combinacional 28
4.1 Sistemas digitais e sistemas analógicos 28
4.2 Sistemas combinacionais e sistemas seqüenciais 28
4.3 Especificação e implementação de um projeto 29
4.4 Níveis de implementação de um sistema digital 30
4.5 Resolução de projetos de sistemas digitais 31
4.6 Fluxograma para desenvolvimento de projetos digitais 32
5. Sistemas numéricos e Códigos 35
5.1 Sistemas de numeração 35
5.2 Códigos 42
5.3 Codificador decimal/binário 44
5.4 Decodificador para display de 7 segmentos 46
6. Circuitos aritméticos 50
6.1 Representação binária de números inteiros 50
6.2 Adição e subtração binária 52
6.3 Adição e subtração em BCD 53
6.4 Multiplicação e divisão binária 55
6.5 Meio somador 55
6.6 Somador completo 55
6.7 Meio subtrator 56
6.8 Subtrator completo 57
6.9 Somador/subtrator binário 57
6.10 Somador/subtrator binário usando complemento de 2 58
6.11 Unidade Lógica e Aritmética (ULA) 59
7. Circuitos multiplex e demultiplex 62
7.1 Multiplex 62
7.2 Demultiplex 66
7.3 Multiplex e Demultiplex utilizados na transmissão de dados 69
Experimentos 72
Referências Bibliográficas 81
1

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA
GERÊNCIA EDUCACIONAL DE ELETRÔNICA
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM SISTEMAS DIGITAIS
UNIDADE DE ENSINO: LÓGICA COMBINACIONAL
1 LÓGICA
1.1 INTRODUÇÃO
A lógica ocupa um lugar de destaque no pensamento contemporâneo, tanto por sua
importância filosófica, como por suas implicações técnicas.
A relação entre a lógica e a realidade foi sempre uma das mais importantes questões da
filosofia e, através dessa, da teoria das ciências. Nascida na Grécia clássica, a lógica
formal tendeu sempre a assumir o caráter de disciplina exata, terminando por se fundir
intimamente com a matemática.
A palavra lógica é familiar, pois freqüentemente, fala-se em comportamento lógico,
explicação lógica, espírito lógico. Lógica, no sentido epistemológico, vem do latim logica,
ciência das leis do raciocínio. É usada, fundamentalmente, na mesma acepção de
razoável.
O estudo da lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio
correto do incorreto. Naturalmente, não se pretende afirmar que só é possível argumentar
corretamente com alguém que tenha estudado lógica. No entanto, uma pessoa com
conhecimentos de lógica tem mais probabilidades de raciocinar corretamente do que
aquela que não se aprofundou nos princípios gerais implicados nessa atividade.
1.2 PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DA LÓGICA FORMAL
A lógica caracteriza-se como:
? Instrumental: é o instrumento do pensamento para pensar corretamente e verificar a
correção do que está sendo pensado;
? Formal: não se ocupa com os conteúdos ou com os objetos referidos pelo
pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressas
através da linguagem.
? Propedêutica: é o que devemos conhecer antes de iniciar uma investigação científica
ou filosófica, pois somente ela pode indicar os procedimentos (métodos, raciocínios,
demonstrações) que devemos empregar para cada modalidade de conhecimento;
? Normativa: fornece princípios, leis, regras e normas que todo pensamento deve seguir
se quiser ser verdadeiro;
? Doutrina da prova: estabelece as condições e os fundamentos necessários de todas
as demonstrações;
? Geral e temporal: as formas do pensamento, seus princípios e suas leis não
dependem do tempo e do lugar, nem das pessoas e circunstâncias, mas são
universais, necessárias e imutáveis como a própria razão.
O objeto da lógica é a proposição, que exprime, através da linguagem, os juízos
formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito:
S é P. O encadeamento dos juízos constitui o raciocínio e este se exprime logicamente
através da conexão de proposições, chamada silogismo. A lógica estuda os elementos
que constituem uma proposição (as categorias), os tipos de proposições e de silogismos
2

e os princípios necessários a que toda proposição e todo silogismo devem obedecer para
serem verdadeiros.
Na proposição, as categorias ou termos são os predicados atribuídos a um sujeito. O
sujeito (S) é uma substância; os predicados (P) são as propriedades atribuídas ao sujeito;
a atribuição ou predicação se faz por meio do verbo de ligação ser. Ex: Pedro é alto.
A proposição é um discurso declarativo que enuncia ou declara verbalmente o que foi
pensado e relacionado pelo juízo. A proposição reúne ou separa verbalmente o que o
juízo reuniu ou separou mentalmente.
A reunião ou separação dos termos recebe o valor de verdade ou de falsidade quando o
que foi reunido ou separado em pensamento e linguagem está reunido ou separado na
realidade (verdade), ou quando o que foi reunido ou separado em pensamento e
linguagem não está reunido ou separado em realidade (falsidade). A reunião se faz pela
afirmação (S é P). A separação se faz pela negação (S não é P).
A proposição representa o juízo (coloca o pensamento na linguagem) e a realidade
(declara o que está unido e o que está separado).
Do ponto de vista do sujeito, existem dois tipos de proposições:
- existencial: declara a existência, posição, ação ou paixão do sujeito. Ex: “Um homem
é (existe)”; “Um homem anda”. E suas negativas: “Um homem não é (não existe)”; “Um
homem não anda”.
- predicativa: declara a atribuição de alguma coisa a um sujeito por meio da ligação é.
Ex: “Um homem é justo”; Um homem não é justo”.
As proposições se classificam segundo a qualidade e a quantidade. Do ponto de vista da
qualidade, as proposições se dividem em:
- afirmativas: as que atribuem alguma coisa a um sujeito: S é P.
- negativas: as que separam o sujeito de alguma coisa: S não é P.
Do ponto de vista da quantidade, as proposições se dividem em:
- universais: quando o predicado se refere à extensão total do sujeito, afirmativamente
(todos os S são P) ou negativamente (nenhum S é P);
- particulares: quando o predicado é atribuído a uma parte da extensão do sujeito,
afirmativamente (alguns S são P) ou negativamente (alguns S não são P);
- singulares: quando o predicado é atribuído a um único indivíduo, afirmativamente
(este S é P) ou negativamente (este S não é P).
As proposições também se distinguem pela modalidade, sendo classificadas como:
- necessárias: quando o predicado está incluído na essência do sujeito, fazendo parte
dessa essência. Ex: “Todo triângulo é uma figura de três lados”.
- não-necessárias ou impossíveis: quando o predicado não pode, de modo algum, ser
atribuído ao sujeito. Ex: “Nenhum triângulo é figura de quatro lados”.
- possíveis: quando o predicado pode ser ou deixar de ser atribuído ao sujeito. Ex:
“Alguns homens são justos”.
Como todo pensamento e todo juízo, a proposição está submetida aos três princípios
lógicos fundamentais , condições de toda a verdade:
1. Princípio da identidade: um ser é sempre idêntico a si mesmo: A é A;
“O que é, é; o que não é, não é”.
2. Princípio da não-contradição: é impossível que um ser seja e não seja idêntico a si
mesmo ao mesmo tempo e na mesma relação. É impossível A é A e não-A;
3

“O que é não é o que não é”.
3. Princípio do terceiro excluído: das duas proposições com o mesmo sujeito e o
mesmo predicado, uma afirmativa e outra negativa, uma delas é necessariamente
verdadeira e a outra necessariamente falsa. A é x ou não-x, não havendo terceira
possibilidade.
Através destes princípios, as proposições podem ainda ser classificadas segundo a
relação em:
- contraditórias: quando se tem o mesmo sujeito e o mesmo predicado, uma das
proposições é universal afirmativa (todos os S são P) e a outra é particular negativa
(alguns S não são P); ou quando se tem uma universal negativa (nenhum S é P) e
uma particular afirmativa (alguns S são P);
- contrárias: quando, tendo o mesmo sujeito e o mesmo predicado, uma das
proposições é universal afirmativa (todo S é P) e a outra é universal negativa (nenhum
S é P); ou quando uma das proposições é particular afirmativa (alguns S são P) e a
outra é particular negativa (alguns S não são P);
- subalternas: quando uma universal afirmativa subordina uma particular afirmativa de
mesmo sujeito e predicado, ou quando uma universal negativa subordina uma
particular negativa de mesmo sujeito e predicado.
Os lógicos medievais criaram uma figura, conhecida como o quadrado dos opostos, na
qual pode-se visualizar as proposições segundo a qualidade, a quantidade, a modalidade
e a relação. As vogais indicam a qualidade e a qualidade.
A contrárias E
subalternas
contraditórias
subalternas
I sub-contrárias O
Universal afirmativa
Universal negativa
Todos os homens são sábios (A) ---- Todos os homens não são sábios (E)
Particular afirmativa
Alguns homens são sábios
Particular negativa
( I ) ---- Alguns homens não são sábios (O)
4

Pode-se utilizar os diagramas lógicos de Euler/Venn para visualizar as relações entre
conjuntos, onde se associa cada termo a uma região do plano, limitado por uma curva
fechada.
A - Proposição universal afirmativa
Todos os X são Y
E - Proposição universal negativa
Nenhum X é Y
Y
X
Y
X
I - Proposição particular afirmativa
O - Proposição particular negativa
Algum X é Y Algum X é não-Y (algum X não é Y)
Y
Y
X
X
1.3 O SILOGISMO
Aristóteles elaborou uma teoria do raciocínio como inferência. Inferir é tirar uma
proposição como conclusão de uma outra ou de várias outras proposições que a
antecedem e são sua explicação ou sua causa. O raciocínio é uma operação do
pensamento realizada por meio de juízos e enunciada lingüística e logicamente pelas
proposições encadeadas, formando um silogismo. Raciocínio e silogismo são operações
mediatas de conhecimento, pois a inferência significa que só conhecemos alguma coisa
(a conclusão) por meio ou pela mediação de outras coisas. A teoria aristotélica do
silogismo é o coração da lógica, pois é a teoria das demonstrações ou das provas, da
qual depende o pensamento científico e filosófico.
O silogismo possui três características principais:
a) Mediato: exige um percurso de pensamento e de linguagem para que se possa
chegar a uma conclusão;
b) Dedutivo: movimento de pensamento e de linguagem que parte de certas afirmações
verdadeiras para chegar a outras também verdadeiras e que dependem
necessariamente das primeiras;
c) Necessário: porque é dedutivo (as conseqüências a que se chega na conclusão
resultam necessariamente da verdade do ponto de partida).
Exemplo mais famoso de silogismo:
Todos os homens são mortais.
Sócrates é homem.
Logo,
Sócrates é mortal.
5

Um silogismo é constituído de três proposições. A primeira é chamada de premissa
maior, a segunda, de premissa menor e a terceira, de conclusão, inferida das
premissas pela mediação de um termo chamado termo médio. As premissas possuem
termos chamados extremos e a função do termo médio é ligar os extremos. Essa ligação
é a inferência ou dedução e sem ela não há raciocínio nem demonstração. Por isso, a arte
do silogismo consiste em saber encontrar o termo médio que ligará os extremos e
permitirá chegar à conclusão.
O silogismo deve obedecer a um conjunto complexo de regras para chegar a uma
conclusão verdadeira, os quais são apresentadas a seguir as mais importantes.
? A premissa maior deve conter o termo extremo maior (mortais) e o termo médio
(homens);
? A premissa menor deve conter o termo extremo menor (Sócrates) e o termo médio
(homem);
? A conclusão deve conter o maior (Sócrates) e o menor (mortal) e jamais deve conter o
termo médio (homem). Sendo função do médio ligar os extremos, deve estar nas
premissas, mas nunca na conclusão.
Portanto, a idéia geral da dedução ou inferência silogística é:
A é verdade de B.
B é verdade de C.
Logo, A é verdade de C.
Pode a inferência silogística ser construída com negativas:
Nenhum anjo é mortal (A é verdade de B).
Miguel é anjo (B é verdade de C).
Logo, Miguel não é mortal (A é verdade de C).
Exemplos de enunciados, checando se é um argumento e identificando as
premissas e conclusão:
a) Ele é Leão, pois nasceu na primeira semana de agosto.
Premissa: Ele nasceu na primeira semana de agosto.
Conclusão: Ele é Leão.
b) Eu não quero ir para cama, mamãe. O filme ainda não acabou.
Premissa: O filme ainda não acabou.
Conclusão: Eu não quero ir para cama.
c) Nos Estados Unidos muitas pessoas não sabem se o seu país apóia ou se opõe ao
governo da Nicarágua.
Não é um argumento.
Exercícios: Alguns dos enunciados seguintes são argumentos. Identifique as suas
premissas e a sua conclusão.
a) A economia não pode ser melhorada. O déficit comercial está crescendo todo dia.
b) Nós estávamos superados em número e em armas pelo inimigo, e suas tropas estavam
constantemente sendo reforçadas enquanto as nossas forças estavam diminuindo.
Assim, um ataque direto teria sido suicida.
c) Ele está respirando e, portanto, está vivo.
d) Há alguém, aqui, que entende este documento?
e) As pessoas talentosas como você deveriam receber uma educação superior. Vá para a
faculdade!
6

1.4 LÓGICAS NÃO-CLÁSSICAS
A lógica de dois valores: verdadeiro-falso é dita clássica, com axiomas que traduzem, com
certa fidelidade, a argumentação corriqueira. Entretanto, foi sendo, aos poucos,
considerada insuficiente para o entendimento de situações. Surgem outras lógicas que
utilizam diferentes axiomas, diferentes valores e diferentes classificações para as
sentenças.
1.4.1 LÓGICA TRIVALENTE
A lógica trivalente nasce da contemplação de sentenças que não sejam definitivamente
verdadeiras nem falsas, podendo admitir um terceiro status: indeterminação ou
neutralidade.
O terceiro estado, aquele que é indiferente ao sim e ao não, pode ser exemplificado numa
forma mais concreta. Uma tomada de energia elétrica pode suprir a demanda de um
aparelho que pode estar ligado ou desligado; mas pode também, ocorrer a falta de
energia elétrica. Nesse caso, nenhum dos dois estado está presente, mas sim uma
indiferença perante as duas possibilidades.
Tal lógica encontra ampla aplicação nos circuitos de microprocessadores, rebatizada de
tri-state. Os chamados circuitos integrados possuem três estados possíveis na saída: um,
zero e desabilitado.
1.4.2 LÓGICA PLURIVALENTE OU POLIVALENTE
Um novo aperfeiçoamento da lógica formal, com uma classificação mais complicada, que
leva em conta modalidades, como:
- Certamente verdadeiro
- Provavelmente verdadeiro
- Indiferente
- Provavelmente falso
- Certamente falso
1.4.3 LÓGICA DIFUSA (FUZZY LOGIC)
A teoria da fuzzy logic foi desenvolvida por Lotfi Zadeh e permite que seja aplicada em
máquinas/computadores processando informações vagas em termos relativos. Quando
aplicada num equipamento, age como se um operador experiente estivesse presente em
seu interior. Tem sua aplicação nos chamados sistemas especialistas, estabelecida por
linguagem denominada inteligência artificial.
Linguagens convencionais trabalham com informações do tipo sim ou não, podendo
responder sem problemas se uma pessoa é homem ou mulher. Porém, haveria uma
desorientação diante de uma questão mais vaga, como: a pessoa é alta? Se o
computador for instruído para considerar alto quem tiver mais de 1,80 m, então ele vai
classificar como baixo quem tiver 1,75 m. Entretanto, uma pessoa com 1,75 m é
razoavelmente alta. Dessa forma, a linguagem utilizada não seria condizente para a
questão proposta.
Os sistemas especialistas utilizam técnicas específicas que codificam o conhecimento
num conjunto de regras que, usadas por qualquer pessoa, permitem obter respostas a
7

problemas relacionados a um determinado assunto. Devem estabelecer uma ajuda
preciosa no diagnóstico, na concepção e na resolução de problemas.
O conhecimento heurístico é o mais difícil de obter porque os especialistas raramente
conseguem defini-lo. A representação do conhecimento num computador necessita de um
procedimento de inferência, isto é, um método de raciocínio que utiliza o conhecimento
juntamente com os dados do problema. O termo heurística deriva da mesma raiz grega de
heureca (descobrir) e se refere às regras de aprender com a prática ou pela boa
estimativa, ou ainda, pelo bom senso.
O grande desafio dos cientistas que desenvolvem inteligência artificial é criar programas
que aprendam com a experiência, isto é, criem conhecimento a partir do conhecimento
que lhes foi fornecido.
1.5 A DUALIDADE DO PENSAMENTO
? Desenvolvimento do pensamento: teses e antíteses definem a síntese
? Dualidade está profundamente ligada à própria consciência existencial humana:
- palavras e seus antônimos
- conceitos de afirmação e negação
- questões filosóficas: - yin e yang da milenar sabedoria oriental
- ter ou não ter do mundo capitalista
? A concepção e diferenciação do pensamento dual no homem:
ocidental: determina por exclusão – é bom ou é ruim, é positivo ou é negativo
oriental: determina por associação – é bom e é ruim, é positivo e é negativo
? Maniqueísmo (doutrina persa Mani/Manes): uma deturpação do dualismo(?)
? Percepção do oriental: dois pólos estão presentes em qualquer situação ou objeto.
Qual polaridade é determinante dependerá de quem vê ou sente
? A estrutura biológica do pensamento: interligações entre neurônios (sinapses) ocorrem
em série
? A formação das estruturas mentais: através de agrupamentos seqüenciais de
alternativas binárias
? A complexidade da natureza humana inviabiliza sua reprodução artificial-clone
? A questão de deter consciência inviabiliza a ação inteligente numa máquina
? A memória muscular - todo corpo possui a característica de restabelecer ou recuperar
sua antiga situação (tratamentos de Ortopedia e Ortodontia)
? O homem condiciona-se a determinados procedimentos mentais que são programados
pela máquina
1.6 A MULTIPLICIDADE DO PENSAMENTO
? Quando as idéias não obedecem à lógica dual: no amor e no ódio
Apesar de complementares, rompem com qualquer princípio lógico
? As pessoas agem de forma diversificada, têm comportamentos diferenciados em
situações distintas
Pode-se ter um lado romântico, artístico, sensitivo que convive com outro racional,
objetivo, frio, prático
8

2 ÁLGEBRA BOOLEANA
2.1 INTRODUÇÃO - PRINCÍPIOS
O período contemporâneo da lógica tem suas raízes estabelecidas nos trabalhos de
George Boole (1815-1864), que imprime novos rumos para a matéria com sua obra
Investigations of the laws of thought, publicada em 1854, onde compara as leis do
pensamento com as leis da álgebra. Boole atribuiu grande importância à sua álgebra,
imaginando que poderia provar as mais notáveis leis lógicas.
A álgebra booleana difere da álgebra convencional no sentido de que esta trata de
relações quantitativas, ao passo que a primeira se refere a relações lógicas. Na álgebra
convencional utilizam-se quantidades simbólicas tais como x, y para representar números.
Na solução de problemas algébricos, geralmente há interesse em saber o tamanho de x,
ou se x é maior que y, ou outra informação qualquer relacionada com quantidades. Por
outro lado, na álgebra booleana existe o interesse de conhecer um dos dois estados
possíveis de um termo simbólico. Por exemplo, quando é usada em lógica filosófica,
deseja-se saber se um enunciado pode assumir valores como falso ou verdadeiro. Um
outro exemplo pode ser encontrado na lógica digital, quando se deseja saber se um termo
algébrico apresenta valor um ou zero.
Na álgebra da lógica, segundo Boole, a lei: x.x = x é verdadeira para quaisquer valores
de x, uma vez que a classe formada com objetos que pertencem à classe x e com objetos
que pertencem a classe x, é a própria classe x. Todavia, na álgebra essa lei não é
geralmente válida. A equação x 2 = x tem duas soluções apenas, a saber x=0 e x=1.
Levando em conta esse fato, o pensador conclui que na álgebra da lógica são válidas as
leis da álgebra matemática quando os valores de x se limitam a 0 e 1. Assim, com tal
restrição, x.x = x é verdadeira para todos os valores da variável (restritos ao par 0,1).
Na sua álgebra da lógica, Boole interpretou os símbolos 0 e 1 como classes especiais, de
modo que 1 representa a classe de todos os objetos (o universo) e 0 representa a classe
a que nenhum objeto pertença (a classe vazia).
Boole apresentou a adição e a subtração em sua lógica, interpretadas de um modo
especial. Assim, x – y é a classe formada com os objetos da classe x, retirados os objetos
da classe y. Por exemplo, se x é a classe dos homens e y a dos europeus, x – y é a
classe dos homens não-europeus. De modo perfeitamente adequado, 1 – x seria a classe
constituída por todos os objetos (do universo) que não fizessem parte da classe x.
As igualdades eram, a seguir, tratadas por Boole de modo matemático. De x.x = x, por
exemplo, subtraindo x em cada membro da expressão, viria: x – x.x = x – x
Ou seja: x (1 – x) = 0 que é a legítima inferência , como se depreende de um exemplo
facilmente compreensível, visto a seguir.
Se x é a classe dos homens, então, 1 – x é a classe dos objetos que não são homens. O
produto de x por 1 – x deve ser igual a zero, a classe vazia, pois que não pode haver
objeto simultaneamente homem e não homem. Esse princípio é, para Boole, uma
formulação do princípio da não contradição, isto é, nenhum objeto pode ter duas
propriedades contraditórias.
9

2.2 FUNÇÕES E PORTAS (GATES) LÓGICAS
A álgebra de Boole é um sistema algébrico que consiste do conjunto {0, 1}; de duas
operações binárias: OU (+) chamada adição lógica ou união e E (x) chamada produto
lógico ou interseção; e de uma operação unária NÃO (barra sobreposta) chamada
complementação lógica ou inversão.
É importante destacar que um circuito lógico é definido como um circuito construído com
vários dispositivos lógicos para a realização de operações com funções de verdade. Os
dispositivos utilizados na construção destes circuitos variam com o estágio da tecnologia.
Por esta razão, é conveniente não se ater a questões referentes a componentes, mas sim
abordar circuitos lógicos em sua expressão universal como, por exemplo, os circuitos de
chaveamento, os quais serão aqui tratados.
2.2.1 FUNÇÃO E (AND)
Executa o produto lógico de duas ou mais variáveis booleanas.
Expressão
S = A . B
(lê-se: A e B)
Circuito de chaveamento
Tabela da verdade
A B A B S
0 0 0
S 0 1 0
1 0 0
1 1 1
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando todas as entradas forem iguais a um.
Símbolo
A
B
S
2.2.2 FUNÇÃO OU (OR)
Executa a adição lógica de duas ou mais variáveis booleanas.
Expressão
S = A + B
(lê-se: A ou B)
10

Circuito de chaveamento
A
Tabela da verdade
B A B S
0 0 0
S 0 1 1
1 0 1
1 1 1
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando uma ou mais entradas forem iguais a
um.
Símbolo
A
B
S
2.2.3 FUNÇÃO NÃO (NOT) OU INVERSORA
Executa a complementação lógica ou inversão de uma variável booleana.
Expressão
_
S = A
(lê-se: A barra)
Circuito de chaveamento
Tabela da verdade
R A S
0 1
A S 1 0
Lógica: A saída terá nível lógico inverso ao da entrada.
Símbolo
A
______ S
2.2.4 FUNÇÃO NÃO-E (NAND)
Executa a complementação da multiplicação lógica de duas ou mais variáveis booleanas.
Expressão
____
S = A . B
(lê-se: A e B barrados)
11

Circuito de chaveamento
Tabela da verdade
R A A B S
0 0 1
S 0 1 1
B 1 0 1
1 1 0
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando uma ou mais entradas forem iguais a
zero.
Símbolo
A
B
S
2.2.5 FUNÇÃO NÃO-OU (NOR)
Executa a complementação da adição lógica de duas ou mais variáveis booleanas.
Expressão
____
S = A + B
(lê-se: A ou B barrados)
Circuito de chaveamento
Tabela da verdade
R A B S
0 0 1
A B S 0 1 0
1 0 0
1 1 0
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando todas as entradas forem iguais a zero.
Símbolo
A
B
S
2.2.6 FUNÇÃO OU-EXCLUSIVO (EXOR – EXCLUSIVE OR)
Expressão
_ _
S = A.B + A.B = A ? B
(lê-se: A ou exclusivo B)
12

Circuito equivalente
Tabela da verdade
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando as entradas forem diferentes entre si.
Símbolo
A
B
S
2.2.7 FUNÇÃO COINCIDÊNCIA (NÃO OU-EXCLUSIVO - EXCLUSIVE NOR)
Expressão
_ _
S = A.B + A.B = A ? B =
A ? B
(lê-se: A coincidência B)
Circuito equivalente
Tabela da verdade
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Lógica: A saída será um, se e somente se, quando as entradas forem iguais entre si.
13

Símbolo
A
B
S
2.2.8 INTERLIGAÇÃO DE BLOCOS OU-EXCLUSIVO E COINCIDÊNCIA PARA N
VARIÁVEIS
2.2.9 EQUIVALÊNCIA DE PORTAS LÓGICAS
_
a) Porta lógica Inversora (S = A)
b) Porta lógica E (S = A.B)
14

c) Porta lógica OU (S = A + B)
___
d) Porta lógica NÃO-E (S = A.B)
____
e) Porta lógica NÃO-OU (S = A + B)
2.3 DESCRIÇÃO BOOLEANA DE CIRCUITOS LÓGICOS E DE CHAVEAMENTO
Todo circuito lógico pode ser completamente descrito através de operações booleanas. A
regra para a composição de uma expressão lógica é a mesma que se utiliza na álgebra
comum para determinar a ordem das operações.
Exercícios
1) Escrever as expressões lógicas dos circuitos constituídos de portas lógicas abaixo.
15

2) Obter as expressões lógicas dos circuitos de chaveamento abaixo.
A
B
C
D
A
C
B
D
A
B
E
C
D
F
G
I
J
H
K
L
2.4 IMPLEMENTAÇÃO DE CIRCUITOS A PARTIR DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
A partir de uma expressão booleana que define a operação de um circuito, pode-se
construir este circuito utilizando-se de procedimento inverso ao item anterior.
Exercícios
1) Desenhar os circuitos com portas lógicas a partir das expressões lógicas abaixo:
16

------- ----- _
a) S = (A+B).C.(B+D) d) S = [(A + B) + (C.D)].E
------ ----- _ _ _
b) S = A.B.C + (A+B).C e) S = [(A.B) + (C.D)].E + [(A.D.E) + (C.D.E)].A
-------------
c) S = (A.B + C.D)
2) Desenhar os circuitos de chaveamento a partir das expressões lógicas abaixo.
a) S = [A.(B+C).D] + E.(F+G+H)
b) S = A .F.(C.E + B) + D.{[G.(H+I)] + J + K.L}
2.5 REPRESENTAÇÃO BOOLEANA ATRAVÉS DA TABELA DA VERDADE
O estudo de uma função booleana pode ser efetuado com o uso da tabela da verdade,
onde se posicionam todas as situações possíveis e resultados assumidos de uma dada
expressão lógica.
2.5.1 TABELA DA VERDADE A PARTIR DA EXPRESSÃO BOOLEANA
a) Estrutura-se a tabela a partir do número de variáveis da expressão booleana,
estabelecendo todas as possibilidades;
b) Incorporam-se as colunas correspondentes a cada membro da expressão;
c) Preenchem-se as colunas com os resultados parciais e final.
Exercícios
1) A partir da expressão lógica, obtenha a tabela da verdade.
___
a) S = (A + B).(B.C)
b) S = A.B.C + A.D + A.B.D
2) Demonstre através da tabela da verdade as seguintes igualdades/desigualdades:
_ _ ___ _ _ ____ _ _ ____ _ _ ___
a) A.B ? A.B b) A + B ? A + B c) A.B = A + B d) A + B = A.B
2.5.2 EXPRESSÃO BOOLEANA A PARTIR DA TABELA DA VERDADE
a) Os termos da expressão são obtidos a partir da coluna com valores da saída iguais
a um;
b) O valor de cada termo é expresso pela multiplicação lógica das variáveis, sendo
que para nível lógico zero se expressa uma determinada variável A por A e para
nível lógico um a mesma é expressa apenas por A.
c) Por último, somam-se os termos obtidos, compondo a expressão lógica.
17

Exercícios
Determine a expressão lógica para cada uma das saídas das tabelas da verdade abaixo.
A B C S A B C D S
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
18

3 MINIMIZAÇÃO DE EXPRESSÕES
Uma expressão booleana relativa a determinado circuito lógico pode ser reduzida a uma
forma mais simples, isto é, uma expressão que contenha o menor número possível de
termos e de respectivas variáveis em cada termo. Esta nova expressão deve resultar num
circuito lógico com menos portas lógicas e menos conexões entre tais portas.
Três métodos serão aqui abordados: método algébrico, método do diagrama de Veitch-
Karnaugh e método de Quine-McCluskey.
3.1 MÉTODO ALGÉBRICO
3.1.1 POSTULADOS
a) Postulado da complementação
Se A=0, então: A =1
Se A=1, então: A =0
Identidade obtida: A =A
b) Postulados da adição
0+0 = 0 Identidades obtidas: A+0=A
0+1 = 1 A+1=1
1+0 = 1 A+A=A
1+1 = 1 A+ A =1
c) Postulados da multiplicação
0.0 = 0 Identidades obtidas: A.0=0
0.1 = 0 A.1=A
1.0 = 0 A.A=A
1.1 = 1 A. A =0
3.1.2 PROPRIEDADES
a) Propriedade Comutativa
Adição: A+B = B+A
Multiplicação: A.B = B.A
b) Propriedade Associativa
Adição: A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C
Multiplicação: A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C
c) Propriedade Distributiva
A.(B+C) = A.B + A.C
3.1.3 TEOREMAS DE AUGUSTUS DE MORGAN
a) O complemento do produto é igual a soma dos complementos.
A .B ? A ? B
Para N variáveis: A .B.C....N ? A ? B ? C ? ...?
N
b) O complemento da soma é igual ao produto dos complementos.
A ? B ? A.B
Para N variáveis: A ? B?
C?
...?
N ? A.B.C..... N
19

3.1.4 IDENTIDADES AUXILIARES
a) A + A.B = A
Demonstração: A+A.B = A.(1+B) = A.1 = A
b) (A+B).(A+C) = A + B.C
Demonstração: (A+B).(A+C) = A.A + A.C + A.B + B.C = A + A.C + A.B + B.C
= A.(1+B+C) + B.C = A.1 + B.C = A + B.C
c) A ? A.B ? A?
B
Demonstração:
A ? A.B ? A?
A.B ? A.(A.B) ? A.(A?
B) ? A.A?
= A .B ? A?
B ? A?
B
A. B
3.1.5 SIMPLIFICAÇÃO ALGÉBRICA
Os teoremas da álgebra booleana podem ser usados para simplificar uma expressão
lógica. Entretanto, nem sempre são possíveis determinar quais os teoremas, postulados e
propriedades que devem ser aplicados a uma determinada expressão, de modo a
produzir o resultado mais simples. Além disso, não há uma regra para se determinar se a
expressão já está em sua forma mais simples ou se ainda há mais simplificações a serem
feitas. Sendo assim, muitas vezes, a simplificação algébrica se torna um processo de
tentativa e erro. Com o tempo, pode-se começar a obter resultados razoavelmente bons
com a aplicação desta metodologia.
Dois passos podem ser descritos como essenciais na simplificação de determinada
expressão booleana:
a) A expressão original é colocada na forma de soma-de-produtos por aplicações
repetidas dos teoremas de DeMorgan e pela multiplicação dos termos obtidos;
b) Uma vez na forma de soma-de-produtos, os termos de cada produto são verificados de
maneira a encontrar fatores comuns, sendo a fatoração executada, sempre que
possível. Assim, a fatoração resultará na eliminação de dois ou mais termos.
Exemplo
S ? A.B.C?
A.B.(A.C)
Simplificação algébrica
a) Aplica-se o teorema de DeMorgan para eliminar as barras de complementação e após
a multiplicação dos termos resultantes:
S ? A.B.C?
A.B.(A ? C) ? A.B.C?
A.B.(A?
C)
S ? A.B.C?
A.B.A?
A.B.C ? A.B.C?
A.B ? A.B.C
b) Com a expressão na forma de soma-de-produtos, procura-se por variáveis comuns
entre os diversos termos da expressão, a fim de proceder a fatoração:
S ? A.C.(B?
B) ? A.B ? A.C.(1) ? A.B ? A.C?
A.B
S ? A(C ?
B)
Exercícios
Simplifique as expressões booleanas:
a) S ? A.B.C ? A.B. C
20

) S ? (A?
B ? C).(A?
C)
c) S ? (A?
B?
C).(A.B.C)
d) S ? A?
A.B?
A.B?
A.B ? A. B
e) S ? A.B.C?
A ? B ? C
f) S ? A.B.C?
A.C ? A. B
g) S ? A.B.C?
A.B.C?
A.B.C ? A.B.C ? A.B. C
h) S ? (A?
B?
C).(A ? B ? C)
i) S ? [A.C ? B?
D] ? C.(A.C.D)
j) S ? (A?
B).[B.(A?
C) ? D.(A ? B?
C) ]
k) Prove que: S ? A?
B ? A?
B
l) Demonstre em portas ou-exclusivo: S ? A.B.C ? A.B.C?
A.B.C?
A.B. C
3.2 MÉTODO DO DIAGRAMA DE VEITCH-KARNAUGH
É uma forma modificada da tabela da verdade, na qual as combinações das entradas
estão arranjadas de uma forma particularmente conveniente. Portanto, é um método
gráfico que usa o processo de mapeamento visual da função booleana a ser simplificada.
Teoricamente o mapa de Karnaugh pode ser usado em problemas envolvendo qualquer
número de variáveis de entrada, porém, sua utilização limita-se a circuitos com seis
variáveis, no máximo.
3.2.1 DIAGRAMA PARA 2 VARIÁVEIS
A
A
B B
A . B A .B
A. B A.B
Método de simplificação
? Agrupam-se as regiões onde S=1, no menor número possível de pares (conjunto de 2
regiões vizinhas);
? As regiões que não puderem ser agrupadas em pares serão tratadas isoladamente;
? Verifica-se em cada par o valor da variável: se a mesma muda de valor lógico, é
desprezada; se a variável mantém seu nível lógico, será o valor do par;
? Escreve-se a expressão de cada par, isto é, o valor que o mesmo ocupa no diagrama;
? Somam-se os pares e/ou termos isolados.
Obs: A simplificação baseia-se na Identidade do Postulado da Adição: A ? A ? 1
21

Exemplos
a) S ? A.B?
A.B ? A.B
B B
A 0 1 Expressão simplificada: S = A + B
A 1 1
Circuitos antes e após a simplificação
b) S ? A.B ? A.B ? A. B
B B
A 1 1 Expressão simplificada: S = A ? B
A 1 0
3.2.2 DIAGRAMA PARA 3 VARIÁVEIS
A
A
B B
A .B. C A .B.C
A .B.C A .B. C
A. B. C B.C
C C C
A. A.B.C A.B. C
Método de simplificação
? Localizam-se as quadras (agrupamento de 4 regiões) e escrevem-se suas expressões;
? Localizam-se os pares e escrevem-se suas expressões, não considerando os pares já
incluídos nas quadras. Todavia, pode-se ter um par formado por “1” externo à quadra
e outro “1” pertencente à quadra;
? Localizam-se os termos isolados que não puderam ser agrupados e escrevem-se suas
expressões;
? Somam-se as expressões das quadras, dos pares e dos termos isolados.
Obs: O diagrama para 3 variáveis fecha-se nas laterais, como um cilindro.
Exemplos
a) S ? A.B.C?
A.B.C ? A.B.C ? A.B.C ? A.B. C
B B
A 1 1 Expressão simplificada: S ? A.C?
A.B ? A. C
A 1 1 1
C C C ou: S ? A.C ? B.C ? A. C
22

) S ? A.B.C ? A.B.C ? A. B.C ? A.B.C ? A.B. C
B B
A 1 1 1 Expressão simplificada: S ? C ? A.B
A 1 1
C C C
Exercícios: Simplifique as expressões lógicas abaixo
a) S ? A.B.C ? A.B.C?
A.B.C ? A.B.C ? A.B.C
b) S ? A.B.C ? A.B.C ? A.B. C
c) S ? A.B.C ? A.B.C ? A.B.C ? A.B.C ? A.B.C
3.2.3 DIAGRAMA PARA 4 VARIÁVEIS
A
A
C
C
A .B.C. D A .B.C .D A .B.C.D
A .B.C. D B
A .B.C.D A .B.C.D
A .B.C.D A .B.C. D B
A.B. C. D A.B. C.D
A.B.C.D A.B.C. D
A. B.C.D A. B.C.D
A. B.C.D
A. B.C. D B
D D D
Método de simplificação
? Localizam-se as oitavas (agrupamento de 8 regiões) e escrevem-se suas expressões;
? Localizam-se as quadras e escrevem-se suas expressões, não considerando as
quadras já inclusas nas oitavas. Localizam-se os pares e escrevem-se suas
expressões, não considerando os pares já incluídos nas oitavas e/ou quadras.
Todavia, pode-se ter uma quadra/par formado por “1s” externos à oitava/quadra e
outros “1s” pertencentes à oitava/quadra;
? Localizam-se os termos isolados que não puderam ser agrupados e escrevem-se suas
expressões;
? Somam-se as expressões das oitavas, das quadras, dos pares e dos termos isolados.
Obs: O diagrama para 4 variáveis fecha-se nas laterais, bem como nos extremos superior
e inferior.
Exemplos
S ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ?
a)
? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D
A.B.C.D ? A.B.C.D ?
A.B.C.D ?
C
C
A 1 1 1 B
1 1 B Expressão simplificada:
A 1 1 1 S ? D ? A.C ? A.B .C
1 1 1 B
D D D
23

)
S ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D?
A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D
C
C
A 1 1 1 B
1 B Expressão simplificada:
A 1 1 S ? A.B.D ? C.D ? B. D
1 1 1 B
D D D
Exercícios: Simplifique as expressões lógicas abaixo
a) S ? A.B.C.D ? A.B.C.D?
A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D
b)
S ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ?
A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D
A.B.C.D ?
c)
S ? A.B.C.D ? A.B.C.D?
A.B.C.D ? A.B.C.D
A.B.C.D ?
A.B.C.D ? A.B.C.D ?
A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D ?
d) S ? A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D?
A.B.C.D ? A.B.C.D ? A.B.C.D?
A.B.C.D ? A.B.C.D
FUNÇÕES INCOMPLETAS - CONDIÇÃO IRRELEVANTE (? OU X)
Uma função pode ser apresentada sem ser definida para uma ou mais das combinações
possíveis das variáveis de entrada. Neste caso, a variável pode assumir,
indiferentemente, o valor 0 ou 1. Por conseguinte, adota-se o nível lógico que representar
maior grau de simplificação de uma expressão.
Exemplo:
C
C
A X X 1 B
1 1 1 B Expressão simplificada:
A X X S ? A.C?
A.D ? A.C .D
1 X B
D D D
24

3.2.4 DIAGRAMA PARA 5 VARIÁVEIS
A .B .C .D .E A .B.C.D .E
A A
D D D D
A. B.C.D.E
A..B.C.D.
E C A. B.C.D. E A. B.C.D.E
A. B.C.D.E
A. B.C.D. E C
B
A .B.C. D. E A .B.C.D.E
A .B.C. D.E A .B.C. D.E
A.B.C.D.E
A.B.C.D. E
C
B
A. B.C. D. E A. B.C.D.E
A. B.C.D.E
A. B.C.D. E
A .B.C.D.E A.B.C.D.
E C A.B.C. D. E A.B.C. D.E
A.B.C.D.E A.B.C.D. E
C
C
B
A. B. C .D . E A .B.C.D.E
A .B.C.D.E
.B.C.D. E
A C B C.D.E
A.B. A.B. C.D .E A.B. C .D.E A.B. C.D. E
E E E E E E
C
Método de simplificação
? Localizam-se as hexas (agrupamento de 16 regiões) e escrevem-se suas expressões;
? Localizam-se as oitavas e escrevem-se suas expressões, não considerando as oitavas
já inclusas nas hexas. Localizam-se as quadras e escrevem-se suas expressões, não
considerando as quadras já inclusas nas oitavas e/ou hexas. Localizam-se os pares e
escrevem-se suas expressões, não considerando os pares já incluídos nas hexas,
oitavas e/ou quadras. Todavia, pode-se ter uma oitava/quadra/par formado por “1s”
externos a hexa/oitava/quadra e outros “1s” pertencentes à hexa/oitava/quadra;
? Localizam-se os termos isolados que não puderam ser agrupados e escrevem-se suas
expressões;
? Somam-se as expressões obtidas das hexas, das oitavas, das quadras, dos pares e
dos termos isolados.
Obs: O diagrama para 5 variáveis é constituído de dois diagramas para 4 variáveis.
Exemplo: Obter a expressão lógica simplificada a partir da tabela da verdade abaixo
A B C D E S1 S2
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
Site alemão com programa para minimizar expressões lógicas por Karnaugh:
http://maui.theoinf.tu-ilmenau.de/~sane/projekte/karnaugh/embed_karnaugh.html
25

3.3 MÉTODO DE QUINE-McCLUSKEY
Este método aplica-se exclusivamente a funções booleanas na forma de soma-deprodutos
e notação binária. Supera as limitações do mapa de Karnaugh, que pode ser
aplicado a funções com mais de seis variáveis e apresenta um procedimento que permite
a utilização em computadores. Consiste na aplicação sucessiva do teorema expresso por:
A .B? A.B ? A, termos que diferem entre si apenas por um dígito binário.
Método de simplificação
a) Classificam-se e agrupam-se em conjuntos os termos da função booleana de acordo
com seus índices (mesmo números de 1’s em sua forma binária) de forma crescente.
b) Comparam-se todos os termos de um dado grupo com cada termo do grupo seguinte,
ou seja, de índice imediatamente superior, mediante a utilização do teorema
A .B? A.B ? A. Aplica-se sucessivamente esse teorema comparando cada termo do
grupo do índice i com todos os termos do grupo do índice i+1 até esgotarem-se as
possibilidades. O termo resultante consiste na representação fixa original com o dígito
diferente substituído por um x. Por outro lado, marcam-se com setas todos os termos
comparados com ao menos outro termo.
c) Após tabular os termos comparados, procede-se novamente conforme o exposto no
item b até esgotarem-se as possibilidades. Os termos que ficarem sem a seta
marcada formam o conjunto dos termos irredutíveis, ou seja, os termos da expressão
simplificada.
Exemplos
1. Determinar a expressão simplificada:
S(A, B, C) ? A.B.C?
A.B.C ? A.B.C ? A.B.C?
A.B.C?
A.B.C
Solução: S(A,B,C) = ? (1,4,2,3,5,7) = ? (001,100,010,011,101,111)
Termos A B C Termos A B C Termos A B C
1 0 0 1 ? 1,3 0 X 1 ? 1,3/5,7 X X 1 C
2 0 1 0 ? 1,5 X 0 1 ? 1,5/3,7 X X 1 C
4 1 0 0 ? 2,3 0 1 X A . B
3 0 1 1 ? 4,5 1 0 X A . B
5 1 0 1 ? 3,7 X 1 1 ?
7 1 1 1 ? 5,7 1 X 1 ?
A expressão simplificada é:
S ? A.B?
A.B ? C
2. Determinar a expressão simplificada:
S ? ABCDE ? A B CD E ? ABC D E ? A BCDE ? A BC D E ? A BC D E?
ABC DE ? A BCDE ? A BC DE ? AB CDE
Solução:
S = ? (7,22,2,16,18,13,28,15,12,4)
S = ? (00111,10110,00010,10000,10010,01101,11100,01111,01100,00100)
26

Termos A B C D E Termos A B C D E
2 0 0 0 1 0 ? 2,18 X 0 0 1 0 B .C.D. E
4 0 0 1 0 0 ? 4,12 0 X 1 0 0 A .C.D. E
16 1 0 0 0 0 ? 16,18 1 0 0 X 0 A .B.C. E
12 0 1 1 0 0 ? 12,28 X 1 1 0 0 B .C.D. E
18 1 0 0 1 0 ? 18,22 1 0 X 1 0 A .B.D. E
7 0 0 1 1 1 ? 7,15 0 X 1 1 1 A .C.D. E
13 0 1 1 0 1 ? 13,15 0 1 1 X 1 A .B.C. E
22 1 0 1 1 0 ?
28 1 1 1 0 0 ?
15 0 1 1 1 1 ?
A expressão simplificada é:
S ? B.C.D.E ? A.C.D.E ? A.B.C.E ? B.C.D.E ? A.B.D.E ? A.C.D.E ?
A.B.C.E
27

4 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS POR LÓGICA COMBINACIONAL
4.1 SISTEMAS DIGITAIS E SISTEMAS ANALÓGICOS
Um sistema digital é um sistema no qual os sinais têm um número finito de valores
discretos. Por outro lado, nos sistemas analógicos os sinais têm valores pertencentes a
um conjunto contínuo (infinito).
A utilização das técnicas digitais proporciona novas aplicações da eletrônica bem como
de outras tecnologias, substituindo grande parte dos métodos analógicos existentes.
Assim, a mudança para a tecnologia digital tem as seguintes vantagens:
a) Os sistemas digitais são mais fáceis de projetar, devido ao fato de os circuitos
empregados nos sistemas digitais serem circuitos de chaveamento, onde os valores
exatos de tensão e corrente dos sinais manipulados não são tão importantes, bastando
resguardar a faixa de operação (alto ou baixo) destes sinais.
b) O armazenamento da informação é fácil, pois os circuitos especiais de chaveamento
podem reter a informação pelo tempo que for necessário.
c) Precisão e exatidão são maiores, pois os sistemas digitais podem trabalhar com
tantos dígitos de precisão quantos forem necessários, com a simples adição de mais
circuitos de chaveamento.
d) As operações podem ser programadas, por um conjunto de instruções previamente
armazenadas, chamado programa.
e) Os circuitos digitais são menos afetados por ruídos, provocados por flutuações na
tensão de alimentação ou de entrada, desde que o nível de ruído não atrapalhe a
distinção entre os níveis alto e baixo.
f) Os circuitos digitais são mais adequados à integração, onde os avanços da
tecnologia microeletrônica possibilitaram a fabricação de sistemas digitais complexos,
pequenos, rápidos e baratos.
g) Os circuitos digitais podem ter diferentes implementações de sistemas que
estabelecem um compromisso entre velocidade e quantidade de hardware.
Só existe uma grande desvantagem para o uso das técnicas digitais: o mundo real é
predominantemente analógico. A grande maioria das variáveis (quantidades) física é,
em sua natureza, analógica, e geralmente elas são as entradas e saídas que devem ser
monitoradas, operadas e controladas por um sistema. Sendo assim, três etapas devem
ser executadas:
a) Converter o mundo real das entradas analógicas para a forma digital;
b) Processar (ou operar) a informação digital;
c) Converter as saídas digitais de volta para o mundo real, em sua forma analógica.
4.2 SISTEMAS COMBINACIONAIS E SISTEMAS SEQÜENCIAIS
Os sistemas digitais dividem-se em duas classes: sistemas combinacionais e sistemas
seqüenciais.
28

Nos sistemas combinacionais, uma saída no tempo t depende somente da entrada no
tempo t. Neste caso, o sistema não tem memória porque a saída não depende de
entradas prévias. Portanto, a saída é dependente, única e exclusivamente, das variáveis
de entrada.
Exemplo: um cadeado de códigos (usado para prender bicicletas) – o cadeado será
aberto num dado tempo t quando o código do cadeado é colocado nas entradas em t,
sem considerar a história nas entradas. Se for o código 234, por exemplo, o cadeado será
aberto quando esta combinação for colocada nas entradas, independentemente da ordem
de colocação dos dígitos do código.
Nos sistemas seqüenciais, uma saída no tempo t depende da entrada no tempo t e,
possivelmente, também depende da entrada no tempo anterior a t. A saída é dependente
das variáveis de entrada e/ou de seus estados anteriores armazenados.
Exemplo: um sistema de discagem telefônica – o número de um assinante a ser discado
será efetuado num dado instante t, se forem satisfeitas as seguintes condições: a) os
dígitos discados antes do instante t devem seguir a seqüência daquela do número do
assinante; b) o dígito discado no instante t, isto é, o último a ser discado, corresponde ao
último dígito do número do assinante; c) todos os dígitos devem estar memorizados e
disponibilizados na mesma seqüência da discagem no instante t.
4.3 ESPECIFICAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM PROJETO
Especificação
(função e outras características)
Análise
Projeto
Implementação
(rede de módulos)
A especificação de um sistema refere-se a uma descrição de sua função e de outras
características, necessárias para seu uso, como por exemplo, a velocidade, a tecnologia e
o consumo de energia. Está relacionada com o que o sistema faz sem referir-se a como
ele executa a operação. Uma especificação deve ser a mais completa possível e mais
simples possível, de modo a descrever a função do sistema de uma maneira adequada
para dois propósitos:
a) usar o sistema como um componente em sistemas complexos;
b) servir como base para a implementação do sistema através de uma rede de
componentes mais simples.
Uma implementação de um sistema refere-se a como o mesmo é construído a partir de
componentes mais simples, No caso de sistemas digitais, a implementação é uma rede
digital que consiste na interconexão de módulos digitais. Esta rede pode ser definida em
29

diversos níveis, dependendo da complexidade dos módulos primitivos usados, os quais
podem variar de portas lógicas muito simples até processadores mais complexos.
No nível físico, todos os sistemas digitais são implementados através de uma
interconexão complexa de componentes eletrônicos elementares, como por exemplo,
transistores, resistores, etc. Entretanto, a representação ou descrição desta
implementação não é prática, devida à complexidade da maioria dos sistemas digitais.
Assim, é necessário definir níveis intermediários de módulos de crescente complexidade,
cuja descrição inclua somente características que são relevantes para o uso dos mesmos
num sistema mais complexo.
A análise de um sistema tem como objetivo a determinação de sua especificação a partir
de uma implementação. O sistema assim analisado pode ser um módulo num sistema de
maior porte, resultando num processo de análise de múltiplos níveis.
O processo de projeto consiste na obtenção de uma implementação que satisfaça a
especificação de um sistema. Se o sistema for complexo, também será necessário usar
uma abordagem de múltiplos níveis.
Abordagem descendente
Abordagem ascendente
Abordagem descendente – decompõe o sistema em subsistemas que são, por sua vez,
decompostos em outros subsistemas mais simples, até que um nível seja alcançado, no
qual o subsistema possa ser realizado diretamente com módulos disponíveis.
Abordagem ascendente – conecta vários módulos disponíveis para formar subsistemas
que, por sua vez, são conectados a outros subsistemas até que a especificação funcional
necessária seja preenchida.
4.4 NÍVEIS DE IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DIGITAL
A implementação de um sistema pode ser descrita em diferentes níveis, como a seguir é
ilustrado.
30

Nível de módulo – o sistema consiste de dois registradores e um somador.
Nível lógico – o sistema é implementado com portas lógicas e flip-flops. Estes
componentes são conectados para formarem redes que implementam funções mais
complexas (como, por exemplo, os registradores e o somador).
Nível físico – neste nível os componentes são realizados em alguma tecnologia
eletrônica, como, por exemplo, os transistores.
4.5 RESOLUÇÃO DE PROJETOS DE SISTEMAS DIGITAIS
As etapas básicas de um projeto de sistema digital são:
a) descrição (especificação);
b) projeto (síntese), incluindo várias otimizações para reduzir o custo e melhorar o
desempenho;
c) verificação (por simulação ou formalmente) do projeto com relação a sua
especificação.
a) Descrição
O modo mais comum de descrever sistemas digitais consiste em uma descrição de sua
estrutura através de uma forma gráfica (desenho), onde fornece um diagrama lógico do
sistema em diferentes níveis, mostrando os módulos e suas interligações. Estes desenhos
podem ser elaborados manualmente, porém, atualmente há ferramentas computacionais
que permitem gerar e editar estes desenhos. O processo é chamado de captura de
esquemáticos, porque a ferramenta é usada para capturar a descrição esquemática do
31

sistema digital. O processo é suportado por bibliotecas de componentes-padrão, de forma
que um sistema pode ser construído usando-se partes-padrão que são reunidas para
compor uma implementação.
Uma abordagem alternativa e que está se tornando amplamente aceita é o uso da
linguagem de descrição de hardware (HDL). Diversas linguagens deste tipo têm sido
propostas com a recente padronização de duas delas: a Verilog e a VHDL.
b) Projeto
As ferramentas de síntese e otimização ajudam a obter uma implementação a partir de
determinada descrição e a melhorar algumas características como, por exemplo, o
número de módulos e os retardos da rede.
c) Verificação
As ferramentas de simulação são utilizadas para verificar a operação do sistema, onde
usam a descrição do sistema para produzir os valores dos sinais (internos e externos)
para determinada entrada. A simulação é usada para detectar erros num projeto e para
determinar características, como retardos e consumo de energia, as quais são difíceis de
obter analiticamente.
4.6 FLUXOGRAMA PARA DESENVOLVIMENTO DE PROJETOS DIGITAIS
Análise da
Situação
Tabela da
verdade
Expressão
lógica
simplificada
Circuito
lógico
A seqüência do processo de desenvolvimento de projetos digitais se estabelece,
inicialmente, com a análise da situação prática, buscando identificar as variáveis de
entrada e de saída, bem como um modelo que irá solucionar o problema. Em seguida,
constrói-se a tabela da verdade, simulando todas as possibilidades para as variáveis de
entrada e obtendo-se os respectivos valores na(s) saída(s). Na continuação, obtêm-se as
expressões lógicas simplificadas por um dos métodos já vistos. Por último, desenha-se
o circuito lógico esquemático constituído de portas lógicas.
EXERCÍCIOS DE PROJETOS DIGITAIS
1. Projeto com 2 variáveis
Instalação de um sistema automático para controle dos semáforos
Situação: - carros na rua B ? verde no semáforo 2
- carros na rua A ? verde no semáforo 1
- carros nas ruas A e B ? verde no semáforo 1, porque rua A é preferencial
Rua
B
- Rua A
Semáforos 1 Semáforos 2
32

2. Projeto com 3 variáveis
Conexão de 3 aparelhos a um amplificador, obedecendo às prioridades:
1 a ) CD player
2 a ) Tape playback
3 a ) Radio receptor
Situação:
CD player Tape playback Radio
receptor
Amplificador
3. Projeto com 4 variáveis
Conexão de 4 setores, via intercomunicadores, a central da Secretária, obedecendo às
prioridades:
1 a ) Presidente
2 a ) Vice Presidente
3 a ) Engenharia
4 a ) Chefes de Seção
Situação:
Presidente
Vice
Presidente
Engenharia
Chefes de Seção
Central
Secretária
4. Desenhe um circuito lógico para, em um conjunto de três chaves, detectar um número
ímpar destas ligadas. Convencionar que chave fechada equivale a nível lógico 0.
Situação:
A
B
Circuito
lógico
S
C
5. Num entroncamento de três ruas A, B e C deseja-se instalar um conjunto de semáforos
para as seguintes funções:
a) Quando o semáforo 1 abrir para a rua A, automaticamente os semáforos 2 e 3
devem fechar, para possibilitar ao motorista ambas as conversões;
b) Analogamente, quando o semáforo 2 abrir, devem fechar os semáforos 1 e 3;
c) Pelo mesmo motivo, quando o semáforo 3 abrir, devem fechar os semáforos 1 e 2.
Deve-se seguir também, as seguintes prioridades:
33

a) O motorista que está na rua A tem prioridade em relação ao motorista que está na
rua B;
b) O motorista que está na rua B tem prioridade em relação ao motorista que está na
rua C;
c) O motorista que está na rua C tem prioridade em relação ao motorista que está na
rua A;
d) Quando houver carros nas três ruas, a rua A é preferencial;
e) Quando não houver nenhum carro nas ruas, deve-se abrir o sinal para a rua A.
Obtenha as expressões e os circuitos dos sinais verdes e vermelhos, dos semáforos 1, 2
e 3.
Situação:
Rua B
3 1
Rua A
Rua C
2
6. Projete um circuito lógico para acender 3 leds, isoladamente, nas seguintes situações:
a) um número par acende o led 1;
b) um número ímpar acende o led 2;
c) um número múltiplo de 3 acende o led 3.
7. Projetar um circuito lógico para comparar 2 números binários de 2 bits cada, tal que:
A 1 A 0 < B 1 B 0 ? acende led 1;
A 1 A 0 = B 1 B 0 ? acende led 2;
A 1 A 0 > B 1 B 0 ? acende led 3.
8. Desenhe um circuito com portas lógicas para detectar um número par de chaves
ligadas, num conjunto de 5 chaves. Convencionar que chave fechada equivale a nível
lógico 0.
34

5 SISTEMAS NUMÉRICOS E CÓDIGOS
5.1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
DECIMAL
(base 10)
BINÁRIO
OCTAL
(base 2)
(base 8)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
20 10100 24 14
21 10101 25 15
22 10110 26 16
23 10111 27 17
24 11000 30 18
25 11001 31 19
26 11010 32 1A
27 11011 33 1B
28 11100 34 1C
29 11101 35 1D
30 11110 36 1E
31 11111 37 1F
32 100000 40 20
33 100001 41 21
34 100010 42 22
35 100011 43 23
36 100100 44 24
37 100101 45 25
38 100110 46 26
39 100111 47 27
40 101000 50 28
41 101001 51 29
42 101010 52 2A
43 101011 53 2B
44 101100 54 2C
45 101101 55 2D
46 101110 56 2E
47 101111 57 2F
48 110000 60 30
49 110001 61 31
50 110010 62 32
35
HEXADECIMAL
(base 16)

5.1.1 Introdução
O sistema numérico de maior importância utilizado pelos sistemas digitais é o binário,
embora existam alguns outros também importantes. Um deles, o decimal, tem relativa
importância em função de ser universalmente usado para representar quantidades
utilizadas fora dos sistemas digitais. Isto significa que, em determinadas situações, os
valores decimais têm de ser convertidos em valores binários antes de serem utilizados em
sistemas digitais. Por exemplo, quando teclamos um número decimal em nossa
calculadora, ou em nosso computador, um circuito interno destas máquinas converte o
valor decimal digitado para seu correspondente em binário.
Da mesma forma, existem situações onde os valores binários presentes na saída de um
circuito digital devem ser convertidos para valores decimais, que serão apresentados no
display de sua calculadora ou no dispositivo de saída de seu computador. Por exemplo,
sua calculadora (ou computador) usa números binários para calcular o resultado de
determinada operação solicitada e, então, converte tal resultado em decimal, colocando-o
no display neste formato.
Além dos sistemas decimal e binário, dois outros são utilizados em sistemas digitais, o
sistema octal (base 8) e o hexadecimal (base 16). Ambos os sistemas são utilizados para
a mesma finalidade: representar números binários muito grandes de uma forma eficiente
e simples.
Um número pode ser explicitado através de seu valor ou de sua representação. O valor
corresponde à quantidade que ele expressa. A representação corresponde aos dígitos
que se utiliza para simbolizá-lo. Exemplificando, no sistema decimal expressa-se a
quantidade doze (valor) para o número 12 (representação). No sistema hexadecimal, a
mesma quantidade é representada pelo número C.
De modo geral, um sistema posicional pode ser especificado em termos de uma
constante denominado base, que determina o valor de um número e sua representação
através da expressão:
n=i
Valor = ? d i . B i
i=0
d i ? i-ésimo dígito do número, contado da direita para a esquerda
n ? número de dígitos
B ? base
Exemplos
a) Número no sistema decimal: 1234 10 = 4.10 0 + 3.10 1 + 2.10 2 + 1.10 3 = 1234 10
b) Número no sistema binário: 1101 2 = 1.2 0 + 1.2 1 + 0.2 2 + 1.2 3 = 13 10
c) Número no sistema hexadecimal: 4D2 16 = 2.16 0 + 13.16 1 + 2.16 2 = 1234 10
Também se utiliza uma notação para especificar a base em que se representa um valor.
Nesse sentido, é estabelecido que, para:
- números binários são seguidos pela letra Y;
- números decimais são seguidos pela letra T;
- números octais são seguidos pela letra Q;
- números hexadecimais são seguidos pela letra H.
Exemplos
100Y (binário), 100T (decimal), 100Q (octal), 100H (hexadecimal)
36

5.1.2 Conversão Binário-Decimal
O sistema de numeração binário é posicional, onde a cada dígito binário (bit) são
atribuídos dois valores: o valor absoluto e o valor posicional. O valor absoluto é 0 ou 1, e
o posicional é uma potência inteira de 2, começando de 2 0 (bit menos significativo), que
depende da posição do bit em relação ao bit menos significativo. Qualquer número binário
pode ser convertido em decimal simplesmente somando os valores posicionais de todos
os bits com valor absoluto igual a 1. Exemplos:
1 1 0 1 1 2 (binário)
2 4 + 2 3 + 0 + 2 1 + 2 0 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27 10 (decimal)
1 0 1 1 1 0 1 1 2 (binário)
2 7 + 0 + 2 5 + 2 4 + 0 + 2 2 + 0 + 2 0 = 187 10 (decimal)
Composição de n o binário fracionário ? 101,101 (2) = 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 + 1x2 -1 + 0x2 -2 +
1x2 -3 = 4 + 0 + 1 + 1/2 + 0 + 1/8 = 5,625 (10)
Exercícios
Converter os seguintes números binários para decimais:
a) 11111 (2) =
b) 1001100 (2) =
c) 1011,11 (2) =
d) 1100,0011 (2) =
5.1.3 Conversão Decimal-Binário
O método mais confiável para conversão decimal-binário utiliza as divisões sucessivas
por 2. No exemplo a seguir, o número decimal 25 é dividido várias vezes por 2, sendo os
restos destas divisões colocados à parte, até que o quociente seja igual a zero. Observe
que o valor binário equivalente é obtido, escrevendo-se o primeiro resto como o bit menos
significativo e o último como o mais significativo. Exemplos:
37

8,375 (10) ? 8 ?_2__ 0,375
0 4 ?_2__ x 2_
0 2 ?_2__ 0,750
0 1 Obtenção da parte inteira ? 1000 (2) x 2_
1,500 ? 0,500
x2_
1,000
Obtenção da parte fracionária ? 0,011 (2)
Composição da parte inteira + fracionária ? 1000 + 0,011 = 1000,011 (2)
Exercícios
Converter os seguintes números decimais para binários:
a) 215 (10) ?____ c) 9,92 (10) ? 9?___ 0,92
x 2_
b) 102 (10) ?_____ d) 7,47 (10) ? 7?_____ 0,47
__x 2_
5.1.4 Sistema Numérico Octal
O sistema numérico octal é muito importante no estudo dos computadores digitais. Este
sistema utiliza a base oito, o que significa que ele tem oito dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
Os pesos de cada dígito no sistema octal são mostrados na tabela abaixo:
8 4 8 3 8 2 8 1 8 0 8 -1 8 -2 8 -3 8 -4
8
,
-5
Vírgula octal
O maior dígito octal é 7, de modo que para contar em octal basta começar do zero e
incrementar uma unidade até chegar a 7. Ao alcançar 7, devemos recomeçar a contagem
do zero, acrescentando uma unidade ao dígito imediatamente superior. Isto é ilustrado
nas seguintes seqüências de contagem octal:
(a) 65, 66,67,70,71,.....
(b) 275, 276, 277, 300,301,.....
5.1.5 Conversão Octal-Decimal
Um valor octal pode ser facilmente convertido em decimal multiplicando-se cada dígito
octal por seu valor posicional (peso). Exemplo:
372 8 = 3 x 8 2 + 7 x 8 1 + 2 x 8 0 = 3 x 64 + 7 x 8 + 2 x 1 = 250 10
5.1.6 Conversão Decimal-Octal
Um valor decimal inteiro pode ser convertido em seu equivalente octal pelo método das
divisões sucessivas, conforme já visto para o caso da conversão decimal-binário, só que
utilizando divisões por oito em vez de por 2. Exemplo:
38

O resto da primeira divisão passa a ser o dígito menos significativo do número octal, e o
resto da última divisão é o bit mais significativo.
5.1.7 Conversão Octal-Binário
A principal vantagem do sistema octal é a facilidade para se converter um número binário
em octal e vice-versa. Para passar de octal para binário, cada dígito octal deve ser
convertido em seu equivalente binário.
Dígito Octal
Equivalente Binário
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111
Por exemplo, podemos converter o valor octal 472 em binário da seguinte forma:
Portanto, o octal 472 é igual ao binário 100111010.
Como outro exemplo, considere a conversão de 5431 8 para binário.
5.1.8 Conversão Binário-Octal
A conversão binário-octal é obtida através de processo inverso do descrito anteriormente.
Os bits do número binário devem ser agrupados de 3 em 3, a partir do menos
significativo, e convertidos no seu equivalente octal. Para ilustrar, considere a conversão
de 100111010 2 em octal.
Nem sempre o número binário tem grupos completos de três bits. Nestes casos, podemos
acrescentar um ou dois zeros à esquerda do bit mais significativo do número binário.
Observe o seguinte exemplo, onde o valor 11010110 2 deve ser convertido em seu
equivalente octal.
39

Exercícios
1. Converter 614 8 em decimal.
2. Converter 146 10 em binário, passando por octal.
3. Converter 10011101 2 em octal.
4. Complete a seqüência em octal: 624, 625, 626,____,____,____.
5. Converter 975 10 em binário, passando por octal.
6. Converter o valor binário 1010111011 em decimal, passando por octal.
5.1.9 Sistema Numérico Hexadecimal
O sistema hexadecimal, também conhecido como sistema hexa, utiliza a base 16.
Portanto, este sistema tem 16 dígitos, representados pelos dígitos decimais de 0 a 9 e
pelas letras maiúsculas de A a F.
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Binário
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Observe que cada dígito hexadecimal é representado por um grupo de quatro bits. É
importante lembrar que os dígitos hexa de A a F são equivalentes aos valores decimais
de 10 a 15, respectivamente.
Quando contamos em hexa, cada dígito de 0 a F deve ser incrementado de 1. Ao chegar
a F, esta posição volta a zero, e a próxima posição é então incrementada. As seqüências
abaixo ilustram contagens em hexa:
(a) 38, 39, 3A, 3B, 3C, 3D, 3E, 3F, 40, 41, 42
(b) 6F8, 6F9, 6FA, 6FB, 6FC, 6FD, 6FE, 6FF, 700
40

5.1.10 Conversão Hexadecimal-Decimal
Um número em hexa pode ser convertido em seu equivalente decimal através do valor
posicional (peso) que cada dígito ocupa no número. O dígito menos significativo tem peso
igual a 16 0 = 1, o seguinte 16 1 = 16, o seguinte 16 2 = 256, e assim por diante.
Exemplos:
356 16 = 3 x 16 2 + 5 x 16 1 + 6 x 16 0
= 768 + 80 + 6
= 854 10
2AF 16 = 2 x 16 2 + 10 x 16 1 + 15 x 16 0
= 512 + 160 + 15
= 687 10
Observe que, no segundo exemplo, o valor 10 substituiu o dígito hexadecimal A, e o valor
15 entrou no lugar do dígito hexa F, na conversão em decimal.
5.1.11 Conversão Decimal-Hexadecimal
Para converter decimal em binário usamos a divisão por 2 repetidas vezes, e na
conversão decimal-octal empregamos a divisão por 8. Desta mesma forma, para
convertermos um número decimal em hexa, devemos dividi-lo sucessivamente por 16.
Exemplos:
Converter 423 10 em hexa:
Converter 214 10 em hexa:
Observe novamente como os restos formam os dígitos do número hexa. Além disso, os
restos maiores que 9 são representados pelas letras de A a F.
5.1.12 Conversão Hexa-Binário
Assim como o sistema octal, a principal utilidade do sistema hexadecimal é "abreviar" a
representação de seqüências binárias muito grandes. Cada dígito hexa é convertido em
seu equivalente binário de quatro bits.
41

5.1.13 Conversão Binário-Hexa
Converter de binário para hexa é justamente fazer ao contrário o processo que acabamos
de ver. O número binário é separado em grupos de quatro bits, e cada grupo é convertido
no seu equivalente hexa. Acrescentam-se zeros à esquerda, se for necessário completar
o grupo:
Para realizar conversões entre números binários e hexa, é imprescindível saber a
equivalência entre os dígitos hexa e os números binários de quatro bits (0000 até 1111).
Uma vez memorizadas, as conversões não precisam de calculadora. Essa é uma das
razões da utilidade destes sistemas (hexa e octal) na representação de grandes números
binários.
Exercícios
1. Converta 24CE 16 para decimal.
2. Converta 3117 10 para hexa e depois para binário.
3. Converta 1001011110110101 2 para hexa.
4. Encontre os quatro números seguintes da seqüência hexa:
E9A, E9B, E9C, E9D,_____,_____,_____.
5. Converta 3527 8 para hexa.
5.2 CÓDIGOS
São grupos de símbolos representados por números, letras ou palavras que estabelecem
uma determinada característica ou combinação entre dois sistemas de numeração.
CÓDIGO
SIGNIFICADO
BCD 8421 Binary-Coded-Decimal – Binário Codificado em Decimal
8421 – valores dos algarismos: 2 3 =8, 2 2 =4, 2 1 =2, 2 0 =1
EXCESSO 3 Código BCD 8421 adicionado de três unidades binárias
GRAY Código cuja variação de um número para outro é de apenas 1 bit
2 ENTRE 5 Código que apresenta 2 bits iguais a 1 dentre 5 bits. Usado em
código de barras, por evitar grandes repetições de espaços ou de
barras
42

DECIMAL BINÁRIO BCD 8421 EXCESSO 3 GRAY 2 ENTRE 5
0 0 0000 0011 0000 00011
1 1 0001 0100 0001 00101
2 10 0010 0101 0011 00110
3 11 0011 0110 0010 01001
4 100 0100 0111 0110 01010
5 101 0101 1000 0111 01100
6 110 0110 1001 0101 10001
7 111 0111 1010 0100 10010
8 1000 1000 1011 1100 10100
9 1001 1001 1100 1101 11000
10 1010 0001 0000 1111
11 1011 0001 0001 1110
12 1100 0001 0010 1010
13 1101 0001 0011 1011
14 1110 0001 0100 1001
15 1111 0001 0101 1000
Código ASCII – American Standard Code for Information Intercharge
É um código alfanumérico usado para obter informações pelo computador. Seus 7 bits
fornecem 128 combinações, das quais 96 se referem a caracteres de impressão e 32 a
comandos de controle.
X6X5X4X3X2X1X0 => onde cada X pode ser 0 ou 1
A tabela mostrou ser insuficiente para outras exigências, como a necessidade de
padronizar a representação de caracteres acentuados, caracteres usados em molduras
de janelas de texto e outros. Sendo assim, surge a tabela ASCII de 8 bits (code pages),
englobando a representação de 256 caracteres. Os primeiros 128 caracteres são
idênticos ao da tabela ASCII de 7 bits e os demais variam de acordo com as
necessidades da língua em cada país. No Brasil é utilizada a página de código 850
apresentada a seguir.
43

5.3 CODIFICADOR DECIMAL/BINÁRIO
Codificar significa transformar informações conhecidas, de uso comum e de fácil
entendimento, em um conjunto de símbolos, letras, números ou palavras de forma a
minimizar ou facilitar o armazenamento, o processamento e a transmissão da informação
original. Em sistemas digitais, na maioria dos casos, codificar significa transformar um
número decimal em um número binário para a manipulação desses sistemas, utilizandose
qualquer um dos códigos citados anteriormente.
A entrada do código decimal é feita através de um conjunto de chaves numeradas de 0 a
9 e a saída por 4 fios, para fornecer um código binário de 4 bits, correspondente à chave
acionada.
Obs: A chave fechada equivale a nível lógico 0, para evitar o problema prático,
principalmente da família TTL, do terminal aberto seja equivalente a nível lógico 1.
ch0
ch1
ch2
............
ch9
Codificador
Decimal/Binário
A
B
C
D
44

Tabela da verdade
Relação da entrada decimal com a saída em binário
Chave A B C D
Ch0 0 0 0 0
Ch1 0 0 0 1
Ch2 0 0 1 0
Ch3 0 0 1 1
Ch4 0 1 0 0
Ch5 0 1 0 1
Ch6 0 1 1 0
Ch7 0 1 1 1
Ch8 1 0 0 0
Ch9 1 0 0 1
S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6
S7
S8
S9
74LS00
A
74LS20
B
74LS20
C
74LS30
D
Circuito integrado TTL 74147 – Codificador Decimal-BCD
45

5.4 DECODIFICADOR PARA DISPLAY DE 7 SEGMENTOS
Decodificar significa transformar informações que estão escritas de forma codificada,
pouco conhecida ou identificável, de volta à sua forma original, completa ou em outra
informação de mais fácil compreensão. Nos sistemas digitais, decodificar significa, na
maioria dos casos, transformar um número binário de volta a seu formato decimal para a
manipulação ou visualização pelo homem.
5.4.1 Display de 7 segmentos
Com o desenvolvimento do LED (diodo emissor de luz), surgiu a possibilidade de se
construir elementos que “desenhavam” os algarismos. Chamados de display’s
(mostradores) de 7 segmentos, estes elementos se popularizaram rapidamente. Na
seqüência da evolução tecnológica, construíram-se os LCD (display de cristal líquido) que
tem o mesmo princípio de funcionamento do display de 7 segmentos. No entanto, gastam
menos energia, pois funcionam através da polarização das moléculas dos cristais via
campo elétrico (corrente nula). Para os LED’s, além da tensão de polarização, há a
necessidade de uma corrente considerável.
O display de LED’s de 7 segmentos é um elemento passivo construído por 7 LED’s em
forma de barra (retangular) e um oitavo LED que é utilizado como ponto decimal. Montado
da forma como é mostrado abaixo, permite “desenhar” o algarismo que se quer visualizar
mediante o acendimento de alguns LED’s. Os demais permanecem apagados para uma
melhor nitidez do “desenho”.
a
f
e
g
d
h
b
c
Os display’s de 7 segmentos podem ser encontrados em duas construções diferentes:
cátodo comum ou ânodo comum.
Ânodo
comum
Cátodo
comum
Para acender, normalmente o display necessita de uma corrente entre 10 e 20 mA, o que
provoca uma queda de tensão da ordem de 1,2 V. Desta forma, trabalhando-se com 5
Volts de alimentação, é comum utilizarmos um resistor de 330 ? para cada segmento
visando atingir estes valores.
46

5.4.2 Projeto de um decodificador BCD para display de 7 segmentos
Para a elaboração do projeto de um decodificador, basta montar a tabela da verdade,
simplificar as expressões de saída e implementar o circuito.
CARACTERES DISPLAY BCD 8421 CÓDIGO P/ 7 SEGMENTOS
A B C D a b c d e f g
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
3 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
4 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
5 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
7 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
8 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
9 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
Simplificando as expressões lógicas através do Diagrama de Veitch-Karnaugh:
a) a ? A ? C ? B?
D
b) b ? B?
C ? D
c) c ? B?
C ? D
d) d ? A ? B.D ? B.C ? C.D ? B.C.D
e) e ? B.D?
C. D
f) f ? A ? C.D ? B.C ? B. D
g) g ? A ? B ? C ? C. D
47

Circuito simplificado do Decodificador para display de 7 segmentos
A
B
C
D
a
b
c
d
e
f
g
Circuito integrado 9368 – Decodificador BCD para display de 7 segmentos (catodo
comum)
48

Circuito integrado 7447 – Decodificador BCD para display de 7 segmentos (anodo
comum)
Exercícios
a) Projete um decodificador que efetue a conversão do código Gray para o sistema
binário comum.
b) Elabore um codificador decimal/binário para, a partir de um teclado com chaves
numeradas de 0 a 3, fornecer nas saídas o código binário correspondente. Considere
que as entradas das portas lógicas em aberto equivalem à aplicação de nível lógico 1.
c) Faça o projeto e desenhe o circuito para, a partir de um código binário, escrever a
seqüência do sistema hexadecimal em um display de 7 segmentos anodo comum.
d) Projete um decodificador para, a partir de um código binário, escrever a seqüência
ilustrada abaixo em um display de 7 segmentos catodo comum.
49

6 CIRCUITOS ARITMÉTICOS
6.1 REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DE NÚMEROS INTEIROS
6.1.1 Representação binária de números positivos
Representam-se números inteiros positivos através do valor do próprio número binário.
Porém, existe um limite estabelecido por memórias finitas, onde normalmente é definido
por um conjunto de 4 bits. Portanto, pode-se representar 2 4 = 16 números diferentes, de
0000 a 1111.
A representação estabelecida em função da limitação de bits é explicitada pelos números
ao redor de um círculo, e não ao longo de um eixo infinito, como na matemática
convencional. Para a operação de adição de dois números a e b, basta encontrar a
representação de a no círculo e avançar b posições no sentido horário. Para efetuar a
subtração a-b, basta recuar b posições a partir de a, no sentido anti-horário.
0000
1111 0001
1110 0010
1101 0011
1100 0100
1011 0101
1010 0110
1001 0111
1000
6.1.2 Representação binária de números negativos
Inicialmente, consideram-se positivos os números cujo bit mais significativo é 0 e
negativos os números cujo bit mais significativo é 1, portanto, dividindo ao meio o
conjunto dos números representáveis no círculo em questão. Assim, numa formação de
um número com 4 bits, têm-se 8 números com representação negativa e 8 números com
representação positiva. Com esta formação, a capacidade de representação de números
vai de –8 até +7. Para representar números além destes limites, é necessário adotar
registradores maiores, por exemplo, de 8, 16 ou 32 bits.
50

0000(0)
1111(-1) 0001(1)
1110(-2) 0010(2)
1101(-3) 0011(3)
1100(-4) 0100(4)
1011(-5) 0101(5)
1010 (-6) 0110(6)
1001(-7) 0111(7)
1000(-8)
6.1.3 Obtenção do valor simétrico de um número
Para se obter um número simétrico de um número a, trocam-se os zeros por 1’s e viceversa.
O resultado da operação chama-se complemento de 1. A expressão do simétrico
de um número qualquer do círculo é definida como:
-a = (complemento de 1 de a) + 1 = (complemento de 2 de a)
0000(0)
1111(-1) 0001(1)
1110(-2) 0010(2)
1101(-3) 0011(3)
1100(-4) 0100(4)
1011(-5) 0101(5)
1010 (-6) 0110(6)
1001(-7) 0111(7)
1000(-8)
51

6.2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO BINÁRIA
Adição binária
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 e “vai-1”
Exemplos:
110 11001 111
+111 +1011 +111
+111
Obs
a) É importante entender a diferença entre adição lógica e adição binária. A adição lógica
corresponde à função lógica OU, que estabelece uma saída 1 sempre que uma ou mais
entradas for 1. A adição binária é uma operação aritmética que produz a soma algébrica
de dois números distintos. Embora o símbolo + seja empregado para indicar ambas as
operações, o seu significado deverá estar claramente definido pelo contexto em que for
utilizado.
b) Também é importante destacar a diferença entre adição e soma. Enquanto adição é o
processo aritmético, a soma representa o resultado da operação aritmética de adição.
Subtração binária
0 – 0 = 0
1 – 1 = 0
1 – 0 = 1
0 – 1 = 1 e “empresta-1”
Exemplos:
1110 1000 11000
-1001 -111 - 111
Subtração usando o complemento de 2
A subtração pelo processo do complemento é um método de executar a subtração pela
soma, permitindo que o mesmo circuito seja usado para soma e para subtração.
Utiliza-se o bit mais significativo para simbolizar o sinal do número, onde: 0 indica número
positivo e 1 indica número negativo. Os bits restantes indicam a magnitude do número.
Para a representação de um número negativo, usa-se o seguinte procedimento:
a) Dado um número inteiro positivo, complementa-se o mesmo, trocando todos os 0s
por 1s e todos os 1s por 0s;
b) Soma-se 1 ao resultado do item anterior, obtendo-se o número negativo.
Portanto, para efetuar a subtração a-b com auxílio da adição, utiliza-se a expressão:
a – b = a + (complemento de 2 de b)
52

Exemplo de obtenção do complemento de um número:
+ 24 ? 00011000
complemento de 24 ? 11100111
soma-se 1 ? +1
- 24 ? 11101000
Exemplo de subtração usando complemento de 2:
+ 49 ? 00110001 (menos) + 12 ? 00001100
- 12 ? 11110100
+ 37 ? 00100101
6.3 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM BCD
O formato BCD (Binary Coded Decimal), ou decimal codificado como binário, utiliza o
sistema hexadecimal apenas para os dígitos de 0 a 9, correspondentes aos mesmos
dígitos no sistema decimal.
BCD 8421 é um código de 4 bits, onde os termos 8421 significam os valores dos
algarismos num dado número binário:
2 3 =8, 2 2 =4, 2 1 =2, 2 0 =1
A tabela a seguir mostra a diferenciação entre o código binário e o código BCD.
DECIMAL BINÁRIO BCD 8421
0 0 0000
1 1 0001
2 10 0010
3 11 0011
4 100 0100
5 101 0101
6 110 0110
7 111 0111
8 1000 1000
9 1001 1001
10 1010 0001 0000
11 1011 0001 0001
12 1100 0001 0010
13 1101 0001 0011
14 1110 0001 0100
15 1111 0001 0101
As adições e subtrações com números BCD são efetuadas pelo modo convencional
desde que o resultado não ultrapasse de 9. Quando um valor ultrapassar de 9, podem
surgir letras no resultado (2+8=AH) ou o resultado pode estar incorreto (9+9=12H).
O problema pode ser solucionado se as seis letras que compõem o sistema hexadecimal
fossem “saltadas”, representando um atalho para o resultado esperado, ao invés de
avançar sobre o círculo, como mostra a linha tracejada no círculo abaixo.
53

0000 (0)
1111 (F) 0001 (1)
1110 (E) 0010 (2)
1101 (D) 0011 (3)
1100 (C) 0100 (4)
1011 (B) 0101 (5)
1010 (A) 0110 (6)
1001 (9) 0111 (7)
1000 (8)
A adição em BCD de dois números a e b pode ser elaborada pelo seguinte algoritmo:
- adicionar os dígitos como hexadecimais;
- se a soma for superior a 9, adicionar mais 6.
A subtração em BCD de dois números a e b pode ser elaborada pelo seguinte algoritmo:
- obter o complemento de 9 do número b + 1
- efetuar a adição a+(-b)
- corrigir o resultado, substituindo letras em hexadecimal para números BCD
- Descartar o último número à esquerda
Exemplo de adição em BCD:
84+26 = AA em hexadecimal, cujo resultado não é válido como BCD. Aplicando o
algoritmo:
- soma-se 4 com 6 = AH. Como o resultado é superior a 9, soma-se mais 6 e
obtém-se 10H, onde o 0 é o dígito menos significativo do resultado e “vai-1”;
- soma-se o “vai-1” com 8 e com 2, obtendo-se BH, também superior a 9.
Sendo assim, soma-se novamente mais 6 e obtém-se 11H, totalizando 110H, que é a
representação correta do número BCD.
1
84
+ 26
BA
+ 66
110
Exemplo de subtração em BCD:
45-37 = 0E em hexadecimal, cujo resultado não é válido como BCD.
- Obtém-se o complemento de 9 de 37 + 1 = 62 + 1 = 63
- Soma-se 45+63 = A8 em hexadecimal
- Substitui-se A do resultado por 10, obtendo-se 108
- Descartar o último número à esquerda, resultando em 08.
54

6.4 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO BINÁRIA
Multiplicação binária
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
Exemplos:
11010 11011 1011101
x 11 x 101 x 1001
Divisão binária
0 ? 1 = 0
1 ? 1 = 1
Exemplos:
10100 ?100_ 110110 ?110_ 101010 ?11_
6.5 MEIO SOMADOR (HALF ADDER)
A B SOMA TS
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
TS – Transporte de Saída (vai um)
SOMA = A ? B
TS = A . B
A B
Meio
Somador
TS S
6.6 SOMADOR COMPLETO (FULL ADDER)
Soma-se coluna a coluna, levando em conta o TE (Transporte de Entrada), que é o TS da
coluna anterior. Dessa forma, o circuito efetua a soma completa de uma coluna, na forma:
S = (A+B)+TE
55

A B TE S TS
0 0 0 0 0 Expressões simplificadas:
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 S = A ? B ? TE
0 1 1 0 1 TS = B.TE + A.TE + A.B
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
A B TE
Somador
Completo
TS
S
Diagrama em blocos de um Somador de 2 números binários de 4 bits
A 3 B 3 A 2 B 2 A 1 B 1 A 0 B 0
A 3 A 2 A 1 A 0
+ B 3 B 2 B 1 B 0
________
A B TE
A B TE
A B TE
A
B
TS
S
TS
S
TS
S
TS
S
S 4 S 3 S 2 S 1 S 0
S 4 S 3 S 2 S 1 S 0
6.7 MEIO SUBTRATOR (HALF SUBTRACTOR)
A B SUB TS
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 0
TS – Transporte de Saída (empresta um)
SUB = A ? B
T S ? A.B
56

A
B
Meio
Subtrator
TS S
6.8 SUBTRATOR COMPLETO (FULL SUBTRACTOR)
Subtrai-se coluna a coluna, levando em conta o TE (Transporte de Entrada), que é o TS
da coluna anterior. Dessa forma, o circuito efetua a subtração completa de uma coluna,
na forma: S = (A-B) -TE
A B TE S TS
0 0 0 0 0 Expressões simplificadas:
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1 S = A ? B ? TE
0 1 1 0 1 TS ? A.B ? A.TE ? B.TE
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
A B TE
Subtrator
Completo
TS
S
6.9 SOMADOR/SUBTRATOR BINÁRIO
Para M=0 (Adição) ? S = (A + B) + TE
Para M=1 (Subtração) ? S = (A – B) - TE
57

M A B TE S TS
0 0 0 0 0 0 Expressões simplificadas:
0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 1 0 S = A ? B ? TE
0 0 1 1 0 1 TS ? B.TE ? (M ? A) . (B ? TE)
0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1
1 0 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1
6.10 SOMADOR/SUBTRATOR BINÁRIO USANDO COMPLEMENTO DE 2
A subtração pelo processo do complemento é um método de executar a subtração pela
soma, permitindo que o mesmo circuito seja usado para soma e para subtração.
Utiliza-se o bit mais significativo para simbolizar o sinal do número, onde: 0 indica número
positivo e 1 indica número negativo. Os bits restantes indicam a magnitude do número.
Para a representação de um número negativo, usa-se o seguinte procedimento:
c) Dado um número inteiro positivo, complementa-se o mesmo, trocando todos os 0s
por 1s e todos os 1s por 0s;
d) Soma-se 1 ao resultado do item anterior, obtendo-se o número negativo.
Exemplo:
+ 24 ? 00011000
complemento de 24 ? 11100111
soma-se 1 ? +1
- 24 ? 11101000
58

Exemplo de subtração usando complemento de 2:
+ 49 ? 00110001 (menos) + 12 ? 00001100
- 12 ? 11110100
+ 37 ? 00100101
A
74LS83A
A4
A3
A2
A1
B4
B3
B2
B1
Cin
s4
s3
s2
s1
Cout
B
VccSubt
0VSomador
6.11 UNIDADE LÓGICA E ARITMÉTICA (ULA)
O circuito integrado 74181 é uma ULA de 4 bits, executa 16 operações lógicas e 16
operações aritméticas entre duas palavras de 4 bits.
As duas palavras A e B devem ser colocadas nas entradas, respectivamente, A 3 -A 2 -A 1 -A 0
e B 3 -B 2 -B 1 -B 0 .
As entradas S 3 -S 2 -S 1 -S 0 selecionam que tipo de operação será executado entre as
entradas A e B. O resultado da operação é apresentado nas saídas F 3 -F 2 -F 1 -F 0 .
A entrada M determina se a saída é uma função aritmética ou lógica das entradas. Por
sua vez, C n (carry in) seleciona um dos grupos de 16 operações aritméticas possíveis.
A saída A=B avisa quando as duas palavras são iguais em magnitude. A saída C n+4 (carry
out) corresponde ao carry do último estágio e é usada no cascateamento com outras
ULAs.
A saída G (geração) e P (propagação) são usadas em operações especiais quando os
CIs 74181 e 74182 são combinados para aumentar o tempo de processamento.
59

Obs: O sinal (+) expressa a função lógica e a palavra (mais) significa a operação
aritmética.
60

Exercícios
1. Elabore um módulo subtrator de 2 números binários de 4 bits, usando blocos de
subtrator completo.
2. Elabore um módulo somador que efetue a adição de 3 números de 2 bits, usando
blocos somadores completos e meio somadores.
A 1 A 0
+B 1 B 0
+C 1 C 0
S 3 S 2 S 1 S 0
3. Projete um circuito lógico meio somador/meio subtrator.
Adote: M=0 ? meio somador
M=1 ? meio subtrator
4. Esquematize, em blocos, um sistema somador/subtrator completo para 2 números de 4
bits.
5. Utilizando blocos de somadores completos, elabore um sistema subtrator para 2
números de 2 bits.
6. Obtenha um circuito somador completo usando 2 blocos meio somadores e porta lógica
OU.
7. Obtenha um circuito subtrator completo usando 2 blocos meio subtratores e porta
lógica OU.
8. Em um a ULA 74181, são estabelecidos para as entradas A 3 A 2 A 1 A 0 = 1010 2 e
B 3 B 2 B 1 B 0 = 0111 2 . Monte uma tabela com os valores a serem obtidos, simulando todas as
entradas de controle C n , M e S 3 S 2 S 1 S 0
61

7. CIRCUITOS MULTIPLEX E DEMULTIPLEX
7.1 MULTIPLEX
Usado para enviar informações contidas em vários canais (fios), a um só canal (fio).
I0
Canais de I1 S Saída da Informação
Informação
MUX
multiplexada
de Entrada I2
....
IN
...........
Entradas de Seleção (endereçamento) ? escolhe qual canal de
informação de entrada será
conectada à saída.
Circuito elementar analógico que efetua uma multiplexação: chave de 1 polo x n
posições
I0
I1
I2
I3
entradas de seleção
S
IN
Circuito lógico básico de um multiplex de 2 canais
Entrada de Saída Multiplexada
Seleção
A
S
0 I0
1 I1
62

7.1.1 - Projeto e funcionamento de um Multiplex de 4 canais
a) Relaciona-se as entradas de seleção com a informação de entrada que deve ser
conectada à saída. Monta-se uma tabela da verdade com as entradas de seleção e as
respectivas informações que devem ter na saída.
Para as 4 entradas que serão conectadas à saída, necessita-se de 2 variáveis de
seleção (2 N ).
Variáveis de Saída
seleção
A B S
0 0 I0
0 1 I1
1 0 I2
1 1 I3
b) Monta-se o circuito multiplex que executa a função lógica.
I0
I1
I2
I3
MUX de
4 canais
S
A
B
63

7.1.2 - Multiplex de 16 canais
I0
MUX de
16 canais
S
I15
A B C D
7.1.3 - Ampliação da capacidade de um Sistema Multiplex
A partir de circuitos multiplex de baixa capacidade, podem-se obter outros multiplex de
maior capacidade.
Exemplo 1: Multiplex de 4 canais a partir de Multiplex de 2 canais
I0
I1
MUX-2
S0
MUX-2
S
I2
I3
MUX-2
S1
B
A
Exemplo 2: Multiplex de 16 canais usando Multiplex de 8 canais
I0
MUX-8
S0
I7
I0
MUX-8
S
MUX-8
S1
I7
B C D A
64

7.1.4 - Endereçamento seqüencial num Sistema Multiplex
I0
MUX-8
S
I7
Contador 0-7
7.1.5 - Utilização de Multiplex na construção de Circuitos Combinacionais
Inicialmente, obtém-se a tabela da verdade do circuito lógico que se deseja. Na
seqüência, as saídas do circuito combinacional devem ser injetadas nos canais de
entrada de informação do Multiplex. E ainda, as entradas do circuito combinacional
definem o endereçamento da informação no circuito Multiplex.
A grande vantagem é a facilidade de esquematização de circuitos combinacionais para
um elevado número de variáveis.
Exemplo: Implementar a lógica da tabela da verdade abaixo utilizando circuito multiplex.
1
A B C S1 S2
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
MUX-8
S1
MUX-8
S2
0
A B C
65

7.2 DEMULTIPLEX
Usado para enviar informações vindas de um só canal (fio) para vários canais (fios).
Efetua a função inversa do Multiplex.
Entrada de S1 Canais de Saída
Informação E DEMUX
de Informações
S2
....
SN
...........
S0
Entradas de Seleção (endereçamento) ? escolhe qual canal de
informação de saída será
conectada à entrada.
Circuito elementar analógico que efetua uma demultiplexação: chave de 1 polo x n
posições
E
entradas de seleção
S0
S1
S2
S3
SN
Circuito lógico básico de um Demultiplex de 2 canais
Entrada de
Seleção
Canais de
Informação
A S0 S1
0 E 0
1 0 E
66

7.2.1 - Projeto e funcionamento de um Demultiplex de 4 canais
a) Relaciona-se as entradas de seleção com o canal de saída da informação que deve
ser conectada à entrada. Monta-se uma tabela da verdade com as entradas de
seleção e os respectivos canais de informação, que serão conectados à entrada.
Para as 4 saídas que serão conectadas à entrada, necessita-se de 2 variáveis de
seleção (2 N ).
Variáveis de Canais de saída
seleção
A B S0 S1 S2 S3
0 0 E 0 0 0
0 1 0 E 0 0
1 0 0 0 E 0
1 1 0 0 0 E
b) Monta-se o circuito demultiplex que executa a função lógica.
S0
E
DEMUX de
4 canais
S1
S2
S3
A
B
7.2.2 - Ampliação da capacidade de um Sistema Demultiplex
67

A partir de circuitos demultiplex de baixa capacidade, podem-se obter outros demultiplex
de maior capacidade.
Exemplo 1: Demultiplex de 4 canais a partir de Demultiplex de 2 canais
DEMUX-2
S0
S1
E
DEMUX-2
DEMUX-2
S2
S3
A
B
Exemplo 2: Demultiplex de 16 canais usando Demultiplex de 8 canais
S0
DEMUX-8
S7
E
DEMUX-8
S8
DEMUX-8
S15
A
B C D
7.2.3 - Endereçamento seqüencial num Sistema Demultiplex
E
DEMUX-8
S0
S7
Contador 0-7
68

7.3 - MULTIPLEX E DEMULTIPLEX UTILIZADOS NA TRANSMISSÃO DE DADOS
7.3.1 - Formas de transmissão
Transmissão paralela
E
Transmissor
DEMUX
S0 LT I0
Receptor
MUX
S
A1
S1
I1
A2
Transmissão série
I0 Transmissor S LT E Receptor S0
I1
MUX
DEMUX
S1
A1
A2
7.3.2 - Sistema de transmissão de dados usando mux e demux de 8 canais, com
endereçamento seqüencial
I0
S0
MUX-8
S
E
DEMUX-8
I7
S7
Contador 0-7
Contador 0-7
sincronismo
69

EXERCÍCIOS
1. Forme um demultiplex de 8 canais, a partir de 3 blocos demultiplex de 4 canais.
2. Determine os gráficos de saída (S 0 – S 1 – S 2 – S 3 ) para o sistema esquematizado,
sabendo-se que o nível 1 corresponde a +5 V.
S 0
1
DEMUX - 4
S 1
S 2
S 4
Ck
Contador 0 - 3
3. Esquematize um circuito multiplex de 64 canais, utilizando apenas blocos de 8 canais.
4. A figura abaixo apresenta os sinais de seleção e de informações de entrada de um
multiplex de 2 canais. Esboce o sinal multiplexado na saída.
A
I0
I0
I1
MUX - 2
S
I1
A
S
5. Considere as formas de onda da figura abaixo. Aplique estes sinais ao 74138 da
seguinte forma: W em A 0 , X em A 1 , Y em A 2 e Z em E 3 . As entradas E 1 e E 2 devem
permanecer em nível baixo. Desenhe as formas de onda para as saídas S 0 , S 3 , S 6 e
S 7 .
70

6. Determine a função realizada pelo circuito abaixo, implementado com três
multiplexadores de duas entradas de dados de 1 bit.
7. Dado um MUX de oito entradas de dados (1 bit cada), mostre como o mesmo pode ser
utilizado para implementar a função lógica Z=AB+BC+AC.
8. Mostre como um MUX de 16 entradas de dados (1 bit cada) pode ser usado para gerar
a função lógica .
9. Projete um MUX com quatro entradas de dados (1 bit cada) usando 5 portas NAND e 2
portas NOT.
10. Usando um MUX de oito entradas de dados (1 bit cada) implemente a função lógica
que produz um nível alto somente quando suas quatro variáveis de entrada (A, B, C e
D) estiverem no mesmo nível lógico, ou quando as variáveis B e C estiverem em
níveis diferentes.
11. Obtenha a função lógica simplificada implementada pelo circuito abaixo.
71

EXPERIÊNCIA 1 - PORTAS LÓGICAS BÁSICAS
1. Identifique a pinagem dos circuitos integrados e efetue a montagem no equipamento
didático os seguintes circuitos digitais:
1.1 - Porta lógica E de 2 e de 3 entradas (7408 e 7411);
1.2 - Porta lógica OU de 2 entradas (7432);
1.3 - Porta lógica Inversora (7404);
1.4 - Porta lógica NÃO-E de 2 e de 4 entradas (7400 e 7420);
1.5 - Porta lógica NÃO-OU de 2 entradas (7432 + 7404);
1.6 - Porta lógica Ou-Exclusivo (7486);
1.7 - Porta lógica Coincidência (7486 + 7404);
1.8 - Bloco lógico Ou-Exclusivo de 4 entradas (7486). Qual é a lógica na saída?
72

2. Na seqüência, energize o equipamento e simule, via chaves, os valores possíveis para
as entradas;
3. Organize e interprete os dados coletados na experimentação. Verifique se os valores
encontrados na saída correspondem à análise teórica do circuito, através da tabela da
verdade;
4. Finda a experiência, desmonte os circuitos e reponha o equipamento e componentes
aos seus respectivos lugares;
5. Mantenha sempre limpo e organizado o ambiente de experimentação educativa.
Questões
a) Como obter um circuito que necessita de uma porta lógica X de 3 entradas usando-se
apenas portas lógicas X de 2 entradas?
b) Num circuito que necessita de uma porta lógica Y de 2 entradas, têm-se apenas portas
lógicas Y de 3 entradas. O que fazer com a terceira entrada?
c) Pode-se conectar entre si as saídas de 2 portas lógicas? Explique.
73

EXPERIÊNCIA 2 – COMPARADOR DE MAGNITUDES
1. Identifique a pinagem do circuito integrado e monte em matriz de contatos os
seguintes circuitos digitais:
1.1 Circuito comparador de 2 números de 2 bits (exercício 7 – p. 34)
A 1 A 0 < B 1 B 0 ? acende led 1 ? S
1
? A1.B1
? A1.A
0.B0
? A0.B1.B0
A 1 A 0 > B 1 B 0 ? acende led 3 ? S
3
? A
1.B1
? A0.B 1.B
0
? A1.A0.
B0
A 1 A 0 = B 1 B 0 ? acende led 2 ? S
2
? S1
? S3
1.2 Comparador integrado de 2 números de 4 bits (7485)
Vcc A3 B2 A2 A1 B1 A0 B0
16 15 14 13 12
9
7485
Comparador de Magnitudes de 4 bits
2 3 4 5 6
1 7 8
B3 AB A>B A=B A

EXPERIÊNCIA 3 - CODIFICADORES E DECODIFICADORES
1. Identifique a pinagem dos circuitos integrados e monte em matriz de contatos os
seguintes circuitos digitais:
1.2 - Codificador Decimal/Binário
S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6
S7
S8
S9
74LS00
A
74LS20
B
74LS20
C
74LS30
D
1.2 - Decodificador para display de 7 segmentos - catodo comum
Vcc f g a b c d e
16 15 14 13 12
11 10
Decodificador para display de 7 segmentos - catodo
comum
9368
9
2 3 4 5 6
1 7 8
A1 A2 EL RB O RB I A3 A0 GND
RB=Supressor de zeros (RB O =0 quando A,B,C,D,RB I =0)
g f cc a b
Display PD560
Catodo comum
e d cc c DP
75

1.3 - Decodificador para display de 7 segmentos - anodo comum
Vcc f g a b c d e
16 15 14 13 12 11 10 9
Decodificador BCD para 7 segmentos – anodo comum
7447
1 2 3 4 5 6 7 8
B C Lamp. RB RB D A GND
Test output input
RB=Supressor de zeros (RB O =0 quando A,B,C,D,RB I =0)
g
f ac a b
a
Display
f PD507 b
g
e
c
d
e d ac c
. DP
dp
Obs: Devem ser interconectados 7 resistores limitadores de corrente (330? ) entre
decodificador e display.
2. Na seqüência, energize os circuitos e simule, via chaves, os valores possíveis para as
entradas;
3. Organize e interprete os dados coletados na experimentação. Verifique se os valores
encontrados na saída correspondem à análise teórica do circuito, através da tabela da
verdade;
4. Finda a experiência, desmonte os circuitos e reponha o equipamento e componentes
aos seus respectivos lugares;
5. Mantenha sempre limpo e organizado o ambiente de experimentação educativa.
76

EXPERIÊNCIA 4 –CIRCUITOS ARITMÉTICOS
1. Identifique a pinagem dos circuitos integrados e monte em matriz de contatos os
seguintes circuitos digitais:
1.1 – Somador binário completo de 4 bits (7483)
B4 E4 C4 C0 GND B1 A1 E1
16 15 14 13 12
11 10
Somador Binário Completo de 4 bits
7483
9
A4A3A2A1C0
+ B4B3B2B1
---------------------
C4E4E3E2E1
1 2 3 4 5 6 7 8
A4 E3 A3 B3 Vcc E2 B2 A2
1.2 – Somador/subtrator binário completo de 4 bits (7483 + 7486)
7483
A4
A3
A2
A1
B4
B3
B2
B1
Cin
s4
s3
s2
s1
Cout
VccSubt
0VSomador
77

1.3 – Unidade Lógica e Aritmética (74181)
2. Na seqüência, energize os circuitos e simule, via chaves, os valores possíveis para as
entradas;
3. Organize e interprete os dados coletados na experimentação. Verifique se os valores
encontrados na saída correspondem à análise teórica do circuito, através da tabela da
verdade;
SOMADOR/SUBTRATOR BINÁRIO DE 4 BITS
ENTRADAS
SAÍDAS
Vem 1 Número A Número B Vai 1 Adição Emp. 1 Subtração
C0 A4 A3 A2 A1 B4 B3 B2 B1 C4 E4 E3 E2 E1 C4 E4 E3 E2 E1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 1 0 1 0
0 1 1 1 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 1 1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1 1 1
78

UNIDADE LÓGICA E ARITMÉTICA
Entrada de dados: A 3 A 2 A 1 A 0 = 1010 2 = 10 10
B 3 B 2 B 1 B 0 = 0111 2 = 7 10
UNIDADE LÓGICA E ARITMÉTICA
Seleção M = 1 M = 0 (operações aritméticas)
(funções Sem Carry Com Carry
lógicas)
S 3 S 2 S 1 S 0 Cn ? 1
Cn ? 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
4. Finda a experiência, desmonte os circuitos e reponha o equipamento e componentes
aos seus respectivos lugares;
5. Mantenha sempre limpo e organizado o ambiente de experimentação educativa.
79

EXPERIÊNCIA 5 - CIRCUITOS MULTIPLEX E DEMULTIPLEX
1. Identifique a pinagem dos circuitos integrados e monte em matriz de contatos os
seguintes circuitos digitais:
1.1 - Demultiplexador de 4 canais (74155)
Data Strobe Select ___ ___ ___ ___
Vcc 2C 2G A 2Y3 2Y2 2Y1 2Y0
16 15 14 13 12 11 10 9
DEMUX-4 (2)
DEMUX-4 (1)
1 2 3 4 5 6 7
8
Data Strobe Select ___ ___ ___ ___
1C 1G B 1Y3 1Y2 1Y1 1Y0 GND
1.2 - Multiplexador de 4 canais (74153)
Vcc 2G A 2C3 2C2 2C1 2C0 2Y
16 15 14 13 12 11 10 9
MUX-4 (2)
MUX-4 (1)
1 2 3 4 5 6 7
8
1G B 1C3 1C2 1C1 1C0 1Y GND
1.3 - Interconexão do mux e demux de 4 canais.
I0 S E S0
I1 MUX - 4 DEMUX - 4 S1
I2
S2
I3
S3
A1 B1
A2 B2
2. Na seqüência, energize os circuitos e simule, via chaves, os valores possíveis para
as entradas;
3. Organize e interprete os dados coletados na experimentação. Verifique se os
valores encontrados na saída correspondem à análise teórica do circuito;
4. Desmonte os circuitos e reponha o equipamento e componentes aos seus lugares;
5. Mantenha sempre limpo e organizado o ambiente de experimentação educativa.
80

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARISTÓTELES. Metafísica. Porto Alegre: Globo, 1969.
BIGNELL, J. W. e DONOVAN, R. L.. Eletrônica digital. Volumes 1 e 2, São Paulo:
Makron Books, 1995
BONATTI, Ivanil e MADUREIRA, Marcos. Introdução à análise e síntese de circuitos
lógicos. Campinas: Editora da UNICAMP, 1990.
CAPUANO, Francisco G.. Exercícios de eletrônica digital. São Paulo: Érica, 1991.
CHAUI, Marilena. Convite à filosofia. São Paulo: Ática, 1995.
COPI, Irving M. Introdução à lógica. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
DAGHLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. São Paulo: Atlas, 1988.
DATAPOOL. Módulo 8410: teoria e prática. Itajubá: Datapool Eletrônica.
ERCEGOVA, Milos et alii. Introdução aos sistemas digitais. Porto Alegre: Bookman,
2002.
GIMENEZ, Salvador P. Microcontroladores 8051. São Paulo: Pearson Education, 2002.
HEGENBERG, Leônidas. Lógica: o cálculo sentencial. São Paulo: Herder (USP), 1972.
IDOETA, I.V. e CAPUANO, F.G. Elementos de eletrônica digital. São Paulo: Érica,
1987.
KNELLER, G. F. A ciência como atividade humana. Rio de Janeiro: Zahar, 1980.
MALVINO, A. P. e LEACH, D. P.. Eletrônica digital: princípios e aplicações. Volumes 1
e 2, São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
MELO, Mairton de Oliveira. Eletrônica digital. São Paulo: Makron Books, 1994.
MENDELSON, Elliott. Álgebra booleana e circuitos de chaveamento. São Paulo:
McGraw-Hill, 1977.
NOLT, John e ROHATYN, Dennis. Lógica. São Paulo: McGraw-Hill, 1991.
PENROSE, Roger. A mente nova do rei. Rio de Janeiro: Campus, 1991.
QUINE, W. V. Filosofia da lógica. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1972.
SANGIORGI, Osvaldo. Comunicação e Boole. São Paulo: Ciência e Cultura, 1979.
SZAJNBERG, Mordka. Eletrônica digital. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos
Ltda, 1988.
TOCCI, Ronald J. e WIDMER. Sistemas digitais: princípios e aplicações. Rio de
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2002.
WIENER, Norbert. Cibernética e sociedade. São Paulo: Cultrix, 1968.
ZAPELINI, Wilson B. Aquisição de conhecimento via lógica binária: evolução e
análise. Florianópolis: UFSC, 1990. Ensaio.
ZILLER, Roberto M. Microprocessadores: conceitos importantes. Florianópolis: Ed. do
autor, 2000.
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