Escoamento de um fluído incompressível - DEMAR

Aplicação do FlexPDE
Escoamento incompressível bidimensional
O problema do escoamento de fluídos incompressíveis bidimensional é descrito pela
equação de Navier-Stokes:
⎛ u u u ⎞ ∂ p
ρ ⎜
∂ ∂ ∂
+ u + v = µ ∇ u − + ρ
t x y
⎟
2
⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ ∂ x
F x
(1)
⎛ v v v ⎞ ∂ p
ρ ⎜
∂ ∂ ∂
+ u + v = µ ∇ v − + ρ
t x y
⎟
2
⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ ∂ y
F y
(2)
juntamente com a equação de continuidade:
∇. u = ∇.
v = 0
(3)
nas quais u e v são respectivamente as componentes x e y da velocidade do fluido, p é a pressão do
fluido, ρ a sua densidade e µ a viscosidade. As forças F x e F y são as forças de corpo internas ao
fluído nas direções x e y.
Uma terceira equação para a variável pressão p pode ser escrita diferenciando-se a equação u
com relação a x e a equação v com relação a y. Usando a equação da continuidade para eliminar
termos, obtém-se:
∇
2
⎛ ∂u
∂v
∂u
∂ v ⎞
p = 2ρ
⎜ −
⎟
⎝ ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x ⎠
(4)
Apesar de esta equação ser consistente com a equação de continuidade, ela não o garante.
Entretanto, como ∇. u = ∇.
v = 0 podemos adicioná-la a bel prazer na equação para o cálculo da
pressão. Um valor negativo do divergente da velocidade implica em destruição do material de
maneira que necessitamos de uma pressão positiva para se opor ao fluxo, implicando numa forma
modificada da equação da pressão:
∇
2
⎛ ∂u
∂ v ∂u
∂v
⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞
⎟ + u v
p = 2ρ
⎜ − L
⎜ +
⎟
⎝ ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x ⎠ ⎝ ∂ x ∂ y ⎠
(5)
na qual L é um número “grande” o suficiente para manter compatibilidade com o princípio de
conservação do material.
Fazendo u = v = 0 nas equações de u e v para refletir as condições de contorno de uma
fronteira não deslizante, resulta:
∂ p = µ ∇
2 u
(6)
∂ x
∂ p = µ ∇
2 v
(7)
∂ y
1

Estas equações especificam as condições de contorno naturais da pressão. A componente
normal da pressão é descrita pela equação:
r
n ⋅∇p
= n
x
∂
∂
p
x
+ n
y
∂ p
∂ y
(8)
na qual n x e n y são os cossenos diretores do vetor normal à superfície.
O problema descrito no programa FlexPDE seguinte trata do escoamento de um fluido
incompressível num duto com obstrução retangular. O valor da viscosidade foi escolhido de modo a
produzir um número de Reynolds Re = 20. Este é o valor limite superior prático para que seja
obtida solução em regime permanente pelo FlexPDE.
Foram incluídos quatro gráficos do perfil de velocidade usando a função ELEVATION: um, na
entrada do duto; o segundo, na região de restrição de fluxo; o terceiro, após a restrição e o último,
na saída do duto. O cálculo das integrais dessas curvas mostraram consistência na massa
transportada ao longo do duto.
TITLE 'Escoamento incompressível em duto 2D, Re > 10'
SELECT errlim = 0.005
VARIABLES
u
v
p
DEFINITIONS
Lx = 5 Ly = 1.5
Gx = 0 Gy = 0
p0 = 1
speed2 = u^2+v^2
speed = sqrt(speed2)
dens = 1
visc = 0.04
vxx = (p0/(2*visc*(2*Lx)))*(Ly-y)^2 { velocity x}
rball = 0.25
consw = 100
INITIAL VALUES
u = 0.5*vxx v = 0 p = p0*x/(2*Lx)
EQUATIONS
u: visc*div(grad(u)) - dx(p) = dens*(u*dx(u) + v*dy(u))
v: visc*div(grad(v)) - dy(p) = dens*(u*dx(v) + v*dy(v))
p: div(grad(p)) = 2*dens*[dx(U)*dy(V) - dy(U)*dx(V)] + consw*(dx(u)+dy(v))
BOUNDARIES
REGION 1
start(-Lx,0)
load(u) = 0 value(v) = 0 load(p) = 0
line to (Lx/2-rball,0)
value(u)=0 value(v)=0 load(p)= 0
line to (Lx/2-rball,rball) to (Lx/2+rball,rball) to (Lx/2+rball,0)
load(u) = 0 value(v) = 0 load(p) = 0
line to (Lx,0)
load(u) = 0 value(v) = 0 value(p) = p0
2

line to (Lx,Ly)
value(u) = 0 value(v) = 0 load(p) = 0
line to (-Lx,Ly)
load(u) = 0 value(v) = 0 value(p) = 0
line to finish
MONITORS
contour(speed)
PLOTS
END
grid(x,y)
contour(u)
contour(v)
contour(speed)
vector(u,v) as "fluxo"
contour(p) as "Pressão" painted
elevation(u) from (-Lx,0) to (-Lx,Ly)
elevation(u) from (0,0) to (0,Ly)
elevation(u) from (Lx/2,0) to (Lx/2,Ly)
elevation(u) from (Lx,0) to (Lx,Ly)
(a)
Figura 1. (a) Malha de elementos finitos, (b) curvas de níveis representando o campo de fluxo.
(b)
(a)
Figura 2. Curvas de níveis representando (a) a velocidade u na direção x, (b) a velocidade v na
direção y.
(b)
3

(a)
Figura 3. (a) Diagrama de vetores de fluxo, (b) curvas de níveis de pressão.
(b)
(a)
Figura 4. Perfis de velocidade u (a) na entrada do duto, (b) no ponto de restrição.
(b)
(a)
Figura 5. Perfis de velocidade u (a) após o ponto de restrição, (b) na saída do duto.
(b)
4