LÓGICA COMBINACIONAL - Wuala

2 ÁLGEBRA BOOLEANA
2.1 INTRODUÇÃO - PRINCÍPIOS
O período contemporâneo da lógica tem suas raízes estabelecidas nos trabalhos de
George Boole (1815-1864), que imprime novos rumos para a matéria com sua obra
Investigations of the laws of thought, publicada em 1854, onde compara as leis do
pensamento com as leis da álgebra. Boole atribuiu grande importância à sua álgebra,
imaginando que poderia provar as mais notáveis leis lógicas.
A álgebra booleana difere da álgebra convencional no sentido de que esta trata de
relações quantitativas, ao passo que a primeira se refere a relações lógicas. Na álgebra
convencional utilizam-se quantidades simbólicas tais como x, y para representar números.
Na solução de problemas algébricos, geralmente há interesse em saber o tamanho de x,
ou se x é maior que y, ou outra informação qualquer relacionada com quantidades. Por
outro lado, na álgebra booleana existe o interesse de conhecer um dos dois estados
possíveis de um termo simbólico. Por exemplo, quando é usada em lógica filosófica,
deseja-se saber se um enunciado pode assumir valores como falso ou verdadeiro. Um
outro exemplo pode ser encontrado na lógica digital, quando se deseja saber se um termo
algébrico apresenta valor um ou zero.
Na álgebra da lógica, segundo Boole, a lei: x.x = x é verdadeira para quaisquer valores
de x, uma vez que a classe formada com objetos que pertencem à classe x e com objetos
que pertencem a classe x, é a própria classe x. Todavia, na álgebra essa lei não é
geralmente válida. A equação x 2 = x tem duas soluções apenas, a saber x=0 e x=1.
Levando em conta esse fato, o pensador conclui que na álgebra da lógica são válidas as
leis da álgebra matemática quando os valores de x se limitam a 0 e 1. Assim, com tal
restrição, x.x = x é verdadeira para todos os valores da variável (restritos ao par 0,1).
Na sua álgebra da lógica, Boole interpretou os símbolos 0 e 1 como classes especiais, de
modo que 1 representa a classe de todos os objetos (o universo) e 0 representa a classe
a que nenhum objeto pertença (a classe vazia).
Boole apresentou a adição e a subtração em sua lógica, interpretadas de um modo
especial. Assim, x – y é a classe formada com os objetos da classe x, retirados os objetos
da classe y. Por exemplo, se x é a classe dos homens e y a dos europeus, x – y é a
classe dos homens não-europeus. De modo perfeitamente adequado, 1 – x seria a classe
constituída por todos os objetos (do universo) que não fizessem parte da classe x.
As igualdades eram, a seguir, tratadas por Boole de modo matemático. De x.x = x, por
exemplo, subtraindo x em cada membro da expressão, viria: x – x.x = x – x
Ou seja: x (1 – x) = 0 que é a legítima inferência , como se depreende de um exemplo
facilmente compreensível, visto a seguir.
Se x é a classe dos homens, então, 1 – x é a classe dos objetos que não são homens. O
produto de x por 1 – x deve ser igual a zero, a classe vazia, pois que não pode haver
objeto simultaneamente homem e não homem. Esse princípio é, para Boole, uma
formulação do princípio da não contradição, isto é, nenhum objeto pode ter duas
propriedades contraditórias.
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