Circuitos de Corrente Alternada (CA) - DEMAR
Circuitos de Corrente Alternada (CA) - DEMAR
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<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> <strong>Corrente</strong> <strong>Alternada</strong> (<strong>CA</strong>)<br />
<strong>Circuitos</strong> resistivos e capacitivos<br />
Introdução<br />
Neste capítulo, faremos a análise <strong>de</strong> circuitos <strong>de</strong> corrente alternada (abreviado por <strong>CA</strong><br />
ou AC, em inglês), que são os circuitos constituídos por componentes alimentados por fontes<br />
<strong>de</strong> tensão ou corrente alternada.<br />
Em contraste com a corrente contínua CC, que tem amplitu<strong>de</strong> constante, a corrente<br />
alternada <strong>CA</strong> tem amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte do tempo. Na maioria dos casos segue a forma <strong>de</strong><br />
uma onda senoidal ou harmônica. Na sua origem, o sinal senoidal é produzido no gerador<br />
elétrico através da movimentação <strong>de</strong> uma bobina <strong>de</strong> cobre <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> um campo magnético,<br />
causando a indução <strong>de</strong> uma tensão <strong>CA</strong>. A freqüência é <strong>de</strong> 60 ciclos/s (Hz), po<strong>de</strong>ndo existir<br />
também sistemas <strong>de</strong> geração em 50 Hz. À partir da tensão <strong>CA</strong> são obtidas os outros tipos <strong>de</strong><br />
tensões/correntes elétricas que, doravante serão <strong>de</strong>notados por sinais.<br />
Tipos <strong>de</strong> Sinais<br />
Genericamente, além da tensão/corrente senoidal, mostrada no item (a) da Fig. 1,<br />
outras formas <strong>de</strong> sinais <strong>de</strong> tensão/corrente <strong>CA</strong> <strong>de</strong> aplicação em circuitos eletrônicos po<strong>de</strong>m ser<br />
<strong>de</strong>scritos como sinais variantes no tempo.<br />
(a)<br />
(b)<br />
(c)<br />
(d)<br />
Fig. 1 Tipos <strong>de</strong> sinais variantes no tempo: (a) senoidal ou harmônico, (b) <strong>de</strong>grau, (c) impulso<br />
e (d) rampa.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 1
Sinal Senoidal<br />
O sinal senoidal, também conhecido por sinal harmônico, é freqüentemente<br />
encontrado em sinais <strong>de</strong> alimentação <strong>de</strong> energia, por causa das características do sistema <strong>de</strong><br />
geração e transmissão <strong>de</strong> energia elétrica. Uma onda senoidal com amplitu<strong>de</strong> e freqüência<br />
característicos são as informações que um sinal senoidal possui. A Fig. 2 apresenta um sinal<br />
<strong>de</strong> tensão senoidal, com amplitu<strong>de</strong> V p e período T. A relação entre o período T e a freqüência<br />
f é <strong>de</strong>terminado pela expressão:<br />
1<br />
f = (1)<br />
T<br />
Por questão <strong>de</strong> normalização, <strong>de</strong>fine-se a freqüência angular ω como:<br />
ω = 2 πf<br />
(2)<br />
V<br />
V p<br />
0<br />
0<br />
π<br />
2<br />
π<br />
3 π 2 π<br />
2<br />
ω t<br />
-V p<br />
T = período<br />
Fig. 2 Sinal senoidal<br />
Um sinal <strong>de</strong> tensão senoidal (conforme convenção da Fig. 2) po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>scrito pela<br />
expressão:<br />
V = Vp sen ωt<br />
(3)<br />
Uma outra quantida<strong>de</strong> que está relacionada com o tipo <strong>de</strong> sinal senoidal é o ângulo <strong>de</strong><br />
fase, que correspon<strong>de</strong> à diferença na escala <strong>de</strong> tempo entre duas ondas senoidais <strong>de</strong> mesma<br />
freqüência, como mostra a Fig. 3.<br />
Se consi<strong>de</strong>rarmos o ângulo <strong>de</strong> fase φ na equação da tensão senoidal, resulta:<br />
V = Vp sen( ωt<br />
+ φ)<br />
(4)<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 2
V<br />
V 1 V 2<br />
0<br />
ω t<br />
φ<br />
Fig. 3 Ângulo <strong>de</strong> fase φ entre dois sinais <strong>de</strong> tensão <strong>de</strong> mesma freqüência.<br />
Forma Complexa <strong>de</strong> Representação da Onda Senoidal<br />
Por questão <strong>de</strong> conveniência, a representação matemática da equação (4) po<strong>de</strong> ser<br />
ampliada para a forma complexa:<br />
V = V e<br />
p<br />
j( ωt+φ)<br />
= V [cos( ωt<br />
+ φ)<br />
+ jsen( ωt<br />
+ φ)]<br />
p<br />
(5)<br />
na qual j = −1<br />
.<br />
Diagrama Fasorial<br />
A representação gráfica <strong>de</strong> sinais senoidais <strong>de</strong> mesma freqüência com diferença <strong>de</strong><br />
fase é feita através do diagrama <strong>de</strong> Argand, utilizado para representar quantida<strong>de</strong>s numéricas<br />
do conjunto dos números complexos.<br />
Im {V}<br />
| V |sen φ<br />
V | |<br />
0<br />
φ<br />
- φ<br />
| V | cos φ<br />
Re {V}<br />
- | V | sen φ<br />
| V |<br />
Fig. 4 Diagrama fasorial<br />
representando no plano<br />
complexo as componentes<br />
real (Re) e imaginária (Im) da<br />
tensão harmônica V.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 3
Circuito Resistivo <strong>CA</strong><br />
i<br />
V<br />
S<br />
R<br />
Fig. 5 Circuito resistivo<br />
Sendo a tensão <strong>de</strong> alimentação expressa como:<br />
V<br />
S<br />
= V sen ωt<br />
p<br />
ao aplicar a lei <strong>de</strong> Ohm ao resistor, V = Ri, resulta:<br />
VS<br />
i =<br />
R<br />
Vp<br />
= sen ωt<br />
R<br />
A potência, calculada pela expressão P = Vi, fornece a seguinte expressão:<br />
P = V i<br />
p<br />
p<br />
pela qual, como sen 2 ωt ≥ 0, a potência instantânea P(t) será sempre ≥ 0, como mostra o<br />
gráfico da potência da Fig. 6.<br />
Da Matemática, temos a relação:<br />
1<br />
sen 2 x =<br />
2<br />
sen<br />
2<br />
ωt<br />
( 1−<br />
cos2x)<br />
<strong>de</strong> on<strong>de</strong> se conclui que a forma da potência instantânea terá uma freqüência dobrada em<br />
relação às freqüências da tensão e corrente instantâneas e, inversamente, o período da<br />
potência será meta<strong>de</strong> do período da tensão e da corrente instantâneas, como po<strong>de</strong> ser<br />
observado nos gráficos da Fig. 6.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 4
V S<br />
V p<br />
0<br />
0<br />
__ π π 3__<br />
π 2π<br />
5__<br />
π 3π<br />
7__<br />
π 4π<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
9__<br />
π 5π<br />
2<br />
ω t<br />
-V p<br />
i<br />
V p / R<br />
0<br />
0 __ π<br />
2<br />
π<br />
3__<br />
π 2π<br />
5__<br />
π 3π<br />
7__<br />
π 4π<br />
9__<br />
π 5π<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
ω t<br />
-V p / R<br />
P<br />
V p<br />
i p<br />
V p<br />
i p ____<br />
2<br />
0<br />
0<br />
__ π π 3__<br />
π 2π<br />
5__<br />
π 3π<br />
7__<br />
π 4π<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
9__<br />
π 5π<br />
2<br />
ω t<br />
Fig. 6 Diagramas <strong>de</strong> tensão, corrente e potência versus tempo para o circuito resistivo puro.<br />
A potência média P m é calculada pela fórmula:<br />
<strong>de</strong> modo que a potência média do circuito resistivo vale<br />
T<br />
1<br />
P<br />
m<br />
= ∫ P(t) dt<br />
(7)<br />
T<br />
0<br />
2π<br />
1<br />
2<br />
Pm = Vpi<br />
p<br />
sen ωt.dωt<br />
=<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
V i<br />
p<br />
2<br />
p<br />
Na forma complexa,<br />
V<br />
jωt<br />
S<br />
= Vpe<br />
, obtendo-se a partir da lei <strong>de</strong> Ohm:<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 5
VS<br />
i =<br />
R<br />
Vp<br />
= e<br />
R<br />
j ω t<br />
=<br />
i<br />
p<br />
e<br />
jωt<br />
<strong>de</strong> modo que o resistor como elemento <strong>de</strong> circuito <strong>CA</strong> não introduz <strong>de</strong>fasagem entre a tensão<br />
e a corrente. A Fig. 6 mostra que as curvas <strong>de</strong> tensão e corrente para o resistor estão em fase,<br />
isto é, φ = 0. A Fig. 7 apresenta o diagrama fasorial para a tensão e a corrente.<br />
i<br />
V<br />
Fig. 7 Fasores representando a tensão e a corrente sobre o resistor.<br />
Capacitância<br />
A capacitância elétrica é a medida da capacida<strong>de</strong> <strong>de</strong> armazenamento <strong>de</strong> cargas<br />
elétricas por um dispositivo (Fig. 8) e é <strong>de</strong>finida pela equação:<br />
na qual:<br />
ε – permitivida<strong>de</strong> elétrica do meio material entre as placas (C/V.cm)<br />
d – distância entre as placas do capacitor (cm)<br />
A - área da placa (cm 2 )<br />
A<br />
C = ε<br />
(8)<br />
d<br />
A<br />
d<br />
Fig. 8 Placas planas paralelas para o cálculo da capacitância.<br />
Para materiais isolantes, também chamado <strong>de</strong> materiais dielétricos, a permitivida<strong>de</strong> é<br />
expressa em termos da permitivida<strong>de</strong> no vácuo ε 0 (= 8,854.10 -12 C/V.m) multiplicada pela<br />
constante dielétrica do material κ:<br />
ε = ε0 κ<br />
(9)<br />
A constante dielétrica κ também é chamada permissivida<strong>de</strong> relativa ε r .<br />
A Tabela 1 apresenta a constante dielétrica e a rigi<strong>de</strong>z dielétrica, que é a medida da<br />
tensão elétrica que um material isolante é capaz <strong>de</strong> suportar sem conduzir corrente, para<br />
diversos materiais isolantes.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 6
TABELA 1 – Constante dielétrica e rigi<strong>de</strong>z dielétrica para alguns materiais isolantes<br />
Material<br />
Alumina Al 2 O 3 (99,9%)<br />
Alumina (99,5%)<br />
Berília BeO (99,5%)<br />
Cordierita<br />
Nylon 66 reforçado com 33%<br />
<strong>de</strong> fibra <strong>de</strong> vidro (seco)<br />
Nylon 66 reforçado com fibra<br />
<strong>de</strong> vidro (50% umida<strong>de</strong>)<br />
Poliéster<br />
Constante dielétrica<br />
κ<br />
10,1<br />
9,8<br />
6,7<br />
4,1-5,3<br />
3,7<br />
7,8<br />
3,6<br />
Rigi<strong>de</strong>z dielétrica<br />
(kV/mm)<br />
9,1<br />
9,5<br />
10,2<br />
2,4-7,9<br />
20,5<br />
17,3<br />
21,7<br />
A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> capacitância no SI é o farad (F), geralmente sendo utilizado frações<br />
<strong>de</strong>sta quantida<strong>de</strong> como µF (10 -6 F), nF (10 -9 F) e até pF (10 -12 F).<br />
Capacitores<br />
Capacitores são disponíveis em diversos tipos e valores. O valor da capacitância é<br />
<strong>de</strong>terminado pela constante dielétrica do material, da sua espessura e da área dos eletrodos. As<br />
técnicas construtivas também diferem, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo do material dielétrico empregado. A Fig. 9<br />
apresenta alguns arranjos construtivos empregados na fabricação <strong>de</strong> capacitores.<br />
METAL<br />
DIELÉTRICO<br />
DIELÉTRICO<br />
FOLHA<br />
METÁLI<strong>CA</strong><br />
DIELÉTRICO<br />
Fig. 9 Arranjos construtivos para capacitores<br />
As simbologias utilizadas para representar esquematicamente os capacitores estão<br />
mostradas na Fig. 10.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 7
- +<br />
- +<br />
Fig. 10 Símbolos para o capacitor.<br />
A Fig. 11 apresenta os principais tipos <strong>de</strong> capacitores comerciais e a Tabela 2 lista as<br />
suas proprieda<strong>de</strong>s. Os maiores valores <strong>de</strong> capacitância são aqueles para os capacitores<br />
eletrolíticos<br />
ADVERTÊNCIA<br />
Risco <strong>de</strong><br />
explosão !<br />
Capacitores eletrolíticos não po<strong>de</strong>m ser<br />
ligados com terminais <strong>de</strong> polarida<strong>de</strong><br />
invertida, sob risco <strong>de</strong> explodirem !<br />
Fig. 11 Tipos <strong>de</strong> capacitores<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 8
TABELA 2 – Proprieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> capacitores comerciais<br />
Tipo Material dielétrico Faixa <strong>de</strong> capacitância Tensão máxima<br />
Variável ar 5 a 500 pF 500 V<br />
Cerâmico Titanato <strong>de</strong> bário 1000 pF a 1 µF 2000 V<br />
Óleo Papel com óleo 0,01 a 1 µF 10000 V<br />
Mica Mica 100 a 5000 pF 10000 V<br />
Filme<br />
Eletrolítico<br />
- Tântalo<br />
- Alumínio<br />
Chip<br />
Mylar, Teflon,<br />
poliestireno,<br />
policarbonato<br />
0,01 a 50 µF 1000 V<br />
Óxido <strong>de</strong> tântalo<br />
Óxido <strong>de</strong> alumínio<br />
0,01 a 3000 µF<br />
0,1 a 100000 µF<br />
*<br />
*<br />
cerâmica<br />
* A máxima tensão que po<strong>de</strong> ser aplicada a um capacitor eletrolítico <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do valor da capacitância. Por<br />
exemplo, para 100.000 µF, uma tensão <strong>de</strong> 3 V po<strong>de</strong> danificar o capacitor, enquanto que para 100 µF, o<br />
mesmo tipo <strong>de</strong> capacitor po<strong>de</strong> suportar 400 V.<br />
Internamente, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo da sua construção, o capacitor apresenta resistências e<br />
indutâncias, que interferem no comportamento do capacitor em função da freqüência <strong>de</strong><br />
trabalho. A Fig. 13 apresenta o circuito equivalente real <strong>de</strong> um capacitor, no qual as<br />
resistências representam a fuga <strong>de</strong> corrente, isto é, a perda <strong>de</strong> carga por caminhos <strong>de</strong> baixa<br />
resistência no interior e na superfície do capacitor, e a indutância L representa a variação da<br />
corrente <strong>de</strong> fuga. Como a capacitância e a corrente <strong>de</strong> fuga são diretamente proporcionais à<br />
área do capacitor, a resistência R P é inversamente proporcional à capacitância. Os fabricantes<br />
geralmente classificam seus capacitores pelo produto <strong>de</strong> R P e C, em unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> ohms ×<br />
farads ou megohms × microfarads. Se convertermos o produto à unida<strong>de</strong> básica, veremos que,<br />
1volt<br />
1coulomb<br />
1 ohm×<br />
1 farad =<br />
⋅ = 1 segundo<br />
1coulomb / segundo 1volt<br />
A quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong>finida pelo produto R P C é <strong>de</strong>nominado tempo <strong>de</strong> fuga <strong>de</strong> corrente do<br />
capacitor; quanto maior o seu valor, melhor será a capacida<strong>de</strong> do capacitor armazenar a carga.<br />
A Tabela 3 apresenta os valores <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> fuga para diversos materiais dielétricos<br />
comumente empregados na confecção <strong>de</strong> capacitores comerciais.<br />
I L<br />
R<br />
S<br />
V CC<br />
C<br />
L<br />
C<br />
R<br />
P<br />
Fig.13 Circuito equivalente do capacitor<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 9
TABELA 3 – Tempos <strong>de</strong> fuga <strong>de</strong> corrente para alguns materiais dielétricos<br />
Material MΩ × µF (25 o C)<br />
Teflon<br />
2.10 6<br />
Poliestireno<br />
1.10 6<br />
Policarbonato<br />
2.10 5<br />
Mylar<br />
1.10 5<br />
Vidro<br />
1.10 3 a 1.10 5<br />
Mica<br />
1.10 3 a 1.10 5<br />
Papel<br />
1.10 3 a 1.10 5<br />
Cerâmica<br />
1.10 3 a 1.10 5<br />
Eletrolítico<br />
10 a 1000<br />
Analisando-se os valores da Tabela 3, po<strong>de</strong>-se concluir que um capacitor <strong>de</strong><br />
poliestireno é muito superior ao capacitor <strong>de</strong> papel, com base nos valores <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> fuga.<br />
Naturalmente, o custo do capacitor é diretamente proporcional ao tempo <strong>de</strong> fuga, como<br />
também ao valor da capacitância.<br />
Análise <strong>de</strong> circuito com capacitor i<strong>de</strong>al<br />
Um circuito contendo uma fonte <strong>de</strong> tensão senoidal acoplado a um capacitor i<strong>de</strong>al, isto<br />
é, que contém somente capacitância, é mostrado na Fig. 14.<br />
i<br />
V<br />
S<br />
C<br />
Fig. 14 Circuito com capacitor i<strong>de</strong>al<br />
Sendo a tensão <strong>de</strong> alimentação expressa como<br />
V<br />
S<br />
= V sen ωt<br />
e sabendo que a<br />
equação que relaciona a tensão V com a carga do capacitor q na forma q = CV, vem que:<br />
i =<br />
dq<br />
dt<br />
=<br />
dV<br />
C<br />
dt<br />
=<br />
d<br />
C<br />
dt<br />
V sen ωt<br />
= ωCV<br />
cosωt<br />
o<br />
Mas, cosω<br />
t = sen( ωt<br />
+ 90 ) , <strong>de</strong> mod que po<strong>de</strong>mos re-escrever a equação para a corrente<br />
instantânea como:<br />
i(t) = ωCVp<br />
sen( ωt<br />
+ 90<br />
p<br />
o<br />
)<br />
p<br />
p<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 10
Dessa expressão, po<strong>de</strong>-se observar que a corrente está “adiantada” 90 o em relação à<br />
tensão e o ângulo <strong>de</strong> fase φ = 90 o .<br />
A potência, calculada pela expressão P = Vi, fornece a seguinte expressão:<br />
P = ωCV<br />
2<br />
p<br />
1<br />
sen ωt.cosωt<br />
= ωCV<br />
2<br />
2<br />
p<br />
sen 2ωt<br />
A Fig. 15 mostra as formas <strong>de</strong> onda para a tensão, corrente e potência para o circuito<br />
capacitivo puro. Po<strong>de</strong>-se observar novamente que a forma <strong>de</strong> onda da potência instantânea<br />
tem uma freqüência que é o dobro da freqüência da tensão e corrente instantâneas.<br />
V S<br />
V p<br />
0<br />
0<br />
__ π π 3__<br />
π 2π<br />
5__<br />
π 3π<br />
7__<br />
π 4π<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
9__<br />
π 5π<br />
2<br />
ω t<br />
-V p<br />
i<br />
ωCV p<br />
0<br />
0 __ π<br />
2<br />
π<br />
3__<br />
π 2π<br />
5__<br />
π 3π<br />
7__<br />
π 4π<br />
9__<br />
π 5π<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
ω t<br />
-ωCV p<br />
P<br />
2<br />
ωCV<br />
____ p<br />
2<br />
0<br />
0<br />
__ π π 3__<br />
π 2π<br />
5__<br />
π 3π<br />
7__<br />
π 4π<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
9__<br />
π 5π<br />
2<br />
ω t<br />
2<br />
ωCV<br />
____ p<br />
2<br />
Fig. 15 Diagramas <strong>de</strong> tensão, corrente e potência versus tempo para o circuito capacitivo.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 11
A potência média po<strong>de</strong> ser calculada para meio ciclo (neste caso, π/2), a partir da<br />
equação<br />
T / 2<br />
π / 2<br />
1<br />
1 1 2<br />
2<br />
P<br />
m<br />
= P(t).dt<br />
CVp<br />
sen 2 t.dt 2fCVp<br />
T / 2<br />
∫ = ω ω =<br />
π / 2<br />
∫<br />
.<br />
2<br />
0<br />
0<br />
Na forma complexa, sendo a tensão expressa como<br />
<strong>de</strong>terminada pela equação<br />
i = CdV / dt<br />
, obtém-se:<br />
V<br />
S<br />
jωt<br />
= Vpe<br />
e sendo a corrente<br />
Na forma inversa,<br />
i =<br />
d<br />
C<br />
dt<br />
V e<br />
p<br />
V S<br />
jωt<br />
= jωCV e<br />
p<br />
jωt<br />
1 j<br />
= i = − i<br />
jωC<br />
ωC<br />
= jωCV<br />
S<br />
Esta equação mostra a vantagem <strong>de</strong> se adotar a forma complexa, pelo fato <strong>de</strong> explicitar<br />
a relação algébrica da tensão com a corrente por uma constante <strong>de</strong> proporcionalida<strong>de</strong> –j/ωC,<br />
tal como a lei <strong>de</strong> Ohm expressa a relação da tensão com a corrente com a resistência como<br />
constante <strong>de</strong> proporcionalida<strong>de</strong> para circuitos resistivos. De fato, a constante –j/ωC é<br />
fisicamente análoga à resistência, e é <strong>de</strong>nominada <strong>de</strong> impedância capacitiva Z C e tem<br />
dimensão <strong>de</strong> resistência (ohm):<br />
Z C<br />
j<br />
= − (Ω)<br />
ωC<br />
A Fig. 16 apresenta a representação gráfica dos fasores <strong>de</strong> tensão e corrente para o<br />
capacitor, com ângulo <strong>de</strong> fase φ = 90 o .<br />
i<br />
φ = 90 o<br />
V<br />
Fig. 16 Fasores representando a tensão e a corrente sobre o capacitor.<br />
Uma outra forma <strong>de</strong> representar os fasores é a chamada forma polar, pela qual a tensão<br />
V S é apresentada com o seu valor eficaz V ef e o ângulo <strong>de</strong> fase φ como:<br />
V V ∠φ<br />
(10)<br />
S<br />
= ef<br />
O valor eficaz V ef ou valor quadrático médio (rms – root mean square) <strong>de</strong> uma<br />
quantida<strong>de</strong> V S é <strong>de</strong>finido pela expressão:<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 12
T<br />
1 2<br />
V<br />
ef<br />
= Vrms<br />
= ∫ Vs<br />
dt<br />
(11)<br />
T<br />
Para uma tensão senoidal V S = V p sen ωt, o valor eficaz po<strong>de</strong> ser calculado como:<br />
0<br />
V<br />
ef<br />
2π<br />
1<br />
= V<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
2<br />
p<br />
sen<br />
2<br />
ωtdt<br />
=<br />
V<br />
p<br />
2<br />
≅ 0,707V<br />
p<br />
Para efeito <strong>de</strong> comparação, vamos calcular o valor médio da tensão, V m , calculado<br />
sobre meio-ciclo:<br />
V<br />
m<br />
T<br />
2<br />
π<br />
2 1<br />
= VSdt<br />
T<br />
∫ =<br />
π∫<br />
0<br />
0<br />
2Vp<br />
Vp<br />
sen ωt<br />
=<br />
π<br />
≅ 0,637V<br />
p<br />
Assim, a relação entre os valores <strong>de</strong> pico V p , o valor eficaz V ef e o valor médio V m ,<br />
para uma função senoidal, é:<br />
V = 1,414V = 1,571V<br />
p<br />
ef<br />
m<br />
O diagrama da Fig. 17 ilustra a comparação entre os valores característicos <strong>de</strong> uma<br />
onda senoidal.<br />
V<br />
V p<br />
0,707 V p<br />
0,637 V p<br />
V p Vpp<br />
V V<br />
m ef<br />
0<br />
ω t<br />
-V p<br />
Fig. 17 Relações entre os valores característicos para uma onda senoidal.<br />
Circuito RC série<br />
Faremos agora a análise <strong>de</strong> circuitos contendo um resistor em série com um capacitor,<br />
conforme mostra a Fig. 18.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 13
R<br />
V i<br />
Fig. 18 Circuito RC em série<br />
+<br />
-<br />
i<br />
C<br />
Depen<strong>de</strong>ndo <strong>de</strong> on<strong>de</strong> será conectado o terminal <strong>de</strong> saída da tensão, o circuito RC série<br />
recebe o nome <strong>de</strong> circuito RC integrador ou diferenciador, ou então, respectivamente, circuito<br />
filtro passa-baixa e circuito filtro passa-alta.<br />
Circuito RC Integrador<br />
Na forma esquemática mais conveniente.<br />
V<br />
i<br />
R<br />
i<br />
C<br />
V<br />
o<br />
Fig. 19 Circuito RC esquemático<br />
Aplicando a lei <strong>de</strong> Kirchhoff ao circuito da Fig. 19:<br />
na qual:<br />
e<br />
V i<br />
= Ri + q / C<br />
(12)<br />
i = dq / dt<br />
(13)<br />
V o<br />
= q / C<br />
(14)<br />
Re-escrevendo (12) na forma diferencial:<br />
dq q Vi<br />
+ =<br />
(15)<br />
dt RC R<br />
Esta equação diferencial possui soluções <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes da função V i , que analisaremos<br />
para os principais casos.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 14
Resposta ao Degrau<br />
Consi<strong>de</strong>remos a função V i como a função <strong>de</strong>grau, <strong>de</strong>finida matematicamente como:<br />
⎧ 0,<br />
t ≤ 0<br />
Vi = ⎨<br />
(16)<br />
⎩V<br />
S , t > 0<br />
o que representa uma excitação constante V 0 a partir do instante inicial t = 0. O gráfico da<br />
Fig. 20 apresenta a função <strong>de</strong>grau.<br />
Vi<br />
V<br />
S<br />
0 t = 0<br />
t<br />
Fig. 20 Gráfico da função <strong>de</strong>grau<br />
Em t = 0, a carga acumulada no capacitor é igual a zero e a equação diferencial po<strong>de</strong><br />
ser integrada como:<br />
q<br />
dq 1<br />
=<br />
∫ ( CV − q ) RC<br />
0<br />
S<br />
t<br />
∫<br />
0<br />
dt<br />
(17)<br />
A solução da integral da equação (6) é dada por:<br />
que, rearranjada em termos <strong>de</strong> q(t), resulta em:<br />
t<br />
− q t<br />
n( CVS<br />
− q)<br />
0 = RC<br />
(18)<br />
S<br />
0<br />
−t<br />
/ RC<br />
( − e )<br />
q( t ) = V C 1 (19)<br />
A corrente i é calculada a partir da <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> (19), <strong>de</strong> modo que:<br />
dq V S −t<br />
/ RC<br />
i = = e<br />
(20)<br />
dt R<br />
De (19) também po<strong>de</strong>-se calcular a tensão V o :<br />
V<br />
o<br />
−t<br />
/ RC<br />
( − e )<br />
q<br />
= = VS<br />
1 (21)<br />
C<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 15
O termo exponencial apresenta o <strong>de</strong>nominador RC, cuja dimensão é <strong>de</strong> tempo. O<br />
produto RC representa a constante <strong>de</strong> tempo para o circuito resistor-capacitor e significa o<br />
tempo que um capacitor leva para atingir 0,632V S (= 1 - 1/e) da tensão em regime<br />
estacionário durante o carregamento. Se o circuito estiver <strong>de</strong>scarregando, a constante <strong>de</strong><br />
tempo RC representa o tempo que leva para a tensão atingir 36,8% do seu valor inicial.<br />
As Figuras 21 e 22 apresentam as curvas <strong>de</strong> tensão e corrente em função do tempo<br />
normalizado pela constante RC, durante o carregamento do capacitor. Se consi<strong>de</strong>rarmos V 0<br />
como a tensão em regime estacionário (para t → ∞), na Fig. 21, para t = RC, o valor da tensão<br />
normalizada será V/V 0 = 0,632; para t = 2RC, V/V 0 = 0,865, isto é, a tensão será 86,5% da<br />
tensão V 0 ; em t = 3RC, V/V 0 = 0,95; em t = 4RC, V/V 0 = 0,982 e em t = 5RC, V/V 0 = 0,993,<br />
isto é, a tensão terá atingido 99,3% do valor estacionário.<br />
1,0<br />
Tensão normalizada V/V 0<br />
0,8<br />
0,632<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
tempo em constante RC (s)<br />
Fig. 21 Curva <strong>de</strong> tensão em função do tempo para o circuito RC integrador.<br />
1,0<br />
<strong>Corrente</strong> normalizada, i/i 0<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,368<br />
0,2<br />
0,0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
tempo em constante RC (s)<br />
Fig. 22 Curva da corrente em função do tempo para o circuito série RC.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 16
Filtro Passa-Baixa (Resposta Senoidal)<br />
Como visto anteriormente, a resposta <strong>de</strong> um circuito RC à excitação senoidal produz<br />
um sinal <strong>de</strong> tensão <strong>de</strong>fasado 90 o em relação à corrente. Se aplicarmos a análise na forma<br />
fasorial, teremos a impedância:<br />
Z = R + jX C<br />
(22)<br />
na qual, para um circuito RC<br />
X C<br />
= −1 / ωC<br />
é <strong>de</strong>nominada reatância capacitiva, <strong>de</strong> modo que<br />
Z<br />
j<br />
= R −<br />
(23)<br />
ωC<br />
Em notação polar,<br />
Z = | Z | ∠ − arctg (| X C | / R ) = | Z | ∠ − arctg ( 1 / ωRC ) (24)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
na qual | Z | = R + 1/<br />
ω C é chamada amplitu<strong>de</strong> da impedância. Sendo a tensão <strong>de</strong><br />
excitação dada por:<br />
i V ef<br />
na qual V ef é o valor da tensão <strong>de</strong> excitação eficaz.<br />
A corrente é calculada por:<br />
o<br />
V = ∠0<br />
(25)<br />
Vi<br />
I =<br />
Z<br />
o<br />
V1 ∠0<br />
=<br />
(26)<br />
| Z | ∠ − arctg (| X | / R )<br />
C<br />
na qual as equações (24) e (25) foram usadas. Re-escrevendo a equação (26) na forma polar:<br />
Vef<br />
I = ∠arctg(|<br />
X C | / R )<br />
(27)<br />
| Z |<br />
A impedância do capacitor é <strong>de</strong>finida como:<br />
1 o<br />
ZC<br />
= ∠ − 90<br />
(28)<br />
ωC<br />
pela qual, po<strong>de</strong>mos calcular a tensão <strong>de</strong> saída V out como:<br />
o<br />
[ | X ∠ − ]<br />
⎡Vef<br />
⎤<br />
Vo = IZC<br />
= ⎢ ∠arctg(|<br />
X C | / R ) ⎥ ⋅ C | 90<br />
⎣|<br />
Z |<br />
⎦<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 17
| X C |Vef<br />
o<br />
= ∠ − 90 + arctg (| X C | / R )<br />
(29)<br />
| Z |<br />
Resumindo, a amplitu<strong>de</strong> da tensão <strong>de</strong> saída é:<br />
e o ãngulo <strong>de</strong> fase φ:<br />
Vef<br />
| X C |<br />
Vo =<br />
| Z |<br />
(30)<br />
o ⎛ 1 ⎞<br />
φ = −90 + arctg ⎜ ⎟<br />
⎝ ωRC<br />
⎠<br />
(31)<br />
Para analisarmos a resposta do circuito RC à excitação senoidal é conveniente<br />
expressarmos a razão entre a amplitu<strong>de</strong> da tensão <strong>de</strong> saída V out e a amplitu<strong>de</strong> da tensão <strong>de</strong><br />
entrada V in :<br />
V<br />
V<br />
o<br />
i<br />
=<br />
R<br />
1<br />
ωC<br />
1<br />
=<br />
2<br />
2 2 2<br />
+ ω R C +<br />
2 2<br />
ω<br />
C<br />
1<br />
1<br />
(32)<br />
Esta razão é <strong>de</strong>nominada ganho <strong>de</strong> tensão do circuito e é utilizada para avaliar o<br />
<strong>de</strong>sempenho <strong>de</strong> circuitos. Tomando-se os valores R = 1 kΩ e C = 1 µF, foram calculados os<br />
valores mostrados na Tabela 4. O gráfico do ângulo <strong>de</strong> fase φ versus a freqüência angular ω é<br />
mostrada na Fig. 23, enquanto que a Fig. 24 apresenta o gráfico do ganho <strong>de</strong> tensão versus ω.<br />
Este circuito, com estas características, é chamado filtro passa-baixa, porque ele <strong>de</strong>ixa passar<br />
sinais <strong>de</strong> baixa freqüência com pequena ou nenhuma atenuação. À medida que a freqüência, a<br />
atenuação aumenta consi<strong>de</strong>ravelmente.<br />
TABELA 4 Resposta em freqüência para o filtro passa-baixa.<br />
R = 1 kΩ, C = 1 µF<br />
ω (rad/s) f (Hz) log ω φ (graus) V o /V i log(V o /V i )<br />
1 0,16 0 -0,06 1 0,00000<br />
10 1,6 1 -0,57 0,99995 -0,00002<br />
100 15,9 2 -5,71 0,99504 -0,00216<br />
200 31,8 2,3 -11,31 0,98058 -0,00852<br />
1000 159,2 3 -45,00 0,70711 -0,15051<br />
10000 1591,5 4 -84,29 0,0995 -1,00216<br />
50000 7957,7 4,7 -88,85 0,0200 -1,69906<br />
100000 15915,5 5 -89,48 0,0100 -2,00002<br />
500000 79577,5 5,7 -89,89 0,0020 -2,69897<br />
1000000 159154,9 6 -89,94 0,0010 -3,00000<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 18
0<br />
-10<br />
Ângulo <strong>de</strong> fase, φ (graus)<br />
-20<br />
-30<br />
-40<br />
-50<br />
-60<br />
-70<br />
-80<br />
-90<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
log ω<br />
Fig. 23 Ângulo <strong>de</strong> fase versus freqüência angular para o filtro passa-baixa.<br />
0<br />
log ω C<br />
= 3<br />
-1<br />
-1<br />
log(V o<br />
/V i<br />
)<br />
-2<br />
-2<br />
-3<br />
-3<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
log ω<br />
Fig. 24 Ganho <strong>de</strong> tensão versus freqüência angular para o filtro passa-baixa.<br />
A freqüência na qual R = |X C | é chamada freqüência <strong>de</strong> corte, f C :<br />
f C<br />
1<br />
= (33)<br />
2πRC<br />
Para o circuito analisado, f C = 159,2 Hz<br />
Circuito RC Diferenciador<br />
O circuito RC série também po<strong>de</strong> ser utilizado como circuito diferenciador,<br />
arranjando-se o resistor e o capacitor segundo o esquema ilustrado na Fig. 25.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 19
C<br />
V<br />
i<br />
V<br />
o<br />
i<br />
R<br />
Fig. 25 Circuito RC diferenciador<br />
Neste circuito, a tensão V o é <strong>de</strong>terminada pela tensão sobre o resistor:<br />
V o = Ri<br />
(34)<br />
Se consi<strong>de</strong>rarmos o estímulo da função <strong>de</strong>grau, a equação (15) combinada com a<br />
equação (16) resultará em:<br />
V<br />
o<br />
S<br />
−t<br />
/ RC<br />
= V e<br />
(35)<br />
que correspon<strong>de</strong> a um <strong>de</strong>caimento exponencial da tensão com o incremento <strong>de</strong> tensão do<br />
<strong>de</strong>grau. Observe que este comportamento é o inverso do circuito integrador, calculado na<br />
equação (21). A Fig. 26 apresenta o gráfico da curva <strong>de</strong> tensão V o em função do tempo<br />
normalizado para o circuito diferenciador.<br />
1,0<br />
0,8<br />
Tensão normalizada V/V 0<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
tempo em constante RC (s)<br />
Fig. 26 Curva <strong>de</strong> tensão em função do tempo para o circuito RC diferenciador.<br />
Filtro Passa-Alta (Resposta Senoidal)<br />
O circuito da Fig. 25 também é utilizado como filtro passa-alta, isto é, um filtro que<br />
atenua os sinais <strong>de</strong> baixa freqüência. Para este circuito, a tensão V out , calculada sobre o<br />
resistor em notação fasorial polar, é <strong>de</strong>scrita por:<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 20
o<br />
[ R∠<br />
]<br />
⎡Vef<br />
⎤<br />
Vo<br />
= IR = ⎢ ∠arctg(|<br />
X C | / R ) ⎥ ⋅ 0<br />
⎣|<br />
Z |<br />
⎦<br />
VS<br />
R<br />
= ∠arctg(|<br />
X C | / R )<br />
(36)<br />
| Z |<br />
A amplitu<strong>de</strong> do ganho é expressa como:<br />
V<br />
V<br />
o<br />
i<br />
=<br />
R<br />
R<br />
=<br />
ωRC<br />
2 1 2 2 2<br />
+ ω R C +<br />
2 2<br />
ω<br />
C<br />
1<br />
(37)<br />
e o ãngulo <strong>de</strong> fase φ:<br />
⎛|<br />
X<br />
φ = arctg ⎜<br />
⎝ R<br />
| ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎟ = arctg ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ ωRC<br />
⎠<br />
C 1<br />
(38)<br />
A freqüência <strong>de</strong> corte é a mesma para o circuito integrador, ou seja<br />
f C<br />
= 1 / 2πRC<br />
=<br />
159 Hz. A resposta do filtro passa-alta para R = 1 kΩ e C = 1 µF está apresentado na<br />
Tabela 5, enquanto que as curvas <strong>de</strong> resposta em freqüência do ganho <strong>de</strong> tensão e do ângulo<br />
<strong>de</strong> fase estão mostradas, respectivamente, nas Figuras 27 e 28.<br />
Observar que as curvas para o filtro passa-alta são imagens invertidas das curvas para<br />
o filtro passa-baixa. A interseção das curvas <strong>de</strong> ganho <strong>de</strong> tensão com o eixo x conduz ao<br />
mesmo valor da freqüência <strong>de</strong> corte f C , como tinhamos observado no cálculo analítico. Isto<br />
significa que o dimensionamento <strong>de</strong> um filtro RC passa-baixa ou passa-alta po<strong>de</strong> ser feita<br />
simplesmente conhecendo-se os valores <strong>de</strong> R e C.<br />
Consi<strong>de</strong>re a possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> inserir um filtro passa-baixa em série com um filtro<br />
passa-alta, como ilustrado na Fig. 29. Depen<strong>de</strong>ndo dos valores <strong>de</strong> resistência e capacitância<br />
empregado nos dois filtros, po<strong>de</strong>mos estabelecer uma faixa <strong>de</strong> freqüências na qual o sinal <strong>de</strong><br />
saída será levemente atenuado e fora <strong>de</strong>ssa faixa o sinal será fortemente atenuado. A este tipo<br />
<strong>de</strong> filtro dá-se o nome <strong>de</strong> filtro passa-faixa ou filtro passa-banda.<br />
TABELA 5 Resposta em freqüência para o filtro passa-alta.<br />
R = 1 kΩ, C = 1 µF<br />
ω (rad/s) f (Hz) log ω φ (graus) V o /V i log(V o /V i )<br />
1 0,16 0 89,94 0,001 -3,00000<br />
10 1,6 1 89,43 0,010 -2,00002<br />
100 15,9 2 84,29 0,0995 -1,00216<br />
200 31,8 2,3 78,69 0,1961 -0,70749<br />
1000 159,2 3 45,00 0,7071 -0,15051<br />
10000 1591,5 4 5,71 0,9950 -0,00216<br />
50000 7957,7 4,7 1,15 0,9998 -0,00008<br />
100000 15915,5 5 0,57 0,99995 -0,00002<br />
500000 79577,5 5,7 0,11 1,00000 0<br />
1000000 159154,9 6 0,06 1,00000 0<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 21
0<br />
log ω C<br />
= 3<br />
-1<br />
-1<br />
log(V o<br />
/V i<br />
)<br />
-2<br />
-2<br />
-3<br />
-3<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
log ω<br />
Fig. 27 Ganho <strong>de</strong> tensão versus freqüência angular para o filtro passa-alta.<br />
90<br />
80<br />
Ângulo <strong>de</strong> fase, φ (graus)<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
log ω<br />
Fig. 28 Ângulo <strong>de</strong> fase versus freqüência angular para o filtro passa-alta.<br />
Filtro Passa-Banda (Resposta Senoidal)<br />
Se combinarmos um circuito RC passa-baixa em série com um circuito RC passa-alta,<br />
teremos um circuito RC que <strong>de</strong>sempenha o papel <strong>de</strong> um filtro passa-banda, conforme mostra<br />
a Fig. 29. A característica <strong>de</strong> um filtro passa-banda é o <strong>de</strong> atenuar a amplitu<strong>de</strong> do sinal cuja<br />
freqüência esteja fora da banda passante, isto é, das freqüências que estejam abaixo da<br />
freqüência <strong>de</strong> atenuação do circuito do filtro passa-alta e acima da freqüência <strong>de</strong> atenuação do<br />
circuito do filtro passa-baixa.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 22
R<br />
C<br />
V in<br />
V out<br />
C<br />
R<br />
Fig. 29 Circuito do filtro passa-banda.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> <strong>Corrente</strong> <strong>Alternada</strong><br />
<strong>Circuitos</strong> indutivos<br />
Indutância<br />
A indutância elétrica é a medida da capacida<strong>de</strong> <strong>de</strong> armazenamento <strong>de</strong> corrente elétrica<br />
por um dispositivo, geralmente com formato <strong>de</strong> bobina (Fig. 30), conhecido também como<br />
indutor. A indutância é <strong>de</strong>finida pela equação:<br />
na qual:<br />
L = φ<br />
(40)<br />
i<br />
L – indutância da bobina (henry = H)<br />
φ – fluxo magnético que atravessa a área interna da bobina (Wb = T.m 2 )<br />
i – corrente que percorre as espiras da bobina (A)<br />
Indução magnética<br />
→<br />
B<br />
i<br />
i<br />
Linhas <strong>de</strong> fluxo magnético<br />
Fig. 30 Esquema do indutor.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 23
A equação (40) é válida para indutores com núcleo <strong>de</strong> ar, para os quais a<br />
permeabilida<strong>de</strong> magnética é constante e igual a µ 0 = 4π.10 -7 T.m/A. No caso <strong>de</strong> indutores com<br />
núcleo magnético, a indutância é calculada a partir da <strong>de</strong>rivada do fluxo pela corrente:<br />
dφ<br />
L = (41)<br />
di<br />
O elemento <strong>de</strong> circuito indutor opera sob a ação <strong>de</strong> corrente ou tensão variável, que<br />
produzem um campo magnético variável<br />
(a)<br />
(b)<br />
Fig. 31 Símbolos para o indutor (a) com núcleo <strong>de</strong> ar e (b) com núcleo <strong>de</strong> ferro.<br />
A equação (41) po<strong>de</strong> se re-escrita como:<br />
<strong>de</strong> modo que,<br />
dφ<br />
dt<br />
L = ⋅<br />
(42)<br />
dt di<br />
d φ di = L<br />
dt dt<br />
(43)<br />
Sabendo-se pela lei <strong>de</strong> Faraday do Eletromagnetismo que a variação <strong>de</strong> fluxo no<br />
tempo induz uma diferença <strong>de</strong> potencial V no circuito elétrico, a equação (43) po<strong>de</strong> ser escrita<br />
como:<br />
di<br />
V = L<br />
(44)<br />
dt<br />
A potência <strong>de</strong> um circuito contendo um indutor po<strong>de</strong> ser calculada como:<br />
2<br />
di 1 di<br />
P = Vi = Li = L<br />
(45)<br />
dt 2 dt<br />
A energia armazenada na forma <strong>de</strong> campo magnético no indutor po<strong>de</strong> ser calculada<br />
tomando-se a corrente i = 0 em t = 0 até a corrente i no instante t qualquer:<br />
t<br />
i<br />
di<br />
1 2<br />
E = Li dt = Li di = Li<br />
(46)<br />
∫ dt ∫ 2<br />
0<br />
0<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 24
Transformador <strong>de</strong> tensão<br />
O transformador é um elemento <strong>de</strong> circuito constituído por dois indutores acoplados<br />
magneticamente por um núcleo <strong>de</strong> material ferromagnético, através do qual a energia <strong>de</strong> um<br />
indutor é transferido a outro. As suas principais aplicações são para a elevação ou redução da<br />
tensão ou corrente, com mínima dissipação <strong>de</strong> energia por envolver prioritariamente campo<br />
magnético (campo não-dissipativo). Para as aplicações eletrotécnicas (50/60 Hz), geralmente<br />
o núcleo é <strong>de</strong> ferro puro ou <strong>de</strong> ligas <strong>de</strong> ferro, especialmente <strong>de</strong> Fe-Si por apresentar baixas<br />
perdas histeréticas. Para aplicações em altas freqüências o núcleo é constituído <strong>de</strong> material <strong>de</strong><br />
alta resistivida<strong>de</strong> elétrica, como os ferritas, <strong>de</strong> modo a minimizar as perdas por correntes<br />
parasitas.<br />
A Fig. 32 mostra os símbolos do transformador com núcleo <strong>de</strong> ar e com núcleo <strong>de</strong><br />
ferro.<br />
Fig. 12<br />
(a)<br />
Símbolo para o transformador (a) com núcleo <strong>de</strong> ar e (b) com núcleo <strong>de</strong> ferro.<br />
(b)<br />
Devido à importância <strong>de</strong> transformadores em circuitos eletrônicos e <strong>de</strong><br />
instrumentação, faremos o cálculo das relações entre tensão e corrente para um transformador.<br />
Um transformador é um dispositivo magnetoelétrico constituído por dois enrolamentos<br />
(um primário, o outro secundário) conectados magnéticamente pelo núcleo <strong>de</strong> material<br />
magnético, conforme mostra a Fig. 33.<br />
A C<br />
: Área <strong>de</strong> seção transversal do núcleo<br />
i 1<br />
i 2<br />
N<br />
V V<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Primário<br />
Secundário<br />
N<br />
1<br />
: Número <strong>de</strong> espiras<br />
: Comprimento do circuito magnético<br />
C<br />
Fig. 33 Transformador com núcleo <strong>de</strong> ferro.<br />
Para o cálculo das relações <strong>de</strong> tensão e corrente no transformador, consi<strong>de</strong>remos<br />
inicialmente a lei <strong>de</strong> Ampère:<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 25
¢ ¢<br />
H ⋅ d = i<br />
∫ ¡<br />
C<br />
(47)<br />
Admitindo H constante em £ C , então o campo magnético produzido pelo indutor 1<br />
po<strong>de</strong> ser calculado à partir da integral <strong>de</strong> (47) como sendo:<br />
N1i1<br />
H = (48)<br />
C<br />
£<br />
O fluxo magnético induzido no núcleo <strong>de</strong> ferro é dado por:<br />
φ = B .A = µ H.A C<br />
(49)<br />
O fluxo magnético produzido pelo indutor 1:<br />
µ N i A<br />
φ = 11<br />
C<br />
(50)<br />
£ C<br />
Derivando o fluxo no tempo:<br />
dφ<br />
µ N A di<br />
= 1 C ⋅ 1<br />
dt C dt<br />
£<br />
(51)<br />
<strong>de</strong> modo que:<br />
di 1 = C<br />
dt µ<br />
£<br />
N1AC<br />
dφ<br />
⋅<br />
dt<br />
(52)<br />
Se consi<strong>de</strong>rarmos a resistência elétrica do condutor <strong>de</strong>sprezível, então:<br />
di<br />
V = L⋅<br />
1<br />
1<br />
dt<br />
= L ⋅<br />
£ C<br />
µ N1AC<br />
dφ<br />
⋅<br />
dt<br />
(53)<br />
Consi<strong>de</strong>rando que a indutância <strong>de</strong> um torói<strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser calculada como:<br />
2<br />
µ N A<br />
L = C<br />
(54)<br />
C<br />
£<br />
que, substituindo em (53), resulta na equação:<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 26
dφ<br />
V 1 = N 1 ⋅<br />
(55)<br />
dt<br />
Embora esta equação tenha sido calculada para um núcleo toroidal, ela po<strong>de</strong> ser<br />
generalizada para qualquer geometria <strong>de</strong> núcleo, contanto que o fluxo enlaçado pelo núcleo<br />
não sofra espraiamento e seja constante em C .<br />
A tensão induzida no indutor 2 será gerada pela variação do fluxo magnético dφ/dt no<br />
circuito magnético. Para calculá-la, vamos utilizar a lei <strong>de</strong> Faraday.<br />
∫<br />
m<br />
dφ<br />
E ⋅ d =<br />
(56)<br />
¢ dt<br />
¡ ¢<br />
on<strong>de</strong> m é o comprimento <strong>de</strong> uma espira no circuito 2.<br />
Consi<strong>de</strong>rando que o circuito magnético possui elevada permeabilida<strong>de</strong>, ou seja,<br />
dφ d d<br />
φ1 = φ2<br />
= φ e, consequentemente, 1 φ φ<br />
= 2 =<br />
dt dt dt<br />
, <strong>de</strong> modo que:<br />
ou seja,<br />
N<br />
dφ<br />
E ⋅ d = V = N ⋅<br />
∫ 2 2<br />
(57)<br />
¢ dt<br />
2 ¡ ¢<br />
m<br />
dφ<br />
V 2 = N 2 ⋅<br />
(58)<br />
dt<br />
À partir das equações (55) e (58), po<strong>de</strong>mos escrever a relação entre as tensões V 2 e V 1 :<br />
V 2 N =<br />
2<br />
(60)<br />
V1<br />
N1<br />
Para o cálculo da relação entre as correntes i 2 e i 1 ., po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar que o fluxo<br />
nos dois indutores é aproximadamente idêntico, <strong>de</strong> modo que:<br />
da qual vem que:<br />
ou seja:<br />
µ N1 i1<br />
AC<br />
µ N 2i2<br />
AC<br />
=<br />
(61)<br />
C<br />
C<br />
N 1i1<br />
= N2i2<br />
(62)<br />
i2<br />
N1<br />
=<br />
i1<br />
N 2<br />
(63)<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 27
As equações (60) e (63) são empregadas para o cálculo <strong>de</strong> um transformador i<strong>de</strong>al, isto<br />
é, um transformador para o qual:<br />
(a) O fluxo da bobina secundária é totalmente enlaçado pelo fluxo na bobina primária;<br />
(b) Não há perdas no ferro e nem nos condutores;<br />
(c) O núcleo não está saturado e a sua permeabilida<strong>de</strong> magnética é linear com relação ao<br />
campo magnético H.<br />
Po<strong>de</strong>mos observar que quando o número <strong>de</strong> espiras no primário é maior do que no<br />
secundário, o transformador abaixa a tensão e eleva a corrente no secundário e vice-versa.<br />
<strong>Circuitos</strong> RL<br />
O elemento <strong>de</strong> circuito indutor é comumente empregado juntamente com o resistor<br />
como filtro para sinais <strong>de</strong> alta freqüência em analogia com os circuitos RC e também na<br />
mo<strong>de</strong>lagem <strong>de</strong> circuitos <strong>de</strong> potência como motores , geradores e transformadores, acoplados a<br />
cargas resistivas.<br />
R<br />
V i<br />
L<br />
i<br />
Fig. 34<br />
Circuito RL em série<br />
A equação que <strong>de</strong>screve o circuito da Fig. 34 po<strong>de</strong> ser expressa como:<br />
di<br />
Ri + L = V i<br />
(64)<br />
dt<br />
Para obtermos a solução da equação diferencial ordinária (64), vamos estabelecer dois<br />
tipos <strong>de</strong> estímulo em V i : a função <strong>de</strong>grau e a função senoidal. Enquanto no primeiro tipo <strong>de</strong><br />
estímulo vamos resolver analiticamente (64), no segundo tipo, o tratamento será o mesmo<br />
aplicado para o circuito RC senoidal, isto é, solução por fasores.<br />
Resposta do circuito RL série ao <strong>de</strong>grau.<br />
Novamente, consi<strong>de</strong>remos a função V i como<br />
matematicamente como:<br />
a função <strong>de</strong>grau, <strong>de</strong>finida<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 28
⎧ 0, t ≤ 0<br />
Vi = ⎨<br />
(65)<br />
⎩VS<br />
, t > 0<br />
o que representa uma excitação constante V 0 a partir do instante inicial t = 0. O gráfico da<br />
Fig. 35 apresenta a função <strong>de</strong>grau.<br />
Vi<br />
V<br />
S<br />
0 t = 0<br />
t<br />
Fig. 35<br />
Gráfico da função <strong>de</strong>grau<br />
Em t = 0, a corrente aplicada ao circuito é armazenada no indutor na forma <strong>de</strong> campo<br />
magnético, em analogia à carga acumulada no capacitor no circuito RC. A equação diferencial<br />
(64) po<strong>de</strong> ser integrada por separação <strong>de</strong> variáveis, como:<br />
cuja solução é dada por:<br />
na qual:<br />
i<br />
∫ di =<br />
∫<br />
⎛ Vs<br />
⎞<br />
⎜<br />
0 ⎝ R<br />
− i⎟<br />
⎠<br />
t<br />
0<br />
−t<br />
/ τ<br />
( 1 − e )<br />
R<br />
L<br />
dt<br />
(66)<br />
Vs<br />
i =<br />
(67)<br />
R<br />
L<br />
τ =<br />
(68)<br />
R<br />
é a constante <strong>de</strong> tempo do circuito RL. A tensão sobre o indutor é calculada a partir da<br />
equação:<br />
di<br />
dt<br />
− / τ<br />
V = =<br />
t<br />
L<br />
L VSe<br />
(69)<br />
As Figuras 36 e 37 apresentam as curvas <strong>de</strong> corrente normalizada (i/i 0 , on<strong>de</strong> i 0 = V S /R)<br />
e <strong>de</strong> tensão sobre o indutor normalizada (V L /V S ) versus tempo normalizado (t/τ). A resposta<br />
do circuito RL é semelhante à do circuito RC para um estímulo na forma <strong>de</strong>grau. Entretanto,<br />
algumas diferenças cumpre enfatizar: primeiro, a corrente vai <strong>de</strong> zero até o valor em regime,<br />
pois quando a tensão <strong>de</strong>grau é aplicada, i = 0 e di/dt = máximo; segundo, a força eletromotriz<br />
induzida sobre o indutor (V L ) é alta no início mas, à medida que V L diminui, a corrente<br />
aumenta e, concomitantemente, di/dt <strong>de</strong>cresce (pois, V L = Ldi/dt). Ambas as curvas<br />
apresentam comportamento exponencial (crescimento na corrente e <strong>de</strong>caimento na tensão).<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 29
No circuito RL, a constante <strong>de</strong> tempo τ = L/R <strong>de</strong>termina a taxa <strong>de</strong> crescimento e <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>caimento da curva exponencial, <strong>de</strong> maneira análoga à constante τ = RC no circuito RC.<br />
1,0<br />
0,8<br />
<strong>Corrente</strong> normalizada, i/i 0<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
tempo em constante τ = L/R<br />
Fig. 36 Curva <strong>de</strong> corrente normalizada em função do tempo t/τ para o circuito RL em série.<br />
1,0<br />
Tensão normalizada, V L<br />
/V S<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
tempo em constante τ = L/R<br />
Fig. 37 Curva <strong>de</strong> tensão normalizada sobre o indutor para o circuito RL em série.<br />
Resposta do circuito RL série à excitação senoidal.<br />
O circuito RL comporta-se como um circuito divisor <strong>de</strong> tensão <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte da<br />
freqüência. Para uma corrente <strong>de</strong> excitação senoidal (i L = i 0 sen ωt), a tensão V L sobre o<br />
indutor aumenta com a freqüência, pois:<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 30
V<br />
di<br />
o<br />
= L = ωLi<br />
0<br />
cosωt<br />
= ωLi<br />
0<br />
sen( ωt<br />
90 )<br />
(70)<br />
dt<br />
L<br />
+<br />
Esta equação estabelece que a tensão está adiantada 90 o em relação à corrente. Este<br />
comportamento é exatamente o oposto ao do circuito capacitivo, no qual a tensão está<br />
atrasada 90 o em relação à corrente.<br />
A reatância indutiva X L é <strong>de</strong>finida como:<br />
X L<br />
= ωL<br />
(71)<br />
A impedância <strong>de</strong> um indutor i<strong>de</strong>al é expressa como:<br />
Z<br />
L<br />
= jX = jωL<br />
(72)<br />
L<br />
que é representado em notação fasorial como:<br />
Z<br />
L<br />
90<br />
o<br />
= X<br />
L∠<br />
(73)<br />
Para um circuito RL em série, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>senvolver as expressões para o ganho <strong>de</strong><br />
tensão e para o ângulo <strong>de</strong> fase <strong>de</strong> maneira análoga ao circuito RC. Se o fasor <strong>de</strong> tensão V in for<br />
expresso como:<br />
e a impedância do circuito RL como:<br />
V<br />
o<br />
in<br />
= V1∠0<br />
2 2<br />
Z = R + jX = R + X ∠arctg(X<br />
/ R)<br />
(74)<br />
L<br />
L<br />
L<br />
Aplicando a expressão:<br />
V<br />
V = ZI ⇒ I = , resulta:<br />
Z<br />
V1 I = ∠ − arctg(X<br />
L<br />
/ R)<br />
(75)<br />
2 2<br />
R + X<br />
L<br />
Como no circuito RC em série, a tensão <strong>de</strong> saída no circuito RL po<strong>de</strong> ser lida <strong>de</strong> duas<br />
formas distintas: sobre o resistor (circuito integrador) e sobre o indutor (circuito<br />
diferenciador), conforme mostrado na Fig. 38.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 31
V<br />
in<br />
L<br />
V<br />
out<br />
V<br />
in<br />
R<br />
V<br />
out<br />
i<br />
R<br />
i<br />
L<br />
(a)<br />
Fig.38<br />
Circuito RL (a) integrador e (b) diferenciador.<br />
(b)<br />
Quando a tensão é lida sobre o resistor, o ganho <strong>de</strong> tensão do circuito é dado por:<br />
V<br />
V<br />
R<br />
in<br />
R R<br />
R<br />
= = ∠ − arctg(X<br />
L<br />
/ R) =<br />
∠ − arctg( ωL / R) (76)<br />
Z<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
R + X<br />
R + ω L<br />
L<br />
A amplitu<strong>de</strong> do ganho é calculada como:<br />
e o ângulo <strong>de</strong> fase por:<br />
V<br />
V<br />
R<br />
in<br />
R<br />
= (77)<br />
2 2 2<br />
R + ω L<br />
φ = −arctg(<br />
ωL / R)<br />
(78)<br />
Quando a tensão é lida sobre o indutor, o ganho <strong>de</strong> tensão se torna:<br />
V<br />
V<br />
L<br />
in<br />
ZL<br />
X<br />
L<br />
o<br />
ωL<br />
o<br />
= = ∠90<br />
− arctg(X<br />
L<br />
/ R) =<br />
∠90<br />
− arctg( ωL / R) (79)<br />
Z<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
R + X<br />
R + ω L<br />
L<br />
A amplitu<strong>de</strong> do ganho é calculada como:<br />
e o ângulo <strong>de</strong> fase por:<br />
V<br />
V<br />
L<br />
in<br />
=<br />
ωL<br />
(80)<br />
2 2 2<br />
R + ω L<br />
φ = 90 o − arctg( ωL / R)<br />
(81)<br />
A potência consumida num indutor i<strong>de</strong>al é zero porque, como no caso do capacitor, o<br />
ângulo <strong>de</strong> fase entre a tensão e a corrente é <strong>de</strong> 90 º . Para um indutor real, a potência consumida<br />
é calculada a partir da resistência elétrica do fio utilizado no enrolamento da bobina.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 32
Como a reatância indutiva é <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte da freqüência e como um indutor real possui<br />
resistência, uma proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong>nominada fator <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> Q <strong>de</strong> um indutor é <strong>de</strong>finida e é<br />
expressa como:<br />
X<br />
L<br />
Q = (82)<br />
R<br />
Quanto maior o fator <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> para uma dada freqüência, menor será a resistência<br />
elétrica da bobina.<br />
<strong>Circuitos</strong> LC<br />
Os circuitos LC são comumente empregados em filtros <strong>de</strong> alta freqüência e também<br />
em circuitos sintonizados, principalmente em transmissão <strong>de</strong> sinais <strong>de</strong> rádio-freqüência. Eles<br />
apresentam como principal característica a ressonância, isto é, a capacida<strong>de</strong> <strong>de</strong> amplificar um<br />
sinal a uma dada freqüência <strong>de</strong> sintonia, daí o fato <strong>de</strong> serem largamente utilizados em<br />
circuitos <strong>de</strong> recepção <strong>de</strong> sinais <strong>de</strong> rádio, nos quais os sinais fora da freqüência <strong>de</strong> ressonância<br />
são filtrados e o sinal na freqüência <strong>de</strong> ressonância é ampliado.<br />
Existem dois tipos <strong>de</strong> circuitos LC: série e paralelo. Ambos os circuitos são<br />
constituídos por um capacitor e um indutor. A Fig. 39 apresenta os circuitos LC série e<br />
paralelo.<br />
L<br />
C<br />
L<br />
C<br />
(a) (b)<br />
Fig. 39<br />
<strong>Circuitos</strong> LC (a) série e (b) paralelo.<br />
A ressonância ocorre quando as reatâncias indutiva e capacitiva forem iguais,<br />
X L = X C , ou seja,<br />
1<br />
1<br />
L<br />
ω<br />
2<br />
ω = ⇒ =<br />
(83)<br />
ωC<br />
LC<br />
Para uma dada combinação <strong>de</strong> L e C, isto ocorrerá somente em uma única freqüência,<br />
que po<strong>de</strong> ser calculada <strong>de</strong> (83), sabendo que f = ω/2π:<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 33
f 0<br />
1<br />
= (84)<br />
2π<br />
LC<br />
Chamamos <strong>de</strong> ressonância ou freqüência <strong>de</strong> ressonância, a freqüência <strong>de</strong> oscilação<br />
própria do circuito. A física do processo <strong>de</strong> ressonância po<strong>de</strong> ser explicada em termos simples<br />
através dos circuitos esquemáticos <strong>de</strong>senhados na Fig. 40.<br />
Vamos supor que, inicialmente, uma tensão seja aplicada entre os terminais do<br />
capacitor. Quando isto ocorrer, o capacitor se carregará (Fig. 40a). A energia armazenada no<br />
capacitor na forma <strong>de</strong> energia elétrica U E é expressa como:<br />
1<br />
2<br />
2<br />
U<br />
E<br />
= CV<br />
(85)<br />
Consi<strong>de</strong>remos, agora que o capacitor está carregado, que a tensão <strong>de</strong> alimentação seja<br />
removida. Quando a tensão for retirada, o capacitor terá o potencial V, que conectado a um<br />
indutor <strong>de</strong>scarregado, ten<strong>de</strong>rá a anular o potencial elétrico, gerando uma corrente através do<br />
indutor (Fig. 40b). Esta corrente induzirá um campo magnético quando circular pelo indutor.<br />
Quando o potencial no capacitor for zerado, toda a energia do circuito estará armazenada no<br />
indutor na forma <strong>de</strong> energia magnética U B (Fig. 40c):<br />
1<br />
2<br />
2<br />
U<br />
B<br />
= Li<br />
(86)<br />
Quando a corrente cessar, o campo magnético começará a diminuir, criando assim por<br />
indução nas espiras do indutor, uma corrente contrária à que lhe criou. Esta corrente carregará<br />
o capacitor com polarida<strong>de</strong> contrária a anterior. Observe o sentido das setas das linhas<br />
equipotenciais elétricas no capacitor nas Fig. 40d e 40e. Quando o campo magnético se findar,<br />
a corrente <strong>de</strong>ixará <strong>de</strong> circular e o capacitor estará carregado (Fig. 40e).<br />
Novamente, o processo <strong>de</strong> <strong>de</strong>scarga do capacitor e <strong>de</strong> carga do indutor é retomado<br />
(Fig. 40f e 40g) e continuará assim, in<strong>de</strong>finidamente. Este tipo <strong>de</strong> circuito oscilador recebe o<br />
nome <strong>de</strong> circuito tanque, pois os elementos capacitor e indutor agem como reservatórios <strong>de</strong><br />
energia. Na prática, circuitos LC são i<strong>de</strong>ais, pois capacitores e indutores reais possuem perdas<br />
e a dissipação da energia na forma <strong>de</strong> calor levará ao consumo da energia fornecida pela fonte<br />
externa no início do processo.<br />
Se medíssemos a variação <strong>de</strong> tensão sobre o capacitor ou o indutor veríamos um sinal<br />
alternado <strong>de</strong> forma senoidal e freqüência própria <strong>de</strong> ressonância. Em freqüências inferiores e<br />
superiores à freqüência <strong>de</strong> ressonância, a impedância do circuito LC série (Fig. 40a) aumenta,<br />
enquanto que a corrente diminui. Da mesma forma, próximo ou igual à freqüência <strong>de</strong><br />
ressonância, a impedância diminui e a corrente aumenta.<br />
Em circuitos ressonantes paralelo (Fig. 40b), próximo à freqüência <strong>de</strong> ressonância, a<br />
impedância aumenta e a corrente diminui. No caso contrário, ou seja, quando a freqüência<br />
estiver distante da freqüência <strong>de</strong> ressonância, a corrente aumentará e a resistência diminuirá.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 34
Fig. 40 Ciclo <strong>de</strong> oscilação <strong>de</strong> um circuito LC não-dissipativo. Os gráficos <strong>de</strong> barra<br />
representam a energia magnética (U B ) e elétrica (U E ) armazenada, respectivamente, no<br />
indutor e no capacitor (Halliday, 1993).<br />
O grau com que estas mudanças ocorrem com freqüências superiores e inferiores a <strong>de</strong><br />
ressonância é uma medida <strong>de</strong> “habilida<strong>de</strong>” do circuito <strong>de</strong> separar (discriminar) freqüências.<br />
Essa habilida<strong>de</strong> é calculada através do fator <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> do circuito, e que po<strong>de</strong> ser calculado<br />
para circuitos indutivos e capacitivos:<br />
X<br />
Q =<br />
L<br />
ou<br />
R<br />
XC<br />
Q = (87)<br />
R<br />
Acrescentando-se um resistor em série com o circuito série, ou em paralelo com o<br />
circuito paralelo, aumenta-se a faixa <strong>de</strong> passagem ou, em outras palavras, diminui-se o Q.<br />
Referências bibliográficas<br />
DIEFENDERFER, A.J. Principles of electronic instrumentation. Phila<strong>de</strong>lphia, PA: Sau<strong>de</strong>rs<br />
College Publishing, 1979.<br />
HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentals of physics – Exten<strong>de</strong>d with<br />
mo<strong>de</strong>rn physics. New York: John Wiley, 1993.<br />
<strong>Circuitos</strong> <strong>de</strong> corrente alternada 35