LÃGICA COMBINACIONAL - Wuala

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2 ÁLGEBRA BOOLEANA 2.1 INTRODUÇÃO - PRINCÍPIOS O período contemporâneo da lógica tem suas raízes estabelecidas nos trabalhos de George Boole (1815-1864), que imprime novos rumos para a matéria com sua obra Investigations of the laws of thought, publicada em 1854, onde compara as leis do pensamento com as leis da álgebra. Boole atribuiu grande importância à sua álgebra, imaginando que poderia provar as mais notáveis leis lógicas. A álgebra booleana difere da álgebra convencional no sentido de que esta trata de relações quantitativas, ao passo que a primeira se refere a relações lógicas. Na álgebra convencional utilizam-se quantidades simbólicas tais como x, y para representar números. Na solução de problemas algébricos, geralmente há interesse em saber o tamanho de x, ou se x é maior que y, ou outra informação qualquer relacionada com quantidades. Por outro lado, na álgebra booleana existe o interesse de conhecer um dos dois estados possíveis de um termo simbólico. Por exemplo, quando é usada em lógica filosófica, deseja-se saber se um enunciado pode assumir valores como falso ou verdadeiro. Um outro exemplo pode ser encontrado na lógica digital, quando se deseja saber se um termo algébrico apresenta valor um ou zero. Na álgebra da lógica, segundo Boole, a lei: x.x = x é verdadeira para quaisquer valores de x, uma vez que a classe formada com objetos que pertencem à classe x e com objetos que pertencem a classe x, é a própria classe x. Todavia, na álgebra essa lei não é geralmente válida. A equação x 2 = x tem duas soluções apenas, a saber x=0 e x=1. Levando em conta esse fato, o pensador conclui que na álgebra da lógica são válidas as leis da álgebra matemática quando os valores de x se limitam a 0 e 1. Assim, com tal restrição, x.x = x é verdadeira para todos os valores da variável (restritos ao par 0,1). Na sua álgebra da lógica, Boole interpretou os símbolos 0 e 1 como classes especiais, de modo que 1 representa a classe de todos os objetos (o universo) e 0 representa a classe a que nenhum objeto pertença (a classe vazia). Boole apresentou a adição e a subtração em sua lógica, interpretadas de um modo especial. Assim, x – y é a classe formada com os objetos da classe x, retirados os objetos da classe y. Por exemplo, se x é a classe dos homens e y a dos europeus, x – y é a classe dos homens não-europeus. De modo perfeitamente adequado, 1 – x seria a classe constituída por todos os objetos (do universo) que não fizessem parte da classe x. As igualdades eram, a seguir, tratadas por Boole de modo matemático. De x.x = x, por exemplo, subtraindo x em cada membro da expressão, viria: x – x.x = x – x Ou seja: x (1 – x) = 0 que é a legítima inferência , como se depreende de um exemplo facilmente compreensível, visto a seguir. Se x é a classe dos homens, então, 1 – x é a classe dos objetos que não são homens. O produto de x por 1 – x deve ser igual a zero, a classe vazia, pois que não pode haver objeto simultaneamente homem e não homem. Esse princípio é, para Boole, uma formulação do princípio da não contradição, isto é, nenhum objeto pode ter duas propriedades contraditórias. 9
2.2 FUNÇÕES E PORTAS (GATES) LÓGICAS A álgebra de Boole é um sistema algébrico que consiste do conjunto {0, 1}; de duas operações binárias: OU (+) chamada adição lógica ou união e E (x) chamada produto lógico ou interseção; e de uma operação unária NÃO (barra sobreposta) chamada complementação lógica ou inversão. É importante destacar que um circuito lógico é definido como um circuito construído com vários dispositivos lógicos para a realização de operações com funções de verdade. Os dispositivos utilizados na construção destes circuitos variam com o estágio da tecnologia. Por esta razão, é conveniente não se ater a questões referentes a componentes, mas sim abordar circuitos lógicos em sua expressão universal como, por exemplo, os circuitos de chaveamento, os quais serão aqui tratados. 2.2.1 FUNÇÃO E (AND) Executa o produto lógico de duas ou mais variáveis booleanas. Expressão S = A . B (lê-se: A e B) Circuito de chaveamento Tabela da verdade A B A B S 0 0 0 S 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Lógica: A saída será um, se e somente se, quando todas as entradas forem iguais a um. Símbolo A B S 2.2.2 FUNÇÃO OU (OR) Executa a adição lógica de duas ou mais variáveis booleanas. Expressão S = A + B (lê-se: A ou B) 10
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